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专题 04 二次根式的核心知识点精讲
1.了解二次根式的概念及其有意义的条件．
2．了解最简二次根式的概念，并会把二次根式化成最简二次根式．
3．掌握二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除、乘方运算法则，会用它们进行有管的简单四则运
算．
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【题型1：二次根式有意义的条件】
【典例1】（2023•济宁）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠2
【答案】D
【解答】解：由题意得x≥0且x﹣2≠0，
解得x≥0且x≠2，
故选：D．
1．（2023•金华）要使 有意义，则x的值可以是（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【答案】D
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
则x的值可以是2，
故选：D．
2．（2023•通辽）二次根式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：二次根式 在实数范围内有意义，
则1﹣x≥0，
解得：x≤1，
则实数x的取值范围在数轴上表示为：
．
故选：C．
3．（2023•湘西州）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x ≥ 5 ．
【答案】x≥5．
【解答】解：由二次根式 在实数范围内有意义可得：
2x﹣10≥0，
解得：x≥5；
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故答案为：x≥5．
【题型2：二次根式的性质】
【典例2】（2023•泰州）计算 等于（ ）
A．±2 B．2 C．4 D．
【答案】B
【解答】解： ＝2．
故选：B．
1．（2021•苏州）计算（ ）2的结果是（ ）
A． B．3 C．2 D．9
【答案】B
【解答】解：（ ）2＝3．
故选：B．
2.（2023•青岛）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解： 与 无法合并，则A不符合题意；
2 ﹣ ＝ ，则B不符合题意；
× ＝ ＝ ，则C符合题意；
÷3＝ ＝ ，则D不符合题意；
故选：C．
3．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则 + 等于（ ）
A．2m﹣10 B．10﹣2m C．10 D．4
【答案】D
【解答】解：∵2、5、m是某三角形三边的长，
∴5﹣2＜m＜5+2，
故3＜m＜7，
∴ +
＝m﹣3+7﹣m
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＝4．
故选：D．
4．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣ + ＝ 2 ．
【答案】2．
【解答】解：由数轴可得，
﹣1＜a＜0，1＜b＜2，
∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴|a+1|﹣ +
＝a+1﹣（b﹣1）+（b﹣a）
＝a+1﹣b+1+b﹣a
＝2，
故答案为：2．
【题型3：二次根式的运算】
【典例3】（2023•金昌）计算： ÷ ×2 ﹣6 ．
【答案】6 ．
【解答】解：原式＝3 × ×2 ﹣6
＝12 ﹣6
＝6 ．
1．（2023•聊城）计算：（ ﹣3 ）÷ ＝ 3 ．
【答案】3．
【解答】解：原式＝（4 ﹣3× ）÷
＝（4 ﹣ ）÷
＝3 ÷
＝3．
故答案为：3．
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2．（2023•山西）计算： 的结果为 ﹣ 1 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：原式＝（ ）2﹣（ ）2
＝2﹣3
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
3．（2023•兰州）计算： ．
【答案】 ．
【解答】解：原式＝3 ﹣2
＝ ．
4．（2023•陕西）计算： ．
【答案】2 ﹣2．
【解答】解：原式＝﹣3+ +1
＝2 ﹣3+1
＝2 ﹣2．
1．（2023秋•福鼎市期中）下列各数不能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A、∵ ＝ ＝ ，∴ 能与 合并，故A不符合题意；
B、∵ ＝2 ，∴ 不能与 合并，故B符合题意；
C、∵ ＝3 ，∴ 能与 合并，故C不符合题意；
D、∵ ＝4 ，∴ 能与 合并，故D不符合题意；
故选：B．
2．（2023秋•云岩区校级期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
