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专题 23 圆的基本性质的核心知识点精讲
1.理解圆心角及其所对的弧、弦之间的关系；
2.理解并运用圆周角定理及其推论；
3.探索并证明垂径定理会应用垂径定理解决与圆有关的问题；
4.理解并运用圆内接四边形的性质.
考点1： 圆的定义及性质
圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形
成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
考点2：圆的有关概念
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2
倍。
⏜
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作 ，读作圆
AB
弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
考点3：垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
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3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
考点4：垂径定理的应用
经常为未知数，结合方程于勾股定理解答
考点5：圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
E
F
O
D
A
C
B
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的
弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
C
考点6：圆角角的概念
B O
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
A
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即： 圆周角
1
= 圆心角）
2 D C
B O
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 A
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
C
B A
O
推论 3：如果三角形一边上的中线 等于这边的一半，那么这个三角形是
直角三角形。
C
B A
考点7：圆内接四边形 O
圆的内接四边形定理：圆的内接四边 形的对角互补，外角等于它
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的内对角。
即：在⊙ 中， ∵四边 是内接四边形
D
C
∴
B
A E
【题型1：垂径定理及推论】
【典例1】（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，
主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A．20m B．28m C．35m D．40m
【答案】B
【解答】解：由题意可知，AB＝37m，CD＝7m，
设主桥拱半径为R m，
∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，
∵OC是半径，OC⊥AB，
∴AD＝BD＝ AB＝ （m），
在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，
∴（ ）2+（R﹣7）2＝R2，
解得R＝ ≈28．
故选：B．
1．（2023•长沙）如图，点A，B，C在半径为2的 O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交 O于
点D，连接OA，则OE的长度为 1 ．
⊙ ⊙
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【答案】1．
【解答】解：如图，连接OB，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵OD⊥AB，
∴ ＝ ，∠OEA＝90°，
∴∠AOD＝∠BOD＝ ∠AOB＝60°，
∴∠OAE＝90°﹣60°＝30°，
∴OE＝ OA＝ ×2＝1，
故答案为：1．
2．（2023•宜昌）如图，OA，OB，OC都是 O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则
BD的长为（ ）
⊙
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解答】解：∵AD＝CD＝8，
∴OB⊥AC，
在Rt△AOD中，OA＝ ＝ ＝10，
∴OB＝10，
∴BD＝10﹣6＝4．
故选：B．
3．（2023•衢州）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且
紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 1 0 cm．
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【答案】10．
【解答】解：由题意得：BC＝16cm，CD＝4cm，
如图，连接OA，过点O作OE⊥BC，交BC于点E，交AD于点F，
则∠OEC＝90°，
∵餐盘与BC边相切，
∴点E为切点，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴四边形CDFE是矩形，OE⊥AD，
∴CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝ AD＝ ×16＝8（cm），
设餐盘的半径为x cm，
则OA＝OE＝x cm，
∴OF＝OE﹣EF＝（x﹣4）cm，
在Rt△AFO中，由勾股定理得：AF2+OF2＝OA2，
即82+（x﹣4）2＝x2，
解得：x＝10，
∴餐盘的半径为10cm，
故答案为：10．
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【题型2：圆周角和圆心角】
【典例2】（2023•广西）如图，点A，B，C，在 O上，∠C＝40°．则∠AOB的度数是（ ）
⊙
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【解答】解：∵∠C＝ ∠AOB，∠C＝40°，
∴∠AOB＝80°．
故选：D．
1．（2023•甘孜州）如图，点A，B，C在 O上，若∠C＝30°，则∠ABO的度数为（ ）
⊙
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解答】解：∵∠C＝30°，
∴∠AOB＝2∠C＝60°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝ ×（180°﹣∠AOB）＝60°，
故选：C．
