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2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第五章 圆
5.3 与圆有关的计算
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 弧长、扇形面积的计算 ☆☆ 数学中考中，与圆有关计算部分，每年考查
1道题,分值为3分，通常以填空题的形式考
考点2 圆柱、圆锥的相关计算 ☆ 察。需要学生熟练掌握 弧长、扇形面积的计
算，对圆柱、圆锥的相关计算也不能忽视。
不规则图形的面积的计算问题基本思路就是
考点3 不规则图形的面积的计算 ☆
转化成规则图形的面积计算。
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
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夯实基础
考点1. 弧长、扇形面积的计算
1. 与弧长相关的计算
扇形的弧长计算公式为：__________
注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位
的.
2. 与扇形面积相关的计算
（1）扇形的定义：圆的一条弧和经过这条弧的_____的两条半径所围成的图形叫作扇形.
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
（2）扇形的面积公式为S= = ．扇形的面积与______、_____有关。
3. 弓形的面积公式
S =S -S S =S +S
弓形 扇形 三角形 弓形 扇形 三角形
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考点2. 圆柱、圆锥的相关计算
1. 圆柱侧面展开图可以求解圆柱的表面积
=
2. 圆柱的体积：
3.圆锥及相关概念
（1）圆锥的母线：我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的____叫做圆锥的母线．圆锥有无数
条母线，它们都相等．
（2）圆锥的高：从圆锥的顶点到圆锥底面____之间的距离是圆锥的高．
注意：如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之
间数量关系是：r2+h2=l2
4.圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图是______。
（1）其侧面展开图扇形的半径=母线的长l
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（2）侧面展开图扇形的弧长=底面周长 C=2πr，
（3）圆锥的侧面积计算公式(r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 )
（4）圆锥的全面积计算公式
S ＝侧面积＋底面圆面积=πrl＋πr2．
圆锥全
考点3. 不规则图形的面积的计算
求阴影部分面积的几种常见方法：
（1）公式法；
（2）割补法；
（3）拼凑法；
（4）等积变形构造方程法；
（5）去重法．
考点1. 弧长、扇形面积的计算
【例题1】（2024安徽省）若扇形 的半径为6， ，则 的长为（ ）
A. B. C. D.
【例题2】（2024甘肃威武）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非
物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形 和扇
形 有相同的圆心O，且圆心角 ，若 ， ，则阴影部分的
面积是______ ．（结果用π表示）
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【变式练1】（2024大连一模）圆心角为 ，半径为3的扇形弧长为（ ）
A. B. C. D.
【变式练2】（2024江苏连云港一模）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长
均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
考点2. 圆柱、圆锥的相关计算
【例题3】（2024广州）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，若扇形的半径 是
5，则该圆锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
【变式练1】（2024广安一模）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个
蒙古包的示意图，底面圆半径DE＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，圆柱的高CD＝2.5m，则
下列说法错误的是（ ）
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A．圆柱的底面积为4πm2
B．圆柱的侧面积为10πm2
C．圆锥的母线AB长为2.25m
D．圆锥的侧面积为5πm2
【变式练2】（2024河南一模）如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积
是（ ）
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
考点3. 不规则图形的面积的计算
【例题4】（2024山东威海）如图，在扇形 中， ，点 是 的中点．过点
作 交 于点 ，过点 作 ，垂足为点 ．在扇形内随机选取一点 ，则点
落在阴影部分的概率是（ ）
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A. B. C. D.
【变式练1】（2024广州一模）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=2，OB=1，将
Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分
别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（ ）
5 π 7 π
A．π B．π+5 C． − D． −
2 4 2 4
考点1. 弧长、扇形面积的计算
1. （2024贵州省）如图，在扇形纸扇中，若 ， ，则 的长为（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川成都市）如图，在扇形 中， ， ，则 的长为______．
3. （2024河南省）如图， 是边长为 的等边三角形 的外接圆，点D是 的中点，
连接 ， ．以点D为圆心， 的长为半径在 内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
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A. B. C. D.
