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专题 12 二次函数的核心知识点精讲
1.了解二次函数的知识结构框架，进一步巩固二次函数概念
2.掌握用待定系数法求二次函数的解析式；
3.掌握二次函数的图像性质，并灵活运用二次函数的图像性质解决问题；
4.通过探究进一步体会函数的一般研究方法及数形结合等思想，提高分析问题、解决问题的能力。
考点1:二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
考点2：二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x ）（x–x ），其中x ，x 是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
1 2 1 2
考点3：二次函数的图象及性质
解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴 x=–
顶点 （– ， ）
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 开口向上 开口向下
最值 当x=– 时，y = 当x=– 时，y =
最小值 最大值
最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点
当x<– 时，y随x的增大而增
当x<– 时，y随x的增大而减小；
增减性
大；当x>– 时，y随x的增大而
当x>– 时，y随x的增大而增大
减小
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考点4：抛物线的平移
二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后
的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
考点5：二次函数与一元二次方程的关系
1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．
2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3）（1）b2–4ac>0 方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0 方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
⇔
（3）b2–4ac<0 方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
⇔
⇔
【题型1：确定二次函数解析式】
【典例1】（2023•绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．
（1）当b＝4，c＝3时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；
（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
1．（2023•上海）一个二次函数y＝ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，
那么这个二次函数的解析式可以是 ．
2．（2023•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
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【题型2：二次函数的图像和性质】
【典例2】（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为直线x＝﹣2 B．顶点坐标为（2，3）
C．函数的最大值是﹣3 D．函数的最小值是﹣3
1．（2023•安徽）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1
2．（2022•衢州）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的
值为（ ）
A． 或4 B． 或﹣ C．﹣ 或4 D．﹣ 或4
3．（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x ，x ，x 对应的函数值分别为y ，y ，y ．当﹣1
1 2 3 1 2 3
＜x ＜0，1＜x ＜2，x ＞3时，y ，y ，y 三者之间的大小关系是（ ）
1 2 3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 3 1 3 1 2 2 1 3
4．（2022•绍兴）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（ ）
A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5
5．（2022•株洲）已知二次函数 y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中 b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为
（ ）
A． B． C． D．
6．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴
交于点C．下列说法：①abc＜0；②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；③当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞
0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a﹣b（m为任意实数），其中正确的个数是（
）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型3：二次函数的图像变换】
【典例3】（2022•湘西州）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的
图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与
新图象有4个交点时，b的取值范围是 ．
1．（2023•广西）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4
C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣4
2．（2022•泸州）抛物线y＝﹣ x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A．y＝﹣ x2+x B．y＝﹣ x2﹣4
C．y＝﹣ x2+2021x﹣2022 D．y＝﹣x2+x+1
3．（2022•玉林）小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点（2，0）有4种方法：
①向右平移2个单位长度
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型4：二次函数与方程、不等式】
【典例4】（2021•贺州）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y ），B（1，y ）两点，
1 2
则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（ ）
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A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
1．（2020•梧州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h交于A，B两点，下列是关于x的不等式或方
程，结论正确的是（ ）
A．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是2＜x＜4
B．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＞4
C．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＜2
D．ax2+（b﹣k）x+c＝h的解是x ＝2，x ＝4
1 2
2．（2020•无锡）二次函数y＝ax2+c的图象与直线y＝kx+b（k＞0）交于点M（﹣2，m）、N（1，n）两
点（mn＜0），则关于x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为 ．
一．选择题（共9小题）
1．抛物线y＝（x﹣3）2+4的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（3，﹣4）
2．将二次函数y＝x2﹣6x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+2 B．y＝（x﹣3）2﹣7
C．y＝（x+3）2﹣7 D．y＝（x﹣6）2+2
3．下列关于二次函数y＝﹣x2+x+2的图象和性质的说法中，正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标是（﹣1，2） D．（﹣1，0）在此函数图象上
4．在平面直角坐标系中，将抛物线 先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的
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新抛物线的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知点A（x ，y ）、B（x ，y ）在二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象上．若x ＞x ＞1，则y 与y 的大小
1 1 2 2 1 2 1 2
关系是（ ）
A．y ≥y B．y ＝y C．y ＞y D．y ＜y
1 2 1 2 1 2 1 2
6．关于二次函数y＝（x﹣3）2+1，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是（﹣3，1）
C．当x＞3时，y随x的增大而减小
D．该函数图象与y轴的交点坐标是（0，10）
7．在抛物线y＝﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）
A．x≤1 B．x＜1 C．x＞1 D．x＞﹣1
8．已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列 4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；
③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2
﹣bx﹣c＝0的解为（ ）
A．x ＝﹣4，x ＝3 B．x ＝﹣5，x ＝2
1 2 1 2
C．x ＝﹣2，x ＝1 D．x ＝﹣3，x ＝2
1 2 1 2
二．填空题（共6小题）
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为
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（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为 ．
11．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移2个单位后，得到的抛物线所对应的函数表达式为 ．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是 ．