2．（2023•河南）如图，点A，B，C在 O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（ ）
⊙
A．95° B．100° C．105° D．110°
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【答案】D
【解答】解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝55°，
∴∠AOB＝110°，
故选：D．
【题型3：弧、弦、圆心角】
【典例3】（2023•广东）如图，AB是 O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝（ ）
⊙
A．20° B．40° C．50° D．80°
【答案】B
【解答】解：∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝40°，
∵ ＝ ，
∴∠D＝∠ABC＝40°，
故选：B．
1．（2023•泰安）如图，AB是 O的直径，D，C是 O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是（
）
⊙ ⊙
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】A
【解答】解：解法一：如图，连接OC，
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∵∠ADC＝115°，
∴优弧 所对的圆心角为2×115°＝230°，
∴∠BOC＝230°﹣180°＝50°，
∴∠BAC＝ ∠BOC＝25°，
故选：A．
解法二：∵∠ADC＝115°，
∴∠ABC＝180°﹣115°＝65°，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣65°＝25°，
故选：A．
2．（2023•枣庄）如图，在 O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为
（ ）
⊙
A．32° B．42° C．48° D．52°
【答案】A
【解答】解：∵∠A＝48°，∠APD＝80°，
∴∠C＝80°﹣48°＝32°，
∵ ，
∴∠B＝∠C＝32°．
故选：A．
3．（2023•宜宾）如图，已知点A，B，C在 O上，C为 的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于（
）
⊙
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A．140° B．120° C．110° D．70°
【答案】A
【解答】解：连接OC，如图：
∵∠BAC＝35°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝70°，
∵C为 的中点．
∴ ＝ ，
∴∠AOC＝∠BOC＝70°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°，
故选：A．
4．（2023•牡丹江）如图，A，B，C为 O上的三个点，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，则∠BAC的
度数是（ ）
⊙
A．20° B．18° C．15° D．12°
【答案】C
【解答】解：∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵∠AOB＝4∠BOC，
∴∠BOC＝30°，
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∴∠BAC＝ ∠BOC＝15°．
故选：C．
【题型4：圆内接四边形】
【典例4】（2023•西藏）如图，四边形 ABCD内接于 O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则
∠BOD的度数是（ ）
⊙
A．65° B．115° C．130° D．140°
【答案】C
【解答】解：∵∠DCE＝65°，
∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣65°＝115°，
∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠BAD+∠DCB＝180°，
⊙
∴∠BAD＝65°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝2×65°＝130°，
故选：C．
1．（2023•朝阳）如图，四边形ABCD内接于 O，若∠C＝120°， O的半径为3，则 的长为（ ）
⊙ ⊙
A． B．2 C．3 D．6
【答案】B
π π π π
【解答】解：∵∠C＝120°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝60°，
∴∠BOD＝2∠A＝120°，
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∴ 的长为 ＝2 ，
故选：B．
π
2.（2023•宁夏）如图，四边形ABCD内接于 O，延长AD至点E，已知∠AOC＝140° 那么∠CDE＝ 7 0
°．
⊙
【答案】70．
【解答】解：∵∠CDE+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠B＝ ∠AOC＝ ×140°＝70°，
∴∠CDE＝70°．
故答案为：70．
3．（2023•温州）如图，四边形ABCD内接于 O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝ ，则
∠CAO的度数与BC的长分别为（ ）
⊙
A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
【答案】C
【解答】解：连接OB，OC，
∵BC∥AD，
∴∠DBC＝∠ADB，
∴ ＝ ，
∴∠AOB＝∠COD，∠CAD＝∠BDA，
∵DB⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠CAD＝∠BDA＝45°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，∠COD＝2∠CAD＝90°，
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∵∠AOD＝120°，
∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB，
∵OA＝OD，∠AOD＝120°，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴AD＝ OA＝ ，
∴OA＝1，
∴BC＝1，
∴∠CAO＝∠CAD﹣∠OAD＝45°﹣30°＝15°．
故选：C．
一．选择题（共9小题）
1．如图，点A、B、C在 O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为（ ）
