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专题 25 与圆有关的计算过关检测
（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．已知正多边形的一个外角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【解答】解：这个正多边形的边数：360°÷72°＝5．
故选：A．
2．如图， O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧 所对的圆心角∠BOD的大
⊙
小为（ ）
A．150° B．144° C．135° D．120°
【答案】B
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠A＝180°﹣ ＝108°．
∵AB、DE与 O相切，
∴∠OBA＝∠⊙ODE＝90°，
∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
故选：B．
3．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，AB＝12，则 的长为 （
）
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A． B．2 C．4 D．.6
【答π案】B π π π
【解答】解：如图，连接OC．
∵∠ADC＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠COB＝∠B＝60°，
∵AB＝12，
∴OB＝6，
∴ 的长为 ＝2 ，
故选：B． π
4．如图，△ABC内接 O，∠BAC＝45°，BC＝ ，则 的长是（ ）
⊙
A． B． C． D．
【答案】C π
【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∵BC＝ ，
∴OB＝OC＝ BC＝1，
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∴ 的长为： ＝ ，
故选：C． π
5．如图，在半径为6的 O中，弦AB⊥CD于点E，若∠A＝30°，则弧 的长为（ ）
⊙
A．8 B．5 C．4 D．6
【答案π】C π π π
【解答】解：连接OA、OC，
∵AB⊥CD，∠A＝30°，
∴∠ADC＝90°﹣∠A＝60°，
由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADC＝120°，
∴ 的长为： ＝4 ，
故选：C． π
6．已知圆心角为120°的扇形的弧长为6 ，该扇形的面积为（ ）
A．18 B．27 π C．36 D．54
【答案π】B π π π
【解答】解：设扇形的半径为r．
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由题意： ＝6 ，
∴r＝9， π
∴S扇形 ＝ ＝27 ，
π
故选：B．
7．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC
的面积为（ ）
A．2 cm2 B．8 cm2 C．12 cm2 D．15 cm2
【答案π】C π π π
【解答】解：矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，
∴BE＝BC＝12cm，∠A＝90°，AD∥BC，
∴∠AEB＝30°，
∴∠CBE＝∠AEB＝30°，
∴S扇形EBC ＝ ＝12 （cm2），
π
故选：C．
8．已知一个底面半径为3cm的圆锥，它的母线长是5cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）cm2．
A．15 B．45 C．30 D．20
【答案π】A π π π
【解答】解：圆锥的侧面积：2 ×3×5÷2＝15 （cm2），
故选：A． π π
9．如图，正六边形ABCDEF内接于 O， O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM和 的长分别为
⊙ ⊙
（ ）
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A． ， B． ， C． ， D． ，2
【答案】πD π π
【解答】解：连接OB、OC，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴BC＝OB＝6，
∵OM⊥BC，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为： ，
故选：D．
10．如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°，得到正六
边形OA B D E ，当n＝2022时，正六边形OA B D E 的顶点D 的坐标是（ ）
n n n n n n n n n n n
∁ ∁
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A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：将边长为2的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°，
∴45°×8＝360°，
当n＝2022时，2022÷8＝252⋅⋅⋅6，
则D 的坐标与D 的坐标相同，
2022 6
∵∠DOD ＝2×45°＝90°，
6
则OD⊥OD ，
6
如图，过点D作DF⊥x于F，过点D F ⊥y轴于点F ，
6 6 6
∵OE＝DE＝2，OD＝OD ，
6
∴Rt△ODF≌Rt△OD F （HL），
