2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第三章 函数
3.4 二次函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 二次函数的图象与 数学中考中，有关二次函数的部分是每年全国各省
☆☆☆
性质 市必考内容，也是中考数学难点，每年压轴题之一
必定有二次函数综合题。每年考查1~3道题,分值为
考点2 二次函数的图象与 3~15分，通常以选择题、 填空题、解答题的形式
☆☆☆
a,b,c之间的关系 考查。对于二次函数的复习需要学生熟练掌握二次
函数的图象与性质、二次函数的图象与 a,b,c之间的关
考点3 二次函数与方程、
☆☆ 系、二次函数与方程、不等式之间的关系。
不等式之间的关系
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
夯实基础
考点1. 二次函数的图象与性质1. 二次函数的概念：一般地，形如 y=a x 2 +bx+ c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2. 二次函数解析式的三种形式
（1）一般式： y=a x 2 +bx+ c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式： y= a （ x – h ） 2 + k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式： y= a （ x – x ）（ x – x），其中x，x 是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
1 2 1 2
【注意】求二次函数解析式的一般方法：
（1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写
出二次函数的解析式.
（2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，
即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
（3）交点式y=a(x-x)(x-x).当抛物线与x轴的两个交点为(x,0)、(x,0)时，可设y=a(x-x)(x-
1 2 1 2 1
x)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
2
3. 二次函数的图象及性质
解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴 x=–
顶点 （– ， ）
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 开口向上 开口向下
最值 当x=– 时，y = 当x=– 时，y =
最小值 最大值
最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点
当x<– 时，y随x的增大而增
当x<– 时，y随x的增大而减小；
增减性
大；当x>– 时，y随x的增大
当x>– 时，y随x的增大而增大
而减小
4. 抛物线的平移
二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出
变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的
解析式．【注意】二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加
或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出
变化后的解析式．
考点2. 二次函数的图象与a,b,c之间的关系
【提示】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的常见结论考点3. 二次函数与方程、不等式之间的关系
（1）二次函数与一元二次方程的关系
（2）二次函数与不等式的关系（拓展）
【易错点提示】对二次函数与一元二次方程关系密切这句话的理解．
举例说明：已知二次函数y =－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3
（即x2－4x+3=0）．
反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．考点1. 二次函数的图象与性质
【例题 1】（2024 福建省）已知二次函数 的图象经过 ，
两点，则下列判断正确的是（ ）
A. 可以找到一个实数 ，使得 B. 无论实数 取什么值，都有
C. 可以找到一个实数 ，使得 D. 无论实数 取什么值，都有
【答案】C
【解析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为
，顶点坐标为 ，再分情况讨论，当 时，当 时， ， 的大小
情况，即可解题．
【详解】 二次函数解析式为 ，
二次函数开口向上，且对称轴为 ，顶点坐标为 ，
当 时， ，
当 时， ，
，
当 时， ，
，
故A、B错误，不符合题意；
当 时， ，由二次函数对称性可知， ，
当 时， ，由二次函数对称性可知， ，不一定大于 ，
故C正确符合题意；D错误，不符合题意；
故选：C．
【变式练1】（2024北京一模）下列关于二次函数y=(x−2) 2−3的说法正确的是( )
A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与x轴没有交点
C．当x<2时，y随x增大而增大 D．图象的顶点坐标是(2,−3)
【答案】D
【解析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与x轴的交点个数，由此解
答即可．
A、∵a=1>0，图象的开口向上，故此选项不符合题意；
B、∵ y=(x−2) 2−3=x2−4x+1，
∴ Δ=(−4) 2−4×1×1=12>0，
即图象与x轴有两个交点，
故此选项不符合题意；
C、∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，
∴当x<2时，y随x增大而减小，
故此选项不符合题意；
D、∵ y=(x−2) 2−3，
∴图象的顶点坐标是(2,−3)，
故此选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
【变式练2】（2024哈尔滨一模）已知P (x ,y ),P (x ,y )是抛物线y=ax2+4ax+3（a是常数，
1 1 1 2 2 2
a≠0)上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x=−2；②点(0,3)在抛物线上；③若
x >x >−2，则y >y ；④若y = y ，则x +x =−2其中，正确结论的个数为（ ）
1 2 1 2 1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
b 4a
【解析】根据对称轴公式x=− =− =−2可判断①；当x=0时，y=3，可判断②；根据抛物
2a 2ax +x
线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到 1 2=−2，可以判断④．
2
∵抛物线y=ax2+4ax+3（a是常数，a≠0)，
b 4a
∴x=− =− =−2，
2a 2a
故①正确；
当x=0时，y=3，
∴点(0,3)在抛物线上，
故②正确；
