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2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第三章 函数
3.5 二次函数的应用
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 抛物线与线段长、 数学中考中，有关二次函数实际应用的部分，每年
☆☆
面积、角度 若考查会出现1道题,分值为3~10分，通常以选择
题、填空题、解答题的形式考查。对于这部分知识
考点2 二次函数的实际应 的复习需要学生熟练平时多训练，掌握解题技巧，
☆☆
用 会根据实际问题建立二次函数模型，求出函数解析
式，会求解二次函数极值，注意自变量取值范围，
考点3 二次函数图象中的 应用二次函数知识解答。
☆☆
斜三角形面积问题
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
夯实基础
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考点1. 抛物线与线段长、 面积、角度
此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有关动点函数图象的变化情况．
分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在
运动过程中对应的函数表达式，最后根据函数表达式判别图象的变化．
1.线段问题
（1）确定线段长关系式（根据已知线段关系求点坐标）：先在图中找出对应线段，弄清已知点和未
知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；继而表示出线段的
长度（如果该线段与坐标轴平行的话，则利用横纵坐标相加减确定；如果与坐标轴不平行的话，先
转化为有边在与坐标轴平行的三角形中，再利用勾股定理、锐角三角函数或相似确定）.
（2）线段数量关系问题：根据前面所得的线段长的关系式，结合题干列出满足线段数量关系的方程，
解方程求解即可（注意排除不符合题意的数值）
（3）线段最值问题：求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，首先联想到“对
称性质”，并进行解决。
2.面积问题
（1）设动点或图形运动的时间并表示出点的坐标；
（2）用含有未知数的代数式表示出图形的面积；
（3）用二次函数的知识来求最大值或最小值时，常采用配方法求解；
（4）特别注意，当所研究的图形在运动过程中发生变化，要根据图形的形状进行分类讨论，注意分
析整个过程中图形的变化情况，以防漏解.分类讨论时要注意在每一种情况下的自变量的取值范围.
求面积最值时，分别求出图形的面积在每种情况下的最值，比较即可得到面积的最值.
（5）面积为定值时，可将图形面积与图形中动点的坐标结合起来，列方程求得参数的值即可求得点
坐标.
3.角问题
将二次函数图像上的三角形三顶点坐标求出，可以求出三边长度，作高，利用三角函数的定义求出
角的正弦、或余弦、或正切值，最后得出角的大小。
考点2. 二次函数的实际应用
在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要
读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条
件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题．
主要考查的类型有：
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1. 几何图形的最大面积问题
（1）求出函数解析式和自变量的取值范围；
（2）配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
（3）检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
【提示】求几何图形最大最小面积时需要考虑两个方面
一个关键：依据常见几何图形的面积公式，建立函数关系式；
一个注意：最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定。
2. 商品利润最大问题
求解最大利润问题的一般步骤
（1）建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润
×销售量”
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
3. 拱桥问题和运动中的抛物线问题
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【重要提醒】求二次函数的最大（或最小）值思路
当自变量的范围有限制时，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的最值可以根据以下步
骤来确定：
1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.
2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围.
3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最
大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值.
考点3. 二次函数图象中的斜三角形面积问题
分别表示出三角形三个顶点坐标，再表示出三边的长度，分类讨论，列方程解出坐标.
通过作垂线，用勾股定理或相似建立等量关系求解三角形高，利用三角形面积公式求出其面积.
