2025新教材数学高考第一轮复习
专题四 导数及其应用
4.1 导数的概念及运算
五年高考
考点 导数的运算及几何意义
1.(2020课标Ⅰ理,6,5分,易)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1, f(1))处的切线方程为 ( )
A.y=-2x-1 B.y=-2x+1
C.y=2x-3 D.y=2x+1
2.(2019课标Ⅲ,文7,理5,5分,易)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,
则 ( )
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1
3.(2021新高考Ⅰ,7,5分,中)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则( )
A.eb<a B.ea<b C.0<a<eb D.0<b<ea
1
4.(2020课标Ⅲ理,10,5分,易)若直线l与曲线y=√x和圆x2+ y2= 都相切,则l的方程为
5
( )
1
A.y=2x+1 B.y=2x+
2
1 1 1
C.y= x+1D.y= x+
2 2 2
2x−1
5.(2021全国甲理,13,5分,易)曲线y= 在点(-1,-3)处的切线方程为 .
x+2
x
6.(2019天津文,11,5分,易)曲线y=cos x- 在点(0,1)处的切线方程为 .
2
7.(2018天津文,10,5分,易)已知函数 f(x)=ex·ln x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(1)的值为
.
8.(2022 新高考Ⅱ,14,5 分,中)曲线 y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ,
.
9.(2022新高考Ⅰ,15,5分,中)若曲线y=(x+a)·ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围
是 .
10.(2021新高考Ⅱ,16,5分,中)已知函数f(x)=|ex-1|,x <0,x >0,函数f(x)的图象在点A(x , f(x ))
1 2 1 1
|AM|
和点B(x , f(x ))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则 的取值范围是
2 2 |BN|.
11.(2022全国甲,20,12分,中)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x , f(x ))处的切
1 1
线也是曲线y=g(x)的切线.
(1)若x =-1,求a;
1
(2)求a的取值范围.
三年模拟
综合基础练
lim f(1−2Δx)−f(1)
1.(2024届江苏苏州中学月考,4)已知函数f(x)=x4-3x,则 =( )
Δx→0
Δx
A.-2 B.2 C.2e D.-2e
2.(2024届陕西榆林中学期中,3)下列求导运算正确的是 ( )
A.(
x+
1)
'=1+
1 B.(log
2
x)'= 1
x x2 xln2
C.(3x)'=3x·log e
D.(x2
)
2x+x2
3 '=
ex ex
3.(2023湖南长沙长郡中学月考,3)已知函数y=f(x)的图象在点 P(3, f(3))处的切线方程是
y=-2x+7,则f(3)-f '(3)= ( )
A.-2 B.2C.-3 D.3
4.(2024届江苏苏州联考期中,3)设f '(x )为函数 f(x)在x 处的导数,则满足 f '(1)<f '(2)<f
0 0
'(3)的函数f(x)的图象可能是 ( )
5.(2023山东济南模拟,3)已知函数f(x)的导函数为f '(x),且满足f(x)=2xf '(e)+ln x(e为自然
对数的底数),则f '(e)等于 ( )
1 1
A. B.1C.− D.-1
e e
6.(2023江苏无锡中学测试,3)已知函数f(x)与g(x)的部分图象如图所示,则 ( )
A.g'(-1)<0<f '(-1) B.0<f '(-1)<g'(-1)
C. f '(-1)<0<g'(-1) D. f '(3)>g'(3)
1
7.(2023山东潍坊三模,6)若P为函数f(x)= ex−√3x图象上的一个动点,以P为切点作曲
2
线y=f(x)的切线,则切线倾斜角的取值范围是 ( )
A.[ 2π) (π 2π)
0, B. ,
3 2 3
C.(2π ) [ π) (2π )
,π D. 0, ∪ ,π
3 2 3
8.(多选)(2024届山东菏泽模拟,9)若曲线f(x)=xsin x-1在x=π处的切线与直线ax+2y+1=0
互相垂直,则 ( )
A. f '(x)=sin x-xcos xB. f '(x)=sin x+xcos x
C. f '(π)=-π
2
D.a=-
π
9.(2024届湖南湘潭期末,13)已知在一次降雨过程中,某地降雨量y(单位:mm)与时间t(单位:
min)的函数关系可近似表示为y=√t,则在t=4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的
瞬间变化率)为 mm/min.
10.(2023天津南开中学模拟,10)已知f '(x)是函数f(x)的导函数,若f(x)=f '(1)ln(x+1)+ex,则f
'(0)= .
