文档内容
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专题 06 二次函数
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（5大模块知识梳理）
知识模块一：二次函数的相关概念
知识模块二：二次函数的图象与性质
知识模块三 二次函数与a，b，c之间的关系
知识模块四 二次函数与方程、不等式
知识模块五 二次函数的应用
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（9大考点）
考点一：二次函数的图象与性质
考点二：判断二次函数图象a，b，c之间的关系
考点三：二次函数含参问题
考点四：二次函数解析式的确定及图象变化
考点五：二次函数最值
考点六：二次函数与一元二次方程关系
考点七：二次函数与不等式关系
考点八：二次函数的实际应用
考点九：二次函数综合
04 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，冲刺高分。（5大易错点）
易错点一：忽略题目中的隐含条件
易错点二:混淆二次函数的增减性与一次函数的增减性
易错点三：考虑不全,导致出错
易错点四：求最值时忽略自变量的取值范围
易错点五： 忽略二次函数图象中二次项系数为负数导致出错
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知识模块一：二次函数的相关概念
知识点一：二次函数的概念
一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a是
二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。
注意：如果已说明该函数为二次函数,那么隐含条件为a≠0.
知识点二：二次函数解析式的确定
1.二次函数常见表达式
名称 解析式 适用范围
一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 已知抛物线上的无规律的三个点的坐标
顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数， 已知抛物线的顶点坐标或对称轴、最值
a≠0），顶点坐标是（h，k）
交点式 y＝a（x–x）（x–x） (a≠0) 已知抛物线与x 轴两交点坐标
1 2
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注意:抛物线与x轴交点的横坐标就是方
ax²+bx+c=0的解
相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化.
2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法.
2.对未给定二次函数解析式,根据所给点坐标选择适当的表达方式
(1)顶点在原点,可设为y=ax²
(2)对称轴是y轴(或顶点在y轴上),可设为y=ax²+c;
(3)顶点在x轴上,可设为y=a(x-h)²;
(4)抛物线过原点,可设为y=ax²+bx.
知识模块二：二次函数的图象与性质
知识点一：二次函数的图象与性质
二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线
的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
注意：
图象特征
二次函数图象的画法(1)依据解析式列表、描点、连线画出二次函数图象;(2)利用配方法
找出函数图象顶点;利用因式分解法或公式法找出图象与x轴的交点;利用一般式中的c值
找出图象与y轴的交点,画出简易的函数图象.
基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
y y y
y
y
h>0,k>0
a>0 k>0
h<0 h>0
x x x x
O
O O O h<0,k<0 O
图
象
y
y y
y y h<0,k>0
x x
x
O
O
a<0 O k<0 h<0 O h>0
h>0,k<0
x
O
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b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=−
2a
b
(− ，
2a
顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k)
4ac−b2
)
4a
b 4ac−b2
a>0 开口向上，顶点是最低点，当x=− 时 y 有最小值 ；
2a 4a
最
值
b 4ac−b2
a<0 开口向下，顶点是最高点，当x=− 时 时y有最大值 .
2a 4a
b b
在对称轴x=− 的左边y随x的增大而减小，在对称轴x=− 的右边y随x的增大而增
a>0 2a 2a
增 大.
减
性 b b
在对称轴x=− 的左边y随x的增大而增大，在对称轴x=− 的右边y随x的增大而减
a<0 2a 2a
小.
知识点二：二次函数的图象变换
1.二次函数的平移变换
总结：抛物线的平移规律左加右减自变量，上加下减常数项”
方法一:
(1)将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k,其顶点坐标为(h,k);
(2) 保持抛物线y=ax²的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处,
方法二:
(1)将抛物线y=ax²+bx+c沿y轴向上(或向下)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=ax²+bx+c+m(或y=ax²+bx+c-
m);
(3) (2)将抛物线y=ax²+bx+c沿x轴向左(或向右)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=a(x+m)²+b(x+m)+c(或
y=a(x-m)²+b(x-m)+c)具体平移方法如下:
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平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀
向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减
向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减
2.二次函数图象的翻折与旋转
变换前 变换方式 变换后 口诀
绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变
y=a(x-h)²+k
绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号
沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变
沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号
知识点三：二次函数的对称性问题
抛物线的对称性的应用，主要体现在：
1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标；
2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.
解题技巧：
b
1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=− 的差的绝对值相等；
2a
b
2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=− 对称；
2a
3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的
图象于x轴对称.
