2021年高考数学精选考点专项突破题集专题9.2离散型随机变量的均值与方差（学生版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023新高考一轮复习讲义+课件_学生版

专题 9.2 离散型随机变量的均值与方差 一、单选题 1、(2020届山东省潍坊市高三上期末)已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ( ) A． B． C． D． 2、(2020·徐州一中一中高三调研)已知 ，则 ( ) A． B． C． D． 3、(2018年高考全国Ⅲ卷理数)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互 独立，设 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， ， ，则 ( ) A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 4、(2018年高考浙江卷)设 ，随机变量ξ的分布列是 ξ 0 1 2 P 则当p在(0，1)内增大时，( ) A．D(ξ)减小 B．D(ξ)增大 C．D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小 5、(2020·金陵中学高三月考)某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布 (单位： )现抽取500袋样本， 表示抽取的面粉质量在 的袋数，则 的数学期望约为( )附：若 ，则 ， A．171 B．239 C．341 D．477 6、(2020届浙江省杭州市高三3月模拟)已知随机变量ξ满足P (ξ=0) =x，P(ξ=1) =1-x，若 则( ) A．E(ξ)随着x的增大而增大，D (ξ)随着x的增大而增大 B．E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x的增大而增大 C．E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x的增大而减小 D．E(ξ)随着x的增大而增大，D(ξ)随着x的增大而减小 7、(2020届浙江省嘉兴市3月模拟)已知随机变量X的分布列如下： 若随机变量Y满足 ，则Y的方差 ( ) A． B． C． D． 8、(2019年高考浙江卷)设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是 则当a在(0，1)内增大时，( ) A． 增大 B． 减小 C． 先增大后减小 D． 先减小后增大  9、(2020·浙江镇海中学高三3月模拟)某射手射击所得环数 的分布列如下：  7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y  E8.9 y 已知 的数学期望 ，则 的值为( )0.2 0.4 0.6 0.8 A． B． C． D． 10、(2020·浙江高三)随机变量ξ的分布列如表： ξ ﹣1 0 1 2 1 P a b c 3 1 E 其中a，b，c成等差数列，若 9，则D(ξ)＝( ) 1 2 8 80 A．81 B．9 C．9 D．81 11、(2020·浙江学军中学高三3月月考)已知a，b为实数，随机变量X，Y的分布列如下： X -1 0 1 Y -1 0 1 1 1 1 P P a b c 3 2 6 EY PY 1   XY XY E 若 ，随机变量 满足 ，其中随机变量 相互独立，则 取值范围的是( )  3   1   1  3   ,1  ,0 ,1 ,1         A． 4  B． 18  C．18  D．4  ξ 12、(2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考)随机变量 的分布列如下： ξ -1 0 1 P a b c a b c Dξ 其中 ， ， 成等差数列，则 的最大值为( ) 2 5 2 3 A．3 B．9 C．9 D．4 A B 13、(2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初)已知 ， 两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、m 10m B 10m m 0m10 白球若干个，A盒中有 个红球与 个白球， 盒中有 个红球与 个白球( )，若从 A B  D() m ， 盒中各取一个球， 表示所取的2个球中红球的个数，则当 取到最大值时， 的值为( ) A．3 B．5 C．7 D．9 14、(2020·浙江温州中学高三3月月考)随机变量 的可能值有1，2，3，且 ， ，则 的最大值为( ) A． B． C． D．1 2 0a 15、(2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考)设 3，随机变量X 的分布列是： X 1 0 1 2 1 P a a 3 3  2 0，  则当a在 3内增大时( ) DX DX DX DX A． 增大 B． 减小 C． 先增大后减小 D． 先减小后增大 16、(2020·浙江温州中学3月高考模拟)已知随机变量X的分布列如下表： X 1 0 1 P a b c 1 DX a0,1b 其中a，b，c0.若X的方差 3对所有 都成立，则( ) 1 2 1 2 b b b b A． 3 B． 3 C． 3 D． 3 二、多选题17、(2020·枣庄市第三中学高三月考)若随机变量X服从两点分布，其中 ，E(X)、D(X)分别 为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是( ) A．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X+2)＝4 C．D(3X+2)＝4 D． 18、2020·山东省实验中学高三模拟)设离散型随机变量 的分布列为 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量 满足 ，则下列结果正确的有( ) A． B． ， C． ， D． ， 19、(江苏栟茶中学高三模拟)甲、乙两类水果的质量(单位： )分别服从正态分布 ， 其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是( ) A．甲类水果的平均质量 B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近 20、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考)下列判断正确的是( ) A．若随机变量 服从正态分布 ， ，则 ；B．已知直线 平面 ，直线 平面 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件； C．若随机变量 服从二项分布： ,则 ； D． 是 的充分不必要条件. 21、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考)某市有 ， ， ， 四个景点，一位游客来该市游览，已知 该游客游览 的概率为 ，游览 ， 和 的概率都是 ，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随 机变量 表示该游客游览的景点的个数，下列正确的( ) A．游客至多游览一个景点的概率 B． C． D． 22、(2020年高考山东)信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为 ，且 ，定义X的信息熵 . A．若n=1，则H(X)=0 B．若n=2，则H(X)随着 的增大而增大 C．若 ，则H(X)随着n的增大而增大 D．若 n=2m，随机变量 Y 所有可能的取值为 ，且 ，则 H(X)≤H(Y) 三、填空题 23、(2020届山东省烟台市高三上期末)已知随机变量 ， ，则__________． 24、(2019年高考全国Ⅰ卷理数)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队 获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的 概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4∶1 获胜的概率是 ______________． 