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【解答】解：A、 ＝ ＝ ，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 ＝ ＝4 ，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 ＝ ，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
3．（2022秋•泉州期末）若二次根式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜3 B．x≠3 C．x≤3 D．x≥3
【答案】C
【解答】解：∵二次根式 有意义，
∴3﹣x≥0，
解得：x≤3．
故选：C．
4．（2023秋•龙泉驿区期中）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A、± ＝±3，故A不符合题意；
B、 与﹣ 不能合并，故B不符合题意；
C、2 ﹣ ＝ ，故C不符合题意；
D、 ÷ ＝ ，故D符合题意；
故选：D．
5．（2023秋•锦江区校级期中）若a＞b＞0，则 的结果是（ ）
A．a B．2b﹣a C．a﹣2b D．﹣a
【答案】A
【解答】解：∵a＞b＞0，
∴ + ＝|b|+|b﹣a|＝b+a﹣b＝a，
故选：A．
6．（2023春•河东区期中）把x 根号外的因数移到根号内，结果是（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【答案】C
【解答】解：由x 可知x＜0，
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所以x ＝﹣ ＝﹣ ，
故选：C．
7．（2023春•铁岭县期末）计算： 的结果是（ ）
A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣
【答案】B
【解答】解：
＝ ﹣
＝2﹣2
＝0，
故选：B．
8．（2023春•抚顺月考）二次根式 的计算结果是（ ）
A． B． C．± D．
【答案】B
【解答】解：
＝
＝ ×
＝3 ，
故选：B．
9．（2023春•西丰县期中）已知a＝ +2，b＝ ﹣2，则a﹣b的值是（ ）
A．2 B．4 C．2 +4 D．2 ﹣4
【答案】B
【解答】解：∵a＝ +2，b＝ ﹣2，
∴a﹣b＝ +2﹣（ ﹣2）
＝ +2﹣ +2
＝4，
故选：B．
10．（2023春•工业园区期末）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【答案】D
【解答】解：A、∵ ＝2 ，
∴ 与 不是同类二次根式，
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故A不符合题意；
B、∵ ＝2 ，
∴ 与 不是同类二次根式，
故B不符合题意；
C、 与 不是同类二次根式，故C不符合题意；
D、∵ ＝2 ，
∴ 与 是同类二次根式，
故D符合题意；
故选：D．
11．（2023春•武昌区校级期中）若 是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 6 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解： ＝2 ，
∵ 是整数，
∴满足条件的最小正整数n＝6．
故答案为：6．
12．（2023春•固镇县月考）计算 ＝ ﹣ ．
【答案】﹣ ．
【解答】解：
＝2 ﹣3
＝﹣ ，
故答案为：﹣ ．
13．（2023春•高安市期中）化简计算： ＝ 2 ．
【答案】2．
【解答】解：
＝（ ）2﹣12
＝3﹣1
＝2，
故答案为：2．
14．（2023秋•高新区校级期中）计算：
（1） × ；
（2） ．
【答案】（1）﹣11 ；
（2）5﹣4 ．
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【解答】解：（1） ×
＝ ﹣4×3
＝ ﹣12
＝﹣11 ；
（2）
＝4﹣5+4﹣4 +2
＝5﹣4 ．
15．（2023秋•秦都区校级期中）计算： ﹣ × ．
【答案】4﹣ +2 ．
【解答】解： ﹣ ×
＝ 3﹣ +2
＝ ﹣ +2
＝4﹣ +2 ．
1．（2022秋•鼓楼区校级期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简 结果
为（ ）
A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
【答案】A
【解答】解：∵由图可知：4＜a＜10，
∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，
∴原式＝ +
＝a﹣4+11﹣a＝7．
故选：A．
2．（2023春•新郑市校级期末）若 ＝ 在实数范围内成立，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥4 C．1≤x≤4 D．x＞4
【答案】D
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【解答】解：∵ ＝ 在实数范围内成立，
∴x﹣1≥0，x﹣4＞0，
∴x＞4．
故选：D．