当a>0时，y >y ，
1 2
当a<0时，y <y ，
1 2
故③错误；
x +x
根据对称点的坐标得到 1 2=−2，
2
x +x =−4，
1 2
故④错误．故选B．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
考点2. 二次函数的图象与a,b,c之间的关系
【例题2】（2024黑龙江齐齐哈尔）如图，二次函数 的图象与 轴交于
， ，其中 ．结合图象给出下列结论：
① ；② ；
③当 时， 随 的增大而减小；
④关于 的一元二次方程 的另一个根是 ；⑤ 的取值范围为 ．其中正确结论的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断
结论④；利用结论④及题中条件 可求得 的取值范围，再由结论② 可得 取值
范围，判断⑤是否正确．
【详解】由图可得： ，对称轴 ，
，
，①错误；
由图得，图象经过点 ，将 代入 可得 ，
，②正确；
该函数图象与 轴的另一个交点为 ，且 ，
对称轴 ，
该图象中，当 时， 随着 的增大而减小，当 时， 随着 的增大而增大，
当 时， 随着 的增大而减小，
③正确；
， ，
关于 的一元二次方程 的根为，
，
， ，
④正确；
，即 ，
解得 ，
即 ，
，
，
⑤正确．
综上，②③④⑤正确，共 个．故选： ．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与 轴的交点问题、一元二次方程的
根与系数的关系、二次函数与不等式的关系等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
【变式练1】（2024陕西一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标
为（1，0），对称
轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＜0；
③3a+c＝0；
④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．
其中正确结论的个数为（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】①∵二次函数图象的开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数图象的顶点在第三象限，
∴ ，
∵a＞0，
∴b＞0，
∵二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∴abc＜0，故结论①正确；
②对于y＝ax2+bx+c，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，
∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在二次函数的图象上，
又∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在x轴下方的抛物线上，
∴4a﹣2b+c＜0，故结论②正确；
③∵二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为（1，0），（﹣3，0），
∴ ，消去b得：3a+c＝0，故结论③正确；
④∵二次函数图象的开口向上，与x轴的两个交点坐标分别为（1，0），（﹣3，0）
∴当﹣3＜x＜1时，二次函数图象的在x轴的下方，
∴y＜0，即：ax2+bx+c＜0，故结论④正确．
综上所述：结论①②③④正确．故选：D．
【变式练2】（2024贵州一模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图
象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＜1；④x
＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（ ）A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤
【答案】D
【解析】①由抛物线的开口方向向下，
则a＜0，故①正确；
②∵抛物线的顶点为P（1，m），
∴﹣ ＝1，b＝﹣2a，
∵a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②错误；
③∵抛物线经过点A（2，1），
∴1＝a•22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③错误；
④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下，
∴x＞1时，y随x的增大而减小，即④正确；
⑤∵a＜0，
∴at2+bt﹣（a+b）
＝at2﹣2at﹣a+2a
＝at2﹣2at+a
＝a（t2﹣2t+1）
＝a（t﹣1）2≤0，
∴at2+bt≤a+b，则⑤正确故选：D．
考点3. 二次函数与方程、不等式之间的关系
【例题3】（2024四川成都市）在平面直角坐标系 中， ， ， 是
二次函数 图象上三点．若 ， ，则 ______ （填“ ”或“”）；若对于 ， ， ，存在 ，则
的取值范围是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解
答的关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：由 得抛物线的对称轴为直线 ，开口向下，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∵存在 ，
∴ ， ，且 离对称轴最远， 离对称轴最近，
∴ ，即 ，且 ，
∵ ， ，
∴ 且 ，
解得 ．
【变式练1】（2024福州一模）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝ ．
【答案】9．
【解析】∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，
∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解．
即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0，
解得：m＝9．【变式练2】（2024贵阳一模）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y），B
1
（1，y）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（ ）
2
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
【答案】D
【解析】∵y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，
∴直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c的交点A′、B′与点A、B也关于y轴对称，
如图所示：
∵A（﹣3，y），B（1，y），
1 2
∴A′（3，y），B′（﹣1，y），
1 2
根据函数图象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3，故选：D．
【变式练3】（2024山东青岛一模）二次函数y＝ax2+c的图象与直线y＝kx+b（k＞0）交于点M（﹣
