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专题 15 与圆有关的位置关系
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（3大模块知识梳理）
知识模块一：与圆有关的位置关系
知识模块二：与切线有关的知识
知识模块三：三角形的外接圆与内切圆
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（9大基础考点）
考点一： 点与圆的位置关系
考点二： 直线与圆的位置关系
考点三： 圆与圆的位置关系
考点四： 利用切线的性质求解
考点五： 切线的性质与判定综合
考点六： 应用切线长定理求解或证明
考点七：由三角形外接圆求值
考点八： 由三角形内切圆求值
考点九： 三角形外接圆与内切圆综合
04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（5大重难点）
重难点一： 证明某直线是圆的切线（有明确的交点）
重难点二： 证明某直线是圆的切线（无明确的交点）
重难点三： 直线与圆的最值问题
重难点四：胡不归问题
重难点五：阿氏圆问题
05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（1大易错点）
易错点1： 讨论与圆有关位置关系时漏解
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知识模块一：与圆有关的位置关系
知识点一：点与圆的位置关系
点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示：
已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，
点和圆的位置关系 点到圆心的距离与半径的关系
r P
点在圆内 点P在圆内d<r d
P
r
d
点在圆上 点P在圆上d=r
P
r
d
点在圆外 点P在圆外d>r
【注意】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半
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径的关系，可以确定该点与圆的位置关系．
知识点二：直线与圆的位置关系
直线和圆共有三种位置关系，分别是相离，相切，相交，如下表所示：
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d
直线和圆的位置关系 相交 相切 相离
直线和圆有两个公共点 直线和圆只有一个公共点 直线和圆没有公共点
定义
时，叫做直线与圆相交 时，叫做直线与圆相切 时，叫做直线与圆相离
r O r O r
O
图示
d d d
l
l
l
公共点个数 2个 1个 无
圆心到直径的距离d与
圆半径r之间的大小关 d<r d=r d>r
系
公共点名称 交点 切点 无
直线名称 交线/割线 切线 无
直线l与⊙O相交d<r 直线l与⊙O相切d=r 直线l与⊙O相离d>r
结论
从左端推出右端是直线与圆的位置关系的性质，从右端推出左端是直线与圆的位
置关系的判断.
知识点三：圆与圆的位置关系
设 的半径分别为r、R（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表：
位置关系 图形 公共点个数 性质及判定
R
r
外离 无 两圆外离⇔d>R+r
O 1 d O 2
R
r
外切 1个切点 两圆外切⇔d=R+r
O 1 d O 2
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r R
相交 两个交点 两圆相交⇔ R−r<d<R+r
O d O
1 2
R
r
d
内切 1个切点 两圆内切⇔ d=R−r
O O
1 2
R
r d
内含 无 两圆内含⇔0≤d<R−r
O O
1 2
两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连
心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.
知识模块二：与切线有关的知识
知识点一：切线的性质定理与判定定理
切线的定义：线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点．
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经
过切点与圆心的直线）
【补充】1）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；
2）经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
用切线的判定定理时,两个条件缺一不可:1）经过半径的外端；2）垂直于这条半径.
知识点二：切线长定理
切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
【解题技巧】切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解．
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知识模块三：三角形的外接圆与内切圆
知识点一：三角形的外接圆与外心
三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
三角形的外心：三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交
点.
三角形的外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等，等于外接圆半径.
知识点二：三角形内切圆与内心
三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形.
三角形的内心：内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三条内角平分性的交点.
三角形的内心的性质：内心到三角形各边的距离相等.
