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专题 13 二次函数的应用综合过关检测
（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．在2022年的卡塔尔世界杯中，阿根廷守门员马丁内斯表现突出，他大脚开出去的球的高度与球在空中
运行时间的关系，用图象描述大致是如图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：足球守门员马丁内斯大脚开出去的球，高度与时间成二次函数关系，
故选：A．
2．一枚炮弹射出x秒后的高度为y米，且y与x之间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）若此炮弹在第3.2秒与
第5.8秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第3.3秒 B．第4.5秒 C．第5.2秒 D．第4.3秒
【答案】B
【解答】解：∵炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴为x＝4.5．
故选：B．
3．如图所示，赵州桥的桥拱用抛物线的部分表示，其函数的关系式为 ，当水面宽度AB为20m
时，此时水面与桥拱顶的高度DO是（ ）
A．4m B．2m C．9m D．10m
【1 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】A
【解答】解：根据题意B的横坐标为10，
将x＝10代入 得：y＝﹣4，
∴B（10，﹣4），
即水面与桥拱顶的高度DO等于4m．
故选：A．
4．某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每
提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝x（100﹣x） B．y＝x（100﹣6x）
C．y＝（100﹣x）（15+x） D．y＝（100﹣6x）（15+x）
【答案】D
【解答】解：根据题意得，y＝（100﹣6x）（15+x），
故选：D．
5．某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣ t2+30t+1．若这种礼炮在点火升空到
最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A．6s B．7s C．8s D．9s
【答案】A
【解答】解：h＝﹣ t2+30t+1
＝﹣ （t﹣6）2+91，
∵﹣ ＜0
∴这个二次函数图象开口向下．
∴当t＝6时，升到最高点．
故选：A．
6．如图1是某篮球运动员在比赛中投篮，球运动的路线为抛物线的一部分，如图2，球出手时离地面约
2.15米，与篮筐的水平距离4.5m，此球准确落入高为3.05米的篮筐．当球在空中运行的水平距离为2.5
米时，球恰好达到最大高度，则球在运动中离地面的最大高度为（ ）
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A．4.55米 B．4.60米 C．4.65米 D．4.70米
【答案】C
【解答】解：根据题意得：抛物线过点（0，2.15）和（4.5，3.05），对称轴为直线x＝2.5，
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣2.5）2+k（a≠0），
把（0，2.15）和（4.5，3.05）代入解析式得：
解得 ，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.4（x﹣2.5）2+4.65，
∵﹣0.4＜0，
∴函数的最大值为4.65，
∴球在运动中离地面的最大高度为4.65m，
故选：C．
7．如图，△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s
的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达
终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是（ ）
A．8cm2 B．16cm2 C．24cm2 D．32cm2
【答案】B
【解答】解：根据题意
沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，
∴AP＝2t，AQ＝t，
S△APQ ＝t2，
【3 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵0＜t≤4，
∴三角形APQ的最大面积是16．
故选：B．
8．某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋 ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面
与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度 AB为40米，桥拱的最大高度CD为16米（不考
虑灯杆和拱肋的粗细），则与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度为（ ）
A．13米 B．14米 C．15米 D．16米
【答案】C
【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，
设抛物线表达式为y＝ax2+16，
由题意可知，B的坐标为（20，0），
∴400a+16＝0，
∴a＝﹣ ，
∴y＝﹣ x2+16，
∴当x＝5时，y＝15．
∴与CD距离为5米的景观灯杆MN的高度为15米，
故选：C．
9．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：
①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝
【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解答】解：①∵二次函数与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴二次函数的对称轴为直线x＝ ＝1，即﹣ ＝1，
∴2a+b＝0．
故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0．
又∵b＝﹣2a．
∴3b＝﹣6a，a﹣（﹣2a）+c＝0．
∴3b＝﹣6a，2c＝﹣6a．
∴2c＝3b．
故②错误；
③∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1．
∴x＝1时，二次函数有最小值．
∴m≠1时，a+b+c＜am2+bm+c．
即a+b＜am2+bm．
故③正确；
④∵AD＝BD，AB＝4，△ABD是等腰直角三角形．
∴AD2+BD2＝42．
【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得，AD2＝8．
设点D坐标为（1，y）．
则[1﹣（﹣1）]2+y2＝AD2．
解得y＝±2．
∵点D在x轴下方．
∴点D为（1，﹣2）．
∵二次函数的顶点D为（1，﹣2），过点A（﹣1，0）．
设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2．
∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣2．
解得a＝ ．
故④正确；
⑤由图象可得，AC≠BC．
故△ABC是等腰三角形时，a的值有2个．（故⑤错误）
故①③④正确，②⑤错误．
故选：C．
10．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED
﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时
出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部
分），则下列结论：①AD＝BE＝5；② ；③当0＜t≤5时， ；④当 秒时，
△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④
【6 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】C
【解答】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时，点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝BE＝5，故①小题正确；
又∵从M到N的变化是2，
∴ED＝2，
∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3，
在Rt△ABE中，AB＝ ＝ ＝4，
∴cos∠ABE＝ ＝ ，故②小题错误；
过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠PBF，
∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝ ＝ ，
∴PF＝PBsin∠PBF＝ t，
∴当0＜t≤5时，y＝ BQ•PF＝ t• t＝ t2，故③小题正确；
当t＝ 秒时，点P在CD上，此时，PD＝ ﹣BE﹣ED＝ ﹣5﹣2＝ ，
PQ＝CD﹣PD＝4﹣ ＝ ，
∵ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
又∵∠A＝∠Q＝90°，
∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．
综上所述，正确的有①③④．
故选：C．
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二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。
11．一辆汽车刹车后行驶的距离 s（单位：m）关于行驶的时间 t（单位：s）的函数解析式是 s＝﹣
2t2+18t，则汽车刹车后最远可以行驶 40. 5 m．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵s＝﹣2t2+18t＝﹣2（t﹣4.5）2+40.5，
∴汽车刹车后到停下来前进了40.5m，
故答案为：40.5．
12．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是：
h＝30t﹣5t2，这个函数图象如图所示，则小球从第3s到第5s下降的高度为 2 0 m．
【答案】20．
【解答】解：由题意可知，第3s时小球达到最高点，此时小球距离地面45m，然后小球开始竖直下落，
当t＝5时，h＝30×5﹣5×52＝150﹣125＝25m，
故则小球从第3s到第5s下降的高度为20m，
故答案为：20．
13．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为 y＝﹣
【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这
两盏灯的水平距离EF是 8 米．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：令y＝8，即y＝﹣ x2+10＝8，
解得：x＝±4 ，
∴则EF＝4 ﹣（﹣4 ）＝8 （米）．
14．“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干
个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P，AB＝2m，BP＝9m，水嘴高AD＝5m，则水柱
落地点C到水嘴所在墙的距离AC是 5 m．
【答案】5．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵顶点P（2，9），
∴y＝a（x﹣2）2+9，
把D（0，5）代入y＝a（x﹣2）2+9得，
4a＝﹣4，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+9，
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当y＝0时，即﹣（x﹣2）2+9＝0，
解得x＝5，x＝﹣1（不合题意舍去），
∴水柱落地点C到水嘴所在墙的距离AC是5；
故答案为：5．
15．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，
点Q从点B开始沿BC向C点以1cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积
为最大时，运动时间t为 2 s．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得三角形面积为：
S＝ （8﹣2t）t＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
∵由以上函数图象知
∴当t＝2时，△PBQ的面积最大为4cm2．
