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专题 15 三角形的概念和性质过关检测
（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．已知在△ABC中，AB＝4，BC＝7，则边AC的长可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．11
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，AB＝4，BC＝7，
则7﹣4＜AC＜7+4，即3＜AC＜11，
∴边AC的长可能是4，
故选：C．
2．如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理
是（ ）
A．两点之间线段最短 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性
【答案】D
【解答】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳
定性．
故选：D．
3．将一块含30°角的三角板和一把直尺如图放置，若∠1＝69°，则∠2的度数是（ ）
A．41° B．51° C．61° D．71°
【答案】B
【解答】解：如图，
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由题意得：∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵∠1＝69°，
∴∠3＝∠1＝69°，
∴∠4＝180°﹣∠3﹣∠4＝51°，
∴∠2＝∠4＝51°．
故选：B．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，DF∥EB．若∠D＝70°，则∠ACD的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】A
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，
∴∠A＝40°，
∵DF∥EB，∠D＝70°，
∴∠D＝∠CEB＝70°，
∴∠ACD＝∠CEB﹣∠A＝70°﹣40°＝30°，
故选：A．
5．将一副三角板（含30°、45°的直角三角形）摆放成如图所示，图中∠1的度数是（ ）
A．90° B．135° C．120° D．150°
【答案】C
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【解答】解：由图可知，∠2＝30°，∠3＝90°，
∴∠1＝∠2+∠3＝90°+30°＝120°．
故选：C．
6．将一副三角尺按如图所示的位置摆放，其中O，E，F在直线l上，点B恰好落在DE边上，∠1＝20°，
∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．则∠ABE的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【解答】解：∵∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．
∴∠ABO＝180°﹣∠AOB﹣∠A＝45°，∠BOE＝180°﹣∠AOB﹣∠1＝70°，
∴∠OBE＝∠DEF﹣∠BOE＝20°，
∴∠ABE＝∠ABO+∠OBE＝65°．
故选：B．
7．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．AB＝2BF B．∠ACE＝ ∠ACB
C．AE＝BE D．CD⊥BE
【答案】C
【解答】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
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∴CD⊥BE，∠ACE＝ ∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE．
故选：C．
8．如图，AD 是△ABC 的中线，已知△ABD 的周长为 25cm，AB 比 AC 长 6cm，则△ACD 的周长为
（ ）
A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm
【答案】A
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，
∵△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，
∴△ACD周长为：25﹣6＝19cm．
故选：A．
9．如图，将直角△ABC 的边AB沿边AC的方向平移到DE的位置，连结BE，CE，若∠ABC＝90°，∠A
＝60°， ，AD＝2，则△BEC的面积为（ ）
A． B． C．6 D．3
【答案】D
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠A＝60°，AB＝2 ，
∴BC＝ABtan60°＝2 ×3＝6，
由平移得AB∥DE且AB＝DE（依据：平移的性质），
∴四边形ABED 是平行四边形，
∴∠BEF＝60°，∠EFB＝∠ABC＝90°，BE＝AD＝2，
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∴EF＝BEcos60°＝1，
.S△CBE ＝ ×BC×EF＝3，
故选：D．
10．如图，在△ABC中，∠B+∠C＝ ，按图进行翻折，使B'D∥C'G∥BC，B'E∥FG，则∠C'FE的度数是
（ ） α
A． B．90°﹣ C． ﹣90° D．2 ﹣180°
【答案】D α α
【解答】解：设∠ADB′＝ ，∠AGC′＝ ，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，
∵B'D∥C'G， γ β
∴ + ＝∠B+∠C＝ ，
∵γEBβ′∥FG， α
∴∠CFG＝∠CEB′＝y，
∴x+2y＝180° ①，
∵ +y＝2∠B， +x＝2∠C，
∴γ+y+ +x＝2 β，
∴γx+y＝β α ②，
②×2﹣①α 可得x＝2 ﹣180°，
∴∠C′FE＝2 ﹣18α0°．
故选：D． α
二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。
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11．如图，E为△ABC边CA边上一点，过点E作ED∥AB．若∠ABC＝110°，∠CED＝150°，则∠C＝
40 °．
【答案】40．
【解答】解：∵∠CED＝150°，
∴∠AED＝180°﹣150°＝30°，
∵ED∥AB，
∴∠A＝∠AED＝30°，
∵∠ABC＝110°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣110°＝40°，
故答案为：40．
12．已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC＝ 12 5 度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：在△ABD中，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝35°，
∴∠BHC＝90°+35°＝125°．
13．已知△ABC中，∠A＝70°，BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的外角角平分线，交点为D，则
∠D＝ 35 ° ．
【答案】35°．
【解答】解：∵BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的外角角平分线，
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∴∠CBD＝ ∠ABC，∠DCE＝ ∠ACE，
∵∠ACE是△ABC的外角，∠DCE是△BCD的外角，
∴∠ACE＝∠A+∠ABC＝70°+∠ABC，∠DCE＝∠CBD+∠D，
∴∠D＝∠DCE﹣∠CBD
＝ ∠ACE﹣∠CBD
＝ （70°+∠ABC）﹣∠CBD
＝35°+ ∠ABC﹣∠CBD
＝35°．
故答案为：35°．
14．如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为3cm2，则△ABC的
面积是 1 2 cm2．
【答案】12．
【解答】解：∵F是CE的中点， ，
∴ ，
∵E是BD的中点，
∴S△ADE ＝S△ABE ，S△CDE ＝S△BCE ，
∴ ，
∴△ABC的面积＝12cm2．
故答案为：12．