25、(2020·山东省莱州一中高二月考)已知随机变量 ，且 ， ，则 ______. 26、(2020届山东省德州市高三上期末)随机变量 的取值为 、 、 ， ， ， 则 ______. 27、(2020·上饶中学高三月考)设随机变量 ，则 ________. 28、(2020徐州一中开学考试)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获 胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概 率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． 29、(2020·天津市第一中学开学考试)若 是离散型随机变量， ， ，且 .又已知 ， ，则 的值为 _____________.  30、(2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟)已知随机变量 的分布列如下：  1 2 3 1 a P a2 2 2 a D()= 则 ___，方差 ___． 31、(2020年高考浙江)盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个， 不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为 ，则 _______，_______． 2 E(ξ) 32、(2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟)已知随机变量的分布列如下表，若 3 ，则 D() a=________， ______.  0 1 2 1 P a b 6 a,a,b,b,c,c 32 33、(2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟)将字母 放入 的方表格，每个格子各放 k 一个字母，则每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的概率为_______；若共有 行字母相同，  则得k分，则所得分数 的数学期望为______；(注：横的为行，竖的为列；比如以下填法第二行的两个字 1 母相同，第1，3行字母不同，该情况下 ) a b c c a b 四、解答题 34、(2020·徐州高级中学高三开学考试)甲、乙两人射击，甲射击一次中靶的概率是 ，乙射击一次中靶 的概率是 ，且 是方程 的两个实根，已知甲射击5次，中靶次数的方差是 . (1)求 ， 的值； (2)若两人各射击2次，至少中靶3次就算完成目标，则完成目标概率是多少?35、(2020·辽宁省辽宁实验中学高三调研)某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、 礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取 个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 (1)若将频率视为概率，从这 个水果中有放回地随机抽取 个，求恰好有 个水果是礼品果的概率.(结 果用分数表示) (2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考. 方案 ：不分类卖出，单价为 元 . 方案 ：分类卖出，分类后的水果售价如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 售价(元/kg) 16 18 22 24 从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？ （3）用分层抽样的方法从这 个水果中抽取 个，再从抽取的 个水果中随机抽取 个， 表示抽取 的是精品果的数量，求 的分布列及数学期望 . 36、(2020届山东省烟台市高三上期末)某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为 . (1)求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率； (2)为提高生产效益，该企业决定招聘名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修.已知每名维修工人每月 只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元.此外，统计表明，每月在不出故障的情况下， 每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障 不能及时维修，该生产线将不创造利润，以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在 与 之 中选其一，应选用哪个？(实际获利=生产线创造利润-维修工人工资) 37、(2020届山东省九校高三上学期联考)学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表现 为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失 等，记此类解答为“B类解答”.为评估此类解答导致的失分情况，某市教研室做了一项试验：从某次考试 的数学试卷中随机抽取若干属于“B类解答”的题目，扫描后由近百名数学老师集体评阅，统计发现，满 分12分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例大约如下表： 教师评分(满分12分) 11 10 9 1 1 1 各分数所占比例 4 2 4 某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当 两者所评分数之差的绝对值小于等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大 于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题 得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.(假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“B类解答”所评分数及比例均如上表所示，比 例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响). (1)本次数学考试中甲同学某题(满分12分)的解答属于“B类解答”，求甲同学此题得分X 的分布列及数 E(X) 学期望 ； (2)本次数学考试有6个解答题，每题满分均为12分，同学乙6个题的解答均为“B类解答”，记该同学6 5 a 6 个题中得分为x x  x  x  x  x  的题目个数为a ，a  Ni 1,2,3,4,5 ， i ，计算事件 i 1 2 3 4 5 i i i1 a a a 4 “ 1 4 5 ”的概率. 38、(2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末)2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城 市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在 2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中. 项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资 建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到 p (0 p1) 2020年底每个天坑院盈利的概率为 ，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0. 