文档内容
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专题 14 圆的概念及性质
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（2大模块知识梳理）
知识模块一：圆的相关概念
知识模块二：圆的相关性质
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（8大基础考点）
考点一： 利用垂径定理求解
考点二： 利用垂径定理结合全等，相似综合求解
考点三： 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标
考点四： 垂径定理的实际应用
考点五： 利用弧，弦，圆心角的关系求解
考点六： 利用弧，弦，圆心角的关系证明
考点七：利用圆周角定理求解
考点八： 利用圆内接四边形性质求角度
04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（3大重难点）
重难点一： 弧中点模型
重难点二： 与圆有关的常见辅助线-遇到弦时，常添加弦心距
重难点三： 与圆有关的常见辅助线-遇到直径时，常添加直径所对的圆周角
05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（2大易错点）
易错点1： 对同弦所对的圆周角的个数考虑不全面而漏解
易错点2： 对弦的位置考虑不全面而漏解
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知识模块一：圆的相关概念
知识点一： 圆的定义
圆的定义[动态]:如图，在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图
形叫圆，其中，点O叫做圆心，线段OA叫做半径.
圆的定义[静态]:圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径.
O A
圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“ O”，读作“圆O”.
确定圆的两个条件：①圆心（确定圆的位置）；②半径（确定圆的大小），两者缺一不可.
知识点二： 弦与直径
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
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直径：经过圆心的弦叫做直径.
知识点三： 弧，半圆，优弧，劣弧，等弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“⏜”表示，以
A、B
为端点的弧记作 ⏜ ，读作：
❑ AB
“圆弧AB”或“弧AB”.
C
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如右图中的
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如右图中的 .
A B
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
知识点四： 同圆、等圆、同心圆
同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆.
等圆：能够完全重合的圆叫做等圆.
同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆
知识点五：圆心角与圆周角
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
知识点六：弓形和扇形
弓形: 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形，如图，弦AB和 组成两个不同的弓形.
扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如图所示， 和半径OA，OB组
成的图形是一个扇形，读作“扇形AOB”.
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C
O
A B
知识模块二：圆的相关性质
知识点一：圆的对称性
内容
圆的轴对 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线将圆对折,直线两旁的部分能够完全重合，因此圆是轴对
称性 称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心.将圆绕圆
对称性 心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性.
知识点二：垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
知识点三：弧，弦，圆心角之间的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组
量都分别相等.
知识点四：圆周角定理
1
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角= 圆心角）
2
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
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知识点五：圆内接四边形的性质
圆内接四边形的性质：1）圆内接四边形对角互补. A
1 D
如图，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°
2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.
B 2
C E
如图，∠1=∠2
考点一： 利用垂径定理求解
1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE=4，则⊙O
的半径长为（ ）
A．4 B．4√2 C．5 D．5√2
2．（2024·广东广州·中考真题）如图，⊙O中，弦AB的长为4√3，点C在⊙O上，OC⊥AB，
∠ABC=30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定
3．（2024·新疆·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD=8，
OD=5，则BE的长为（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
考点二： 利用垂径定理结合全等，相似综合求解
1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，BC,BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB
的两侧，E是OB上一点（OE>BE），连接OC,CE，且∠BOC=2∠BCE．
(1)如图1，若BE=1，CE=√5，求⊙O的半径；
(2)如图2，若BD=2OE，求证：BD∥OC．（请用两种证法解答）
2．（2023·山东·中考真题）已知：射线OP平分∠MON,A为OP上一点，⊙A交射线OM于点B,C，交
射线ON于点D,E，连接AB,AC,AD．
(1)如图1，若AD∥OM，试判断四边形OBAD的形状，并说明理由；
(2)如图2，过点C作CF⊥OM，交OP于点F；过点D作DG⊥ON，交OP于点G．求证：AG=AF．