⊙
A．38° B．76° C．80° D．60°
【答案】B
【解答】解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝38°，
∴∠AOB＝76°，
故选：B．
2．如图，△ABC的三点都在 O上，AB是直径，∠BAD＝50°，则∠ACD的度数是（ ）
⊙
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A．40° B．50° C．55° D．60°
【答案】A
【解答】解：∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∵∠BAD＝50°，
∴∠BAD＝∠BCD＝50°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°．
故选：A．
3．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长
是（ ）
A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝4，
设OF＝x，则ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2
即：（4﹣x）2+22＝x2
解得：x＝2.5
故选：B．
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4．如图，四边形ABCD内接于 O，AB是 O的直径，连接AC，若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（
）
⊙ ⊙
A．40° B．50° C．110° D．130°
【答案】D
【解答】解：∵AB为 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠ADC＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，
⊙
故选：D．
5．如图，△ABC是 O的内接三角形，∠BAC＝35°，则∠BOC的度数为（ ）
⊙
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】C
【解答】解：∵∠BAC＝35°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×35°＝70°．
故选：C．
6．如图，AB是 O的直径，点C、D在 O上．若∠BAC＝30°．则∠ADC的大小是（ ）
⊙ ⊙
A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】B
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【解答】解：连接BC，
∵AB是 O的直径，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
⊙
∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，
故选：B．
7．如图，已知AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠ACD＝22.5°，CD＝4，则 O的半径长为
（ ）
⊙ ⊙
A．2 B．2 C．4 D．10
【答案】B
【解答】解：连接OD，如图所示：
∵AB是 O的直径，弦CD⊥AB，CD＝4，
⊙
∴CE＝DE＝ CD＝2，
∵∠ACD＝22.5°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝45°，
∴△DOE为等腰直角三角形，
∴OD＝ DE＝2 ，
即 O的半径为2 ，
故选：B．
⊙
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8．如图，四边形ABCD内接于 O，若∠C＝130°，则∠BOD的度数为（ ）
⊙
A．50° B．100° C．130° D．150°
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠A+∠C＝180°，而∠C＝130°，
⊙
∴∠A＝180°﹣∠C＝50°，
∴∠BOD＝2∠A＝100°．
故选：B．
9．如图，AB，CD是 O的弦，延长AB，CD相交于点E，已知∠E＝30°，∠AOC＝100°，则 所对的圆
心角的度数是（ ）
⊙
A．30° B．40° C．50° D．70°
【答案】B
【解答】解：如图，连接OA，OB，OB，OD，
∵OA＝OC，∠AOC＝100°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠E＝30°，
∴∠EAC+∠ECA＝180°﹣30°＝150°，
∴∠OAB+∠OCD＝150°﹣40°﹣40°＝70°，
∴∠AOB+∠COD＝180°×2﹣70°×2＝220°，
∴∠BOD＝360°﹣100°﹣220°＝40°，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
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10．如图，四边形ABCD内接于 O，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的度数是 10 5
°．
⊙
【答案】105．
【解答】解：∵∠BAD＝105°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝75°，
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝105°．
故答案为：105．
11．如图，△ABC内接于 O，BD是 O的直径，若∠ABD＝62°，则∠C的度数是 28 ° ．
⊙ ⊙
【答案】28°．
【解答】解：连接AD，
∵BD是 O的直径，
∴∠BAD＝90°，
⊙
∵∠ABD＝62°，
∴∠D＝90°﹣∠ABD＝28°，
∴∠C＝∠D＝28°，
故答案为：28°．
12．如图，某同学准备用一根内半径为5cm的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度AB为8cm，则槽的深度
CD为 2 cm．
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【答案】2．
【解答】解：如图，由题意可知，OA＝5cm，OC⊥AB，则 cm，
在Rt△ADO中，由勾股定理得，
OD＝ ＝3（cm），
∴CD＝OC﹣OD
＝5﹣3
＝2（cm）．
故答案为2．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此
圆弧的圆心坐标为 （ 2 ， 1 ） ．
【答案】（2，1）．
【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），
连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，