考点一： 点与圆的位置关系
1．（2024·广东广州·中考真题）如图，⊙O中，弦AB的长为4√3，点C在⊙O上，OC⊥AB，
∠ABC=30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定
2．（2022·吉林·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以点A为圆心，r为半
径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知⊙O的半径为1，点A到圆心O的距离为a，若关于x的方程
x2−2x+a=0不存在实数根，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O内 D．无法确定
考点二： 直线与圆的位置关系
4
1．（2020·广东广州·中考真题）如图，RtΔABC中，∠C=90°，AB=5，cosA= ，以点B为圆心，r为
5
半径作⊙B，当r=3时，⊙B与AC的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
2．（2024·湖北·模拟预测）△ABC的三边AB，AC，BC的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，2.4为
半径作圆，则该圆与直线BC的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是
3．（2023·湖北孝感·一模）已知⊙O的半径是一元二次方程x2−3x−4=0的一个根，圆心O到直线l的
距离d=6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交
4．（2021·四川遂宁·中考真题）已知平面直角坐标系中，点P（x ,y ）和直线Ax＋By＋C＝0（其中A，
0 0
|Ax +B y +C|
B不全为0），则点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离 d 可用公式 d= 0 0 来计算．
√A2+B2
例如：求点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离，因为直线y＝2x＋1可化为2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝
－1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离为：
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d=
|Ax
0
+B y
0
+C|
=
|2×1+（−1）×2+1|
=
1
=
√5．
√A2+B2 √22+(−1) 2 √5 5
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点M（0，3）到直线y=√3x+9的距离；
（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r ＝ 4，判断⊙M与直线y=√3x+9的位置关系，若相交，设其弦长
为n，求n的值；若不相交，说明理由．
考点三： 圆与圆的位置关系
1．（2024·上海·中考真题）在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，点P在△ABC内，分别以
A、B、P为圆心画，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是
（ ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．相离
2．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O 与⊙O 的半径为3
1 2
米，且⊙O 经过⊙O 的圆心O．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（ ）
1 2 2
A．4π米 B．6π米 C．8π米 D．12π米
3．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，等圆⊙O 和⊙O 相交于A，B两点，⊙O 经过⊙O 的圆心O ，
1 2 1 2 2
若O O =2，则图中阴影部分的面积为（ ）
1 2
4 2
A．2π B． π C．π D． π
3 3
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考点四： 利用切线的性质求解
1．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于
点E，延长AB交直线l于点C．
(1)求证：AD平分∠CAE；
(2)如果BC=1，DC=3，求⊙O的半径．
2．（2024·北京·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD平分∠AOC.
(1)求证：OD∥BC；
OF 5
(2)延长DO交⊙O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P.若 = ，
BF 6
PE=1，求⊙O半径的长.
3．（2024·四川乐山·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点C作⊙O的切线CD交
BA延长线于点D，点E为C´B上一点，且A´C=C´E．
(1)求证：DC∥AE；
(2)若EF垂直平分OB，DA=3，求阴影部分的面积．
考点五： 切线的性质与判定综合
1．（2023·湖北随州·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点C是B´E的中点，AE垂
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直于过C点的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F．
(1)求证：DC是⊙O的切线；
1
(2)若AE=2，sin∠AFD= ，①求⊙O的半径；②求线段DE的长．
3
2．（2023·湖南怀化·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，点
C为⊙O上的一点．连接PC、AC、OC，且PC=PA．
(1)求证：PC为⊙O的切线；
(2)延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PD⋅OC=PA⋅OD；
(3)若∠CAB=30°，OD=8，求阴影部分的面积．
考点六： 应用切线长定理求解或证明
1．（2022·四川眉山·中考真题）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相
切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB=28°，则∠APB的度数为（ ）
A．28° B．50° C．56° D．62°
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2．（2024·山西·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，射线BD⊥AB，AB=10，
AC=6．CP与⊙O相切时，连接CP，求BP的长．
3．（2024·湖南长沙·模拟预测）在△ABC中，BC为⊙O的直径，AC为过C点的切线．
(1)如图①，以点B为圆心，BC为半径作圆弧交AB于点M，连结CM，若∠ABC=66°，求∠ACM的大
小；
(2)如图②，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，求证：AE=EC；
3
(3)如图③，在（1）（2）的条件下，若tan A= ，求S :S 的值．
4 △ADE △ACM
考点七： 由三角形外接圆求值
1．（2023·山东泰安·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若
∠CAO=40°，∠ACB=70°，则阴影部分的面积是（ ）
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4 8 16 32
A． π B． π C． π D． π
3 3 3 3
2．（2023·内蒙古·中考真题）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，
OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，垂足分别为D,E,F，连接DE,EF,FD．若DE+DF=6.5,△ABC
的周长为21，则EF的长为（ ）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
3．（2022·广西玉林·中考真题）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均
在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三
角形都写出来 ．
考点八： 由三角形内切圆求值
1．（2023·四川攀枝花·中考真题）已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为πr2，则△ABC的面积为
（ ）
1 1
A． rl B． πrl C．rl D．πrl
2 2
2．（2024·四川内江·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=8，E是BC边上一点，且
