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专题 06 分式方程及应用综合过关检测
（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．（2023•天涯区一模）把分式方程 ﹣ ＝1化为整式方程正确的是（ ）
A．1﹣（1﹣x）＝1 B．1+（1﹣x）＝1
C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2 D．1+（1﹣x）＝x﹣2
【答案】D
【解答】解：方程变形得： + ＝1，
去分母得：1+（1﹣x）＝x﹣2，
故选：D．
2．（宝应县二模）初三（1）班在今年的植树节领有平均每人植树6棵的任务，如果只由女同学完成，每
人应植树15棵，如果只由男同学完成，每人应植树的棵数为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．14
【答案】B
【解答】解：设单独由男生完成，每人应植树x棵．那么根据题意可得出方程：
，
解得：x＝10．
检验得x＝10是方程的解．
因此单独由男生完成，每人应植树10棵．
故选：B．
3．（2023•邵阳县一模）分式方程 ＝ 的解是（ ）
A．x＝3 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝﹣3
【答案】D
【解答】解：去分母得，3（x+1）＝2x，
去括号得，3x+3＝2x，
移项得，x＝﹣3，
检验：把x＝﹣3代入x（x+1）＝﹣3（﹣3+1）＝6≠0，
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∴x＝﹣3是原方程的解，
故选：D．
4．（2023•武威三模）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿
者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意
得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意可得，
＝2，
故选：A．
5．（2023•龙江县校级三模）若关于x的分式方程 无解，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1或0 D．0或1
【答案】D
【解答】解： ，
方程两边同时乘以x﹣2，得1﹣a＝2ax﹣4a，
移项、合并同类项，得2ax＝3a+1，
∵方程无解，
∴2a＝0或 ＝2，
解得a＝0或a＝1．
故选：D．
6．（2023•环翠区一模）若关于x的分式方程 ﹣1＝ 有增根，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．2 D．﹣
【答案】A
【解答】解：方程两边都乘以（x﹣2）得：6﹣（x﹣2）＝﹣ax，
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解得：x＝ ，
∵方程有增根，
∴x﹣2＝0，
∴x＝2，
∴ ＝2，
解得：a＝﹣3．
故选：A．
7．（2023•东港区校级三模）某班级为做好疫情防控，班委会决定拿出班费中的 a元给同学们购买口罩，
由于药店对学生购买口罩每包优惠2元，结果比原计划多买了5包口罩．设原计划购买口罩x包，则依
题意列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：设原计划购买口罩x包，则实际购买口罩（x+5）包，
依题意得： ＝ +2．
故选：B．
8．（2023•吴桥县校级模拟）“若关于x的方程 无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如
下：
尖尖： 丹丹：
去分母得：ax＝12+3x﹣9， 去分母得：ax＝12+3x﹣9，
移项得：ax﹣3x＝12﹣9， 移项，合并同类项得：
合并同类项得：
（a﹣3）x＝3，
（a﹣3）x＝3，解得：x＝ ，
∵原方程无解，
∵原方程无解，
∴a﹣3＝0，
∴x为增根，
∴a＝3．
∴3x﹣9＝0，解得x＝3，
∴ ＝3，解得a＝4．
下列说法正确的是（ ）
A．尖尖对，丹丹错
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B．尖尖错，丹丹对
C．两人都错
D．两人的答案合起来才对
【答案】D
【解答】解：去分母得：ax＝12+3x﹣9，
移项，合并同类项得：
（a﹣3）x＝3，
∵原方程无解，
∴x为增根或a﹣3＝0，
当3x﹣9＝0，解得x＝3，此时 ＝3，解得a＝4；
当a﹣3＝0，解得a＝3；
综上所述：a的值为3或4，
故选：D．
9．（2023•义乌市模拟）若分式 的值为1，则x的值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．1
【答案】A
【解答】解：根据题意得： ＝1，
去分母得：x﹣2＝3，
解得：x＝5，
检验：把x＝5代入得：x﹣2≠0，
∴分式方程的解为x＝5．
故选：A．
10．（2023•黄埔区校级二模）在正数范围内定义一种运算“※”，其规定则为a※b＝ ，如2※4＝
，根据这个规则，则方程3※（x+1）＝1的解为（ ）
A． B．1 C．﹣1 D．﹣
【答案】A
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【解答】解：由题意得：3※（x+1）＝ ．
∵3※（x+1）＝1，
