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专题 20 锐角三角函数过关检测
（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，那么sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AC＝ ＝3．
sinB＝ ＝ ，
故选：A．
2．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 1：3，若它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则
物体从A到B所经过的路程为（ ）
A．6米 B． 米 C． 米 D．3 米
【答案】C
【解答】解：如图：作BF⊥AF，垂足为F．
∵BF：AF＝1：3，
∴2：AF＝1：3，
∴AF＝6，
∴AB＝ ＝ ＝2 ．
故选：C．
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3．tan30°的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：tan30°＝ ．
故选：D．
4．如图，点A、B、C均在边长为1的正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解答】解：连接BC，如图3所示；
由勾股定理得：AC2＝BC2＝12+22＝5，AB2＝12+32＝10，
∴AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∴sin∠BAC＝ ，
故选：A．
5．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，
则tan∠BAC的值为（ ）
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A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解答】解：由网格以及勾股定理可得，
AB＝ ＝2 ，BC＝ ＝ ，AC＝ ＝ ，
∴AB2+BC2＝8+2＝10＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，
∴tan∠BAC＝ ＝ ，
故选：B．
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且
，则AC的长度是（ ）
A． B．2 C．8 D．
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，
∴OA＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA＝1：2，∠EDC+∠EDA＝90°，
∴∠EDC＝30°，
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∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴OD＝ ＝ ＝4，
∴AC＝2OD＝8．
故选：C．
7．“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且
拉线与地面夹角为65°（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以
表示为（ ）
A．100sin65° B．100cos65° C．100tan65° D．
【答案】A
【解答】解：如图，过点A作AC⊥BC于C，
在Rt△ABC中，sinB＝ ，
则AC＝AB•sinB＝100sin65°（米），
故选：A．
8．如图，某商场准备将自动扶梯改造成斜坡式．已知商场的层高AB为6m，∠ACB为45°，改造后扶梯
AD的坡比是1：2，则改造后扶梯AD相比改造前AC增加的长度是（ ）
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A．6m B． m C． m D． m
【答案】D
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，AB＝6m，
sin45°＝ ，
解得AC＝ m，
∵改造后扶梯AD的坡比是1：2，
∴ ，
解得BD＝12m，
∴AD＝ ＝ m，
∴AD﹣AC＝（ ﹣6 ）m．
故选：D．
9．如图，大树AB垂直于地面，为测树高，小明在 D处测得∠ADB＝30°，他沿BC方向走了16米，到达
C处，测得∠ACB＝15°，则大树AB的高度为（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．20米
【答案】B
【解答】解：∵∠ADB＝30°，∠ACB＝15°，
∴∠CAD＝∠ACD＝15°，
∵DC＝16米，
∴AD＝16米，
∵∠ADB＝30°，AB垂直于地面，
∴ 米，
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故选：B．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC
＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：连接BF，
∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴S△AFE ＝S△BFE ＝5，∠FBA＝∠A，
∴S△AFB ＝10＝ AF•BC，
∵BC＝4，
∴AF＝5＝BF，
在Rt△BCF中，BC＝4，BF＝5，
∴CF＝ ＝3，
∵CE＝AE＝BE＝ AB，
∴∠A＝∠FBA＝∠ACE，
又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，
∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，
∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A，
∴∠CEF＝∠FBC，
∴sin∠CEF＝sin∠FBC＝ ＝ ，
故选：A．
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二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。
11．计算：2cos60°＝ 1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵cos60°＝ ，
∴2cos60°＝1．
故答案为1．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，则tanA＝ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由sinA＝ 知，可设a＝4x，则c＝5x，b＝3x．
∴tanA＝ ．
故答案为： ．
13．如图，坡面CD的坡比为 ，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°
时，测得小树的在坡顶平地上的树影 BC＝3米，斜坡上的树影CD＝ 米，则小树AB的高是
米 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由已知得Rt△AFD，Rt△CED，如图，且得：∠ADF＝60°，FE＝BC，BF＝CE，
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在Rt△CED中，设CE＝x米，由坡面CD的坡比为 ，得：
DE＝ x，则根据勾股定理得：
x2+ ＝ ，
得x＝± ，﹣ 不合题意舍去，
所以，CE＝ 米，则，ED＝ 米，
那么，FD＝FE+ED＝BC+ED＝3+ ＝ 米，
在Rt△AFD中，由三角函数得：
＝tan∠ADF，
∴AF＝FD•tan60°＝ × ＝ 米，
∴AB＝AF﹣BF＝AF﹣CE＝ ﹣ ＝4 米，
故答案为：4 米．
14．计算： ＝ 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝2× +1﹣ +1＝2．
故答案为：2．
15．同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园“六•一”前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC＝2m，
滑梯AB的坡比是1：2，则滑梯AB的长是 米．
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【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意知，AC：BC＝1；2，且AC＝2m，故BC＝4m．