BE=2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE、PC，则PE+PC
的最小值为 ．
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3．【多选】（2022·山东潍坊·中考真题）如图，△ABC的内切圆（圆心为点O）与各边分别相切于点D，
E，F，连接EF,DE,DF．以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交AB,BC于G，H两点；分别以点
1
G，H为圆心，以大于 GH的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线BP．下列说法正确的是（ ）
2
A．射线BP一定过点O B．点O是△≝¿三条中线的交点
1
C．若△ABC是等边三角形，则DE= BC D．点O不是△≝¿三条边的垂直平分线的交点
2
考点九： 三角形外接圆与内切圆综合
1．（2024·福建南平·模拟预测）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D
作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．
(1)求证：E为BC的中点；
(2)若⊙O的面积为12π，两个△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S 和四边
1
形OBED的外接圆面积S 的比．
2
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2．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和
⊙O于D，E．
(1)求证：EB=EI；
(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．
3．（2024·上海·模拟预测）已知△ABC的内心为O，AO=√3．
(1)如果△ABC的外心也为O，求证：△ABC为等边三角形，并尺规作线段AO；
AB AC
(2)延长AO交边BC于E，求证： = ．
BE CE
重难点一： 证明某直线是圆的切线（有明确的交点）
1．（2023·四川资阳·中考真题）如图，已知⊙O的圆心O在△ABC的边AC上，与AC相交于A、E两点，
且与边BC相切于点D，连结DE．
(1)若BA=BD，求证：AB是⊙O的切线；
(2)若CD=4，CE=2，求⊙O的半径．
2．（2024·山东济南·中考真题）如图，AB,CD为⊙O的直径，点E在B´D上，连接AE,DE，点G在BD
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的延长线上，AB=AG,∠EAD+∠EDB=45°．
(1)求证：AG与⊙O相切；
1
(2)若BG=4√5,sin∠DAE= ，求DE的长．
3
3．（2024·湖北·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E在AC上，以CE为直径的⊙O经
过AB上的点D，与OB交于点F，且BD=BC．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若AD=√3，AE=1，求C´F的长．
重难点二： 证明某直线是圆的切线（无明确的交点）
1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于
点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．
(1)求证：AB与半圆O相切；
(2)连接OA．若CD=4，CF=2，求sin∠OAC的值．
2．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，O是BC
的中点，⊙O与AB相切于点D，与BC交于点E，F，DG是⊙O的直径，弦GF的延长线交AC于点H，
且GH⊥AC．
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(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若DE=2，GH=3，求D´E的长l．
3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图1，O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC长为半径的
⊙O与AD相切于点E，与AC相交于点F．
(1)求证：AB与⊙O相切．
(2)若正方形ABCD的边长为√2+1，求⊙O的半径．
(3)如图2，在（2）的条件下，若点M是半径OC上的一个动点，过点M作MN⊥OC交C´E于点N．当
CM:FM=1:4时，求CN的长．
重难点三： 直线与圆的最值问题
1．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在 ▱ABCD中，∠C=120°，AB=8，BC=10．E为边CD的中
点，F为边AD上的一动点，将△≝¿沿EF翻折得△D'EF，连接AD'，BD'，则△ABD'面积的最小值为
．
2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，⊙M的圆心为M(4，0)，半径为2，P是直线y=x+4上的一个动
点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为
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3．（2023·陕西·中考真题）（1）如图①，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=24．若⊙O的
半径为4，点P在⊙O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值；
（2）如图②所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个
交通枢纽．已知：∠A=∠ABC=∠AED=90°，AB=AE=10000m，BC=DE=6000m．根据新区的
自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道⊙O；过圆心O，
作OM⊥AB，垂足为M，与⊙O交于点N．连接BN，点P在⊙O上，连接EP．其中，线段BN、EP及
MN是要修的三条道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道
⊙O的圆心O到AB的距离OM的长．
重难点四： 胡不归问题
1．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作
1
BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点（点P不与B，E重合），则CP+ BP的最小值为 ．
2
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重难点五： 阿氏圆问题
1．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，点P在y轴上，⊙P交x轴于A，B两点，连接BP并延长交⊙P于
C，过点C的直线y=2x+b交x轴于D，交y轴于点E，且⊙P的半径为√5，AB=4．
(1)写出点B，P，C的坐标；
(2)求证：CD是⊙P的切线；
(3)⊙P上有一动点M，求√5DM+ME的最小值．
2．（2024·广东广州·三模）已知，如图1，PAB为⊙O的割线，直线PC与⊙O有公共点C，且
PC2=PA×PB．
(1)求证：①∠PCA=∠PBC；
②直线PC是⊙O的切线；
(2)如图2，作弦CD，使CD⊥AB，连接AD、BC，，若AD=2，BC=6，求⊙O的半径；
(3)如图3，若⊙O的半径为√2，PO=√10，MO=2，∠POM=90°，⊙O上是否存在一点Q，使得
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√2
PQ+ QM有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由．
2
3．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，矩形ABCD中AB=8，AD=6，点E是矩形ABCD内部一个动点，
且EB=4，连接CE，则DE+三分之二CE的最小值为（ ）
26 23
A．8 B． C． D．9
3 3
4．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于
A(−1,0)，B两点，AB=4，C为抛物线顶点．
(1)求b，c的值；
(2)点P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，交AC于点M，是否存在
QM=3PM？若存在，求出此时P点坐标；若不存在，请说明理由；
1
(3)如图2，以B为圆心，2为半径作圆，N为圆B上任一点，求CN+ AN的最小值．
2
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易错点1： 讨论与圆有关位置关系时漏解
1．（2021·青海·中考真题）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，
则⊙O的半径是 ．
2．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA=3cm，
OB=2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
19