∴Q点的坐标是（2，1），
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故答案为：（2，1）．
14．如图，点A，B，C，D在 O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，则∠ADC＝ 100 ° ．
⊙
【答案】100°．
【解答】解：∵∠ABD＝50°，
∴∠ACD＝50°，
∵∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACD＝180°﹣30°﹣50°＝100°．
故答案为：100°．
三．解答题（共1小题）
15．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，
以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD为 O的直
径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为多少？
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，
∴AE＝BE＝5，
设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x
∵CE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
解得：x＝13
所以CD＝26（寸）．
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一．选择题（共10小题）
1．如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，∠B＝128°，则∠AOC的度数是（ ）
⊙
A．100° B．128° C．104° D．124°
【答案】C
【解答】解：四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠B+∠D＝180°，即∠D＝180°﹣∠B＝52°，
⊙
由圆周角定理可得：∠AOC＝2∠D＝104°，
故选：C．
2．如图，△ABC内接于 O，E是 的中点，连接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，则∠OEB的度数为（
）
⊙
A．70° B．65° C．60° D．55°
【答案】D
【解答】解：连接OB、OC，则∠BOC＝2∠BAC＝140°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝20°，
∵E是 的中点，
∴ ，
∴∠EBC＝∠EAC＝∠EAB＝ ∠BAC＝35°，
∴∠OBE＝∠OBC+∠EBC＝55°，
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∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠OBE＝55°，
故选：D．
3．如图，PA，PB分别切 O于点A，B，点C在AB上，若四边形ACBO为菱形，则∠APB为（ ）
⊙
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解答】解：连接CO，
∵四边形ACBO为菱形，
∴OA＝OB＝BC＝AC＝OC，
∴△OBC与△OAC是等边三角形，
∴∠BOC＝∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵PA，PB分别切 O于点A，B，
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
⊙
∴∠P＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO＝60°，
故选：C．
4．如图，AB为 O的直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD，点D与
圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠DCA的度数为（ ）
⊙
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A．38° B．40° C．42° D．44°
【答案】A
【解答】解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝26°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣26°＝64°，
根据翻折的性质， 所对的圆周角为∠B， 所对的圆周角为∠ADC，
∴∠DCA＝∠B﹣∠BAC＝64°﹣26°＝38°，
故选：A．
5．如图，AB是 O的直径，点C为圆上一点，AC＝4 ，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E
是BD的中点，则BC的长为（ ）
⊙
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解答】解：连接OD交AC于F，如图，
∵D是弧AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴AF＝CF，
∵AB是直径，
∴∠C＝90°，
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∴OD∥BC，
∴∠D＝∠CBE，
∵E是BD的中点，
∴BE＝DE，
∵∠BEC＝∠DEF，
∴△BCE≌△DFE（ASA），
∴BC＝DF，
∵OF＝ BC，
∴OF＝ DF，
∴OF＝ OD，
设BC＝x，则OD＝ x，
∴AB＝2OD＝3x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴（3x）2＝（4 ）2+x2，
解得x＝2，
BC＝2．
故选：C．
6．如图，在半圆ACB中，AB＝6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若弧BC恰好过圆心O，则BC
的长是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
π π π
【解答】解：过点O作OD⊥BC于E，交半圆O于D点，连接AC，如图，
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∵半圆O沿BC所在的直线折叠，圆弧BC恰好过圆心O，
∴ED＝EO，
∴OE＝ OB，
∵OD⊥BC，
∴∠OBC＝30°，即∠ABC＝30°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝ AC＝3 ．
故选：A．
7．如图，AB为圆O一条弦，OD⊥AB交AB于N，劣弧AB于点D，在圆上取一点C，连接AC交OD于