∴ ．
∴x+1+3＝3（x+1）．
∴x+4＝3x+3．
∴﹣2x＝﹣1．
∴x＝ ．
当x＝ 时，3（x+1）≠0．
∴这个方程的解为x＝ ．
故选：A．
二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）
11．（2023•柳州三模）分式方程 的解是 x ＝﹣ 2 ．
【答案】x＝﹣2．
【解答】解： ，
方程两边都乘x（x﹣3），得2（x﹣3）＝5x，
解得：x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，x（x﹣3）≠0，
所以x＝﹣2是分式方程的解．
故答案为：x＝﹣2．
12．（2023•梁山县模拟）“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站 30里
的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的 1.5倍，孔子和学生们同
时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为 ．
【答案】 ．
【解答】解：设学生步行的速度为每小时x里，则牛车的速度是每小时1.5x里，
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∵学生早出发1小时，孔子和学生们同时到达书院，
∴ ，
故答案为： ．
13．（2023•建湖县一模）关于x的分式方程 ＝2的解为正数，则a的取值范围是 a ＜ 4 且 a ≠ 2
．
【答案】a＜4且a≠2．
【解答】解：去分母得：1﹣（a﹣1）＝2（x﹣1），
解得：x＝2﹣ a，
由分式方程的解为正数，得到2﹣ a＞0，且2﹣ a≠1，
解得：a＜4且a≠2，
故答案为a＜4且a≠2．
14．（2023•盐田区二模）当x＝ ﹣ 8 时，分式 的值为2．
【答案】﹣8．
【解答】解：根据题意得： ＝2，
去分母得：x﹣2＝2（x+3），
解得：x＝﹣8，
检验：把x＝﹣8代入得：x+3≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣8，
则当x＝﹣8时，分式 的值为2．
故答案为：﹣8．
15．（2023•市北区三模）甲、乙两人同时从学校出发，去距离学校 15千米的农场参加劳动．甲的速度是
乙的1.2倍，结果甲比乙早到10分钟，求甲和乙的速度各是多少？设乙的速度为 x千米/小时，则根据
题意可列方程为 ．
【答案】 ．
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【解答】解：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为1.2x千米/小时，
根据题意得： ．
故答案为： ．
16．（2023•九龙坡区校级模拟）若关于x的不等式组 有且仅有四个整数解，关于y的
分式方程 + ＝1有整数解，则符合条件的所有整数a的和是 ﹣ 1 0 ．
【答案】﹣10，
【解答】解：关于x的不等式组整理得 ，
∵关于x的不等式组 有且仅有四个整数解，
∴1≤ ＜2，
∴﹣8＜a≤﹣3，
解分式方程得y＝ 且 ≠2，
∵关于y的分式方程有整数解，且a为整数，
∴符合条件的所有整数a为﹣7，﹣3，
∴符合条件的所有整数a的和为：﹣7﹣3＝﹣10．
故答案为：﹣10．
三、解答题（本题共7题，共58分）。
17．（6分）（2023•海拉尔区模拟）解分式方程： ．
【答案】x＝1．
【解答】解： ，
x﹣3+x﹣2＝﹣3，
解得：x＝1，
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检验：当x＝1时，x﹣2≠0，
∴x＝1是原方程的根．
18．（8分）（2023•邗江区一模）学校组织学生到距离为15千米的公园参加露营活动，一部分同学骑自
行车先走，40分钟后其余同学乘坐大巴前往，结果他们同时到达，如果大巴士的平均速度是自行车平
均速度的3倍，问：大巴士与自行车的平均速度分别是每小时多少千米？
【答案】自行车的平均速度是每小时15千米，大巴士的平均速度是每小时45千米．
【解答】解：设自行车的平均速度是每小时x千米．则大巴士的平均速度是每小时3x千米．
由题意： ﹣ ＝ ，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
∴3x＝3×15＝45，
答：自行车的平均速度是每小时15千米，大巴士的平均速度是每小时45千米．
19．（6分）（2023•杭州模拟）解分式方程：
小明同学是这样解答的：
解：去分母，得：x+4＝3（x﹣2）．
去括号，得：x+4＝3x﹣6．
移项，合并同类项，得：﹣2x＝﹣10．
两边同时除以﹣2，得：x＝5．
经检验，x＝5是原方程的解．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【答案】见解答．
【解答】解：有错误．
去分母，得：x﹣4＝3（x﹣2），
去括号，得：x﹣4＝3x﹣6，
移项，合并同类项，得：﹣2x＝﹣2，
两边同时除以﹣2，得：x＝1．
经检验，x＝1是原方程的解．
20．（8分）（2023•南关区校级模拟）列方程解应用题：“共和国勋章”获得者，“杂交水稻之父”袁隆
平院士一生致力于提高水稻的产量，为解决人类温饱问题做出了巨大贡献．某农业基地现有 A，B两块
试验田，A块种植普通水稻，B块种植杂交水稻．已知杂交水稻的亩产量是普通水稻亩产量的1.8倍，A