16．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果
按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加
2件，若将每件商品售价定为x元，日销售量设为y件．当x为 5 5 时，每天的销售利润最大，最大
利润是 45 0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得：y＝20+2（60﹣x）＝﹣2x+140，
设每天销售利润为w元，
依题意得：w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣2x+140）
＝﹣2x2+220x﹣5600
＝﹣2（x﹣55）2+450，
∵﹣2＜0，
∴当x＝55时．每天的销售利润最大，最大利润是450元．
故答案为：55，450．
三、解答题（本题共6题，共58分）。
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17．（8分）某商店经销一种销售成本为30元/kg的水产品，据市场分析：若按50元/kg销售，一个月能售
出300kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg．设售价为x元/kg（x＞50），月销售量为ykg．
（1）求月销售量y与售价x之间的函数表达式；
（2）当售价定为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）月销售量y与售价x之间的函数表达式是y＝﹣10x+800；
（2）当售价定为55元时，月销售利润最大，最大利润是6250元．
【解答】解：（1）由题意可得，y＝300﹣（x﹣50）×10＝﹣10x+800，
即月销售量y与售价x之间的函数表达式是y＝﹣10x+800；
（2）设利润为w元，
由题意可得w＝（x﹣30）（﹣10x+800）＝﹣10（x﹣55）2+6250．
当x＝55时，w取得最大值，此时w＝6250，
答：当售价定为55元时，月销售利润最大，最大利润是6250元．
18．（8分）卡塔尔世界杯完美落幕．在一场比赛中，球员甲在离对方球门30米处的O点起脚吊射（把球
高高地挑过守门员的头顶，射入球门），假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门 14米时，足球达
到最大高度8米．如图所示，以球员甲所在位置O点为原点，球员甲与对方球门所在直线为x轴，建立
平面直角坐标系．
（1）求满足条件的抛物线的函数表达式；
（2）如果葡萄牙球员C罗站在球员甲前3米处，C罗跳起后最高能达到2.88米，那么C罗能否在空中
截住这次吊射？
【答案】（1）y＝﹣ （x﹣16）2+8；
（2）能．
【解答】解：（1）由题意可得，足球距离点O（30﹣14）＝16米时，足球达到最大高度8米，
设抛物线解析式为：y＝a（x﹣16）2+8，
把（0，0）代入解析式得：0＝a（0﹣16）2+8，
解得：a＝﹣ ，
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故抛物线解析式为：y＝﹣ （x﹣16）2+8；
（2）当x＝3时，y＝﹣ （3﹣16）2+8＝2.71875＜2.88，
故C罗能在空中截住这次吊射
19．（10分）如图，抛物线y＝（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的对称轴及k的值；
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；
（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限．
①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；
②过点M作PM⊥x轴交线段AC于点P，求出线段PM长度的最大值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x+1）2+k 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
∴﹣3＝（0+1）2+k，
解得：k＝﹣4，
∴抛物线的解析式为：y＝（x+1）2﹣4，
故对称轴为：直线x＝﹣1；
（2）存在．
如图，连接AC，交对称轴于点P，此时PA+PC的值最小，
当y＝0，则0＝（x+1）2﹣4，
解得：x ＝1，x ＝﹣3，
1 2
由题意可得：△ANP∽△AOC，
则 ＝ ，
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故 ＝ ，
解得：PN＝2，
则点P的坐标为：（﹣1，﹣2）；
（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，
故﹣3＜x＜0；
①如图，设点M的坐标为：[x，（x+1）2﹣4]，
∵AB＝4，
∴S△AMB ＝ ×4×|（x+1）2﹣4|＝2|（x+1）2﹣4|，
∵点M在第三象限，
∴S△AMB ＝8﹣2（x+1）2，
∴当x＝﹣1时，即点M的坐标为（﹣1，﹣4）时，△AMB的面积最大，最大值为8；
②设点M的坐标为：[x，（x+1）2﹣4]，
设直线AC的解析式为：y＝ax+d，
将（﹣3，0），（0，﹣3）代入得：
，
解得： ．
故直线AC：y＝﹣x﹣3，
设点P的坐标为：（x，﹣x﹣3），
故PM＝﹣x﹣3﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣3x＝﹣（ x+ ）2+ ，
当x＝﹣ 时，PM最大，最大值为 ．
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20．（10分）某网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件30元，每
天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为W元．
网店希望每天吉祥物机器人“江南忆”套装的销售量不低于250件．
（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）如果每天的利润不低于3000元，直接写出销售单价x（元）的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣10x+700；
（2）当销售单价为45元时，每天获取的利润最大，最大利润是3750元；
（3）40≤x≤45．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，将（40，300）、（55，150）代入，