2，m）、N（1，n）两点（mn＜0），则关于x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为 ．
【答案】﹣1＜x＜2．
【解析】由题意，可大致画出函数图象如下，则直线y＝kx+b关于y轴对称的直线为y＝﹣kx+b，
根据图形的对称性，设点M、N关于y轴的对称点分别为点C、D，
则点C、D的横坐标分别为﹣1，2，
观察函数图象ax2+c＞﹣kx+b的解集为﹣1＜x＜2，
即x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为﹣1＜x＜2．
考点1. 二次函数的图象与性质
1. （2024四川凉山）抛物线 经过 三点，则
的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查二次函数 的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根
据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】由抛物线 可知：开口向上，对称轴为直线 ，
该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵ ， ， ，
而 ， ， ，
∴点 离对称轴最近，点 离对称轴最远，
∴ ；故选：D．
2. （2024四川泸州）已知二次函数 （x是自变量）的图象经过第一、二、
四象限，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与 轴有2个交点，开口
向上，而且与 轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可．
【详解】 二次函数 图象经过第一、二、四象限，
设抛物线与 轴两个交点的横坐标分别为 ，由题意可得
解得 ．故选：A．
3. （2024广州）函数 与 的图象如图所示，当（ ）时， ， 均随着
的增大而减小．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．
由函数图象可知，当 时， 随着 的增大而减小； 位于在一、三象限内，且 均随着 的
增大而减小，据此即可得到答案．
由函数图象可知，当 时， 随着 的增大而减小；位于一、三象限内，且在每一象限内 均随着 的增大而减小，
当 时， ， 均随着 的增大而减小，故选：D．
4. （2024陕西省）已知一个二次函数 的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A. 图象的开口向上 B. 当 时，y的值随x的值增大而增大
C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线
【答案】D
【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次
函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：由题意得 ，解得 ，
∴二次函数的解析式为 ，
∵ ，
∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；
图象的对称轴是直线 ，故选项D符合题意；
的
当 时，y 值随x的值增大而增大，当 时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符
合题意；
∵顶点坐标为 且经过原点，图象的开口向下，
∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；故选：D．
5. （2024江苏苏州）二次函数 的图象过点 ， ， ，
，其中m，n为常数，则 的值为______．
【答案】 ##【 解 析 】 本 题 考 查 了 待 定 系 数 法 求 二 次 函 数 解 析 式 ， 把 A、B、D的 坐 标 代 入
，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解．
【详解】把 ， ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴ ，
把 代入 ，
得 ，
∴ ，
∴ ．
6. （2024贵州省）如图，二次函数 的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是 ，
顶点坐标为 ，则下列说法正确的是（ ）A. 二次函数图象的对称轴是直线
B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C. 当 时，y随x的增大而减小
D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
【答案】D
【解析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称
性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即
可判定选项D．
∵二次函数 的顶点坐标为 ，
∴二次函数图象的对称轴是直线 ，故选项A错误；
∵二次函数 的图象与x轴的一个交点的横坐标是 ，对称轴是直线 ，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误；
∵抛物线开口向下， 对称轴是直线 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
设二次函数解析式为 ，
把 代入，得 ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确，故选D．7. （2024内蒙古赤峰）如图，正方形 的顶点 ， 在抛物线 上，点 在 轴
上．若 两点的横坐标分别为 （ ），下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题
时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接 、 交于点 ，过点 作 轴于
点 ，过点 作 于点 ，先证明 ．可得 ， ．
点 、 的横坐标分别为 、 ，可得 ， ． ， ，
，设 ，则 ， ， ，
， ， ．再由 ， 进而可以求解判断即可．
【详解】如图，连接 、 交于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 于
点 ，四边形 是正方形，
、 互相平分， ， ，
， ，
．
， ，
．
， ．
点 、 的横坐标分别为 、 ，
， ．
， ， ，
设 ，则 ， ，
， ， ， ．
又 ， ，
， ．
．
．
．点 、 在 轴的同侧，且点 在点 的右侧，
．
．
故选：B．
8. （2024山东烟台）已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表：
下列结论： ； 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根； 当
时， 的取值范围为 ； 若点 ， 均在二次函数图象上，则
； 满足 的 的取值范围是 或 ．其中正确结论的序号为
______．
【答案】
【解析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出 的值即可判断 ；利用
根的判别式即可判断 ；利用二次函数的性质可判断 ；利用对称性可判断 ；画出函数图形可
判断 ；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：把 ， ， 代入 得，