6 6
∴DF＝D F ，OF＝OF ，
6 6 6
∵正六边形OABCDE的一个外角∠DEF＝ ，
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∴ ，
∵∠DEO＝180°﹣∠DEF＝120°，DE＝EO，
∴∠DOF＝30°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。
11．已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是 1 0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：正多边形的边数是：360°÷36°＝10．
故答案为：10．
12．如图，在扇形OAB中，OA＝2cm，∠AOB＝120°，则 的长为 cm．
π
【答案】 ．
【解答】解：弧长＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
13．若圆锥的侧面面积为12 cm2，它的底面半径为3cm，则此圆锥的母线长为 4 cm．
【答案】见试题解答内容π
【解答】解：设圆锥的母线长为l，
根据题意得 •2 •3•l＝12 ，
π π
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解得l＝4．
故答案为4．
14．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC，若正六边形的边长为2，则点O到AC的距离OG
的长为 1 ．
【答案】1．
【解答】解：连接OA、OC、OD，如图所示：
∵点O为正六边形ABCDEF的中心，边长为2，
∴∠B＝∠BCD＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，OC＝OD，∠COD＝ ＝60°，AB＝BC＝CD＝2，
∴∠BCA＝∠BAC＝30°，△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，
∴∠OCG＝120°﹣30°﹣60°＝30°，
∵OG⊥AC，
∴OG＝ OC＝1，
即点O到AC的距离OG的长为1，
故答案为：1．
15．斛是中国古代的一种量器．据《汉书•律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）
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焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有
一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的
半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为 尺．
【答案】 ．
【解答】解：如图，
∵四边形CDEF为正方形，
∴∠D＝90°，CD＝DE，
∴CE为直径，∠ECD＝45°，
由题意得AB＝2.5，
∴CE＝2.5﹣0.25×2＝2，
∴CD＝ CE＝ ．
故答案为： ．
16．如图，扇形纸片AOB的半径为4，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在 上的点C处，图中阴影部分
的面积为 ﹣8 ．
π
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【答案】 ﹣8 ．
【解答】解：π连接OC交AB于H，
∵△OAB沿AB折叠落到△CAB，
∴AB垂直平分OC，
∴OH＝ OC＝ ×4＝2，
∵cos∠AOH＝ ＝ ，
∴∠AOH＝60°，
∵OA＝OB，OH⊥AB，
∴∠AOB＝2∠AOH＝120°，AB＝2AH，
∵AH＝ OH＝2 ，
∴AB＝2×2 ＝4 ，
∴扇形OAB的面积＝ ＝ ，△AOB的面积＝ AB•OH＝ ×4 ×2＝4 ，
π
∵△CAB的面积＝△AOB的面积，
∴阴影的面积＝扇形OAB的面积﹣△AOB的面积×2＝ ﹣8 ．
π
故答案为： ﹣8 ．
π
三、解答题（本题共7题，共58分）。
17．（8分）如图，在7×7的正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，一条圆弧经过A，B，C三点．
（1）在正方形网格中直接标出这条圆弧所在圆的圆心O；
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（2）求弧AC的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，连接AB，BC 作线段AB、线段BC的垂直平分线，两线的交于点O，
则点O即为所示；
（2）连接A，AO，OC，
∵AC2＝62+22＝40，OA2+OC2＝42+22+42+22＝40，
∴AC2＝OA2+OC2，
∴∠AOC＝90°，
在Rt△AOC中，∵OA＝OC＝2 ，
∴ 的长＝ ＝ ，
18．（8分）如图，已知AB是 O的π直径，C，D是 O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．
（1）求证：AE＝ED； ⊙ ⊙
（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求 的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵AB是 O的直径，
∴∠ADB＝90°， ⊙
∵OC∥BD，
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∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
