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专题 09 函数初步综合过关检测
（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（3，﹣2），则点P所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】解：若点P的坐标为（3，﹣2），
因为3＞0，﹣2＜0，
所以点P所在的象限是第四象限．
故选：D．
2．在函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≥2 C．x＞2 D．x≤﹣2
【答案】B
【解析】解：根据题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：B．
3．下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：由函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量 x与y，对于x的每一个确定的值，y都有
唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，
因此，选项B中的图象，表示y是x的函数，故B符合题意；
选项A、C、D中的图象，不表示y是x的函数，故A、C、D不符合题意．
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故选：B．
4．电影院里，A，B，C，D四位同学的位置如图（横为排，竖为列），A的座位在第2排第2列，B在第5
排第3列，C在第4排第4列，D在第6排第5列，现需要加宽过道，撤去第一列，仍按原方法确定位
置，则下列说法正确的是（ ）
A．A的座位在第2排第1列
B．B的座位在第4排第3列
C．C的座位在第3排第4列
D．D的座位在第6排第6列
【答案】A
【解析】解：A、A的座位在第2排第1列，此选项说法正确；
B、B的座位在第5排第2列，此选项说法错误；
C、C的座位在第4排第3列，此选项说法错误；
D、D的座位在第6排第4列，此选项说法错误；
故选：A．
5．如图， ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，2），（﹣4，﹣4），（4，﹣4），则顶点D的坐
标是（ ▱ ）
A．（﹣4，1） B．（8，﹣2） C．（4，1） D．（8，2）
【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵ ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（﹣4，﹣4）、（4，﹣4），
∴▱BC＝8，OA＝2，
∴顶点D的坐标为（8，2）．
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故选：D．
6．点P（x，y）在第二象限，且P到x轴、y轴的距离分别为3，7，则P点坐标为（ ）
A．（﹣3，7） B．（﹣7，3） C．（3，﹣7） D．（7，﹣3）
【答案】B
【解析】解：∵P到x轴、y轴的距离分别为3，7，
∴P的横坐标的绝对值为7，纵坐标的绝对值为3，
∵点P（x，y）在第二象限，
∴P的坐标为（﹣7，3）．
故选：B．
7．数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如 a+bi（a，b为实数）的数
叫做复数，用z＝a+bi表示，任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z（a，b）表
示，如：z＝1+2i表示为Z（1，2），则z＝2﹣i可表示为（ ）
A．Z（2，0） B．Z（2，﹣1） C．Z（2，1） D．Z（﹣1，2）
【答案】B
【解析】解：由题意，得z＝2﹣i可表示为Z（2，﹣1）．
故选：B．
8．如图1，在平行四边形ABCD中，点P沿A→B→C方向从点A移动到点C，设点P移动路程为x，线段
AP的长为y，图2是点P运动时y随x运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（ ）
A．4.4 B．4.8 C．5 D．6
【答案】C
【解析】解：如图1，过A点作AE⊥BC于E，连接AC，
根据图2知：当点P与点B重合时，AP＝AB＝3，
当P与E重合时，AB+BP＝4.8，
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∴BP＝BE＝1.8，
∴AE＝ ＝ ＝ ，
当点P到达点C时，AP＝AC＝4，
∴EC＝ ＝ ＝ ，
∴BC＝BE+EC＝1.8+ ＝5．
故选：C．
9．如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系，则下
列结论中正确的有（ ）
（1）若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元；
（2）若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元；
（3）若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多；
（4）若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：依题意得
A：（1）当0≤x≤120，y ＝30，
A
（2）当x＞120，y ＝30+（x﹣120）×[（50﹣30）÷（170﹣120）]＝0.4x﹣18；
A
B：（1）当0≤x＜200，y ＝50，
B
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当x＞200，y ＝50+[（70﹣50）÷（250﹣200）]（x﹣200）＝0.4x﹣30，
B
所以当x≤120时，A方案比B方案便宜20元，故（1）正确；
当x≥200时，B方案比A方案便宜12元，故（2）正确；
当y＝60时，A：60＝0.4x﹣18，∴x＝195，
B：60＝0.4x﹣30，∴x＝225，故（3）正确；
当B方案为50元，A方案是40元或者60元时，两种方案通讯费用相差10元，
将y ＝40或60代入，得x＝145分或195分，故（4）错误；
A
故选：C．