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知识模块三 二次函数与a，b，c之间的关系
关系 符号 图象特征
a决定抛物 a>0 开口向上 |a|越大，抛物线的开口小．
线的开口方
向
a<0 开口向下
a、b共同决 b=0 对称轴是y轴
定抛物线对
称轴的位置
ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异
ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧
c决定了抛 c=0 抛物线经过原点
物线与y轴
交点的位
c>0 抛物线与y轴交于正半轴
置．
c<0 抛物线与y轴交于负半轴
由b²-4ac 确 b²-4ac>0 抛物线与x轴有两个交点
定抛物线与x
b²-4ac=0 抛物线与x轴有一个交点
轴交点的个
数
b²-4ac＜0 抛物线与x轴没有交点
注意：当x=1时,y=a+b+c;当x=-1时,y=a-b+c.若a+b+c>0,即当x=1时y>0;若a-b+c<0,即当x=-1 时,y<0.
知识模块四 二次函数与方程、不等式
知识点一：二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的解就是二次函数y=ax2＋bx＋c=0图象与 x 轴交点的横坐标.
b2-4ac与 0的关系 二次函数与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0根的情
况
b2-4ac>0 2个交点 有两个不相等的实数根
b2-4ac=0 1个交点 有一个不相等的实数根
b2-4ac<0 0个交点 没有实数根
知识点二：二次函数与不等式的关系（以a大于0为例）
不等式以a大于0为 图象 观察方法 解集
例
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ax2＋bx＋c>0 函数y=ax²+bx+c的 xx
1 2
的解集情况 图象位于x轴上方时
对应的自变量的取值
范围
ax2＋bx＋c<0 函数y=ax²+bx+c的 x1时， 随 的增大而减小；
④关于 的一元二次方程 的另一个根是 ；
⑤ 的取值范围为 ．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结论④；
利用结论④及题中条件 可求得 的取值范围，再由结论② 可得 取值范围，判断⑤是否
正确．
【详解】解：由图可得： ，对称轴 ，
，
，①错误；
由图得，图象经过点 ，将 代入y=ax2+bx+c可得 ，
，②正确；
该函数图象与 轴的另一个交点为 ，且 ，
对称轴 ，
该图象中，当 时， 随着 的增大而减小，当 时， 随着 的增大而增大，
当x>1时， 随着 的增大而减小，
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③正确；
， ，
关于 的一元二次方程 的根为
，
，
， ，
④正确；
，即 ，
解得 ，
即 ，
，
，
⑤正确．
综上，②③④⑤正确，共 个．
故选： ．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与 轴的交点问题、一元二次方程的根与系
数的关系、二次函数与不等式的关系等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
【典例2】（2024·四川眉山·二模）若抛物线 经过 和 两点，开口向上，且与 轴
有两个交点，则 的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，待定系数法将二次函数的解析式转化为只含参数
的解析式，根据抛物线的开口向上，与 轴有两个交点，列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：∵抛物线 经过 和 两点，
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∴ ，解得： ，
∴ ，
∵抛物线的开口向上，且与 轴有两个交点，
∴ ，解得： 或 ；
故答案为： 或 ．
【典例3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知二次函数 （a是常数，且 ），
（1）若点 在该函数的图象上，则a的值为 ；
（2）当 时，若 ，则函数值y的取值范围是 ．
【答案】 2
【分析】本题考查了待定系数法，抛物线的对称轴，增减性，解不等式，熟练掌握抛物线的性质是解题的
关键．
（1）把 代入函数解析式计算即可；
（2）根据抛物线开口向，结合对称轴，利用函数的增减性列出不等式计算即可．
【详解】解：（1）∵点 在二次函数 的图象，
∴ ，
解得 ；
（2）当 时，
∵ ，
∴抛物线开口向下，
∴当 时，y有最大值4，
又当 时， ，
当 时， ．
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∴当 时，函数值y的取值范围是 ．
【典例4】（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表：
下列结论： ； 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根； 当 时，
的取值范围为 ； 若点 ， 均在二次函数图象上，则 ； 满足
的 的取值范围是 或 ．其中正确结论的序号为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出 的值即可判断 ；利用根的判
别式即可判断 ；利用二次函数的性质可判断 ；利用对称性可判断 ；画出函数图形可判断 ；掌握
二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：把 ， ， 代入 得，
，
解得 ，
∴ ，故 正确；
∵ ， ， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，故 正确；
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∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
又∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，当 时，函数取最大值 ，
∵ 与 时函数值相等，等于 ，
∴当 时， 的取值范围为 ，故 错误；
∵ ，
∴点 ， 关于对称轴 对称，
∴ ，故 正确；
由 得 ，
即 ，
画函数 和 图象如下：
由 ，解得 ， ，
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∴ ， ，
由图形可得，当 或 时， ，即 ，故 错误；
综上，正确的结论为 ，
故答案为： ．
考点八：二次函数的实际应用