在Rt△ABC中， （m），
即滑梯AB的长度为 m．
故答案为：2 ．
16．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面AB的坡角为
30°，则斜坡AB的长是 2 0 米．
【答案】20 ．
【解答】解：如图：
由题意得：PC∥HE，
∴∠PBH＝∠CPB＝60°，
在Rt△PHB中，PH＝30米，
∴PB＝ ＝ ＝20 （米），
∵∠ABE＝30°，
∴∠PBA＝180°﹣∠PBH﹣∠ABE＝90°，
∵∠CPA＝15°，
∴∠APB＝∠CPB﹣∠CPA＝45°，
在Rt△APB中，AB＝BP•tan45°＝20 （米），
∴斜坡AB的长是20 米，
故答案为：20 ．
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三、解答题（本题共7题，共58分）。
17．（8分）求下列各式的值
（1） ；
（2） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝ × + × + ×
＝
（2）原式＝ × + ﹣ +
＝ ．
18．（8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD，CH 分别是 AB 边上的中线和高，BC＝6，
cos∠ACD＝ ，求AB，CH的长．
【答案】AB＝10，CH＝ ．
【解答】解：∵CD是Rt△ABC的斜边中线，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∴ ，
∵∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，
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由于 ，
可设AC＝4x，则AB＝5x，
由勾股定理得： ，
∴3x＝6，
即x＝2，
∴AB＝5x＝10，AC＝4x＝8，
∵S△ABC ＝ AC•BC＝ AB•CH，
∴ ×8×6＝ ×10×CH，
解得CH＝ ．
答：AB＝10，CH＝ ．
19．（8分）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tanB＝ ，点E是边BC的
中点．
（1）求边AC的长；
（2）求∠EAB的正弦值．
【答案】（1）2 ；（2） ．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，
∴△ACD、△BCD均为直角三角形．
在Rt△CDB中，
∵BD＝6，tanB＝ ＝ ，
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∴CD＝4．
在Rt△CDA中，
AC＝
＝
＝2 ．
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF．
又∵点E是边BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线．
∴DF＝BF＝3，EF＝ CD＝2．
∴AF＝AD+DF＝5．
在Rt△AEF中，
AE＝
＝
＝ ．
∴sin∠EAB＝
＝
＝ ．
20．（8分）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A处，此时船长接到台风
预警信息，台风将在7小时后袭来，他计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的避
风港B处．
（1）问避风港B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）
（2）如果轮船的航速是每小时20海里，问轮船能否在台风到来前赶到避风港B处？（参
考数据： ≈1.414， ≈1.732）
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【答案】（1）B处距离灯塔P约70.5海里；
（2）轮船能在台风到来前赶到避风港B处．
【解答】解：过点P作PC⊥AB于C，
在Rt△ACP中，∠A＝30°，
∴PC＝PA•sinA＝100× ＝50（海里），
在Rt△BCP中，∠B＝45°，
∴PB＝ PC＝50 ≈70.7海里，
答：B处距离灯塔P约70.7海里；
（2）∵PB＝50 海里，
∴BC＝ PB＝50（海里），
∵PA＝100海里，∠A＝30°，
∴AC＝ PA＝50 ，
∴AB＝（50+50 ）海里，
∵轮船的航速是每小时20海里，
∴ ≈6.8＜7，
∴轮船能在台风到来前赶到避风港B处．
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21．（8分）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，
成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O
处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船
到达B处，此时测得仰角为45°．
（1）求点A离地面的高度AO；
（2）求飞船从A处到B处的平均速度．（结果精确到0.1km/s，参考数据： ≈1.73）
【答案】（1）4km；
（2）0.3km/s．
【解答】解：（1）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km，
∴AO＝ AC＝ （km），
（2）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km，
∴OC＝ AC＝4 （km），
在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠BCO＝45°，
∴∠BCO＝∠OBC＝45°，
∴OB＝OC＝4 （km），
∴AB＝OB﹣OA＝（4 ）km，
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∴飞船从A处到B处的平均速度＝ ≈0.3（km/s）．
22．（8分）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带
与地面的夹角，使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为4 米．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪
走，并说明理由．（参考数据： ≈1.4， ≈1.7．）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，
在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，
∴AD＝BD，
∴2AD2＝AB2＝（4 ）2，
解得：AD＝4（米）．
在Rt△ACD中，
∵∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD＝8（米）．
即新传送带AC的长度约为8米；
（2）货物MNQP不需要挪走．
理由：在Rt△ABD中，BD＝AD＝4（米）．
在Rt△ACD中，CD＝ ＝4 （m）．
∴CB＝CD﹣BD＝4 ﹣4≈2.8（m）．
∵PC＝PB﹣CB≈5﹣2.8＝2.2＞2，
∴货物MNQP不需要挪走．
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23．（10分）如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD＝30m，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情
况．当太阳光与水平线的夹角为30°时．试求：
（1）若两楼间的距离AC＝24m时，甲楼的影子，落在乙楼上有多高？
（2）若甲楼的影子，刚好不影响乙楼，那么两楼的距离应当有多远？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设太阳光与CD的交点为E，连接BD，
∵AB＝CD＝30m，BA⊥AC，CD⊥AC，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝24m，∠BDE＝90°，
∵∠DBE＝30°，
∴在Rt△BDE中，DE＝BD•tan30°＝24× ＝8 （m），
∴EC＝CD﹣DE＝30﹣8 （m）．
答：甲楼的影子，落在乙楼上有（30﹣8 ）m高；
（2）如图：当太阳光照射到点C时，甲楼的影子，刚好不影响乙楼，
在Rt△ABC中，AB＝30m，∠ACB＝30°，
∴AC＝ ＝30÷ ＝30 （m）．
答：两楼的距离应当为30 m．
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