10．自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数
1，1，2，3，5，8，13，……画出螺旋曲线．在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作 90°的圆弧
， ， …，得到一组螺旋线，连接P
1
P
2
，P
2
P
3
，P
3
P
4
，⋯，得到一组螺旋折线，如图所
示．已知点P ，P ，P 的坐标分别为（﹣1，0），（0，1），（1，0），则点P 的坐标为（ ）
1 2 3 7
A．（6，1） B．（8，0） C．（8，2） D．（9，﹣2）
【答案】D
【解析】解：观察发现：P （﹣1，0）先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到P （0，1）；
1 2
P （0，1）先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到P （1，0）；
2 3
P （1，0）先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到P （﹣1，﹣2）；
3 4
P （﹣1，﹣2）先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到P （﹣4，1）；
4 5
P （﹣4，1）先向右平移5个单位，再向上平移5个单位得到P （1，6）．
5 6
根据斐波那契数，P （1，6）应先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到P （9，﹣2）．
6 7
故选：D．
二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。
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11．若点（a，﹣3）在第三象限，则点（2，a）在第 四 象限．
【答案】四．
【解析】解：∵点（a，﹣3）在第三象限，
∴a＜0，
∴点（2，a）在第四象限；
故答案为：四．
12．已知点P在第三象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，那么点P的坐标为 （﹣ 2 ，﹣
3 ） ．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：∵点P（x，y）在第三象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，
∴x＝﹣2，y＝﹣3，
∴点P的坐标是（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
13．一个圆柱形蓄水池的底面半径为 x cm，蓄水池的侧面积为40 cm2，则这个蓄水池的高h（cm）与底
π
面半径x（cm）之间的函数关系式为 h ＝ ．
【答案】h＝ ．
【解析】解：由题意可得，
40 ＝2 x•h，
∴π20＝xπh，
∴h＝ ．
故答案为：h＝ ．
14．如图①，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＞AD．动点P，Q均以1cm/s的速度同时从点A出发，其中
点P沿折线AD﹣DC﹣CB运动到点B停止，点Q沿AB运动到点B停止，设运动时间为t（s），△APQ
的面积为y（cm2），则y与t的函数图象如图②所示，则AB＝ 1 5 cm．
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【答案】15．
【解析】解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：
当t＝13时，P到达D点，即AD＝AQ＝13cm，此时y＝78，
∴ AQ•DE＝ ×13•DE＝78，
∴DE＝12，
当t＝18时，点P到达点C，此时点Q已停止运动，此时y＝90cm2，AQ＝AB，
∵AB∥DC，
∴此时△APQ的高也为12cm，
∴S△APQ ＝ AB•DE＝ AB×12＝90，
∴AB＝15（cm），
故答案为：15．
15．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人．在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了如图所示的三
角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自 11世纪中叶贾宪的《释锁算术》，并绘画了
“古法七乘方图”．故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”．若用有序数对（m，n）表示第m排从左
到右第n个数，如（3，2）表示正整数2，（4，3）表示正整数3，则（8，3）表示的正整数是 21
．
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【答案】21．
【解析】解：由题意知，第7行的数字为1、6、15、20、15、6、1，
第8行的数字为1、7、21、35、35、21、7、1，
所以（8，3）表示的正整数是21，
故答案为：21．
16．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为（1，0）、（2，0）、
（2，1）、（1，1）、（1，2）、（2，2）…根据这个规律，第2023个点的坐标 （ 4 5 ， 2 ） ．
【答案】（45，2）．
【解析】解：观察图形可知，到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，
∴横坐标以n结束的有n2个点，
∵452＝2025，
∴第2025个点的坐标是（45，0），
∴2023个点的纵坐标往上数2个单位为2，
∴2023个点的坐标是（45，2）；
故答案为：（45，2）．
三、解答题（本题共7题，共58分）。
17．（6分）如图是某片区平面示意图，超市的坐标是（﹣2，4），市场的坐标是（1，3）．
（1）画出相应的平面直角坐标系；
（2）分别写出体育场、火车站和文化宫的坐标；
（3）若在（﹣3，﹣2）处建汽车站，在（2，﹣1）处建花坛，请在平面示意图中标出汽车站和花坛的
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位置．
【答案】（1）见解析；