11.(2024 届湖南雅礼中学模拟,13)已知曲线 y=x2-ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+
(a+2)x+1也相切,则a= .
综合拔高练
1.(2024届江西联考期中,6)若函数f(x)=cos ωx+aln|x|+bx2+c满足f '(π) 2,则f '( π)=
= −
2 π 2
( )
2 2 π π
A. B.− C. D.−
π π 2 2
2.(2024届江苏南京一中模拟,6)已知a=√2,b=log 3,c=e2,设曲线y=ln x3-x3在x=k,k>0处的
2
切线斜率为f(k),则 ( )
A. f(c)<f(b)<f(a) B. f(a)<f(c)<f(b)
C. f(c)<f(a)<f(b) D. f(a)<f(b)<f(c)
1
3.(2023江西赣抚吉十一校联考,11)若函数f(x)=3x+ -3(x>0)的图象与函数g(x)=txex的图象
x
1
有公切线l,且直线l与直线y=- x+2互相垂直,则实数t= ( )
2
1
A. B.e2
e
1 1
C. 或2√eD. 或4√e
e e
4.(多选)(2024届湖北武汉校考,9)下列求函数的导数正确的是( )
2
A.[ln(2x+1)]'=
2x+1
B.(e5x-4)'=e5x-41
C.(√2x−1)'=
√2x−1
D.[ ( π)] ( π)
cos 2x+ '=−2sin 2x+
3 3
5.(多选)(2023山东滨州模拟,10)若曲线y=(x+a)e2x(e为自然对数的底数)有两条过坐标原
点的切线,则a的取值可以是( )
A.-3 B.-2 C.0 D.1
3
6.(多选)(2024届江西九江模拟,9)可能把直线y= x+m作为切线的曲线是 ( )
2
1
A.y=- B.y=cos x
x
C.y=ln x D.y=ex
7.(多选)(2023安徽滁州模拟,9)已知曲线y=f(x)在(0,0)处的切线与曲线y=xf(x)在(2,6)处的
切线重合,则 ( )
A. f(2)=3
B. f '(2)=3
C. f '(0)=3
D.曲线y=f(x)在(2,3)处的切线方程为y=3
8.(2024届江苏镇江期中,16)已知函数f(x)=ex的图象与直线y=kx+2k相切,则k= .
9.(2024届江苏南京外国语中学期末,15)若直线y=kx+b是曲线y=ex-1和y=ex-1的公切线,则
实数b的值是 .
10.(2024届湖南衡阳八中月考,11)已知a,b为正实数,直线y=x-2a与曲线y=ln(x+b)相切,则
1 2
+ 的最小值是 .
a b
sin πx
11.(2024届广东广州期末,15)已知函数f(x)在R上满足2f(x)=f(2-x)+x2+4x-4- ,则曲
π
线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是 .
12.(2024届山东济南莱芜一中期中,14)若点P是曲线y=ln x-x2上任意一点,则点P到直线
l:x+y-4=0距离的最小值为 .专题四 导数及其应用
4.1 导数的概念及运算
五年高考
考点 导数的运算及几何意义
1.(2020课标Ⅰ理,6,5分,易)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1, f(1))处的切线方程为 ( )
A.y=-2x-1 B.y=-2x+1
C.y=2x-3 D.y=2x+1
答案 B
2.(2019课标Ⅲ,文7,理5,5分,易)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,
则 ( )
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1
答案 D
3.(2021新高考Ⅰ,7,5分,中)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则( )
A.eb<a B.ea<b C.0<a<eb D.0<b<ea
答案 D
1
4.(2020课标Ⅲ理,10,5分,易)若直线l与曲线y=√x和圆x2+ y2= 都相切,则l的方程为
5
( )
1
A.y=2x+1 B.y=2x+
2
1 1 1
C.y= x+1D.y= x+
2 2 2
答案 D
2x−1
5.(2021全国甲理,13,5分,易)曲线y= 在点(-1,-3)处的切线方程为 .
x+2
答案 y=5x+2
x
6.(2019天津文,11,5分,易)曲线y=cos x- 在点(0,1)处的切线方程为 .
2
答案 x+2y-2=0
7.(2018天津文,10,5分,易)已知函数 f(x)=ex·ln x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(1)的值为.
答案 e
8.(2022 新高考Ⅱ,14,5 分,中)曲线 y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ,
.