15．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别为AB边上的高和中线，若∠DCE＝20°，则∠BAC的度数为
35° 或 55° ．
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【答案】35°或55°．
【解答】解：如图：
∵∠ACB＝90°，CD、CE分别为AB边上的高和中线，∠DCE＝20°，
∴∠CEA＝70°，CE＝EB，
∴∠CBA＝35°，
∴∠BAC＝55°，
如图：
∵∠ACB＝90°，CD、CE分别为AB边上的高和中线，∠DCE＝20°，
∴∠CEA＝70°，CE＝EB，
∴∠BAC＝35°，
故答案为：35°或55°．
16．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A ，得∠A ；∠A BC和∠A CD的平
1 1 1 1
分线交于点A ，得∠A ；…∠A BC和∠A CD的平分线交于点A ，则∠A ＝ °．
2 2 2021 2021 2022 2022
【答案】 ．
【解答】解：∵BA 平分∠ABC，A C平分∠ACD，
1 1
【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠A CD＝ ∠ACD，∠A BD＝ ∠ABC，
1 1
∴∠A ＝∠A CD﹣∠A BD＝ ∠ACD∠﹣ ∠ABC＝ ∠A，
1 1 1
同理可得∠A ＝ ∠A ＝ ∠A，
2 1
∴∠A ＝ ∠A，
2022
∵∠A＝m°，
∴∠A ＝ °，
2022
故答案为： ．
三、解答题（本题共7题，共58分）。
17．（8分）如图所示，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＝50°，∠C＝70°．
（1）求∠ADB的度数；
（2）若DE⊥AC，求∠EDC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD＝ ×60°＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣50°﹣30°＝100°；
（2）∵DE⊥AC，
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∴∠DEC＝90°，
∴∠EDC＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°．
18．（8分）已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD平分外角∠EAC．求证：AD∥BC．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：由三角形的外角性质得，∠EAC＝∠B+∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠EAC＝2∠B，
∵AD平分外角∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∴∠B＝∠EAD，
∴AD∥BC．
19．（8分）已知一个三角形的第一条边长为3a+b，第二条边长为2a﹣b
（1）求第三条边长m的取值范围；（用含a，b的式子表示）
（2）若a，b满足|a﹣5|+（b﹣2）2＝0，第三条边长m为整数，求这个三角形周长的最大值
【答案】（1）a+2b＜m＜5a；
（2）49．
【解答】解：（1）∵三角形的第一条边长为3a+b，第二条边长为2a﹣b，
∴第三条边长m的取值范围是3a+b﹣（2a﹣b）＜m＜3a+b+（2a﹣b），
即a+2b＜m＜5a，
∴第三条边长m的取值范围是a+2b＜m＜5a；
（2）∵a，b满足|a﹣5|+（b﹣2）2＝0，第三条边长m为整数，
∴ ，
∴ ，
∴5+2×2＜m＜5×5，即9＜m＜25，
则三角形的周长为：3a+b+（2a﹣b）+m＝5a+m＝25+m，
∵m为整数，
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∴m可取最大值为24，
此时这个三角形周长的最大值为25+24＝49，
∴这个三角形周长的最大值为49．
20．（8分）如图，已知：AD平分∠BAC，点F是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1＝40°，∠C＝
60°，求∠B和∠F的度数．
【答案】∠B和∠F的度数分别是40°和10°．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠1＝40°，
∴∠BAC＝2∠1＝80°．
∵∠C＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣60°＝40°．
∴∠EDF＝∠B+∠1＝40°+40°＝80°．
∵EF⊥BC，
∴∠DEF＝90°．
∴在Rt△EDF中，∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣80°＝10°．
21．（8分）如图，点G，D，E，F在△ABC的边上，DE∥BC，∠1＝∠2．
（1）求证：CD∥FG；
（2）若∠A＝60°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，求∠1的大小．
【答案】（1）见解答过程；
（2）35°．
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【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠1＝∠DCB，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DCB，
∴CD∥FG．
（2）解∵∠A＝60°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝70°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝35°，
∴∠1＝35°．
22．（8分）如图所示，在△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，AD是高，∠BAC＝54°，
∠C＝66°，求∠DAC、∠BOA的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝66°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣66°＝24°，
∵∠BAC＝54°，∠C＝66°，AE是角平分线，
∴∠BAO＝27°，∠ABC＝60°，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABO＝30°，
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝123°．
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23．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A
的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）＝180°﹣ ×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝ （∠MBC+∠NCB）
＝ （360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝ （180°+∠A）
＝90°+ ∠A
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∴∠Q＝180°﹣（90°+ ∠A）＝90°﹣ ∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝ ∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝ ∠ABC+ ∠MBC
＝ （∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，则90°﹣ ∠A＝∠A，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，则 ∠A＝2（90°﹣ ∠A），解得∠A＝120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
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