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专题 26 尺规作图过关检测
（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．已知三点A，B，C，按下列要求画图：画直线AB，射线AC，连接BC．正确的是（ ）
1．已知三点A，B，C，按下列要求画图：画直线AB，射线AC，连接BC．正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，直线AB，射线AC，连接BC即为所求．
故选：B．
2．如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：用三角板作△ABC的边AB上的高线，摆放位置正确的是．
故选：A．
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3．已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么作法的合理顺序是（ ）
①作射线OC；
②在射线OA和OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；
③分别以D、E为圆心，大于 DE的长为半径在∠AOB内作弧，两弧交于点C．
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②
【答案】C
【解答】解：根据作一个角的平分线的过程可知：
②在射线OA和OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；
③分别以D、E为圆心，大于 DE的长为半径在∠AOB内作弧，两弧交于点C；
①作射线OC．
则射线OC平分∠AOB．
所以作法的合理顺序是②③①．
故选：C．
4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角
的平分线．如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：
“射线OP就是∠BOA的平分线．”他这样做的依据是（ ）
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A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【答案】B
【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OA于点F．
∵直尺的宽度相等，
∴PE＝PF，
∵PE⊥OB，PF⊥OA，
∴OP平分∠AOB．
故选：B．
5．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】A
【解答】解：由作图可知，OC＝O'C'＝OD＝O'D'，CD＝C'D'，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS）．
故答案为：A．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M、
N，再分别以M，N为圆心，大于 MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若
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CD＝4，AB＝25，则△ABD的面积为（ ）
A．25 B．45 C．50 D．100
【答案】C
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H．
由作图可知，AD平分∠CAB，
∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC＝DH＝4，
∴S△ABD ＝ •AB•DH＝ ×25×4＝50，
故选：C．
7．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直
线MN与AC、BC分别相交于E和D，连接AD，若AE＝3cm，△ABC的周长为13cm，则△ABD的周长
是（ ）
A．7cm B．10cm C．16cm D．19cm
【答案】A
【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴AE＝CE＝3，DA＝DC，
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∵△ABC的周长为13cm，
即AB+BC+AC＝13，
∴AB+BD+DA+6＝13，
即AB+BD+DA＝7，
∴△ABD的周长为7cm．
故选：A．
8．如图，已知线段a、b（a＞b），画一条线段AD，使它等于2a﹣b，正确的画法是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：如图所示：
故选：C．
9．如图，已知a∥b，直线l分别与直线a，b相交于点A，B，现分别以点A和B为圆心，以大于 AB的
长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交直线b于点C，连接AC，若∠1＝40°，则∠ACB
的度数是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．140°
【答案】B
【解答】解：∵a∥b，
∴∠CBA＝∠1＝40°，
根据基本作图可知：MN垂直平分AB，
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∴CA＝CB，
∴∠CBA＝∠CAB＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣2×40°＝100°．
故选：B．
10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E
为圆心、以大于 的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝
1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，
由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1．
故选：C．
二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。
11．如图，在△ABC，∠C＝90°，∠ABC＝40°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为 65 ° ．
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【答案】见试题解答内容
【解答】解：解法一：连接EF．
∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，
∴AF＝AE；
∴△AEF是等腰三角形；
又∵分别以点E、F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
∴AG是线段EF的垂直平分线，
∴AG平分∠CAB，
∵∠ABC＝40°
∴∠CAB＝50°，
∴∠CAD＝25°；
在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，
∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）；
解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，
∵∠CAB＝50°，
∴∠CAD＝25°；
在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，
∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）；
故答案为：65°．
12．如图，在△ABC中，∠A＝32°，分别以点A、C为圆心，大于 AC长为半径画弧，两弧分别相交于点
M、N，直线MN与AC相交于点E，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，CD与BE相交于点F，若BD＝
CE，则∠BFC的度数为 106 ° ．
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【答案】106°．
【解答】解：连接DE，如图，
由作法得MN垂直平分AC，
∴E点为AC的中点，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴DE＝CE＝AE，
∴∠EDA＝∠A＝32°，
∵BD＝CE，
∴BD＝ED，
∴∠DBE＝∠DEB，
∵∠EDA＝∠DBE+∠DEB，
∴∠DBE＝ ∠ADE＝16°，
∴∠BFC＝∠DBF+∠BDF＝16°+90°＝106°．
故答案为：106°．
13．如图，平行四边形ABCD中，在AD上截取AF＝AB，分别以点B、F为圆心，大于 的长为半径画
弧，两弧交于点P，连接AP交BC于E，若AB＝5，BF＝6，则AE的长为 8 ．
【答案】8．
【解答】解：连接EF，设AE，BF交于O，
由尺规作图的过程可知，直线AE是线段BF的垂直平分线，∠FAE＝∠BAE，
∴AF＝AB，EF＝EB，
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∵AD∥BC，
∴∠FAE＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴BA＝BE，
∴BA＝BE＝AF＝FE，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AO＝EO，BO＝FO＝3，AE⊥BF，
∴AO＝ ＝ ＝4，
∴AE＝2AO＝8．
故答案为：8．
14．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，分别以点A，B为圆心，以大于 AB长为半径画弧，两弧交于点
D，E．作直线DE，交BC于点M．分别以点A，C为圆心，以大于 AC长为半径画弧，两弧交于点
F，G．作直线FG，交BC于点N．连接AM，AN．若∠BAC＝105°，则∠MAN＝ 30 ° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由作法得DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，
∴MA＝MB，NA＝NC，
∴∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C，
∴∠MAN＝∠BAC﹣∠MAB﹣∠NAC＝∠BAC﹣（∠B+∠C），
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∵∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，
∴∠MAN＝∠BAC﹣（180°﹣∠BAC）＝2∠BAC﹣180°＝2×105°﹣180°＝30°．
故答案为：30°．
15．如图，在 ABCD中，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，分别交CB，CD于点M，N，再分别以
▱
点M，N为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点P，作射线CP交DA于点E，连接BE，若AE＝
3，BE＝4，DE＝5，则CE的长为 4 ．
【答案】4 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠DEC＝∠ECB，
由作图可知CE平分∠DCB，
∴∠ECD＝∠ECB，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝CD＝AB＝5，
∵AE2+BE2＝32+42＝25，AB2＝25，
∴AE2+BE2＝AB2，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EBC＝∠AEB＝90°，
∵AE＝3，DD＝5，
∴BC＝AD＝3+5＝8，
∴EC＝ ＝ ＝4 ．
故答案为：4 ．
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16．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝3．①以点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边
AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于 EF长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP
分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，以大于 CQ长为半径作弧，两弧交于点M，
N，作直线MN交AP于点G，则OG长为 ．
【答案】 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD∥BC，BC＝AD＝3，
根据作图过程可知：AQ平分∠BAD，MN是CQ的垂直平分线，
∴∠BAQ＝45°，
∴BQ＝AB＝1，
∴AQ＝ ，
∵AD∥BC，
∴△BQO∽△DAO，
∴ ＝ ＝ ，
∴QO＝ AQ＝ ，
∴AO＝ ，
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如图，设CQ的垂直平分线MN交AD于点H，