，
解得 ，
∴ ，故 正确；∵ ， ， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，故 正确；
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
又∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，当 时，函数取最
大值 ，
∵ 与 时函数值相等，等于 ，
∴当 时， 的取值范围为 ，故 错误；
∵ ，
∴点 ， 关于对称轴 对称，
∴ ，故 正确；
由 得 ，
即 ，
画函数 和 图象如下：由 ，解得 ， ，
∴ ， ，
由图形可得，当 或 时， ，即 ，故 错误；
综上，正确的结论为 ．
9. （2024广西）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数 的最值问
题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出 ，求二次函数 的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，
并整理成下表：
a … 0 2 4 …
x … * 2 0 …
y的最小
… * …
值
注：*为②的计算结果．【探究发现】老师：“请同学们结合学过 函的数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取 ，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，
所以我猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）请结合函数解析式 ，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
【答案】（1）① ；②当 时， 有最小值为 （2）见解析（3）正确，
【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关
键：
（1）①把 代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可；
（2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可；
（3）将一般式转化为顶点式，表示出 的最大值，再利用二次函数求最值即可．
【详解】解：（1）①把 代入 ，得：
；
∴ ；
②∵ ，
∴当 时， 有最小值为 ；
（2）∵ ，
∵抛物线的开口向上，
∴当 时， 有最小值；
∴甲的说法合理；
（3）正确；
∵ ，
∴当 时， 有最小值为 ，
即： ，∴当 时， 有最大值，为 ．
考点2. 二次函数的图象与a,b,c之间的关系
1. 抛物线 与 轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小
于1，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了二次函数的性质，设抛物线 与 轴交于两点，横坐标分别为
，依题意， ，根据题意抛物线开口向下，当 时， ，即可判断A
选项，根据对称轴即可判断B选项，根据一元二次方程根的判别式，即可求解．判断C选项，无条
件判断D选项，据此，即可求解．
【详解】解：依题意，设抛物线 与 轴交于两点，横坐标分别为
依题意，
∵ ，抛物线开口向下，
∴当 时， ，即
∴ ，故A选项正确，符合题意；
若对称轴为 ，即 ，
而 ，不能得出对称轴为直线 ，
故B选项不正确，不符合题意；
∵抛物线与坐标轴有2个交点，
∴方程 有两个不等实数解，即 ，又
∴ ，故C选项错误，不符合题意；
无法判断 的符号，故D选项错误，不符合题意；故选：A．
2. （2024黑龙江绥化）二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：
① ② （m为任意实数） ③
④若 、 是抛物线上不同的两个点，则 ．其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得 ，
即可判断①， 时，函数值最大，即可判断②，根据 时， ，即可判断③，根据对称
性可得 即可判段④，即可求解．
【详解】∵二次函数图象开口向下
∴
∵对称轴为直线 ，
∴
∴
∵抛物线与 轴交于正半轴，则
∴ ，故①错误，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线 ,
∴当 时， 取得最大值，最大值为∴ （m为任意实数）
即 ，故②正确；
∵ 时，
即
∵
∴
即
∴ ，故③正确；
∵ 、 是抛物线上不同的两个点，
∴ 关于 对称，
∴ 即 故④不正确
正确的有②③ 故选：B
3. （2024武汉市）抛物线 （a，b，c 是常数， ）经过 ， 两点，
且 ．下列四个结论：
① ；
②若 ，则 ；
③若 ，则关于x的一元二次方程 无实数解；
④点 ， 在抛物线上，若 ， ，总有 ，则 ．
其中正确的是__________（填写序号）．
【答案】②③④
【解析】本题考查了二次函数 性质，根据题意可得抛物线对称轴 ，即可判断①，
的根据 ， 两点之间的距离大于 ，即可判断②，根据抛物线经过 得出 ，
代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴
，解不等式，即可求解．
【详解】解：∵ （a，b，c是常数， ）经过 ， 两点，且 ．
∴对称轴为直线 ， ，
∵ ，
∴ ，故①错误，
∵
∴m−(−1)>1，即 ， 两点之间 的距离大于
又∵
∴ 时，
∴若 ，则a(x−1) 2+b(x−1)+c>1，故②正确；
③由①可得 ，
∴ ，即 ，
当 时，抛物线解析式为
设顶点纵坐标为
∵抛物线 （a，b，c是常数， ）经过 ，
∴∴
∴
∵ ， ，对称轴为直线 ，
∴当 时， 取得最大值为 ，而 ，
∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确；
④∵ ，抛物线开口向下，点 ， 在抛物线上， ， ，总
有 ，
又 ，
∴点 离 较远，
∴对称轴
解得： ，故④正确．
故答案为：②③④．
4. （2024湖北省）抛物线 的顶点为 ，抛物线与 轴的交点位于 轴上方．
以下结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合
二次函数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论．
【详解】根据题意画出函数 的图像，如图所示：∵开口向上，与 轴的交点位于 轴上方，
∴ ， ，
∵抛物线与 轴有两个交点，
∴ ，
∵抛物线 的顶点为 ，
∴ ，
观察四个选项，选项C符合题意，故选：C．
考点3. 二次函数与方程、不等式之间的关系
1. （2024福建省）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 两点，与 轴交于点
，其中 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若 是二次函数图象上的一点，且点 在第二象限，线段 交 轴于点 的面积是
的面积的2倍，求点 的坐标．
【答案】（1） （2）【解析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三
角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等.
