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专题 10 一次函数的核心知识点精讲
1、理解函数的意义，通过认识自变量与因变量之间的因果关系培养函数思想；
2、掌握一次函数的定义，会用待定系数法求解析式，理解其图像的性质；
3、理解一次函数与方程及不等式的关系，学会利用图像解决相关问题。
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【题型1：一次函数的图像和性质】
【典例1】（2023•益阳）关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、三、四象限
B．图象与y轴交于点（0，1）
C．函数值y随自变量x的增大而减小
D．当x＞﹣1时，y＜0
1．（2023•长沙）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝x﹣4 C．y＝2x D．y＝﹣x+1
2．（2023•临沂）对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（
）
A．k＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k＝﹣ b
3．（2022•兰州）若一次函数y＝2x+1的图象经过点（﹣3，y ），（4，y ），则y 与y 的大小关系是（
1 2 1 2
）
A．y＜y B．y＞y C．y≤y D．y≥y
1 2 1 2 1 2 1 2
【题型2：确定一次函数的解析式】
【典例2】（2022•陕西）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里
的过程中，弹簧测力计的示数F （N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示．
拉力
（1）求AB所在直线的函数表达式；
（2）当石块下降的高度为8cm时，求此刻该石块所受浮力的大小．
（温馨提示：当石块位于水面上方时，F ＝G ；当石块入水后，F ＝G ﹣F ．）
拉力 重力 拉力 重力 浮力
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1．（2023•鄂州）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面
直角坐标系，使棋子“帅”位于点（﹣2，﹣1）的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”
所在的点的一次函数解析式为（ ）
A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣1
2．（2021•乐山）如图，已知直线l ：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将△AOB
1
的面积平分的直线l 的解析式为（ ）
2
A．y＝ x B．y＝x C．y＝ x D．y＝2x
3．（2021•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以AB为一边在第一象限作正方
形ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为（ ）
A．y＝﹣ x+4 B．y＝﹣ x+4 C．y＝﹣ x+4 D．y＝4
【题型3：一次函数与方程、不等式的关系】
【典例3】（2023•丹东）如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），则不等式ax+b＞0的
解集是（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜3
【典例4】（2022•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常
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数，且k＜0）的图象与直线y＝ x都经过点A（3，1），当kx+b＜ x时，根据图象可知，x的取值范
围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
【典例5】（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝2x+b与直线y＝﹣3x+6相交于点A，则关
于x，y的二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
1．（2022•南通）根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1
2．（2021•贺州）直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，1），B（2，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（
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）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
3．（2022•扬州）如图，函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b＞3的解集为 ．
4．（2022•西宁）如图，直线y＝kx与直线y＝kx+b交于点A（1，2）．当y＜y 时，x的取值范围是
1 1 2 2 1 2
．
【题型4：应用一次函数解决最有方案问题】
【典例6】（2023•成都）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．“当好
东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买 A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食
材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．
（1）求A，B两种食材的单价；
（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，
当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
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1．（2023•呼和浩特）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学
生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6
名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租
车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型
客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量/（人/辆） 45 30
租金/（元/辆） 400 280
（1）参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？
（2）租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车 6
辆；
（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
2．（2023•湘西州）2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理
成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲
经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台
A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元．销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B
种品牌小电器获利4元．
（1）求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？
（2）甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进
A种品牌小电器数量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于 565元，请
说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？
3.（2023•遂宁）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．
某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的