得： ，
解得： ，
所以y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+700；
（2）设每周可获利润为W元，
W＝y（x﹣30）
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＝（x﹣30）（﹣10x+700）
＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000．
又∵﹣10x+700≥250，
∴x≤45，
∵x＜50，
∴x≤45，
∵x＜50时，W随x的增大而增大，
∴当x＝45时，W取得最大值，最大值为﹣10×25+4000＝3750．
答：当销售单价为45元时，每天获取的利润最大，最大利润是3750元．
（3）依题意得：W＝﹣10x2+1000x﹣21000＝3000，
即﹣10（x﹣50）2＝1000，
解得：x ＝40，x ＝60，
1 2
∵a＝﹣10＜0，x≤45
∵当40≤x≤45时，每月利润不低于3000元．
21．（10分）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．可以把灌溉车喷出水的上、
下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽
度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A
离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车喷水口到绿化带GD边的水平距离OD为d（单位：
m）．
（1）直接写出点的坐标：A（ ， ），H（ ， ）；
（2）求喷出水的最大射程OC；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能灌到整个绿化带，直接写出d的最大值与最小值的差．
【答案】（1）2，2；0，1.5；
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（2）6m；
（3） ．
【解答】解：（1）由题意可得，A点的坐标为（2，2），H点的坐标为（0，1.5），
故答案为：2，2；0，1.5；
（2）设上抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2，
把H（0，1.5）代入得，1.5＝a（0﹣2）2+2，
解得 ，
∴ ，
当y＝0时， ，
解得x ＝﹣2（不合，舍去），x ＝6，
1 2
∴x＝6
∴最大射程OC为6m；
（3）∵H（0，1.5）关于对称轴x＝2的对称点为（4，1.5），
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位得到，
∴下边缘抛物线为： ，
令 ，
解得x ＝﹣6，x ＝2，
1 2
∵点B在正半轴上，
∴B（2，0），
∴OB＝2，
要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则当点B和点D重合时，d有最小值，此时d＝2，
当上边缘抛物线过点F时，d有最大值，
∵DE＝3，EF＝0.5，
∴令 ，
解得 ， ，
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结合图象可知： ，
∴d的最大值为： ，
∴d的最大值﹣d有最小值＝ ．
22．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+m的对称轴为直线x＝2，该抛物线与x轴交于M，N
两点，且点M在点N的左侧．
（1）求b的值；
（2）若将抛物线y＝x2+bx+m进行平移，使平移后的点M与原点O重合，并且在x轴上截取的线段长为
6，求平移后的抛物线解析式；
（3）将抛物线y＝x2+bx+m在y轴左侧部分沿x轴翻折，并保留其他部分得到新的图象C．
①当m＝﹣1，且﹣5≤y≤0时，求x的取值范围；
②如图，已知点A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），当线段AB与图象C恰有两个公共点，且m＜0时，直
接写出m的取值范围．
【答案】（1）﹣4；
（2）y＝x2﹣6x；
（3）① 或 ，②﹣4≤m＜﹣1．
【解答】解：（1）∵ ，
∴b＝﹣4，即b的值为﹣4；
（2）∵平移后的点M与原点O重合，设平移后的抛物线的解析式为y＝x2+dx．
∵平移后的抛物线在x轴上截取的线段长为6，
∴平移后的点N的坐标为（6，0）．
将（6，0）代入y＝x2+dx中，解得d＝﹣6，
∴平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣6x；
（3）①∵m＝﹣1，
∴y＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5（x≥0），
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令x2﹣4x﹣1＝0，
解得 ， ．
∵y＝x2﹣4x﹣1关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+1（x＜0），
当﹣x2+4x+1＝﹣5时，
解得 ， ，
∴当﹣5≤y≤0时，x的取值范围为 或 ；
②m的取值范围为﹣4≤m＜﹣1．理由如下：y＝x2﹣4x+m关于x轴对称的抛物线解析式为y'＝﹣x2+4x
﹣m（x＜0），
如图1，当y＝x2﹣4x+m（x≥0）经过点（0，﹣1）时，解得m＝﹣1．
当m＝﹣1时，y＝x2﹣4x﹣1（x≥0），
当x＝5时，y＝4，
即线段AB与抛物线y＝x2﹣4x﹣1（x≥0）有2个交点．
当m＝﹣1时，y'＝﹣x2+4x+1（x＜0），
当x＝﹣1时，y'＝﹣4，
即线段AB与抛物线y'＝﹣x2+4x+1（x＜0）有1个交点．
综上，当m＝﹣1时，线段AB与图象C有三个公共点．
如图2，当y'＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）经过点A（﹣1，﹣1）时，
解得m＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0），
当x＝5时，y＝1，
即线段AB与抛物线y＝x2﹣4x﹣4（x≥0）有一个交点，
∴m＝﹣4时，线段AB与图象C恰有两个公共点．
如图3，根据图象，当m＜﹣4时，图象C与线段AB至多有一个公共点．
∴﹣4≤m＜﹣1时，线段AB与图象C恰有两个公共点．
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