【典例1】（2024·山东济南·中考真题）如图1， 是等边三角形，点 在边 上， ，动点
以每秒1个单位长度的速度从点 出发，沿折线 匀速运动，到达点 后停止，连接 ．设点 的
运动时间为 ， 为 ．当动点 沿 匀速运动到点 时， 与 的函数图象如图2所示．有以下四
个结论：
① ；
②当 时， ；
③当 时， ；
④动点 沿 匀速运动时，两个时刻 ， 分别对应 和 ，若 ，则 ．其中
正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④
【答案】D
【分析】由图知当动点 沿 匀速运动到点 时， ，作 于点 ，利用解直角三角形和
勾股定理，即可得到 ，即可判断①，当 时，证明 是等边三角形，即可判断②，当 时，
且 时， 最小，求出最小值即可判断③，利用勾股定理分别表示出 和 进行比较，即可判断
④．
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【详解】解：由图知当动点 沿 匀速运动到点 时， ，
作 于点 ，
是等边三角形，点 在边 上， ，
， ，
， ，
，
，
故①正确；
当 时， ， ，
，
是等边三角形，
，
，
故②正确；
当 时，且 时， 最小，
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， ，
，
最小为 ，即 能取到 ，
故③错误；
动点 沿 匀速运动时，
， ，
， ， ，
；
当 时， ， ，
；
，
；
故④正确；
综上所述，正确的有①②④，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数综合，等边三角形性质，解直角三角形，勾股定理，涉及到动点问题、读懂
函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解本题的关键．
【典例2】（2024·黑龙江大庆·中考真题）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅
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销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的 天中，第 天 且 为整数)的售价
为 (元 千克)．当 时， ；当 时， ．销量 (千克)与 的函数关系式为
，已知该产品第10天的售价为 元 千克，第 天的售价为 元 千克，设第 天的销售额为
(元)．
(1) ， _____；
(2)写出第 天的销售额 与 之间的函数关系式；
(3)求在试销售的 天中，共有多少天销售额超过 元？
【答案】(1) ，
(2)
(3)在试销售的 天中，共有 天销售额超过 元
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据销售额等于销量乘以售价，分段列出函数关系式，即可求解；
（3）根据题意，根据 ，列出方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，将 ， 代入 ，
∴
解得：
∴
故答案为： ， ．
（2）解：依题意，
当 时，
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当 时，
∴
（3）解：依题意，当 时，
当 时，
解得：
为正整数，
∴第 天至第 天，销售额超过 元
（天）
答：在试销售的 天中，共有 天销售额超过 元
【典例3】（2024·贵州·模拟预测）如图①，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口 离地面竖直
高度 为 ．如图②，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分
图象，把绿化带横截面抽象为矩形 ，其水平宽度 ，竖直高度 ．内边缘抛物线
是由外边缘抛物线 向左平移得到，外边缘抛物线 的最高点 离喷水口的水平距离为 ，高出喷水口
．
(1)求外边缘抛物线 的函数表达式；
(2)求内边缘抛物线 与 轴的正半轴交点 的坐标；
(3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求 的取值范围．
【答案】(1)
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(2)点 的坐标为
(3) 的取值范围是
【分析】本题主要考查了二次函数是实际应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及数形结合的思
想是解题的关键．
（1）根据题意可得 是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点 ，用顶点式即可求解函数解析式；
（2）根据 对称轴为直线 可得点 的对称点为 ，则 是由 向左平移 得到的，即可
求出点B的坐标；
（3）如图：当 时，可得点 的纵坐标为 ；令则 结合 可得 ；由当
时，则 随 的增大而减小，然后分 、 、 三种情况确定x的取值范围，进而确定
的最大值和最小值即可解答．
【详解】（1）解：由题意得 是外边缘抛物线的顶点，
设 ．
又 抛物线过点 ，
，
，
外边缘抛物线的函数表达式为 ．
（2）解： 的对称轴为直线 ，
点 的对称点为 ，
是由 向左平移 得到的，
．
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令 ，即 ，解得 或 （舍去），
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ．
（3）解： ，
点 的纵坐标为 ，
令 ，即 ，解得： ．
，
．
当 时， 随 的增大而减小，
当 时，要使 ，则 ．
当 时， 随 的增大而增大，且 时， ，
当 时，要使 ，则 ．
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
的最大值为 ．
喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是 ，
的最小值为2．
综上所述， 的取值范围是 ．
【典例4】（2024·甘肃兰州·中考真题）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图
1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，
同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号
水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面 的竖直高度 与离发射点O的
水平距离 的几组关系数据如下：
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2