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）设 ，因为点 在第二象限，所以 ．依题意，得 ，即可得出
，求出 ，由 ，求出 ，即可求出点 的坐标．
【小问1详解】
解：将 代入 ，
得 ，
解得 ，
所以，二次函数的表达式为 ．
【小问2详解】
设 ，因为点 在第二象限，所以 ．
依题意，得 ，即 ，所以 ．
由已知，得 ，
所以 ．
由 ，
解得 （舍去），
所以点 坐标为 ．
2. （2024湖北省）如图1，二次函数 交 轴于 和 ，交 轴于 ．（1）求 的值．
（2） 为函数图象上一点，满足 ，求 点的横坐标．
（3）如图2，将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为 与 轴交于点 ，记 ，记
顶点横坐标为 ．
①求 与 的函数解析式．
②记 与 轴围成的图象为 与 重合部分（不计边界）记为 ，若 随 增加而增加，
且 内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） 或 ；
（3）① ；② 的取值范围为 或 ．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得 ， ，作 轴于点 ，设 ，分当 点在
轴上方和 点在 轴下方时，两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质，列式求解即可；
（3）①利用平移的性质得图象 的解析式为 ，得到图象 与 轴交于点 的坐
标 ，据此列式计算即可求解；
②先求得 或 ， 中含 ， ， 三个整数点（不含边界），再分三种情况讨论，分别列不等式组，求解即可．
【小问1详解】
解：∵二次函数 交 轴于 ，
∴ ，
解得 ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
令 ，则 ，
解得 或 ，
令 ，则 ，
∴ ， ， ，
作 轴于点 ，
设 ，
当 点在 轴上方时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 或 （舍去）；当 点在 轴下方时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 或 （舍去）；
∴ 或 ；
【小问3详解】
解：①∵将二次函数沿水平方向平移，
∴纵坐标不变是4，
∴图象 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
由题意知：C、D不重合，则 ，
∴ ；
②由①得 ，
则函数图象如图，∵ 随 增加而增加，
∴ 或 ， 中含 ， ， 三个整数点（不含边界），
当 内恰有2个整数点 ， 时，
当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ， 或 ，
∴ ；
∵ 或 ，
∴ ；
当 内恰有2个整数点 ， 时，当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ 或 ， ，
∴ ；
∵ 或 ，
∴ ；
当 内恰有2个整数点 ， 时，
此情况不存在，舍去，
综上， 的取值范围为 或 ．
【点睛】主要考查了用待定系数法求二次函数的表达式及二次函数与线段的交点问题，也考查了二
次函数与不等式，相似三角形的判定和性质．熟练掌握二次函数图象的性质及数形结合法是解题的
关键．
考点1. 二次函数的图象与性质
1.关于二次函数y=x2+2x−8，下列说法正确的是（ ）A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为(0，−9)
C．图象与x轴的交点坐标为(−2,0)和(4,0)
D．y的最小值为−9
【答案】D
【解析】把二次函数的解析式化成顶点式和交点式，再利用二次函数的性质就可以判断各个选项中
的结论是否正确，从而可以解答本题．
∵二次函数y=x2+2x−8=(x+1) 2−9=(x+4)(x−2)，
∴该函数的对称轴是直线x=−1，在y轴的左侧，故选项A错误；
当x=0时，y=−8，即该函数与y轴交于点(0，−8)，故选项B错误；
当y=0时，x=2或x=−4，即图象与x轴的交点坐标为(2,0)和(−4,0)，故选项C错误；
当x=−1时，该函数取得最小值y=−9，故选项D正确．故选：D
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，把二次函数解析式化为顶点式和交点式是解题的关键．
2. 已知抛物线y=mx2−4mx过点A(x ,y ),B(x ,y ),C(x ,y )，其中y =−4m，以下结论正确
1 1 2 2 1 3 2
的
是（ ）
A．若|x −x |≤|x −x |，则y ≥ y ≥ y B．若|x −x |≥|x −x |，则y ≥ y ≥ y
1 2 3 2 2 3 1 1 2 3 2 2 3 1
C．若y <y ≤ y ，则|x −x |<|x −x | D．若y <y ≤ y ，则|x −x |>|x −x |
1 3 2 1 2 2 3 1 3 2 1 2 2 3
【答案】D
【解析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=2，从而可得点B为顶点，由m>0抛物线开口
