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专题 19 图形的相似与位似过关检测
（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝2，AB＝6，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
3．如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
4．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：3，则△ABC与△DEF的面积比为
（ ）
A．1：3 B．2：3 C．4：5 D．1：9
5．如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．将△ABC沿图中的DE剪开．剪下的阴影三角形与原三
角形不相似的是（ ）
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A． B． C． D．
6．如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退
（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小明的眼睛离地
面高度为1.6m，同时量得小明与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为12m，则旗杆高度为
（ ）
A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m
7．在三角形ABO中，已知点A（﹣6，3），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为 ，把
△ABO缩小，则点A的对称点A′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）
C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
8．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6，点D是边AB上一点，且BD＝2，点P是边BC上一动点（D、P
两点均不与端点重合），作∠DPE＝60°，PE交边AC于点E．若CE＝a，当满足条件的点P有且只有
一个时，则a的值为（ ）
A．4 B． C． D．5
9．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在
点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形
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ABCD相似，AD＝1，则CD的长为（ ）
A． ﹣1 B． ﹣1 C． +1 D． +1
10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接
DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点 P作PN⊥AC，垂足为N，连接
PM．有下列四个结论：
①AE垂直平分DM；
②PM+PN的最小值为3 ；
③CF2＝GE•AE；
④S△ADM ＝6 ．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③
二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。
11．若四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3，c＝4，d＝6，则a＝ ．
12．已知△ABC∽△DEF，其相似比为2：3，则它们的周长之比为 ．
13．已知线段a＝3cm，b＝4cm，那么线段a、b的比例中项等于 cm．
14．如图，AB∥CD∥EF，如果AC：CE＝2：3，BF＝10，那么线段DF的长为 ．
15．如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交
AC于点E．若DE＝1，则△ABC的面积为 ．
16．如图，四边形ABCD是正方形，点E在CB的延长线上，连接AE，AF⊥AE交CD于点F，连接EF，
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点H是EF的中点，连接BH，则下列结论中：
①BE＝DF；
②∠BEH＝∠BAH；
③ ；
④若AB＝4；DF＝1，则△BEH的面积为 ．
其中正确的是 ．（将所有正确结论的序号填在横线上）
三、解答题（本题共7题，共58分）。
17．（6分）已知：a：b：c＝3：4：5．
（1）求代数式 的值；
（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D．
（1）在BC边上求作点E，使△ACE∽△BCD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接DE，若AB＝6，DE＝2，求DC的长．
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19．（8分）如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B，AB＝10，AD＝8，DE＝
4．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）求BC的长．
20．（8分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE．求证：
（1）AB•AE＝AC•AD．
（2）△ADE∽△ABC．
21．（8分）如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB＝h，灯柱的高OP＝O′P′＝l，两灯柱
之间的距离OO′＝m．
（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA＝a，求他影子AC的长；
（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值？请说明理由；
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22．（10分）如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿
CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点
时，另一个点随之停止．
（1）求经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的 ？
（2）经过几秒，△PCQ与△ABC相似？
23．（10分）综合与探究
在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处．
（1）如图①，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图②，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求EF的长；
（3）如图③，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，请直
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接写出 的值．
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