项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到 该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别 1 p 为p和 .X EX  (1)若投资项目一，记 1为盈利的天坑院的个数，求 1 (用p表示)； X EX  (2)若投资项目二，记投资项目二的盈利为 2百万元，求 2 (用p表示)； (3)在(1)(2)两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由. x2  y2 1 A(1,0) 39、(2020届山东省潍坊市高三上期中)如图，直角坐标系中，圆的方程为 ， ，  1 3  1 3 B ,  C ,   ，  为圆上三个定点，某同学从 点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定： 2 2 2 2     A ①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定， 若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向 P A P B P C 移动．设掷骰子 n 次时，棋子移动到 A ，B， C 处的概率分别为 n ， n ， n ．例如：掷骰 1 1 子一次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为 P 1 AO ， P 1 B 2 ， P 1 C 2．A B C (1)分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到 ， ， 处的概率； N X OA OB OC (2)掷骰子 次时，若以 轴非负半轴为始边，以射线 ， ， 为终边的角的余弦值记为随机变 X X 量 n，求 4的分布列和数学期望；  1 (3)记P Aa ，P Bb ，P Cc ，其中a b c 1．证明：数列   b n  3  是等比数列， n n n n n n n n n a 并求 2020. 40、(2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测)某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最 A B 多投3次，每次投篮的结果相互独立.在 处每投进一球得3分，在 处每投进一球得2分，否则得0分.将 学生得分逐次累加并用X 表示，如果X 的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续 A B B 投篮，直到投完三次为止.现有两种投篮方案:方案1:先在 处投一球，以后都在 处投；方案2:都在 处 1 4 投篮.已知甲同学在A处投篮的命中率为4 ，在B处投篮的命中率为5 . X E(X) (1)若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分 的分布列和数学期望 ； (2)你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大?说明理由. 41、(2020届山东省六地市部分学校高三3月线考)为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民乘车候车时间为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计乘客候车时间受 公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、 非节假日的情况下，乘客候车时间随机变量 满足正态分布 在公交车准点率正常、交通拥堵情 况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图频率分布直方图. (1)在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计 的值； (2)在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小 概率事件是不能发生的在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间， 发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由. (参考数据： ， ， ， ， )A B 42、(2020届山东省高考模拟)某销售公司在当地 、 两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一 次性购进一种食品，每件200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足 食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150回收.现需决策每日购进食品数量，为此搜集并 A B 整理了 、 两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据： 销售件数 8 9 10 11 频数 20 40 20 20 以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率，记X 表示这两家超市每日共销售食品件数， n 表 示销售公司每日共需购进食品的件数. (1)求X 的分布列； n19 n20 (2)以销售食品利润的期望为决策依据，在 与 之中选其一，应选哪个？ 43、(2020届山东省济宁市高三3月月考)公元2020年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会 出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了尽快遏制住病毒的传播，我国 科研人员，在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验.为了研究小白鼠连续接种疫 苗后出现Z 症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验.该试验的设计为：①对参加试验的每只小白鼠每天 接种一次；②连续接种三天为一个接种周期；③试验共进行3个周期.已知每只小白鼠接种后当天出现症状 1 的概率均为4 ，假设每次接种后当天是否出现Z 症状与上次接种无关. (1)若某只小白鼠出现Z 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率； (2)若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次Z 症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验.设一只小白鼠参加的接种周期为X ，求X 的分布列及数学期望. 44、(2020届山东省潍坊市高三模拟一)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策 要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收 入也逐年增加.为了制定提升农民年收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位 农民的年收入并制成如下频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入 元(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点 值表示)； (2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布 ，其中 近似为年平均 收入 ， 近似为样本方差 ，经计算得 ，利用该正态分布，求： (i)在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收 入标准，则最低年收入大约为多少千元？ (ii)为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的 年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？ 附参考数据： ，若随机变量X服从正态分布 ，则 ， ，.