3．（2023秋•西安校级月考）若x，y都是实数，且 ，则xy的值是（ ）
A．0 B．4 C．2 D．不能确定
【答案】B
【解答】解：根据题意得，x﹣1≥0且1﹣x≥0，
解得x≥1且x≤1，
∴x＝1，
∴y＝4，
∴xy＝1×4＝4．
故选：B．
4．（2023•商水县一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古
希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记 ，则其面积
，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若 p＝5，c＝2，则此三角形面积
的最大值为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【解答】解：∵p＝ ，p＝5，c＝2，
∴5＝ ，
∴a+b＝8，
∴a＝8﹣b，
∴S＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
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当b＝4时，S有最大值为 ．
故选：C．
5．（2023秋•闵行区期中）计算： ＝ ．
【答案】 ．
【解答】解： ，
＝
＝
＝
＝
＝ ，
故答案为： ．
6．（2023春•科左中旗校级期末）观察下列等式：
第1个等式：a ＝ ＝ ﹣1，
1
第2个等式：a ＝ ＝ ，
2
第3个等式：a ＝ ＝2﹣ ，
3
第4个等式：a ＝ ＝ ﹣2，
4
…
按上述规律，计算a +a +a +…+a ＝ ﹣ 1 ．
1 2 3 n
【答案】见试题解答内容
【解答】解：第1个等式：a ＝ ＝ ﹣1，
1
第2个等式：a ＝ ＝ ，
2
第3个等式：a ＝ ＝2﹣ ，
3
第4个等式：a ＝ ＝ ﹣2，
4
…
a +a +a +…+a
1 2 3 n
＝ ﹣1+ ﹣ +…+ ﹣
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＝ ﹣1
故答案为： ﹣1．
7．（2023春•中江县月考）已知 的值是 7 ．
【答案】7．
【解答】解：∵m＝ +1，n＝ ＝ ﹣1，
∴m+n＝2 ，mn＝1，
∴m2+mn+n2＝（m+n）2﹣mn＝（2 ）2﹣1＝7．
故答案为：7．
8．（2023春•禹州市期中）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了
一个大长方形，已知小长方形的长为 ，宽为 ，则这个大长方形的周长为 2 2 ．
【答案】22 ．
【解答】解：∵大长方形的宽＝3 +2 ＝5 ，大长方形的长＝3 ×2＝6 ，
∴大长方形的周长＝（5 +6 ）×2＝22 ，
故答案为：22 ．
9．（2023春•宿豫区期末）计算 的结果为 3 ．
【答案】3 ．
【解答】解：原式＝ +
＝ +
＝2 +
＝3 ．
故答案为：3 ．
10．（2023秋•双流区校级期中）已知a＝3+ ，b＝3﹣ ，分别求下列代数式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2﹣3ab+b2．
【答案】（1）12 ；（2）1．
【解答】解：（1）∵a＝3+ ，b＝3﹣ ，
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∴a+b＝3+ +3﹣ ＝6，a﹣b＝3+ ﹣3+ ＝2 ，ab＝（3 ）（3 ）＝7，
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
＝6×
＝12 ；
（2）由（1）知a﹣b＝2 ，ab＝（3 ）（3 ）＝7，
∴a2﹣3ab+b2
＝（a﹣b）2﹣ab，
＝
＝8﹣7
＝1．
11．（2023春•双柏县期中）阅读下面问题：
＝ ＝ ﹣1；
＝ ＝ ﹣ ；
＝ ＝ ﹣2．
（1）求 的值；
（2）计算： + + +…+ + ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝ ＝ ﹣ ；
（2）原式＝ ﹣1+ ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ ＝10﹣1＝9．
12．（2023秋•二七区校级月考）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出： 该如何化简？
建立模型：形如 的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（ ）2+（
）2＝m， • ＝ ．
那么便有： （a＞b），
问题解决：化简： ，
解：首先把 化为 ，这里 m＝7，n＝12，由于 4+3＝7，4×3＝12，即
， ．
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∴ ，
模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：
（1） ；
（2） ．
模型应用2：
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣ ，AC＝ ，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，