【易错点提示】二次函数存在点的问题
1. 解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出
该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其
他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，
否则该点不存在．
2. 函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次
函数综合题．
（1）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的
函数表达式，进而确定函数图象；
（2）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合
直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有
关的条件进行计算．
考点1 抛物线与线段长、 面积、角度
【例题1】（2024甘肃）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ，
两点，点 在 轴上，且 ， ， 分别是线段 ， 上的动点（点 ，
不与点 ， ， 重合）．
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（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接 并延长交抛物线于点 ，当 轴，且 时，求 的长；
（3）连接 ．
①如图2，将 沿 轴翻折得到 ，当点 在抛物线上时，求点 的坐标；
②如图3，连接 ，当 时，求 的最小值．
【变式练1】（2024山东泰安一模）在平面直角坐标系 中，直线 与x轴
交于点A，与抛物线 交于B，C两点（B在C的左边）．
（1）求A点的坐标；
（2）如图1，若B点关于x轴的对称点为 点，当以点A， ，C为顶点的三角形是直角三角形时，
求实数a的值；
（3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如 ， 等均为
格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26
个，求a的取值范围．
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【变式练2】（2024湖北一模）已知抛物线 与 轴交于点 和点 两点，与
轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 是抛物线上一动点（不与点 ， ， 重合），作 轴，垂足为 ，连接 ．
①如图1，若点 在第三象限，且 ，求点 的坐标；
②直线 交直线 于点 ，当点 关于直线 的对称点 落在 轴上时，求四边形
的周长．
考点2 二次函数的实际应用
【例题2】（2024甘肃威武）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，
如图2是棚顶的竖直高度y（单位： ）与距离停车棚支柱 的水平距离x（单位： ）近似满足
函数关系 的图象，点 在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下
避雨，货车截面看作长 ，高 的矩形，则可判定货车________完全停到车棚内
（填“能”或“不能”）．
【变式练1】（2024广州一模）如图1，是某次排球比赛中运动员垫球时的动作，垫球后排球的运动
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路线可近似地看作抛物线，在图2所示的平面直角坐标系中，运动员垫球时（图2中点 ）离球网
的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图2中点 ）越
过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图2中点 ）距球网的水平距
离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）．
A． B．
C． D．
【变式练2】（2024四川南充一模）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线
形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装
师傅调试发现，喷头高 时，水柱落点距O点 ；喷头高 时，水柱落点距O点 ．那
么喷头高______m时，水柱落点距O点 ．
考点3 二次函数图象中的斜三角形面积问题
【例题3】（2024江苏扬州）如图，已知二次函数 的图像与 轴交于 ，
两点．
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（1）求 的值；
（2）若点 在该二次函数的图像上，且 的面积为 ，求点 的坐标．
【变式练1】（2024湖北武汉一模）如图，已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过A（0，6），且对
称轴是直线x＝2.5．
（1）求该函数解析式；
（2）在抛物线上找点P，使△PBC的面积1，求出点P的坐标．
【变式练2】（2024广州一模）如图，抛物线 过点 、点 ，交y轴于
点C．
（1）求b，c的值．
（2）点 是抛物线上的动点
①当 取何值时， 的面积最大？并求出 面积的最大值；
②过点P作 轴，交 于点E，再过点P作 轴，交抛物线于点F，连接 ，问：
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是否存在点P，使 为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点1 抛物线与线段长、 面积、角度
1. （2024甘肃临夏）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ，作直线 ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点 是线段 上方的抛物线上一动点，过点 作 ，垂足为 ，请问线段
是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点 的坐标；若不存在请说明理由．
（3）如图2，点 是直线 上一动点，过点 作线段 （点 在直线 下方），已知
，若线段 与抛物线有交点，请直接写出点 的横坐标 的取值范围．
2. （2024甘肃威武）如图1，抛物线 交x轴于O， 两点，顶点为
．点C为 的中点．
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（1）求抛物线 的表达式；
（2）过点C作 ，垂足为H，交抛物线于点E．求线段 的长．
（3）点D为线段 上一动点（O点除外），在 右侧作平行四边形 ．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接 ， ，求 的最小值．
考点2 二次函数的实际应用
1. （2024四川自贡）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙
于点O（如图），其中 上的 段围墙空缺．同学们测得 m，
m， m， m， m．班长买来可切断的围栏 m，准备利用已有围墙，围出一
块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是________ ．
2. （2024广西）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度 是 ，出手后实心球沿
一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 ，高度是 ．若实心球落地点为M，则
______ ．
3. （2024深圳）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并
分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择
不同位置测量数据如下表所示，设 的读数为x， 读数为y，抛物线的顶点为C．
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（1）（Ⅰ）列表：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
x 0 2 3 4 5 6
2.2 6.2
y 0 1 4 9
5 5
（Ⅱ）描点：请将表格中的 描在图2中；
（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；
（2）如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为C，该数学兴趣小组用
水平和竖直直尺测量其水平跨度为 ，竖直跨度为 ，且 ， ，为了求出该抛物
线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数 平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式 为
．
①此时点 的坐标为________；
②将点 坐标代入 中，解得 ________；（用含m，n的式子表示）
方案二：设C点坐标为
①此时点B的坐标为________；
②将点B坐标代入 中解得 ________；（用含m，n的式子表示）
（3）【应用】如图4，已知平面直角坐标系 中有A，B两点， ，且 轴，二次函
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数 和 都经过A，B两点，且 和 的顶点P，Q距线
段 的距离之和为10，求a的值．
4. （2024武汉市）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．
火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级
沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，
垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 和直线 ．
其中，当火箭运行的水平距离为 时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为 ．
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 ，求这两个位置之间的距
离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过 ．
5. （2024贵州省）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不
低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
1
销售单价x/元 … 12 14 16 20 …
8
4
销售量y/盒 … 56 52 48 40 …
4
（1）求y与x的函数表达式；
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该
种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．
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6. （2024广东） 广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居
全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每
吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增
加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中
“元”为人民币）
7. （2024河南省）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度 满足关系式 ，其
中 是物体运动的时间， 是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从