即OC⊥AD，
∴AE＝ED；
（2）∵OC⊥AD，
∴ ，
∴∠ABC＝∠CBD＝36°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，
∴ ．
19．（8分）如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方
向旋转90°得到△AB C ．
1 1
（1）在正方形网格中，作出△AB C ；（不要求写作法）
1 1
（2）设网格小正方形的边长为1cm，求线段AB所扫过的图形的面积．（结果保留 ）
π
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）作图如下：
（2）根据网格图知：AB＝4，
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线段AB所扫过的图形为圆心角为90°，半径为4的扇形，
其面积为S＝ •42＝4 ．
20．（8分）正六边形π是由边π长相等的等边三角形构成的，我们把每个等边三角形叫做基本图形的特征三
角形．下列基本图形是由边长为1的特征三角形按一定规律排列的．
（1）观察图形，完成如表：
图形编号 图1 图2 图3 … 图n
基本图形的特 6 10 14 … 6+ 4 （ n ﹣
性三角形个数 1 ）
图形的周长 6 8 1 0 … 6+ 2 （ n ﹣
1 ）
图形的面积 …
×10 ×14 ×[6+4
（ n ﹣ 1 ） ]
（2）已知上述某一图形中共有202个特征三角形，则这一图形的周长是 10 4 ，面积是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）第①个图有6＝6+4（1﹣1）个三角形，周长为6＝6+2（1﹣1），面积为 ×6＝
×[6+4（1﹣1）]，
第②个图形有10＝6+4（2﹣1）个三角形，周长为8＝6+2（2﹣1），面积为 ×10＝ ×[6+4（2﹣
1）]，
第③个图形有14＝6+4（3﹣1）个三角形，周长为10＝6+2（3﹣1），面积为 ×14＝ ×[6+4（3﹣
1）]，
…
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第n个图形有6+4（n﹣1）个三角形，周长为6+2（n﹣1），面积为 ×[6+4（n﹣1）]，
故答案为：6+4（n﹣1），10，6+2（n﹣1），
（2）由题意得：6+4（n﹣1）＝202，
解得：n＝50，
则这一图形的周长是6+2（50﹣1）＝104，面积为 ×202＝ ，
故答案为：104， ．
21．（8分）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E、
F，且∠E＝40°，∠F＝50°，连接⊙BD．
（1）求∠A的度数；
（2）当 O的半径等于2时，请直接写出 的长（结果保留 ）．
⊙ π
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠DCE＝∠A， ⊙
∵∠EDF＝∠A+∠F＝∠A+50°，
而∠EDF+∠DCE+∠E＝180°，
∴∠A+50°+∠A+40°＝180°，
∴∠A＝45°；
（2）连接OB、OD，如图，
∵∠BOD＝2∠A＝90°，
∴ 的长＝ ＝ ．
π
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22．（8分）如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示
的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC将扇形EAF围成圆锥时，AE、AF恰好重合，已知这种加
工材料的顶角∠BAC＝90°．
（1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值；
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留
）
π
【答案】（1） ；
（2）（100﹣25 ）cm2．
π
【解答】解：（1）根据题意得 •DE＝ ，
π
∴DE＝ AD，
∴ED与母线AD长的比值为 ；
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，
而AD＝2DE＝10cm，
∴BC＝2AD＝20cm，
∴S阴影部分 ＝S△ABC ﹣S扇形EAF
＝ ×10×20﹣
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＝（100﹣25 ）cm2．
答：加工材料π剩余部分的面积为（100﹣25 ）cm2．
23．（10分）如图，正六边形 ABCDEF内接π 于 O，BE是 O的直径，连接 BF，延长BA，过F作
FG⊥BA，垂足为G． ⊙ ⊙
（1）求证：FG是 O的切线；
（2）已知FG＝2 ⊙，求图中阴影部分的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接OF，AO，
∵AB＝AF＝EF，
∴ ＝ ＝ ，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠BFO＝30°，
∴∠ABF＝∠OFB，
∴AB∥OF，
∵FG⊥BA，
∴OF⊥FG，
∴FG是 O的切线；
（2）解：⊙∵ ＝ ＝ ，
∴∠AOF＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AFO＝60°，
∴∠AFG＝30°，
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∵FG＝2 ，
∴AF＝4，
∴AO＝4，
∵AF∥BE，
∴S△ABF ＝S△AOF ，
∴图中阴影部分的面积＝ ＝ ．
17
