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专题 23 圆的基本性质过关检测
（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．如图，AB是 O的直径， ，∠COB＝40°，则∠A的度数是（ ）
⊙
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】B
【解答】解：∵AB是 O的直径， ，∠COB＝40°，
⊙
∴∠AOD＝∠DOC，
∴ ，
∵OA＝OD，
∴ ．
故选：B．
2．如图，点A、B、C在 O上，∠ACB＝30°，则∠AOB的度数是（ ）
⊙
A．30° B．40° C．60° D．65°
【答案】C
【解答】解：∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
故选：C．
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3．如图，OA是 O的半径，弦BC⊥OA，D是优弧 上一点，如果∠AOB＝58°，那么∠ADC的度数为
⊙
（ ）
A．32° B．29° C．58° D．116°
【答案】B
【解答】解：∵弦BC⊥OA，
∴ ＝ ，
∴∠ADC＝ ∠AOB＝ ×58°＝29°．
故选：B．
4．如图，四边形ABCD内接于 O，它的一个外角∠CBE＝70°，则∠ADC的度数为（ ）
⊙
A．110° B．70° C．140° D．160°
【答案】B
【解答】解：∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠ADC＝∠CBE＝70°．
故选：B．
5．如图，弦AB⊥OC，垂足为点C，连接OA，若OC＝4，AB＝6，则sinA等于（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵弦AB⊥OC，AB＝4，OC＝2，
∴AC＝ AB＝3，
∴OA＝ ＝ ＝5，
∴sinA＝ ＝ ．
故选：C．
6．如图，将 O沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心 O．如果弦AB＝4 ，那么 O的半径长度为
（ ） ⊙ ⊙
A．2 B．4 C．2 D．4
【答案】B
【解答】解：作OD⊥AB于D，连接OA．
∵OD⊥AB，AB＝4 ，
∴AD＝ AB＝2 ，
由折叠得：OD＝ AO，
设OD＝x，则AO＝2x，
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在Rt△OAD中，AD2+OD2＝OA2，
（2 ）2+x2＝（2x）2，
x＝2，
∴OA＝2x＝4，即 O的半径长度为4；
故选：B． ⊙
7．如图，已知AB与 O相切于点A，AC是 O的直径，连接BC交 O于点D，E为 O上一点，当
∠CED＝58°时，∠⊙B的度数是（ ） ⊙ ⊙ ⊙
A．32° B．64° C．29° D．58°
【答案】D
【解答】解：连接AD，
∵AB与 O相切于点A，
∴CA⊥A⊙B，
∴∠CAB＝90°，
∵∠CED＝∠CAD＝58°，
∴∠DAB＝90°﹣∠CAD＝32°，
∵AC是 O的直径，
∴∠ADC⊙＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠DAB＝58°，
故选：D．
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8．如图，△ABC内接于 O，E是 的中点，连接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，则∠OEB的度数为（
⊙
）
A．70° B．65° C．60° D．55°
【答案】D
【解答】解：连接OB、OC，则∠BOC＝2∠BAC＝140°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝20°，
∵E是 的中点，
∴ ，
∴∠EBC＝∠EAC＝∠EAB＝ ∠BAC＝35°，
∴∠OBE＝∠OBC+∠EBC＝55°，
∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠OBE＝55°，
故选：D．
9．如图，AB是 O的直径，过点A作 O的切线AC，连接BC，与 O交于点D，E是 O上一点，连接
AE，DE．若∠⊙C＝48°，则∠AED的⊙度数为（ ） ⊙ ⊙
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A．42° B．48° C．32° D．38°
【答案】A
【解答】解：∵AB是 O的直径，过点A作 O的切线AC，
∴BA⊥AC， ⊙ ⊙
∴△ABC为直角三角形，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠C＝90°﹣48°＝42°，
∴∠AED＝∠B＝42°．
故选：A．
10．如图，AB是 O的直径，C、D、E是 O上的点，若 ，∠E＝70°，则∠ABC的度数（ ）
⊙ ⊙
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【解答】解：连接DB，
∵∠E＝70°，
∴∠A＝70°，
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°，
∵ ，
∴∠DBC＝∠DBA＝20°，
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∴∠ABC＝∠DBC+∠DBA＝20°+20°＝40°．
故选：B．
二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。
11．如图，AB是 O的直径，点C、D为 O上的点．若∠CAB＝20°，则∠D的度数为 110 ° ．
⊙ ⊙
【答案】110°．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝20°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，
∵∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝110°，
故答案为：110°．
12．如图，AB是 O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠D＝62°，则∠BAC＝ 28 ° ．
⊙
【答案】28°．
【解答】解：连接BC，
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∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∵∠D＝62°，
∴∠B＝∠D＝62°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝28°，
故答案为：28°．
13．如图所示，△ABC内接于 O，且圆心O在△ABC外部，OD⊥BC交 O于点D．则以下结论中：
①∠ABC＝∠ADC；②BC＝⊙2CD；③AD平分∠BAC；④AB＝CD． ⊙
所有正确结论的序号是 ①③ ．
【答案】①③．
【解答】解：∵同弧所对圆周角相等，
∴∠ABC＝∠ADC，故①正确；
∵OD⊥BC，OD是 O的半径，
∴ ＝ ， ⊙
∴BD＝CD，
∴BC≠2CD，故②错误；
∵ ＝ ，
∴∠BAD＝∠CAD，
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∴AD平分∠BAC，故③正确；
④∵ ≠ ，
∴AB≠CD，故④错误．
∴所有正确结论的序号是①③．
故答案为：①③．
14．如图， O的内接四边形ABCD中，∠A＝110°，则∠BOD等于 14 0 °．
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠A＝110°
∴∠C＝180°﹣∠A＝70°
∴∠BOD＝2∠C＝140°．
故答案为：140．
15．如图，PA，PB分别与 O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P＝40°，则∠ACB＝