地面竖直向上发射小球．
（1）小球被发射后_________ 时离地面的高度最大（用含 的式子表示）．
（2）若小球离地面的最大高度为 ，求小球被发射时的速度．
（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两
次间隔的时间为 ．”已知实验楼高 ，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
8. （2024湖北省）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，
篱笆长 ．设垂直于墙的边 长为 米，平行于墙的边 为 米，围成的矩形面积为 ．
（1）求 与 与 的关系式．
（2）围成的矩形花圃面积能否为 ，若能，求出 的值．
（3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时 的值．
9. （2024江苏盐城）请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样
式．
生 产 背景
背景 1 ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1
件，或“正”服装1件．
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◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：
①“风”服装：24元/件；
背景
②“正”服装：48元/件；
2
③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么
平均每件获利将减少2元．
现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：
每人每天加工量
服装种类 加工人数（人） 平均每件获利（元）
（件）
风 y 2 24
信息整理
雅 x 1
正 1 48
任务
探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
1
探 究 任务
建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务 2
任务
拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
3
考点3 二次函数图象中的斜三角形面积问题
1. （2024广州）已知抛物线 过点 和点 ，
直线 过点 ，交线段 于点 ，记 的周长为 ， 的周长为 ，
且 ．
（1）求抛物线 的对称轴；
（2）求 的值；
（3）直线 绕点 以每秒 的速度顺时针旋转 秒后 得到直线 ，当 时，直线
交抛物线 于 ， 两点．
①求 的值；
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②设 的面积为 ，若对于任意的 ，均有 成立，求 的最大值及此时抛物线 的
解析式．
考点1 抛物线与线段长、 面积、角度
1．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，
3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标）；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M
同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止
运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
2. 如图，抛物线y＝﹣ x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+ 交于B、C两点，点B的坐标
为（4，m）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称
轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；
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若不存在，请说明理由．
3. 在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，已知抛物线
与 轴交于点 ，抛物线的对称轴与 轴交
于点 ．
（1）如图，若 ，抛物线的对称轴为 ．求抛物线的解析式，并直接写出 时
的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若 为 轴上的点， 为 轴上方抛物线上的点，当 为等边三角形
时，求点 ， 的坐标；
（3）若抛物线 经过点 ， ， ，且 ，求正整数
m，n的值．
考点2 二次函数的实际应用
1．（2022甘肃威武）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行
路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 （单位：m）与飞行时间 （单位：s）
之间具有函数关系： ，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 _________s．
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2．有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩
形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为 x米．现决定在等腰梯形
AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种
植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为 20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉
的种植总成本为y元．
（1）当x＝5时，求种植总成本y；
（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．
（2022陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段 表示水平的路面，以O
为坐标原点，以 所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根
据设计要求： ，该抛物线的顶点P到 的距离为 ．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．
已知点A、B到 的距离均为 ，求点A、B的坐标．
4．如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中
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点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG = 2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积
为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；
（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此
时BE的长为多少米？
5. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行
路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动
员的竖直高度 （单位：m）与水平距离 （单位：m）近似满足函数关系 ．
某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离 与竖直高度 的几组数据如下：
水平距离x/m 0 2 5 8 11 14
竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系
记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d，第二次训练的着陆点
1
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的水平距离为 ，则 ______ （填“>”“=”或“<”）．
6. 如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边
AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规
定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）在隧道截面内（含边界）修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，
点 ， 在x轴上，MN与矩形 的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段 ， ，
，MN长度之和．请解决以下问题：
的
（ⅰ）修建一个“ ”型栅栏，如图2，点 ， 在抛物线AED上．设点 横坐标为
，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“ ”型或“ ”型栅型两种设计
方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形 面积的最大值，及取最大值时点 的横坐标
的取值范围（ 在 右侧）．
7．如图1是某篮球运动员在比赛中投篮，球运动的路线为抛物线的一部分，如图 2，球出手时离地
面约2.15米，与篮筐的水平距离4.5m，此球准确落入高为3.05米的篮筐．当球在空中运行的水平距
离为2.5米时，球恰好达到最大高度，则球在运动中离地面的最大高度为（ ）
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A．4.55米 B．4.60米 C．4.65米 D．4.70米
考点3 二次函数图象中的斜三角形面积问题
1．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速
度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当
△PBQ的面积为最大时，运动时间t为 s．
2．如图，在直角坐标系中，已知直线y=- x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，C点坐标为（﹣
2，0）．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）如果M为抛物线的顶点，联结AM、BM，求四边形AOBM的面积．
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接
BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上方的抛物线上的一点，连接PB，PC，求△PBC的面积的最大值以及此时点
P的坐标；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+3向右平移1个单位得到新抛物线，点M是新抛物线的对称轴上的一点，
N是新抛物线一动点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标．
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4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），
与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交
直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点
D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
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