1 1
答案 y= x;y=- x(不分先后)
e e
9.(2022新高考Ⅰ,15,5分,中)若曲线y=(x+a)·ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围
是 .
答案 (-∞,-4)∪(0,+∞)
10.(2021新高考Ⅱ,16,5分,中)已知函数f(x)=|ex-1|,x <0,x >0,函数f(x)的图象在点A(x , f(x ))
1 2 1 1
|AM|
和点B(x , f(x ))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则 的取值范围是
2 2 |BN|
.
答案 (0,1)
11.(2022全国甲,20,12分,中)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x , f(x ))处的切
1 1
线也是曲线y=g(x)的切线.
(1)若x =-1,求a;
1
(2)求a的取值范围.
解析 解法一:由题意可知f '(x)=3x2-1, f(x )= -x ,则曲线y=f(x)在点(x , f(x ))处的切线方
1 x3 1 1 1
1
程为y-( -x )=(3 -1)(x-x ),即y=(3 -1)x-2 ①.
x3 1 x2 1 x2 x3
1 1 1 1
因为曲线y=f(x)在点(x , f(x ))处的切线也是曲线y=g(x)的切线,
1 1
所以{y=(3x
1
2−1)x−2x
1
3,有且仅有一组解,
y=x2+a
即 方程 x 2 -( 3 -1) x +2 + a =0 有两个相等的实数根 ,
x2 x3
1 1
从而Δ=(3 -1)2-4(2 +a)=0⇔4a=9 +1.
x2 x3 x4−8x3−6x2
1 1 1 1 1
(1)若x =-1,则4a=12⇔a=3.
1
(2)4a=9 +1,
x4−8x3−6x2
1 1 1
令h(x)=9x4-8x3-6x2+1,则h'(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-1)(3x+1),令h'(x)>0,得-1<x<0 或x>1,令h'(x)<0,得x<-1或0<x<1,所以 h(x)在 ( 1 ) 和(1,+∞)上单
− ,0
3 3 3
调递增,在 ( 1) 和(0,1)上单调递减,又h(1)=-4,h( 1) 20,所以h(x)≥-4,所以a≥-1.
−∞,− − =
3 3 27
解法二:由题意可知f '(x)=3x2-1, f(x )= -x ,则曲线y=f(x)在点(x , f(x ))处的切线方程为y-(
1 x3 1 1 1
1
-x )=(3 -1)·(x-x ),即y=(3 -1)x-2 ①,
x3 1 x2 1 x2 x3
1 1 1 1
设公切线与曲线y=g(x)的切点为(x , +a),又g'(x )=2x ,
2 x2 2 2
2
则切线可表示为y-( +a)=2x (x-x ),即y=2x x- +a②,
x2 2 2 2 x2
2 2
{ 3x2−1=2x ,
因为①②表示同一直线方程,所以 1 2
−2x3=−x2+a,
1 2
则(3 -1)2-8 +1.
x2 x3=4a⇔4a=9x4−8x3−6x2
1 1 1 1 1
下面同解法一.
三年模拟
综合基础练
lim f(1−2Δx)−f(1)
1.(2024届江苏苏州中学月考,4)已知函数f(x)=x4-3x,则 =( )
Δx→0
Δx
A.-2 B.2 C.2e D.-2e
答案 A
2.(2024届陕西榆林中学期中,3)下列求导运算正确的是 ( )
A.(
x+
1)
'=1+
1 B.(log
2
x)'= 1
x x2 xln2
C.(3x)'=3x·log e
D.(x2
)
2x+x2
3 '=
ex ex
答案 B
3.(2023湖南长沙长郡中学月考,3)已知函数y=f(x)的图象在点 P(3, f(3))处的切线方程是
y=-2x+7,则f(3)-f '(3)= ( )A.-2 B.2
C.-3 D.3
答案 D
4.(2024届江苏苏州联考期中,3)设f '(x )为函数 f(x)在x 处的导数,则满足 f '(1)<f '(2)<f
0 0
'(3)的函数f(x)的图象可能是 ( )
答案 D
5.(2023山东济南模拟,3)已知函数f(x)的导函数为f '(x),且满足f(x)=2xf '(e)+ln x(e为自然
对数的底数),则f '(e)等于 ( )
1 1
A. B.1C.− D.-1
e e
答案 C
6.(2023江苏无锡中学测试,3)已知函数f(x)与g(x)的部分图象如图所示,则 ( )
A.g'(-1)<0<f '(-1) B.0<f '(-1)<g'(-1)
C. f '(-1)<0<g'(-1) D. f '(3)>g'(3)
答案 B
1
7.(2023山东潍坊三模,6)若P为函数f(x)= ex−√3x图象上的一个动点,以P为切点作曲
2
线y=f(x)的切线,则切线倾斜角的取值范围是 ( )
A.[ 2π) (π 2π)
0, B. ,
3 2 3C.(2π ) [ π) (2π )
,π D. 0, ∪ ,π
3 2 3
答案 D
8.(多选)(2024届山东菏泽模拟,9)若曲线f(x)=xsin x-1在x=π处的切线与直线ax+2y+1=0
互相垂直,则 ( )
A. f '(x)=sin x-xcos x
B. f '(x)=sin x+xcos x
C. f '(π)=-π
2
D.a=-
π
答案 BCD
9.(2024届湖南湘潭期末,13)已知在一次降雨过程中,某地降雨量y(单位:mm)与时间t(单位:
min)的函数关系可近似表示为y=√t,则在t=4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的
瞬间变化率)为 mm/min.