13．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线是x＝1，它与x轴的一个交点是（3，0），则它与x轴的另
一个交点是 ．
14．如图，一次函数y ＝kx+n（k≠0）与二次函数y ＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B
1 2
（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集为 ．
15．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a，若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为 ．
三．解答题（共2小题）
16．已知二次函数y＝﹣x2+4x+3．
（1）在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并求该函数图象的顶点坐标；
（2）当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围．
17．如图，已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过A（0，6），且对称轴是直线x＝2.5．
（1）求该函数解析式；
（2）在抛物线上找点P，使△PBC的面积1，求出点P的坐标．
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1．抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴有两个交点，则c的值可能为（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．4
2．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣2，0），（6，0），则这条抛物线的对称轴是直线（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
3．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表，下列结论正确的是（ ）
x ﹣2 ﹣1 0 1
y 0 4 6 6
A．抛物线的开口向上
B．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）
C．（a﹣b+c）（4a+2b+c）＞0
D．a＝b
4．若点A（﹣1，y ）、B（5，y ）、C（m，y ）在抛物线y＝ax2﹣2ax+c上，且y ＜y ＜y ，则m的取值
1 2 3 2 3 1
范围是（ ）
A．﹣1＜m＜1 B．m＜﹣3或m＞1
C．3＜m＜5或﹣3＜m＜﹣1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1
5．已知抛物线 （m为整数）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB，则
m等于（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
6．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A
（2，1）；有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＜1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤
对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（ ）
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A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤
7．我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”．抛物线 y＝x2﹣
2x﹣3与直线y＝x﹣7的“和谐值”为 ．
8．已知二次函数y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点，当k取最小整数时的二次函数的图象在
x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线 y＝
x+m无公共点，则m的取值范围是 ．
9．如图，一段抛物线y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），记为C ，它与x轴交于点O，A ；将C 绕点A 旋转
1 1 1 1
180°得C ，交x轴于点A ；将C 绕点A 旋转180°得C ，交x轴于点A ；……如此进行下去．则点A
2 2 2 2 3 3 2023
的坐标是 ．
10．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+4，当a≤x≤a+1时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
11．把二次函数y＝x2+4x﹣10的图象向左平移1个单位长度，再向上平移m个单位长度（m＞0），如果平
移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么m应满足条件 ．
12．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且经过点A（﹣1，0），与x轴的另一个交点为
B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M是抛物线上的一点，且到y轴的距离小于3，求出点M的纵坐标y 的取值范围．
M
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/1/2 23:38:05；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：18907713
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1．（2022•哈尔滨）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（9，﹣3） B．（﹣9，﹣3） C．（9，3） D．（﹣9，3）
2．（2022•黑龙江）若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（ ）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）
15．（2022•通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再
向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3
C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1
3．（2022•哈尔滨）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（9，﹣3） B．（﹣9，﹣3） C．（9，3） D．（﹣9，3）
4．（2022•黑龙江）若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（ ）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）
5．（2022•通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向
下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3
C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1
6．（2021•江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二
次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023•台湾）坐标平面上有两个二次函数的图形，其顶点P、Q皆在x轴上，且有一水平线与两图形
相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，若 AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为何
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．（2023•巴中）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与抛物线y＝ x2交于A、B两点，设A（x ，y ），
1 1
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B（x ，y ），则下列结论正确的个数为（ ）
2 2
①x •x ＝﹣4．
1 2
②y +y ＝4k2+2．
1 2
③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2．
④若点N（0，﹣1），则AN⊥BN．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2022•衢州）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的
值为（ ）
A． 或4 B． 或﹣ C．﹣ 或4 D．﹣ 或4
10．（2021•雅安）定义：min{a，b}＝ ，若函数y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大
值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
11.（2021•广元）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如
图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A． 或﹣3 B． 或﹣3 C． 或﹣3 D． 或﹣3
12．（2023•眉山）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称
轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＜0；
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③3a+c＝0；
④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．（2022•徐州）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为
．
14．（2023•益阳）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数 y＝2x的图象向上平移
1个单位得到y＝2x+1的图象；将二次函数y＝x2+1的图象向左平移2个单位得到y＝（x+2）2+1的图象，
若将反比例函数y＝ 的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是 ．
15．（2023•广州）已知点A（x ，y ），B（x ，y ）在抛物线y＝x2﹣3上，且0＜x ＜x ，则y y .（填
1 1 2 2 1 2 1 2
“＜”或“＞”或“＝”）
16．（2023•郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝ ．
17．（2020•温州）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y ），（m，y ）是抛物线上不同的两点，且y ＝12﹣y ，求m的值．
1 2 2 1
12