结果化成最简）．
【答案】（1）1+ ；（2）2 ﹣ ；（3）2 ﹣2．
【解答】解：（1）m＝6，n＝5．
∵1+5＝6，1×5＝5，
∴（ ）2+（ ）2＝6， × ＝ ，
∴ ＝ ＝1+ ．
（2）∵ ＝ ．
∴m＝13，n＝40，
∵5+8＝13，5×8＝40，
∴（ ）2+（ ）2＝13， × ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝2 ．
（3）BC＝ ＝ ．
∵ ＝ ，
∴m＝16，n＝48，
∵4+12＝16，4×12＝48，
∴（ ）2+（ ）2＝16， × ＝ ，
∴BC＝ ＝ ＝ ＝2 ﹣2．
1．（2022•桂林）化简 的结果是（ ）
A．2 B．3 C．2 D．2
【答案】A
【解答】解： ＝2 ，
故选：A．
2．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则 +1+|a﹣1|的化简结果是（ ）
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A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
【答案】B
【解答】解：根据数轴得：0＜a＜1，
∴a＞0，a﹣1＜0，
∴原式＝|a|+1+1﹣a
＝a+1+1﹣a
＝2．
故选：B．
3．（2022•河北）下列正确的是（ ）
A． ＝2+3 B． ＝2×3 C． ＝32 D． ＝0.7
【答案】B
【解答】解：A、原式＝ ，故该选项不符合题意；
B、原式＝ × ＝2×3，故该选项符合题意；
C、原式＝ ＝92，故该选项不符合题意；
D、0.72＝0.49，故该选项不符合题意；
故选：B．
4．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A、 与 不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ，故C不符合题意；
D、 ，故D符合题意；
故选：D．
5．（2022•青岛）计算（ ﹣ ）× 的结果是（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【解答】解：（ ﹣ ）×
＝ ﹣
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＝ ﹣
＝3﹣2
＝1，
故选：B．
6．（2022•安顺）估计（ + ）× 的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】B
【解答】解：原式＝2+ ，
∵3＜ ＜4，
∴5＜2+ ＜6，
故选：B．
7．（2023•绵阳）若式子 在实数范围内有意义，则x的最小值为 ．
【答案】 ．
【解答】解：由题意可得2x﹣1≥0，
解得：x≥ ，
则x的最小值为 ，
故答案为： ．
8．（2023•丹东）若代数式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x ≥﹣ 2 ，且 x ≠ 1 ．
【答案】x≥﹣2，且x≠1．
【解答】解：由题可知，
x+2≥0，
即x≥﹣2，
又知分母不能等于0，
即x﹣1≠0，
则x≠1．
故答案为：x≥﹣2，且x≠1．
9.（2022•武汉）计算 的结果是 2 ．
【答案】2．
【解答】解：法一、
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＝|﹣2|
＝2；
法二、
＝
＝2．
故答案为：2．
10．（2023•内蒙古）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ＝ 2 ﹣ m ．
【答案】2﹣m．
【解答】解：由数轴可知：1＜m＜2，
∴m﹣2＜0，
∴ ＝|m﹣2|＝2﹣m．
故答案为：2﹣m．
11．（2022•荆州）若3﹣ 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+ a）•b的值是 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵1＜ ＜2，
∴1＜3﹣ ＜2，
∵若3﹣ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴a＝1，b＝3﹣ ﹣1＝2﹣ ，
∴（2+ a）•b＝（2+ ）（2﹣ ）＝2，
故答案为：2．
12．（2022•泰安）计算： • ﹣3 ＝ 2 ．
【答案】2 ．
【解答】解：原式＝ ﹣3×
＝4 ﹣2
＝2 ，
故答案为：2 ．
13．（2022•济宁）已知a＝2+ ，b＝2﹣ ，求代数式a2b+ab2的值．
【答案】﹣4．
【解答】解：∵a＝2+ ，b＝2﹣ ，
∴a2b+ab2
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＝ab（a+b）
＝（2+ ）（2﹣ ）（2+ +2﹣ ）
＝（4﹣5）×4
＝﹣1×4
＝﹣4．
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