向上可判断A，B选项，由点到对称轴的距离与函数值的关系可判断C，D；
∵y=mx2−4mx=m(x−2) 2−4m，
∴抛物线对称轴为直线x=2，顶点为(2,−4m)，
∵y =−4m，
2
∴B(x ,y )为抛物线顶点，x =2，
2 2 2
当m>0时，抛物线开口向上，y 为函数最小值，
2
∴选项A，B错误．
若y <y ≤ y ，则抛物线开口向下，距离对称轴越近的点的纵坐标越大，
1 3 2
∴|x −x |>|x −x |
1 2 2 3∴选项C错误，选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考察二次函数的图象与性质，开口向下时，图象上的点离顶点越远，即横坐标到对称
轴的距离越大时，点的纵坐标就越小
3. 若点P(m,n)在抛物线y=ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y=a(x+1) 2上的是
（ ）
A．(m,n+1) B．(m+1,n) C．(m,n−1) D．(m−1,n)
【答案】D
【解析】观察抛物线y=ax2和抛物线y=a(x+1) 2可以发现，它们通过平移得到，故点P(m,n)通过
相同的平移落在抛物线y=a(x+1) 2上，从而得到结论．
∵抛物线y=a(x+1) 2是抛物线y=ax2（a≠0）向左平移1个单位长度得到
∴抛物线y=ax2上点P(m,n)向左平移1个单位长度后，会在抛物线y=a(x+1) 2上
∴点(m−1,n)在抛物线y=a(x+1) 2上
故选：D
【点睛】本题考查函数图象与点的平移，通过函数解析式得到平移方式是解题的关键．
4. 在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x−1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得
到的抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】(1，−3)
【解析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左
加右减”的法则进行解答即可．
∵y=x2+2x−1=(x+1) 2−2，
∴抛物线的顶点为（-1，-2），
将抛物线y=x2+2x−1先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），
旋转后的抛物线为y=−(x−1) 2+2，
再向下平移5个单位，y=−(x−1) 2+2−5即y=−(x−1) 2−3．
∴新抛物线的顶点（1，-3）
故答案是：（1，-3）．【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关
键．
5. 点A(x ,y )，B(x ,y )在抛物线y=ax2−2ax−3(a≠0)上，存在正数m，使得−2<x <0且
1 1 2 2 1
m<x <m+1时，都有y ≠ y ，则m的取值范围是（ ）
2 1 2
A．1<m≤4 B．2<m≤4
C．0<m≤1或m≥4 D．1<m≤2或m≥4
【答案】C
【解析】根据函数解析式求出对称轴，根据关于抛物线的轴对称性质求出y = y ，取值范围，再根
1 2
据不等关系列不等式求解即可得到答案；
由题意可得，
−2a
抛物线对称轴为直线x=− =1，
2a
根据二次函数对称性可得，当−2<x <0时，
1
当1×2−0<x <1×2−(−2)，y = y ，
2 1 2
即2<x <4，
2
∵存在正数m，使得−2<x <0且m<x <m+1时，都有y ≠ y ，
1 2 1 2
∴m≥4或¿，
解得：0<m≤1或m≥4，
故选C．
【点睛】本题考查抛物线的轴对称性及对称轴公式，解题的关键是根据抛物线的对称性，利用数形
结合思想解题．
6. 对于二次函数y=−(x−m) 2+1，已知m>3，当−1≤x≤3时，有下列说法：
①若y的最大值为−8，则m=4；
②若y的最小值为−8，则m=6；
③若m=5，则y的最大值为−3．
则上达说法（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③正确 D．均不正确
【答案】C
【解析】二次函数y=−(x−m) 2+1图象的对称轴为直线x=m，
∵a=−1<0，
∴抛物线开口向下，因为m>3，所以当−1≤x≤3时，函数y=−(x−m) 2+1单调递增，
若y的最大值为−8，则−(3−m) 2+1=−8，解得m=6或m=0（舍去），故①错误；
若y的最小值为−8，则−(−1−m) 2+1=−8，解得m=2或m=−4，此时不存在m，故②错误；
若m=5，则y=−(x−5) 2+1，所以y的最大值为−(3−5) 2+1=−3，故③正确，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7. 已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（
）
A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4
C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4
【答案】D
【解析】设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，