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进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相
同．
（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2
倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时
获得的利润为W元．
①求W与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
4．（2023•达州）某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受
广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．
（1）分别求出每件豆笋、豆干的进价；
（2）某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的 ，
该特产店有哪几种进货方案？
（3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特
产店获得利润最大，最大利润为多少元？
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1．（2023•吴兴区一模）一次函数y＝2x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023•东莞市校级一模）已知点（﹣1，y ），（3，y ）在一次函数y＝2x+1的图象上，则y ，y 的大
1 2 1 2
小关系是（ ）
A．y＜y B．y＝y C．y＞y D．不能确定
1 2 1 2 1 2
3．（2023•皇姑区三模）一次函数y＝﹣x+4的图象经过（ ）
A．第一二三象限 B．第二三象限
C．第一二四象限 D．第二三四象限
4．（2023•花溪区模拟）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k、b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
5．（2023•东莞市校级二模）已知点（﹣3，2）在一次函数y＝kx﹣4的图象上，则k等于（ ）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
6．（2023•蕉城区校级二模）直线y＝nx+2n的图象如图所示，则关于x的不等式nx+2n＞0的解集为（
）
A．x＞﹣1 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x＜﹣1
7．（2023•宝鸡一模）如果直线y＝3x+6与y＝2x﹣4交点坐标为（a，b），则解为 的方程组是（
）
A． B．
C． D．
8．（2023•贵阳模拟）已知函数y＝（2m﹣1）x是正比例函数，且y随x的增大而增大，那么m的取值范
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围是（ ）
A．m＞ B．m＜ C．m＞0 D．m＜0
9．（2023•黔东南州二模）在同一平面直角坐标系中，直线y＝x+1与y＝﹣x+m相交于点P（1，n），则
关于x的方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023•霍林郭勒市校级三模）已知一次函数的图象与直线 y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），那么此
一次函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣x﹣2 B．y＝﹣x﹣6 C．y＝﹣x+10 D．y＝﹣x﹣1
11．（2023•晋州市模拟）一次函数y＝﹣2x+4的图象与y轴交点的坐标是（ ）
A．（2，0） B．（0，4） C．（4，0） D．
12．（2023•沈河区校级模拟）对于函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（ ）
A．y值随x值的增大而增大
B．它的图象与x轴交点坐标为（0，1）
C．它的图象必经过点（﹣1，3）
D．它的图象经过第一、二、三象限
13．（2023•武侯区校级三模）A（﹣1，y ），B（3，y ）是直线y＝﹣2x+b上的两点，则y y （填＞
1 2 1 2
或＜）
14．（2023•柳州三模）若一次函数y＝x+b的图象过点A（1，﹣1），则b＝ ．
15．（2023•播州区三模）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝3x﹣5与y＝2x﹣4．
1 2
（1）求这两个函数图象的交点坐标；
（2）求一次函数y＝2x﹣4的图象与坐标轴所围成三角形的面积．
2
16．（2022•岷县模拟）一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，6），B（﹣3，﹣2）两点．
（1）此一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
17．（2023•长沙县二模）小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买2支
百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元．
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（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
（2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有
x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．
18．（2021•普陀区模拟）某市出租车计费方法如图所示，x（km）表示行驶里程，y（元）表示车费，请
根据图象回答下列问题：出租车的起步价是多少元？当x＞3时，求y关于x的函数关系式；若某乘客有
一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程．
1．（2023•丹阳市二模）一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限
是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023•河北模拟）已知点（﹣2，y ），（3，y ）都在直线y＝﹣x﹣5上，则y ，y 的值的大小关系是
1 2 1 2
（ ）
A．y ＜y B．y ＞y C．y ＝y D．不能确定
1 2 1 2 1 2
3．（2023•榆阳区一模）一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与一次函数y＝2x+1关于y轴对称，
则一次函数y＝kx+b的表达式为（ ）
A． B．y＝﹣2x+1 C．y＝2x﹣1 D．
4．（2023•龙岩模拟）若k＜2，则函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023•沭阳县模拟）A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A
地的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
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A．乙比甲提前出发1h
B．甲行驶的速度为40km/h
C．3h时，甲、乙两人相距80km
D．0.75h或1.125h时，乙比甲多行驶10km
6．（2023•秦都区二模）一次函数 y＝kx+3 的图象经过点（﹣1，5），若自变量 x 的取值范围是﹣
2≤x≤5，则y的最小值是（ ）
A．﹣10 B．﹣7 C．7 D．11
7．（2023•绍兴模拟）某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销
售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，则售完这100件商品可盈利（ ）元．
A．200 B．250 C．400 D．500
8．（2023•合肥三模）直线l ：y＝kx+b 和 l ：y＝bx﹣k在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
1 2
A． B．
C． D．
9．（2023•新县校级三模）“五一”劳动节到了，为在学生中弘扬劳动精神，让学生在做中学、学中做、
家校合力共推劳动教育．五一假期老师布置了与父母互换身份，做一天父母的工作，体会劳动并感受父
母的艰辛，理解、感恩父母，小李和妈妈互换身份，帮妈妈卖干果，他上午卖出4kg甲种类和3kg乙种
类干果获得利润为85元，下午卖出7kg甲种类和5kg乙种类干果获得利润为145元．
