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专题 18 直角三角形的核心知识点精讲
1.了解直角三角形的概念；
2.证明并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角 互余 (无需证明)；直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半；
3.掌握直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角 三角形；
4.掌握勾股定理；会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形；
5.掌握直角三角形全等的判定定理：斜边和一组直角边对应相等的两个直角三角形全等；
考点1：直角三角形的性质与判定
1.两锐角之和等于90°
2.斜边上的中线等于斜边的一半
3.30°角所对的直角边等于斜边的一半
1. 若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于
性质 30°（应用时需先证明）
2. 勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为 a，b,斜边为 c,则
直
1.有一个角为90°的三角形时直角三角形
角
2.有两个角的和时90°的三角形是直角三角形
三 1. 一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
角 判定 2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c若满足
形
，那么这个三角形为直角三角形。
，其中a是底边常，hs是底边上的高
面积公式
考点2： 勾股定理及逆定理
（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别
a，b c a2 b2 c2
为 ，斜边长为 ，那么 .
a，b，c
（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三 条 边 长 ， 满 足
a2 b2 c2
，那么这个三角形是直角三角形.
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（3）勾股数：像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
【题型1：直角三角形的性质与判定】
【典例1】（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，
则∠1＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
1．（2022•岳阳）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
2．（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有
许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为 120°，腰长为12m，则底
边上的高是（ ）
A．4m B．6m C．10m D．12m
【题型2：勾股定理及逆定理】
【典例2】（2023•恩施州）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今
有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”
译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出 4尺；竖放，竿比门高长出2尺；
斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的
长分别是 尺．
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1．（2023•天津）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于 的长为半径作弧（弧所在圆的
半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD
＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
2．（2023•东营）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至
C港，则A，C两港之间的距离为 km．
3．（2023•安徽）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面
积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：
如图，AD是锐角△ABC的高，则BD＝ （BC+ ）．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝
．
4．（2023•广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有
一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外
壁B处到内壁A处所走的最短路程为 cm．（杯壁厚度不计）
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【题型3：勾股定理与弦图、拼图】
【典例3】（2020•随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．
在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股
定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明
该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，
这三个图形中面积关系满足S +S ＝S 的有 个；
1 2 3
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积
分别为S ，S ，直角三角形面积为S ，请判断S ，S ，S 的关系并证明；
1 2 3 1 2 3
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，
重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大
正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3
＝∠ ，则当∠ 变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）
①a2+b2+c2+d2＝ ；
α α
②b与c的关系为 ，a与d的关系为 ．
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1．（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形
（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三
角形面积均为1， 为直角三角形中的一个锐角，则tan ＝（ ）
α α
A．2 B． C． D．
2．（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．
如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方
形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝ ．
一．选择题（共7小题）
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1．在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，沿CD折叠，使A点落在BC边上的E点，若∠B＝
26°，则∠CDE的度数为（ ）
A．52° B．71° C．72° D．81°
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝2，则
AD长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
4．以2，3为直角边的直角三角形斜边长为（ ）
A． B． C．4 D．5
5．下列各组数据是勾股数的是（ ）
A． ， ， B．4，5，6
C．0.3，0.4，0.5 D．9，40，41
6．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（
）
A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DB D．AB＝CD
7．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（
）
A．28° B．59° C．60° D．62°
二．填空题（共6小题）
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8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为线段AB的中点，则∠BCD＝ °．
9．我国古代数学著作《九章算术》记载了这样一个有趣的问题：“有一个水池，水面是边长为 10尺的正
方形，在水池中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果将这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端刚好
达到岸边的水面”，则水池的深度为 尺．
10．如图△ABC中，∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，则∠D＝ ．
11．如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C＝90°，则图中∠1+∠2的度数为 °．
12．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为边向外作正方形 ADEC，若图中阴影部分的面积为
9cm2，BC＝4cm，则AB＝ cm．
13．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长
为 ．
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三．解答题（共4小题）
14．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝DF．求证：
Rt△BDE≌Rt△CDF．
15．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24．
（1）证明：△ABC是直角三角形．
（2）请求图中阴影部分的面积．
16．如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发
现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（水平距离BC＝6m）时，秋千的踏板
离地的垂直高度BF＝CE＝3m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度？
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17．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
一．选择题（共5小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD沿线段BD翻折，使得
点A落在A'处，若∠A'BC＝20°，则∠CBD＝（ ）
A．5° B．10° C．15° D．20°
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，以顶点B为圆心、适当长为半径作弧，在边BC、BA上
截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作
射线BF交AC于点G．若AC＝6，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
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A．3 B．2 C．1 D．无法确定
3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连接PC，那点
P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
4．如图，线段OP＝1，过点P作PP ⊥OP且PP ＝1，连结OP ；过点P 作P P ⊥OP 且P P ＝1，连结
1 1 1 1 1 2 1 1 2
OP ；过点P 作P P ⊥OP 且P P ＝1，连结OP ，则OP 的长为（ ）
2 2 2 3 2 2 3 3 3
A．1 B． C． D．2
5．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S 、S 、S 、S 的关系为（ ）
1 2 3 4
A．S +S +S ＝S B．S +S ＝S +S
1 2 3 4 1 2 3 4
C．S +S ＝S +S D．不能确定
1 3 2 4
二．填空题（共3小题）
6．如图，在△ABC，∠ACB＝90°，分别以三边为直径向上作三个半圆．若AB＝5，AC＝4，则阴影部分图
形的面积为 ．
7．如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块．已知AD＝12米，AB＝8米，该木块的较
长边与AD平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程
是 米．
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8．如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数
学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长
直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周
长
为 cm．
三．解答题（共4小题）
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、
BC边上匀速移动，它们的速度分别为V ＝2cm/s，V ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止
P Q
运动，设点P的运动时间为t s．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
10．如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点B在直线CD上，分别过点A、E作AC⊥直线CD于点
C，ED⊥直线CD于点D．
（1）求证：CD＝AC+ED．
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（2）若设△ABC三边长分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
11．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，
CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等．
问：（1）在离A站多少km处？
（2）判定三角形DEC的形状．
12．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．
如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两
点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内
的地区会受到影响．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
1．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝
90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（ ）
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A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm
2．（2022•永州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC
的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
3．（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方
形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成
的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
4．（2022•陕西）如图，是一个棱长为1的正方体纸盒．若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A
爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是（ ）
A． B．2 C． D．3
5．（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交
AC于点E，则∠EBC＝ ．
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6．（2023•郴州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝
．
7．（2023•大连）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），连接AB，以
点A为圆心、AB的长为半径画弧，与x轴正半轴相交于点C，则点C的横坐标是 ．
8．（2023•随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的
角平分线，则AD＝ ．
9．（2023•扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦
图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边
长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为 ．
10．（2021•杭州）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC
＝60°，∠C＝45°．
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（1）求证：AB＝BD；
（2）若AE＝3，求△ABC的面积．
15