∴GH⊥AD，
∴△AGH是等腰直角三角形，
∵AH＝GH＝AD﹣DH＝3﹣1＝2，
∴AG＝2 ，
∴OG＝AG﹣AO＝2 ﹣ ＝ ．
故答案为： ．
三、解答题（本题共7题，共58分）。
17．（8分）如图，已知点A，B，C，D，请按要求画出图形．
（1）画直线AB和射线CB；
（2）连接AC，并在直线AB上用尺规作线段AE，使AE＝2AC；（要求保留作图痕迹）
（3）在直线AB上确定一点P，使PC+PD的和最短，并写出画图的依据．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示，
（1）直线AB和射线CB即为所求作的图形；
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（2）连接AC，并在直线AB上用尺规作线段AE或AE′，使AE＝AE′＝2AC；
（3）在直线AB上确定一点P，使PC+PD的和最短．
18．（8分）如图，点A在直线l外，点B在直线l上，连接AB．选择适当的工具作图．
（1）在直线l上作点C，使∠ACB＝90°，连接AC；
（2）在BC的延长线上任取一点D，连接AD；
（3）在AB，AC，AD中，最短的线段是 AC ，依据是 垂线段最短 ．
【答案】（1）（2）作图见解析部分；
（3）AC，垂线段最短．
【解答】解：（1）如图，如图，点C即为所求；
（2）如图，线段AD即为所求；
（3）根据垂线段最短可知，线段AC最短，
故答案为：AC，垂线段最短．
19．（8分）已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°．
（1）作AB的垂直平分线DE，交AB于点E，交BC于点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写
作法和证明）
（2）连接DA，若BD＝6，求CD的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图所示：
（2）∵ED是AB的垂直平分线，
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∴AD＝BD＝6，
∵∠B＝30°，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠CAD＝60°﹣30°＝30°，
∴CD＝ AD＝3，
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线．
（1）尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接BE，若∠DBE＝25°，求∠AEB的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）50°．
【解答】解：（1）如图，直线EF即为所求；
（2）∵EF垂直平分BD，
∴BE＝DE，
∴∠DBE＝∠BDE＝25°，
∴∠AEB＝∠DBE+∠BDE＝25°+25°＝50°．
21．（8分）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点A，B，C．
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（1）请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心O．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接OA，OC，若圆形轮片的直径为6，圆心角∠AOC＝120°，求弧AC的长．
【答案】（1）作图见详解；
（2）弧AC的长为2 ．
π
【解答】解：（1）分别以点A，B为圆心，以大于 为半径画弧交于点M，N，连接MN；
分别以点B，C为圆心，以大于 为半径画弧交于点P，Q，连接PQ；
线段MN，PQ交于点O，如图所示，
∴点O即为所求圆心．
（2）连接OA，OC，圆形轮片的直径为6，圆心角∠AOC＝120°，
∴OA＝OC＝3，
∴ 的长＝ ＝2 ，
∴弧AC的长为2 ． π
22．（8分）如图，π在等边△ABC中，点M、N分别在AB、AC边上．
（1）在BC边上求作点P，使∠MPN＝60°；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足
条件的点．）
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（2）若AB＝9，BM＝5，设CN＝a，若要使得（1）中只能作出唯一的点P，则a的值应该满足什么条
件？请通过计算说明．
【答案】（1）图形见解答；
（2）a＝ ．
【解答】解：（1）①以A为圆心，AN为半径作弧，交AB于点D，
②作△DMN的外接圆，交BC于P 、P ，
1 2
如图，点P 、P 即为所求；
1 2
（2）如图，∵∠MP N＝60°，
1
∴∠MP B+∠CP N＝120°，
1 1
在等边△ABC中，∠B＝∠C＝60°，
∴∠MP B+∠BMP ＝120°，
1 1
∴∠BMP ＝∠CP N，
1 1
∴△MBP ∽△P CN，
1 1
∴ ＝ ，
设BP ＝x，
1
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∴ ＝ ，
∴5a＝9x﹣x2，
∴x2﹣9x+5a＝0，
∵只能作出唯一的点P，
∴该方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣9）2﹣20a＝81﹣20a＝0，
∴a＝ ．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AD的垂线交AB
于点E．
（1）请画出△ADE的外接圆 O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：BC是 O的切线⊙；
（3）过点D作DF⊙⊥AE于点F，延长DF交 O于点G，若DG＝8，EF＝2．求 O的半径．
⊙ ⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：如图1所示， O即为所求；
⊙
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（2）证明：如图2，连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠OAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为 O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（3）解⊙：设 O的半径为r，
∵DF⊥AE，⊙
∴DF＝GF＝ DG＝4，
在Rt△ODF中，∠OFD＝90°，
OD＝r，OF＝r﹣2，DF＝4，
∴r2＝（r﹣2）2+42，
r＝5，
∴ O的半径为5．
⊙
18