M，连接DC，若∠ACD＝30°，M平分ON，且DN＝2，则AM＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵∠ACD＝30°，∠C＝ ∠AOD，
∴∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∵AN⊥OD，
∴ON＝DN＝2，
∴OA＝OD＝ON+DN＝4，
∵M平分ON，
∴MN＝ ON＝1，
∵△AOD是等边三角形，AN⊥OD，
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∴AN＝ OA＝2 ，
∴AM＝ ＝ ．
故选：A．
8．如图，已知四边形ABCD内接于 O， ＝ ，AD、BC的延长线相交于点E，AF为直径，连接BF．
若∠BAF＝32°，∠E＝40°，则∠CBF的度数为（ ）
⊙
A．16° B．24° C．12° D．14°
【答案】D
【解答】解：∵AF为圆的直径，
∴∠ABF＝90°， ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴∠DAF＝∠BAF＝32°，
∴∠BAD＝64°，
∵∠E＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD﹣∠E＝76°，
∴∠CBF＝∠ABF﹣∠ABC＝14°．
故选：D．
9．如图， O是△ABC的外接圆，∠ACB＝36°，则∠ABO的度数为（ ）
⊙
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A．36° B．45° C．54° D．72°
【答案】C
【解答】解：连接OA，
∵∠ACB＝36°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝72°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝ （180°﹣∠AOB）＝54°，
故选：C．
10．如图，四边形ABCD内接于 O，连接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，则∠AOC的度数为（
）
⊙
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】D
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠B＝180°﹣∠BAD＝110°，
∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣110°＝70°，
⊙
由圆周角定理得∠AOC＝2∠D＝140°，
故选：D．
二．填空题（共4小题）
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11．如图，在 O中，弦AB，CD相交于点P，∠B＝35°，∠APD＝77°，则∠A的大小是 4 2 度．
⊙
【答案】42．
【解答】解：∵∠B＝35°，∠APD＝77°，
∴∠A＝∠D＝∠APD﹣∠B＝77°﹣35°＝42°，
故答案为：42．
12．如图，已知△ABC内接于 O，AB是 O的直径，CD平分∠ACB，交 O于点D，若AB＝6，则BD
的长为 3 ． ⊙ ⊙ ⊙
【答案】3 ．
【解答】解：连接AD，如图：
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，
⊙
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴ ＝ ，
∴AD＝BD，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴2BD2＝AB2，即2BD2＝36，
解得BD＝3 ．
故答案为：3 ．
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13．绍兴市是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽
AB为 8 m．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，连接OA，
∵CD＝8m，OA＝OC＝5m，
∴OD＝8﹣5＝3（m），
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
AD＝ ＝ ＝4（m），
∴AB＝2AD＝8（m），
故答案为：8．
14．如图，点A是 O中优弧BAD的中点，∠ABD＝70°，C为劣弧BD上一点，则∠BCD的度数为
140° ．
⊙
【答案】140°．
【解答】解：∵点A是 O中优弧BAD的中点，
即 ＝ ， ⊙
∴∠ADB＝∠ABD＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝40°，
∵∠A+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣40°＝140°．
故答案为：140°．
三．解答题（共2小题）
15．如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为
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弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．
【答案】0.4米．
【解答】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，
则BC＝ AB＝1.6（米），
设 O的半径为R，
在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，
⊙
∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，
解得R＝2，
即该圆弧所在圆的半径为2米；
（2）过O作OH⊥FE于H，
则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝ （米），OF＝2米，
在Rt△OHF中，HF＝ ＝ ＝1.6（米），
∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），
∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），
即支撑杆EF的高度为0.4米．
16．图1是某希望小学放心食堂售饭窗口外遮雨棚的示意图（尺寸如图所示），遮雨棚顶部是圆柱侧面的
一部分，其展开图是矩形．图2是遮雨棚顶部截面的示意图， 所在圆的圆心为O．遮雨棚顶部是用一
种帆布覆盖的，求覆盖遮雨棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留 ）．
π
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【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交 于F，如图，
由垂径定理，可知：E是AB中点，F是 中点，
∴EF是弓形高，