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（1）求每千克甲种类干果和乙种类干果的销售利润各是多少；
（2）小李的妈妈想一次购进两种干果共100kg用于销售，其中乙种类干果的进货量不超过甲种类干果
的进货量的 ，请你帮小李妈妈设计一种进货方案使销售总利润最大，并求出总利润的最大值．
10．（2023•阿瓦提县模拟）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为 6元/件，该产品在正式
投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进
行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象．图中的折线 ODE表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之
间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．
（1）第26天的日销售量是 件，日销售利润是 元．
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）日销售利润不低于600元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？
11．（2023•沭阳县模拟）如图，直线AB：y＝ x+ 与坐标轴交于A、B两点，点C与点A关于y轴对称．
CD⊥x轴与直线AB交于点D．
（1）求点A和点B的坐标；
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（2）点P在直线CD上运动，且始终在直线AB下方，当△ABP的面积为 时，求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q为直线CD上一动点，直接写出所有使△APQ是以AP为腰的等腰三角形
的点Q的坐标．
12．（2023•乾安县一模）杆秤是我国传统的计重工具，如图，秤钩上所挂的不同重量的物体使得秤砣到
秤纽的水平距离不同．称重时，秤钩所挂物重为x（斤）时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为y（厘
米）．如表中为若干次称重时所记录的一些数据，且y是x的一次函数．
x（斤） 0 0.75 1.00 2.25 3.25
1.50
y（厘米） ﹣2 1 2 4 7
11
注：秤杆上秤砣在秤纽左侧时，水平距离y（厘米）为正，在右侧时为负．
（1）根据题意，完成上表；
（2）请求出y与x的关系式；
（3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为15厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？
13．（2023•甘南县一模）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比
货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关
系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列
问题：
（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
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（2）求线段CD对应的函数表达式；
（3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米．
1．（2021•广西）函数y＝2x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2021•宁夏）已知点A（x，y）、B（x，y）在直线y＝kx+b（k≠0）上，当x＜x 时，y＞y，且kb
1 1 2 2 1 2 2 1
＞0，则在平面直角坐标系内，它的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021•辽宁）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（
）
A．x＝ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4
4．（2022•六盘水）如图是一次函数y＝kx+b的图象，下列说法正确的是（ ）
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A．y随x增大而增大 B．图象经过第三象限
C．当x≥0时，y≤b D．当x＜0时，y＜0
5．（2022•徐州）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+ b＞0的解集为 ．
6．（2022•杭州）已知一次函数y＝3x﹣1与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方
程组 的解是 ．
7．（2021•梧州）如图，在同一平面直角坐标系中，直线l ：y＝ x+ 与直线l ：y＝kx+3相交于点A，则
1 2
方程组 的解为 ．
8．（2022•益阳）如图，直线y＝ x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴
上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b．
（1）求点A′的坐标；
（2）确定直线A′B对应的函数表达式．
9．（2023•绍兴）一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1000米．甲、乙两机器人
分别从M，N两地同时出发，去目的地N，M，匀速而行．图中OA，BC分别表示甲、乙机器人离M地
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的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象．
（1）求OA所在直线的表达式；
（2）出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
（3）甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P，M两地间的距离．
10．（2023•恩施州）为积极响应州政府“悦享成长•书香恩施”的号召，学校组织 150名学生参加朗诵比
赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220
元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．
（1）男装、女装的单价各是多少？
（2）如果参加活动的男生人数不超过女生人数的 ，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有
几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
11．（2023•云南）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好
不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购
买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型
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号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元．
（1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；
（2）若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐
篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的 ，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型
号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
12．（2022•通辽）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购
买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价8.5折出售；
乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付y 元，去乙商店购买实付y 元，其函数图
甲 乙
象如图所示．
（1）分别求y ，y 关于x的函数关系式；
甲 乙
（2）两图象交于点A，求点A坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．
17