水平距离 0 3 4 10 15 22 27
0
竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24
(1)根据上表，请确定抛物线的表达式；
(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为 时，水火箭距离地面的竖直高度．
【答案】(1)抛物线的表达式
(2)水火箭距离地面的竖直高度 米
【分析】本题主要考查二次函数的性质，
根据题意可设抛物线的表达式 ，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为 ，代入求
解即可；
由题意知 ，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度．
【详解】（1）解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式 ，
由表格得抛物线的顶点坐标为 ，则 ，解得 ，
则抛物线的表达式 ，
（2）解：由题意知 ，则 ，
那么，水火箭距离地面的竖直高度 米．
【典例5】（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索 与缆索 均呈
抛物线型，桥塔 与桥塔 均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线 为x轴，以桥塔 所
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在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
已知：缆索 所在抛物线与缆索 所在抛物线关于y轴对称，桥塔 与桥塔 之间的距离 ，
，缆索 的最低点P到 的距离 （桥塔的粗细忽略不计）
(1)求缆索 所在抛物线的函数表达式；
(2)点E在缆索 上， ，且 ， ，求 的长．
【答案】(1) ；
(2) 的长为 ．
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的
关键．
（1）根据题意设缆索 所在抛物线的函数表达式为 ，把 代入求解即可；
（2）根据轴对称的性质得到缆索 所在抛物线的函数表达式为 ，由 ，把
代入求得 ， ，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得顶点P的坐标为 ，点A的坐标为 ，
设缆索 所在抛物线的函数表达式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
∴缆索 所在抛物线的函数表达式为 ；
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（2）解：∵缆索 所在抛物线与缆索 所在抛物线关于y轴对称，
∴缆索 所在抛物线的函数表达式为 ，
∵ ，
∴把 代入得， ，
解得 ， ，
∴ 或 ，
∵ ，
∴ 的长为 ．
【典例6】（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的
矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：
m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位： )．
(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；
(2)矩形实验田的面积S能达到 吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
【答案】(1) ，
(2)
(3)当 时，实验田的面积S最大，最大面积是
【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算 的取值范围是解题的关键．
（1）根据 ，求出 与 的函数解析式，根据矩形面积公式求出 与 的函数解析式；
（2）先求出 的取值范围，再将 代入函数中，求出 的值；
（3）将 与 的函数配成顶点式，求出 的最大值．
【详解】（1）解： ，
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，
，
；
（2） ，
，
，
，
当 时， ，
，
，
，
当 时，矩形实验田的面积 能达到 ；
（3） ，
当 时， 有最大值 ．
考点九：二次函数综合
【典例1】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数 的图像与二次函数
的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数 的图像上的动点，且位于直
线 的下方，连接 、 ．
(1)求b、c的值；
(2)求 的面积的最大值．
【答案】(1)
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(2)最大值为8
【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键．
（1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c；
（2）由（1）可得： ，设 ，作 交 于E，则 ，则
，得出面积，即可解答．
【详解】（1）解：当 时， ；当 时， ，
则 ， ，
则 ，
解得： ；
（2）解：由（1）可得： ，设 ，作 交 于E，
则 ，则 ，
∴ ，
当 时，最大值为8．
【典例2】（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ，
两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使 有最大值？若
存在，求出 的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接 ，过点M作 交直线l于点N．若
，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2) 存在最大值；最大值为
(3)点M的坐标为 或 或 或
【分析】（1）把 ， 代入抛物线求出a、b的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）先求出点C的坐标为(0,3)，连接 、 、 ，根据轴对称的性质得出 ，
，得出当 最大时， 最大，根据当点A、C、P三点在同一直线上时，
最大，即当点P在点 时， 最大，求出最大值即可；
（3）过点M作 轴，过点C作 于点D，过点N作 于点E，设点M的坐标为：
，得出 ， ，证明 ，得出
，从而得出 ，分四种情况：当 时，当 时，当 时，
当 时，分别求出点M的坐标即可．