1
答案
4
10.(2023天津南开中学模拟,10)已知f '(x)是函数f(x)的导函数,若f(x)=f '(1)ln(x+1)+ex,则f
'(0)= .
答案 2e+1
11.(2024 届湖南雅礼中学模拟,13)已知曲线 y=x2-ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+
(a+2)x+1也相切,则a= .
答案 1
综合拔高练
1.(2024届江西联考期中,6)若函数f(x)=cos ωx+aln|x|+bx2+c满足f '(π) 2,则f '( π)=
= −
2 π 2
( )
2 2 π π
A. B.− C. D.−
π π 2 2
答案 B
2.(2024届江苏南京一中模拟,6)已知a=√2,b=log 3,c=e2,设曲线y=ln x3-x3在x=k,k>0处的
2
切线斜率为f(k),则 ( )
A. f(c)<f(b)<f(a) B. f(a)<f(c)<f(b)C. f(c)<f(a)<f(b) D. f(a)<f(b)<f(c)
答案 A
1
3.(2023江西赣抚吉十一校联考,11)若函数f(x)=3x+ -3(x>0)的图象与函数g(x)=txex的图象
x
1
有公切线l,且直线l与直线y=- x+2互相垂直,则实数t= ( )
2
1
A. B.e2
e
1 1
C. 或2√eD. 或4√e
e e
答案 D
4.(多选)(2024届湖北武汉校考,9)下列求函数的导数正确的是( )
2
A.[ln(2x+1)]'=
2x+1
B.(e5x-4)'=e5x-4
1
C.(√2x−1)'=
√2x−1
D.[ ( π)] ( π)
cos 2x+ '=−2sin 2x+
3 3
答案 ACD
5.(多选)(2023山东滨州模拟,10)若曲线y=(x+a)e2x(e为自然对数的底数)有两条过坐标原
点的切线,则a的取值可以是( )
A.-3 B.-2 C.0 D.1
答案 AD
3
6.(多选)(2024届江西九江模拟,9)可能把直线y= x+m作为切线的曲线是 ( )
2
1
A.y=- B.y=cos x
x
C.y=ln x D.y=ex
答案 ACD
7.(多选)(2023安徽滁州模拟,9)已知曲线y=f(x)在(0,0)处的切线与曲线y=xf(x)在(2,6)处的
切线重合,则 ( )
A. f(2)=3
B. f '(2)=3C. f '(0)=3
D.曲线y=f(x)在(2,3)处的切线方程为y=3
答案 ACD
8.(2024届江苏镇江期中,16)已知函数f(x)=ex的图象与直线y=kx+2k相切,则k= .
1
答案
e
9.(2024届江苏南京外国语中学期末,15)若直线y=kx+b是曲线y=ex-1和y=ex-1的公切线,则
实数b的值是 .
答案 0
10.(2024届湖南衡阳八中月考,11)已知a,b为正实数,直线y=x-2a与曲线y=ln(x+b)相切,则
1 2
+ 的最小值是 .
a b
答案 8
sin πx
11.(2024届广东广州期末,15)已知函数f(x)在R上满足2f(x)=f(2-x)+x2+4x-4- ,则曲
π
线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是 .
答案 7x-3y-4=0
12.(2024届山东济南莱芜一中期中,14)若点P是曲线y=ln x-x2上任意一点,则点P到直线
l:x+y-4=0距离的最小值为 .
答案 2√2