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块试验田种植面积比B块试验田多5亩，两块试验田的总产量都是6750千克．求杂交水稻的亩产量是
多少千克？
【答案】杂交水稻的亩产量是1080千克．
【解答】解：设普通水稻亩产量为x千克，则杂交水稻的亩产量是1.8x千克，
根据题意，得： ﹣ ＝5，
解得：x＝600，
经检验：x＝600是所列方程的解，且符合题意，
则1.8x＝1.8×600＝1080，
答：杂交水稻的亩产量是1080千克．
21．（10分）（2023•唐河县模拟）观察下列算式：
＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ﹣ ，……
（1）由此可推断： ＝ ﹣ ；
（2）请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律 ＝ ﹣ ；
（3）仿照以上方法解方程： + ＝ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据题意得： ＝ ＝ ﹣ ；
（2）根据题意得： ＝ ﹣ ；
（3）方程整理得： ﹣ + ﹣ ＝ ，
即 ＝ ，
去分母得：x＝2x﹣4，
解得：x＝4，
经检验x＝4是分式方程的解．
故答案为：（1） ﹣ ；（2） ＝ ﹣
22．（10分）（2023•遂溪县一模）某超市用5000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨
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9000元资金购进该种干果，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了5元，购进干果数量是第一次的
1.5倍．
（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？
（2）如果超市按每千克40元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的100千克按售价的6折售完，
超市销售这种干果共盈利多少元？
（3）如果这两批干果每千克售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每千克干果的售价至少
是多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设第一次该干果的进货价是每千克x元，则第二次购进干果的进货价是每千克
（x+5）元，
根据题意得： ×1.5＝ ，
解得：x＝25
经检验，x＝25是所列方程的解．
答：该种干果的第一次进价是每千克25元．
（2）第一次购进该干果的数量是5000÷25＝200（千克），
再次购进该干果的数量是200×1.5＝300（千克），
获得的利润为（200+300﹣100）×40+100×40×0.6﹣5000﹣9000＝4400（元）．
答：超市销售这种干果共盈利4400元；
（3）设每千克干果售价y元，
根据题意得：500y﹣5000﹣9000≥（5000+9000）×25%，
解得：y≥35．
答：每千克干果的售价至少是35元．
23．（10分）（2023•罗湖区二模）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外
活动实践，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多 3元，用800元购
买的跳绳数量和用500元购买的毽子数量相同．
（1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
（2）学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的
数量不多于452根，请问有几种购买方案并指出哪种方案学校花钱最少．
【答案】（1）跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元；
（2）共有3种方案，当学校购买450个跳绳，150个毽子时，总费用最少．
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【解答】解：（1）设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为（x+3）元，
依题意，得： ，解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴x+3＝8．
答：跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元．
（2）设购买跳绳a个，则购买毽子（600﹣a）个．
依题意，得： ，
解得：450≤a≤452，
∵a为整数，
∴a＝450，a＝451，a＝452，共三种方案；
设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元，
则w＝8a+5（600﹣a）＝3a+3000，
∵k＝3＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝450时，w取得最小值，则600﹣450＝150，
答：共有3种方案，当学校购买450个跳绳，150个毽子时，总费用最少．
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