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【详解】（1）解：把 ， 代入 得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解： 存在最大值；
把 代入 得： ，
∴点C的坐标为(0,3)，
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
连接 、 、 ，如图所示：
∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上，
∴ ，
∴ ，
∴当 最大时， 最大，
∴当点A、C、P三点在同一直线上时， 最大，即当点P在点 时， 最大，
∴ 最大值为： ．
（3）解：过点M作 轴，过点C作 于点D，过点N作 于点E，如图所示：
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
设点M的坐标为： ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ， ，则：
，
解得： ， （舍去），
此时点M坐标为： ；
当 时， ， ，则：
，
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解得： （舍去），
此时点M坐标为： ；
当 时， ， ，则：
，
解得： ， （舍去），
此时点M坐标为： ；
当 时， ， ，则：
，
解得： ， （舍去），
此时点M坐标为： ；
综上分析可知：点M坐标为： 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，解
直角三角形的相关计算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握
相关的判定和性质，注意进行分类讨论．
【典例3】（2024·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 经过 ，
两点，与 轴交于点 ，点 是抛物线上一动点，且在直线 的上方．
(1)求抛物线的表达式．
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(2)如图1，过点 作 轴，交直线 于点 ，若 ，求点 的坐标．
(3)如图2，连接 ， 与 交于点 ，过点 作 交 于点 ．记 、 、
的面积分别为 ．当 取得最大值时，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）令 时， ，求出 ，进一步求出直线 的解析式为 ，设
，则 ，表示出 ， ，利用 ，可得 ，
可得 ；
（3）由 得到 ，进而得到 ，作 交y轴于N，作 轴交
于Q，求出直线 的解析式为 ，进而得到 ，求出 ，再证明 ，
设 ，则 ，得到 ，得到 ，即可得
到此时，点P的坐标为 ，点Q的坐标为 ，求出 ，
，证明 ，得到 ，由
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即可求出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于点 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式为． ；
（2）解：∵当 时， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∵ 轴于点D，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ， （此时 ， 重合，不合题意舍去），
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∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
，
∴ ，
，
作 交y轴于N，作 轴交 于Q，
直线 的解析式为 ， ，
直线 的解析式为 ，
将 代入 ，得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
，
∴ , ，
， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
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，
设 ，则 ，
∴ ，
，
∴当 时， 有最大值 ，
此时 ， ，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定和
性质、二次函数的图象和性质、解直角三角形等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
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【典例4】（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点
，顶点为 ；抛物线 ，顶点为 ．
(1)求抛物线 的表达式及顶点 的坐标；
(2)如图1，连接 ，点 是拋物线 对称轴右侧图象上一点，点 是拋物线 上一点，若四边形
是面积为12的平行四边形，求 的值；
(3)如图2，连接 ，点 是抛物线 对称轴左侧图像上的动点（不与点 重合），过点 作
交 轴于点 ，连接 ，求 面积的最小值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线 的解析式，再转化为顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）连接 ，过点 作 轴，交 延长线于点 ，过点 作 ，垂足为 ，与 轴交于
，设点 的横坐标为 ．设直线 的表达式为 ，解方程组得到直线 的表达式为 ，
则 ，求得 ，求得 于是得到
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，解方程得到 ，根据平移的性质得到 ，将 代
入 ，解方程即可；
（3）过 作 轴，垂足为 ，过点 作 轴，过点 作 轴，与 交于点 ，设
且 ，求得抛物线 的顶点 ，得到
，推出 ，解方程得到当 时， ，根据三角形的面积
公式即可得到结论．
【详解】（1）解： 抛物线 过点
得
解得
抛物线 的表达式为
顶点 ；
（2）解：如图，连接 ，过点 作 轴，交 延长线于点 ，过点 作 ，垂足为 ，
与 轴交于 ，设点 的横坐标为 ．
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设直线 的表达式为
由题意知
解得
直线 的表达式为
的面积为12
，
，
解得 （舍）
点 先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点
将 代入
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得
解得 ．