4. （2024重庆市A）如图，在矩形 中，分别以点 和 为圆心， 长为半径画弧，两弧
有且仅有一个公共点．若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
的
5. （2024吉林省）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制 铅球场地设计图如图
所示，该场地由 和扇形 组成， 分别与 交于点A，D． ，
， ，则阴影部分的面积为______ （结果保留 ）．
6. （2024深圳）如图，在矩形 中， ，O为 中点， ，则扇形
的面积为________．
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7. （2024甘肃临夏）如图，对折边长为2的正方形纸片 ， 为折痕，以点 为圆心，
为半径作弧，分别交 ， 于 ， 两点，则 的长度为______（结果保留 ）．
考点2. 圆柱、圆锥的相关计算
1.（2024黑龙江大庆） 如图所示，一个球恰好放在一个圆柱形盒子里，记球的体积为 ，圆柱形盒
子的容积为 ，则 ______．（球体体积公式： ，其中r为球体半径）
2. （2024云南省）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为
厘米，底面圆的半径为 厘米，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. 平方厘米 B. 平方厘米
C. 平方厘米 D. 平方厘米
3. （2024黑龙江齐齐哈尔）若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥
的高为______cm．
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4. （2024黑龙江绥化）用一个圆心角为 ，半径为 的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的
底面圆的半径为______ ．
5. （2024江苏盐城）已知圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积是______．
6. （2024山东烟台）如图，在边长为6的正六边形 中，以点F为圆心，以 的长为半
径作 ，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．
7. （2024广东） 综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【
素材】如图1所示：
①一张直径为 的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为 的圆锥形过滤漏斗．
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．
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【实践探索】
（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．
（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留 ）
考点3. 不规则图形的面积的计算
1. （2024四川遂宁）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直
径为 米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽 为 米，请计算出淤泥横截
面的面积（ ）
A. B. C. D.
2. （2024黑龙江大庆）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作
等边三角形 ；分别以点 ， ， 为圆心，以 的长为半径作 ， ， ．三段弧
所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为 ，则它的面积是______．
3. （2024黑龙江齐齐哈尔）如图， 内接于 ， 为 的直径， 于点D，将
沿 所在的直线翻折，得到 ，点D的对应点为E，延长 交 的延长线于点F．
（1）求证： 是 的切线；
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（2）若 ， ，求图中阴影部分的面积．
4. （2024山东枣庄）如图，在四边形 中， ， ，
．以点 为圆心，以 为半径作 交 于点 ，以点 为圆心，以
为半径作 所交 于点 ，连接 交 于另一点 ，连接 ．
（1）求证： 为 所在圆的切线；
（2）求图中阴影部分面积．（结果保留 ）
考点1. 弧长、扇形面积的计算
1．某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧， ， 所在圆的圆心为
O，点C，D分别在OA，OB上．已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝
120°，则弯道外边缘 的长为（ ）
A．8 m B．4 m C． m D． m
π π π π
2. 某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与 所在圆相切于点A，B．若该圆
半径是9cm，∠P＝40°，则 的长是（ ）
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A. cm B. cm C. cm D. cm
3. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆
曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为 ，曲线终点为 ，过点 的两条切线相交于
点 ，列车在从 到 行驶的过程中转角 为 ．若圆曲线的半径 ，则这段圆曲线
的长为（ ）．
A. B. C. D.
考点2. 圆柱、圆锥的相关计算
1．如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（ ）
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A． cm2 B． cm2 C．175πcm2 D．350πcm2
2．如图，圆锥的高是4，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是 （结果
保留 ）．
π
3. 如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为 ，母线长为 ，则烟囱帽的侧面积为_______
．（结果保留 ）
4．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长 为 ，扇形的圆心角
，则圆锥的底面圆半径 为__________ ．
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5．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为
20 cm，侧面积为240 cm2，则这个扇形的圆心角的度数是 度．
π π
6．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外
包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中 AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，
AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留
）
π
7.如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长
为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F．
（1）求由弧EF及线段FC.CB.BE围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥
侧面无重叠，求这个圆锥的高h．
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考点3. 不规则图形的面积的计算
1. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交弧AB于点E，以点O为圆
心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D，若OA＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． + D．
2. 如图，点A，B，C在 上， ，连接 ， ．若 的半径为3，则扇形
（阴影部分）的面积为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半
径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是 ．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝ ，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，
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交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则
图中阴影部分的面积为（ ）
A．8﹣ B．4﹣ C．2﹣ D．1﹣
5．如图π，直径AB＝6的半圆，绕πB点顺时针旋转30°，此时点A到了点A'，则图中阴影部分的面积
是（ ）
π 3π
A． B． C．π D．3π
2 4
6．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为^AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为
D、E．若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10π B．9π C．8π D．6π
7．如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA=√2，过^AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别
为D、E，则图中阴影部分的面积为（ ）
π 1 π 1
A．π﹣1 B． −1 C．π− D． −
2 2 2 2
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8．如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点
P，那么图中阴影部分的面积为 ．
9．如图，正六边形ABCDEF内接于 O，BE是 O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，
垂足为G． ⊙ ⊙
（1）求证：FG是 O的切线；
（2）已知FG＝2 ⊙，求图中阴影部分的面积．
10.如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝
30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．
18