把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入，
得： 解得
所求的函数的解析式为y=2x2+3x-4．
8. 一个二次函数的图象的顶点坐标为 ，与 轴的交点 ，这个二次函数的解析式
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由于已知顶点坐标，则可设顶点式y=a（x﹣3）2﹣1，然后把（0，﹣4）代入求出a的值即
可得到抛物线解析式．
设抛物线解析式为y=a（x﹣3）2﹣1，把（0，﹣4）代入得：a•（﹣3）2﹣1=﹣4，解得：a=﹣ ，所以抛物线解析式为y=﹣ （x﹣3）2﹣1=﹣ x2+2x﹣4．
9．求经过A(1，4)，B(﹣2，1)两点，对称轴为x=﹣1的抛物线的解析式______．
【答案】
【解析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根
据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三
点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，
常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来
求解．
根据对称轴解析式，设抛物线顶点式解析式，然后把点A、B的坐标代入解析式，利用待定系数法求
函数解析式求解即可．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+k，
∵抛物线经过A（1，4），B（-2，1）两点，
∴
解得
∴这个抛物线的解析式为y=（x+1）2，即y=x2+2x+1．
10. 已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+3/2=0的根的情况是（
）
A．无实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根【答案】D
【解析】利用函数图象平移即可求解．
函数y＝ax2+bx+c向上平移3/2个单位得到y′＝ax2+bx+c+3/2，
而y′顶点的纵坐标为﹣2+3/2=-1/2，
故y′＝ax2+bx+c+3/2与x轴有两个交点，且两个交点在x轴的右侧，
故ax2+bx+c+3/2=0有两个同号不相等的实数根．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，用平移的方法求解是此类题目的基本解法．
考点2. 二次函数的图象与a,b,c之间的关系
1. 已知抛物线 （a，b，c是常数， ）经过点 ，有下列结论：
① ；
②当 时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程 有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】由题意可知： ， ， ，
，
，即 ，得出 ，故①正确；
，
对称轴 ，
，
时， 随 的增大而减小， 时， 随 的增大而增大，故②不正确；
，
关于x的方程 有两个不相等的实数根，故③正确．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次
函数的性质并能应用求解．
2. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1．给出下列结论：①ac＜0； ②b2﹣4ac＞0； ③2a﹣b＝0； ④a﹣b+c＝0．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点，综合进行判断即可．
b
抛物线开口向下，a＜0，对称轴为x=− =1，因此b＞0，与y轴交于正半轴，因此c＞0，
2a
于是有：ac＜0，因此①正确；
b
由x=− =1，得2a+b＝0，因此③不正确，
2a
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，②正确，
由对称轴x＝1，抛物线与x 轴的一个交点为（3，0），对称性可知另一个交点为（﹣1，0），因此
a﹣b+c＝0，故④正确，
综上所述，正确的结论有①②④。
3．如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三
人的说法如下，
甲：若b＝5，则点P的个数为0；
乙：若b＝4，则点P的个数为1；
丙：若b＝3，则点P的个数为1．
下列判断正确的是（ ）
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
【答案】C
【解析】求出抛物线的顶点坐标为（2，4），由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即可得出结论．
y＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（2，4），
∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4，
∴甲、乙的说法正确；
若b＝3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，
∴丙的说法不正确.