∴AE＝ AB＝2 ，EF＝2，
设半径为R米，则OE＝（R﹣2）米，
在Rt△AOE中，由勾股定理，得R2＝（R﹣2）2+（2 ）2，
解得R＝4，
∵sin∠AOE＝ ，
∴∠AOE＝60°，
∴∠AOB＝120度．
∴ 的长为 ＝ （m），
π
∴帆布的面积为 ×60＝160 （平方米）．
π π
1．（2023•杭州）如图，在 O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则
∠BAC＝（ ）
⊙
A．23° B．24° C．25° D．26°
【答案】D
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【解答】解：连接OC，
∵∠ABC＝19°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，
∵半径OA，OB互相垂直，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°，
∴∠BAC＝ ∠BOC＝26°，
故选：D．
2．（2023•淄博）如图，△ABC是 O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，连接
AD并延长交 O于点E．若AD＝2，DE＝3，则 O的半径为（ ）
⊙
⊙ ⊙
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：连接OA，OC，CE，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC＝OA，
∵∠AEC＝∠ACB＝30°，∠CAD＝∠EAC，
∴△ACD∽△AEC，
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∴ ，
∴AC2＝AD•AE，
∵AD＝2，DE＝3，
∴AC＝ ＝ ＝ ，
∴OA＝AC＝ ，
即 O的半径为 ，
故选：A．
⊙
3．（2023•荆州）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ ），点O是这段弧所在圆的圆心，B为 上
一点，OB⊥AC于D．若AC＝300 m，BD＝150m，则 的长为（ ）
A．300 m B．200 m C．150 m D．100 m
【答案】B
π π π π
【解答】解：∵OB⊥AC，
∴AD＝ AC＝150 m，∠AOC＝2∠AOB，
在Rt△AOD中，
∵AD2+OD2＝OA2，OA＝OB，
∴AD2+（OA﹣BD）2＝OA2，
∴ +（OA﹣150）2＝OA2，
解得：OA＝300m，
∴sin∠AOB＝ ＝ ，
∴∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
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∴ 的长＝ ＝200 m．
故选：B．
π
4．（2023•广元）如图，AB是 O的直径，点C，D在 O上，连接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，则
∠ACD的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．56° B．33° C．28° D．23°
【答案】C
【解答】解：∵∠BOD＝124°，
∴∠AOD＝180°﹣124°＝56°，
∴∠ACD＝ ∠AOD＝28°，
故选：C．
5．（2023•凉山州）如图，在 O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝2 ，则OC＝（ ）
⊙
A．1 B．2 C．2 D．4
【答案】B
【解答】解：连接OB，设OA交BC于E，如图：
∵∠ADB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵OA⊥BC，BC＝2 ，
∴BE＝ BC＝ ，
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在Rt△BOE中，sin∠AOB＝ ，
∴sin60°＝ ，
∴OB＝2，
∴OC＝2；
故选：B．
6．（2023•淮安）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，BC是 O的直径，BC＝2CD，则∠BAD的
度数是 12 0 °．
⊙ ⊙
【答案】120．
【解答】解：如图，连接OD，
∵BC是 O的直径，BC＝2CD，
∴OC＝OD＝CD，
⊙
∴△COD为等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C＝180°，
⊙
∴∠BAD＝120°，
故答案为：120．
7．（2023•襄阳）如图，四边形ABCD内接于 O，点E在CD的延长线上．若∠ADE＝70°，则∠AOC＝
140 度．
⊙
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【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵四边形ABCD内接于 O，∠ADE＝70°，
∴∠B＝∠ADE＝70°，
⊙
∴∠AOC＝2∠B＝140°．
故答案为：140．
8．（2023•绍兴）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是 80 ° ．
【答案】80°．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠D＝100°，
∴∠B＝80°．
故答案为：80°．
9．（2023•永州）如图， O是一个盛有水的容器的横截面， O的半径为10cm，水的最深处到水面AB
的距离为4cm，则水面AB的宽度为 1 6 cm．
⊙ ⊙
【答案】16．
【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于点C，交 O于点D，连接OA，
⊙
∴ ，
由题意知，OA＝10cm，CD＝4cm，
∴OC＝6cm，
在Rt△AOC中， （cm），
∴AB＝2AC＝16（cm），
故答案为：16．
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10．（2023•常德）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆
术”，如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在 上，CD⊥AB．“会圆
术”给出 长l的近似值s计算公式： ，当OA＝2，∠AOB＝90°时，|l﹣s|＝ 0. 1 ．（结
果保留一位小数）
【答案】0.1．
【解答】解：如图，连接OC，
∵AO＝2，∠AOB＝90°，
∴OB＝2，AB＝2 ，
∵C是弦AB的中点，D在 上，CD⊥AB，
∴CO⊥AB，即D、C、O共线，
∴CO＝ ，CD＝2﹣ ，
∵ ，
∴s＝2 + ＝3，
∵l＝2 ×2× ≈3.1，
∴|l﹣s|≈0.1
π
故答案为：0.1．
36