（2）体育场（﹣4，2）、火车站（﹣1，1），文化宫（0，﹣2）；
（3）汽车站和花坛的位置见解析图．
【解析】解：（1）如图；
（2）由图可知，体育场（﹣4，2）、火车站（﹣1，1），文化宫（0，﹣2）；
（3）汽车站和花坛的位置如图所示．
18．（8分）已知平面直角坐标系中有一点A（m﹣1，2m+3）．
（1）点A在二、四象限的角平分线上，求点A的坐标；
（2）点A到y轴的距离为2时，求点A的坐标．
【答案】（1）（﹣ ， ）；
（2）（2，9）或（﹣2，1）．
【解析】解：（1）∵点A在二、四象限的角平分线上，
m﹣1+2m+3＝0，
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∴m＝﹣ ，
∴点A坐标为（﹣ ， ）；
（2）∵点A到y轴的距离为2，
∴|m﹣1|＝2，
解得：m＝3或m＝﹣1，
∴点A坐标为（2，9）或（﹣2，1）．
19．（8分）如图，A、B、C为一个平行四边形的三个顶点，且A、B、C三点的坐标分别为（3，3）、
（6，4）、（4，6）．
（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；
（2）求这个平行四边形的面积．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）BC为对角线时，第四个点坐标为（7，7）；AB为对角线时，第四个点为（5，
1）；当AC为对角线时，第四个点坐标为（1，5）．
（2）图中△ABC面积＝3×3﹣ （1×3+1×3+2×2）＝4，所以平行四边形面积＝2×△ABC面积＝8
20．（8分）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）满足函数关系y
＝kx+15．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．
x 0 2 5
y 15 19 25
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量．
【答案】（1）y与x的函数关系式为y＝2x+15（x≥0）；
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（2）所挂物体的质量为2.5kg．
【解析】解：（1）把x＝2，y＝19代入y＝kx+15中，
得19＝2k+15，
解得：k＝2，
所以y与x的函数关系式为y＝2x+15（x≥0）；
（2）把y＝20代入y＝2x+15中，
得20＝2x+15，
解得：x＝2.5．
所挂物体的质量为2.5kg．
21．（10分）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点P （x ，y ）、P （x ，y ），其
1 1 1 2 2 2
两点间的距离 ，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴
或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x ﹣x |或|y ﹣y |．
2 1 2 1
（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的
距离；
（3）已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状
吗？说明理由．
【答案】（1）13；
（2）5；
（3）△DEF是等腰三角形，理由见解答过程．
【解析】解：（1）AB＝ ＝13；
（2）AB＝4﹣（﹣1）＝5；
（3）△DEF是等腰三角形，
理 由 如 下 ： DE ＝ ＝ 5 ， EF ＝ ＝ 6 ， DF ＝
＝5，
则DE＝DF，
∴△DEF是等腰三角形．
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22．（10分）作为世界苹果最佳优生区，洛川苹果备受市场青睐！苹果产业已成为县城经济的发展和农民
增收致富奔小康的主导产业．小李想在洛川县某果园购买一些苹果，经了解，该果园苹果的定价为5
元/斤，如果一次性购买10斤以上，超过10斤部分的苹果的价格打8折．
（1）设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，求出y与x之间的函数关系式；
（2）若小李想在该果园购买130元的苹果送给朋友，请你算一算，小李一共能购买多少斤苹果？
【答案】（1）当0＜x≤10时，y＝5x，当x＞10时，y＝5×10+0.8×5×（x﹣10）＝4x+10；（2）30斤．
【解析】解：（1）由题意得：
当0＜x≤10时，y＝5x，
当x＞10时，y＝5×10+0.8×5×（x﹣10）＝4x+10．
（2）令y＝130，则4x+10＝130，
解得：x＝30．
答：小李一共能购买30斤苹果．
23．（10分）某校对校园操场进行绿化养护招标，现有甲、乙两公司进行竞标养护，两公司分别提出了自
己的绿化养护收费方案．
甲公司的方案：每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）的关系图象如图所示．
乙公司的方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5000元；绿化面积超过1000平方米时，
超过的部分每月每平方米加收4元．
（1）分别求出甲、乙两公司的收费y（元）与绿化面积x（平方米）的关系式．
（2）如果该学校目前的绿化面积是1100平方米，那么选择哪家公司的服务比较划算？
【答案】（1）y甲 与x的关系式为y甲 ＝x+400；y乙 ＝4x+1000；
（2）选择乙公司的服务比较划算．
【解析】（1）解：设y甲 与x的关系式为y＝kx+b（k≠0），
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根据题意得
解得
∴y甲 与x的关系式为y甲 ＝x+400．
y乙 与x的关系式为：
当x≤1000时，y乙 ＝5000；
当x＞1000时，y乙 ＝5000+4（x﹣1000）＝4x+1000．
（2）当x＝1100时，
甲公司的方案所需费用为5×1100+400＝5900（元），
乙公司的方案所需费用为4×1100+1000＝5400（元）．
∵5900＞5400，
∴选择乙公司的服务比较划算．
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