70 °． ⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接OA、OB，如图，
∵PA，PB分别与 O相切于A，B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥⊙PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣40°＝140°，
∴∠ACB＝ ∠AOB＝ ×140°＝70°．
故答案为70．
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16．如图， OABC的顶点A、B、C都在 O上，点D为 O上一点，且点D不在 上，则∠ADB的大
▱ ⊙ ⊙
小为 3 0 °．
【答案】30．
【解答】解：连接OB，
∵四边形OABC为平行四边形，OA＝OC，
∴四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴三角形OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴ ，
故答案为：30．
三、解答题（本题共7题，共58分）。
17．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D，E．
（1）求证：BD＝DC．
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（2）若∠BAC＝40°，求 所对的圆心角的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB是半 O的直径，
∴∠ADB＝⊙90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD；
（2）解：连接OD，OE，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴∠DAC＝ ∠BAC＝20°，
∴∠DOE＝2∠DAE＝40°，
∴ 所对的圆心角的度数为40°．
18．（8分）如图，AB是 O的直径， ，∠COD＝50°，求∠AOD的度数．
⊙
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【答案】80°．
【解答】解：在 O中，AB是 O的直径，
∴∠AOB＝180°，⊙ ⊙
又∵ ，
∴∠BOC＝∠COD＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
19．（8分）如图，AB，AC是 O的两条弦，且 ＝ ．
⊙
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝4 ，BC＝8，求半径OA的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）连接OB、OC，
∵ ＝ ．
∴AB＝AC，
∵OC＝OB，OA＝OA，
在△AOB与△AOC中，
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．
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠1＝∠2，
∴AO平分∠BAC；
（2）连接AO并延长交BC于E，连接OB，
∵AB＝AC，AO平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
设OA＝x，可得：AB2﹣BE2＝AE2，OB2＝OE2+BE2，
可得： ，x2＝OE2+42，OE+x＝8，
解得：x＝5，OE＝3，
∴半径OA的长＝5．
20．（8分）如图，AB是 O的直径，C是 的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
⊙
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求 O的半径及CE的长．
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙
∴∠A＝90°﹣∠ABC．
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，
∴∠ECB＝∠A．
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又∵C是 的中点，
∴ ＝ ，
∴∠DBC＝∠A，
∴∠ECB＝∠DBC，
∴CF＝BF；
（2）解：∵ ＝ ，
∴BC＝CD＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝ ＝ ＝10，
∴ O的半径为5，
⊙
∵S△ABC ＝ AB•CE＝ BC•AC，
∴CE＝ ＝ ＝ ．
21．（8分）如图所示的拱桥，用 表示桥拱．
（1）若 所在圆的圆心为O，EF是弦CD的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心O．（不写作
法，但要保留作图
痕迹）
（2）若拱桥的跨度（弦AB的长）为16m，拱高（ 的中点到弦AB的距离）为4m，求拱桥的半径
R．
【答案】见试题解答内容
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【解答】解：（1）作弦AB的垂直平分线，交于G，交AB于点H，交CD的垂直平分线EF于点O，则
点O即为所求作的圆心．（如图1）（2分）
（2）连接OA．（如图2）
由（1）中的作图可知：△AOH为直角三角形，H是AB的中点，GH＝4，
∴AH＝ AB＝8．（3分）
∵GH＝4，
∴OH＝R﹣4．
在Rt△AOH中，由勾股定理得，OA2＝AH2+OH2，
∴R2＝82+（R﹣4）2．（4分）
解得：R＝10．（5分）
∴拱桥的半径R为10m．
22．（8分）如图，AB是 O的直径，点C，D是 O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD．OD相交于点
E，F． ⊙ ⊙
（1）求证：点D为弧AC的中点；
（2）若DF＝4，AC＝16，求 O的直径．
⊙
【答案】（1）证明见解析；（2）20．
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【解答】（1）证明：∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝∠C＝90°，
∴OF⊥AC，
∴ ＝ ，
∴点D为 的中点；
（2）解：∵OF⊥AC，
∴AF＝ AC＝8，
在Rt△AFO中，AO2＝AF2+OF2，
∴OA2＝64+（OD﹣DF）2，
∴OA2＝64+（OA﹣4）2，
∴OA＝10，
∴ O的直径为20．
23．（⊙10分）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为6米，拱高CD（弧的中点到
水面的距离）为1米．
（1）求主桥拱所在圆的半径；
（2）若水面下降1米，求此时水面的宽度．
【答案】（1）5米；
（2）8米．
【解答】解：（1）∵点D是 的中点，DC⊥AB，
∴AC＝BC＝ AB＝3，DC经过圆心，
设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为O，连接OA，OC，
联结OA，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣1，
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在Rt△ACO中，∵OA2＝AC2+OC2，
∴R2＝（R﹣1）2+32，
解得R＝5．
答：主桥拱所在圆的半径长为5米；
（2）设OD与EF相交于点G，连接OF，
∵EF∥AB，OD⊥AB，
∴OD⊥EF，
∴∠OGF＝90°，
在Rt△OGF中，OG＝5﹣1﹣1＝3，OF＝5，
∴FG＝ ＝4，
∴EF＝2FG＝8，
答：此时水面的宽度为8米．
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