（3）解：如图，过 作 轴，垂足为 ，过点 作 轴，过点 作 轴，与 交于
点 ，设 且
抛物线 的顶点
，
易得
当 时，
点 横坐标最小值为 ，此时点 到直线 距离最近， 的面积最小
最近距离即边 上的高，高为：
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面积的最小值为 ．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，平移的性质，
等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地找出辅助线是解题的关键．
【典例5】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线
与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线 与x轴的另一个
交点为点 ，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交
直线 于点E，点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是x轴上的任意一点，若 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)当 时，求点P的坐标；
(4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接
，则 的最小值为______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的
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关键．
（1）先根据题意确定点A、C的坐标，然后运用待定系数法求解即可；
（2）分三种情况分别画出图形，然后根据等腰三角形的定义以及坐标与图形即可解答；
（3）先证明 可得 ，设 ，则 ,
可得 ，即 ，求得可得m的值，进而求得点P的坐标；
（4）如图：将线段 向右平移 单位得到 ,即四边形 是平行四边形，可得
,即 ，作 关于对称轴 的点 ,则 ，由两点间的
距离公式可得 ，再根据三角形的三边关系可得 即可解答．
【详解】（1）解：∵直线 与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；
∵ ，
∴设抛物线的解析式为 ，
把 代入可得： ，解得： ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为： ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ,
∴ ，
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如图：当 ，
∴ ,即 ；
如图：当 ，
∴ ,即 ；
如图：当 ，
∴ ,即 ；
综上，点D的坐标为 ．
（3）解：如图：∵ 轴，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ ,
∵设 ，则 ,
∴ ，
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∴ ，解得： （负值舍去），
当 时， ，
∴ ．
（4）解： ∵抛物线的解析式为： ，
∴抛物线的对称轴为：直线 ，
如图：将线段 向右平移 单位得到 ,
∴四边形 是平行四边形，
∴ ,即 ,
作 关于对称轴 的点 ,则
∴ ,
∵ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为 ．
【典例6】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 ， 两
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点． 点坐标为 ，与 轴交于点 ，点 为抛物线顶点，点 为AB中点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线 上方的抛物线上存在点 ，使得 ，求点 的坐标；
(3)已知 ， 为抛物线上不与 ， 重合的相异两点．
①若点 与点 重合， ，且 ，求证： ， ， 三点共线；
②若直线AD， 交于点 ，则无论 ， 在抛物线上如何运动，只要 ， ， 三点共线， ，
， 中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明
理由．
【答案】(1)
(2)
(3)①见解析；② 的面积为定值
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据题意得出 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴于点 ，则
是等腰直角三角形，根据 ，建立方程，解方程，即可求解；
（3）①根据题意得出 ，得出直线 的解析式为 ，联立 得出 ，
在直线 上；②设 ， ，设 的解析式y=k(x−1)，联立抛物线解析式，可得
，根据题意，设直线 解析式为 ，直线 的解析式为 ，
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求得 到 轴的距离是定值，即可求解．
【详解】（1）解：将 ， 代入 得，
解得：
∴抛物线解析式为
（2）解：对于 ，令 ，
解得：
∴
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
如图所示，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴于点 ，
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
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设 ，则
∴ ，
∴
解得： （舍去）或
∴
（3）①点 与点 重合，则 ，
∵点 为AB中点， ，
∴ ,
设直线 的解析式为y=kx+b(k≠0)，代入 ,
∴
解得：
∴
联立
解得： 或
∴ ，在直线 上
即 ， ， 三点共线；
②设 ，
∵ ， ， 三点共线；
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∴设 的解析式y=k(x−1)，
联立
消去 得，
∴
∵ ，
设直线 解析式为 ，直线 的解析式为
联立
解得：
∴
∵ ，
∴ ，
∴
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而 不为定值，
∴ 在直线 上运动，
∴ 到 轴的距离为定值 ，
∵直线AD， 交于点 ，则无论 ， 在抛物线上如何运动，只要 ， ， 三点共线， ，
， 中必存在面积为定值的三角形， 到 的距离是变化的，