4. 如图，是二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：① a+b+c=0；②b＞
2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是 ．（只要求填写
正确命题的序号）
【答案】①③．
b
2a
【解析】由图象可知过（1，0），代入得到a+b+c=0；根据﹣ =﹣1，推出b=2a；根据图象关于对
称轴对称，得出与X轴的交点是（﹣3，0），（1，0）；由a﹣2b+c=a﹣2b﹣a﹣b=﹣3b＜0，根据结
论判断即可．
由图象可知：过（1，0），代入得：a+b+c=0，∴①正确；
b
2a
﹣ =﹣1，
∴b=2a，∴②错误；
根据图象关于对称轴对称，
与X轴的交点是（﹣3，0），（1，0），∴③正确；
∵a﹣2b+c=a﹣2b﹣a﹣b=﹣3b＜0，∴④错误．
故答案为：①③．
考点3. 二次函数与方程、不等式之间的关系
1. 一元二次方程 根的情况是（ ）
A. 有一个正根，一个负根 B. 有两个正根，且有一根大于9小于12C. 有两个正根，且都小于12 D. 有两个正根，且有一根大于12
【答案】D
【解析】将方程转化为一次函数与二次函数的交点问题求解．画出函数图象，找准图象与坐标轴的
交点，结合图象可选出答案．如图，
由题意二次函数y= ，与y交与点（0，12）与x轴交于（-4，0）（12，0），一次
函数y= ，与y交与点（0，15）与x轴交于（9，0）
因此，两函数图象交点一个在第一象限，一个在第四象限，所以两根都大于0，且有一根大于12
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴 交的点，利用数形结合的思想，画图象时找准关键点，与坐标轴
的交点，由图象得结果．
2. 数形结合是一种重要的数学思想方法，我们可以借助函数的图象求某些较为复杂不等式的解集．
比如，求不等式x﹣1＞2/x的解集，可以先构造两个函数y＝x﹣1和y=2/x，再在同一平面直角坐
1 2
标系中画出这两个函数的图象（如图1所示），通过观察所画函数的图象可知：它们交于A（﹣1，
﹣2）、B（2，1）两点，当﹣1＜x＜0或x＞2时，y＞y，由此得到不等式x﹣1＞2/x的解集为﹣1
1 2
＜x＜0或x＞2．根据上述说明，解答下列问题：
（1）要求不等式x2+3x＞x+3的解集，可先构造出函数y＝x2+3x和函数y＝ ；
1 2
（2）图2中已作出了函数y＝x2+3x的图象，请在其中作出函数y的图象；
1 2
（3）观察所作函数的图象，求出不等式x2+3x＞x+3的解集．
【答案】见解析
【解析】（1）根据题意可得y＝x+3；
2
（2）作出函数y的图象如下：
2
（3）∵由图可知：函数y和y的图象交于（1，4）和（﹣3，0）两点，当x＜﹣3或x＞1时，y＞
1 2 1
y，
2
∴不等式x2+3x＞x+3的解集为x＜﹣3或x＞1．
【点评】考查了一次函数、二次函数与不等式，数形结合并明确函数与不等式的关系是解题的关键．
3．已知二次函数y＝﹣x2+4x+3．
（1）在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并求该函数图象的顶点坐标；
（2）当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围．【答案】（1）作图见解析，顶点坐标为（2，7）；
（2）﹣2≤y≤7．
【解析】（1）由题意，列表格如下：
x 0 1 2 3 4
y 3 6 7 6 3
描点、连线，作图象如下：
∵y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴顶点坐标为（2，7）；
（2）由题意知，对称轴为直线x＝2，
∵﹣1≤x≤3，
∴当x＝﹣1时， ，
当x＝2时，y ＝7，
max
∴当﹣1≤x≤3时，y的取值范围为﹣2≤y≤7．
4．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表，下列结论正确的是（ ）
x ﹣2 ﹣1 0 1
y 0 4 6 6
A．抛物线的开口向上
B．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）
C．（a﹣b+c）（4a+2b+c）＞0
D．a＝b
【答案】C
【解析】把（﹣2，0），（﹣1，4），（0，6）分别代入y＝ax2+bx+c得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+6．
∵a＝﹣1，
∴抛物线开口向下，所以A选项错误，不符合题意．
当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，
解得x＝﹣2，x＝3，
1 2
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（3，0），所以B错误，不符合题意．
又当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝4；当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4，
∴（a﹣b+c）（4a+2b+c）＝16＞0，故C正确，符合题意．
∵y＝﹣x2+x+6，
∴a＝﹣1≠b＝1．
∴D选项错误，不符合题意．故选：C．
5．已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y），（m，y）是抛物线上不同的两点，且y＝12﹣y，求m的值．
1 2 2 1
【答案】见试题解答内容
【解析】（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得， ，
解得： ；
（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，
把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得，y＝6，
1
∴y＝12﹣y＝6，
2 1
∵y＝y，且对称轴为直线x＝2，
1 2
∴m＝4﹣5＝﹣1．
6．如图，一次函数y＝kx+n（k≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，
1 2
4），B（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集为 ．【答案】﹣1＜x＜6．
【解析】∵一次函数y ＝kx+n（k≠0）与二次函数y ＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，
1 2
4），B（6，2）两点，
根据图象可得关于x的不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集是：﹣1＜x＜6．