∴ 的面积为 是定值．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元
二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【典例7】（2024·山东淄博·中考真题）如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点
（点 在点 的左侧），其中 ， 是方程 的两个根，抛物线与 轴相交于点 ．
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(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)已知直线 与 ， 轴分别相交于点 ， ．
①设直线 与 相交于点 ，问在第三象限内的抛物线上是否存在点 ，使得 ？若存在，
求出点 的坐标；若不存在，说明理由；
②过抛物线上一点 作直线 的平行线．与抛物线相交于另一点 ．设直线 ， 相交于点 ．连接
， ．求线段 的最小值．
【答案】(1)
(2)① ；②线段 的最小值为
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程得出 ， ，再利用待定系数法求解即可；
（2）①在 中，令 得出 ，在 中，令 得出 ，从而得出
，即 ，待定系数法求得直线 的解析式为 ，联立 ，
得出 ，作 轴于 ，则 ， ， ，求出
， ，由正切的定义得出 ，证明 ，得出
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，求出直线 的解析式为 ，联立 ，计算即可得解；
②设M(x ,y )，N(x ,y )，设直线 的解析式为： ，求出直线 的解析式为 ，
1 1 2 2
直线 的解析式为 ；联立 得： ，由韦达定理得出 ，
将M(x ,y )代入 ， 得 ，求出 ，同理可得 ，
1 1
联立 ，得出 ，推出点 在直线 上运动，求出 ，作点 关于直线 的对
称点 ，连接 交直线 于 ，连接 ，则 ，由轴对称的性质可得 ，则
，由两点之间线段最短可得：线段 的最小值的最小
时为 ，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵抛物线 与 轴相交于 ， 两点，
∴ ，
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解得： ，
∴该抛物线对应的函数表达式为 ；
（2）解：①在 中，令 ， ，解得 ，即 ，
在 中，令 ，则 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入解析式得 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，解得 ，
∴ ，
如图，作 轴于 ，则 ， ， ，
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，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入 得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得： 或 ，
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∵点 在第三象限，
∴ ；
②∵过抛物线上一点 作直线 的平行线．与抛物线相交于另一点 ．
∴设M(x ,y )，N(x ,y )，设直线 的解析式为： ，
1 1 2 2
设直线 的解析式为 ，
将 代入得 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入得 ，
∴直线 的解析式为 ；
联立 得： ，
∴ ，
将M(x ,y )代入 ， 得 ，
1 1
∴ ，
∴ ，
解得： ，
将N(x ,y )代入 ， 得 ，
2 2
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∴ ，
∴ ，
解得： ，
联立 ，
得出 ，
∴点 在直线 上运动，
在 中，令 ，则 ，即 ，
如图，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于 ，连接 ，则 ，
，
由轴对称的性质可得 ，
∴ ，
∴由两点之间线段最短可得：线段 的最小值的最小时为 ，
∵ ，
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∴线段 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形、轴对称—线段最短问题、勾股定理、
二次函数的图象与性质、求一次函数解析式、二次函数与一元二次方程、等腰直角三角形的判定与性质等
知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键，此题难度较大，属于中考
压轴题．
易错点一：忽略题目中的隐含条件
1.如果函数y=(k−3)xk2−3k+2+kx+1是二次函数,那么k的值是 。
正解: k2−3k+2=2， k2−3k=0，k（k−3）=0，k=0或k=3；
又k-3≠0，所以k≠3.所以k=0.故答案为 0.
易错点二:混淆二次函数的增减性与一次函数的增减性
2.若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(mA,n),B(0,y ),C(3−m,n),D(√2,y ),E(2,y ),
1 2 3
¿
则y ,y ,y 的大小关系是（）
1 2 3
A.y 0,所以y >y >y 故 选D
1 2 3 1 3 2
易错点三：考虑不全,导致出错
3.已知二次函数y=ax2+4x+a−1的最小值为2,则a的值为（）
A.3 B.−1 C.4 D.4或−1
正解:因为二次函数y=ax2+4x+a−1有最小值,所以a>0,所以a=4.故选 C.
易错点四：求最值时忽略自变量的取值范围
4.已知0≤x≤2,则函数y=x2+x+1（）
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3 3
A.有最小值 ，但无最大值B.有最小值 ，有最大值7
4 4
C.有最小值1,有最大值7D.无最小值也无最大值
正解:因为当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，所以当x=0时，y最小值=1;当x=2时，y最大值=7.故选 C.
易错点五： 忽略二次函数图象中二次项系数为负数导致出错
5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则2a−b 0(填“>”“<”或“=”)。
b
正解:因为抛物线的对称轴在点(-1,0)的右边，所以− ＞−1
2a
因为 a<0,所以b>2a，所以 2a-b<0.故答案为<.
132