3．（2023·贵州·中考真题）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交
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⊙O于点E，连接EA，EB．
(1)写出图中一个度数为30°的角：_______，图中与△ACD全等的三角形是_______；
(2)求证：△AED∽△CEB；
(3)连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．
考点三： 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标
√3 2√3
1．（2024·广东广州·二模） 如图在平面直角坐标系 xOy中，直线 y= x+ 与圆O相交于A、B两
3 3
点，且点 A 在x轴上， 求弦AB的长．
2．（2021·广西河池·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以M(2，3)为圆心，AB为直径的圆与x轴
相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是 ．
3．（2024·山东济宁·模拟预测）如图，⊙O与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为⊙O上一动点，
Q为弦AP上一点，2AQ=3PQ．若点D的坐标为(0,−5)，则CQ的最小值为 ．
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考点四： 垂径定理的实际应用
1．（2023·山东东营·中考真题）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记
载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问
径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB=1寸，CD=10寸，
则直径AB长为 寸．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）唐代李皋发明了“桨轮船”，他设计的桨轮船在船的舷侧或尾部装有带有
桨叶的桨轮，通过人力踩动桨轮轴来推动船体前进．这种船的桨轮下半部浸入水中上半部露出水面，因其
推进方式类似车轮，故又被称为“桨轮船”或“轮船”．如图，该桨轮船的轮子的横截面为⊙O，轮子被
水面截得线段AB长为12m，轮子的吃水深度CD长为2m，则该桨轮船轮子半径为（ ）
A．8m B．6m C．10m D．12m
3．（2024·河北廊坊·二模）如图是放于水平桌面上的带底座的鱼缸，其主体部分的纵截面是弓形AMB，
开口部分AB与桌面平行，将一玻璃棒斜放进鱼缸(鱼缸内无水)，使玻璃棒底端恰在AM´ B的中点M处，发
现AM=AB，将玻璃棒竖立起来(MN⊥AB)时，测得MN=37.5cm．
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(1)求∠BAM的度数，并求的AB长；
(2)求AM´ B的长；
(3)若向鱼缸内加水，使水面的宽度为48cm，求鱼缸内水的深度．
考点五： 利用弧，弦，圆心角的关系求解
1．（2023·湖南常德·中考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长
度的“会圆术”，如图．A´B是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在A´B上，
CD2
CD⊥AB．“会圆术”给出A´B长l的近似值s计算公式：s=AB+ ，当OA=2，∠AOB=90°时，
OA
|l−s|= ．（结果保留一位小数）
2．（2023·河北·中考真题）如图，点P ~P 是⊙O的八等分点．若△P P P ，四边形P P P P 的周长
1 8 1 3 7 3 4 6 7
分别为a，b，则下列正确的是( )
A．ab D．a，b大小无法比较
3．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，已知点A、B、C在⊙O上，C为A´B的中点．若∠BAC=35°，
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则∠AOB等于（ ）
A．140° B．120° C．110° D．70°
考点六： 利用弧，弦，圆心角的关系证明
1．（2023·江苏·中考真题）如图，AD是⊙O的直径，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠DAC=∠ABC，
AC=4，则⊙O的直径AD= ．
2．（2024·江苏南京·二模）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AC与BD相交于点E，AB=CD．
(1)求证：AC=BD；
(2)连接BC，作直线EO，求证：EO⊥BC．
3．（2024·广东·模拟预测）综合运用
如图所示，圆内接四边形ABCD中，点B平分CA´D，CA平分∠BCD．
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(1)求证：∠CDE=2∠ECD．
1
(2)若cos∠CBA= ，求证：∠BDC=4∠CBD．
2
(3)求证：BC2−AB2=CA⋅AD．
考点七： 利用圆周角定理及推论求解
1．（2024·海南·中考真题）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且A´B=B´C=C´D，点P在
C´D上，若∠PCB=130°，则∠PBA等于（ ）
A．105° B．100° C．90° D．70°
2．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于
点M，则∠AMF的度数为（ ）
A．26° B．27° C．28° D．30°
3．（2024·西藏·中考真题）如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2，则
AD的长为（ ）
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A．2 B．2√2 C．2√3 D．4
考点八： 利用圆内接四边形性质求角度
1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若
∠BEC=20°，则∠ADC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
2．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，
∠AOC=128°，则∠CDE等于（ ）
A．64° B．60° C．54° D．52°
3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，C´D=D´B，AB，CD的
延长线相交于点E，且DE=AD．
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证：△CAD∽△CEA；
(2)求∠ADC的度数．
重难点一： 弧中点模型
1．（2021·四川巴中·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上
的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（ ）
3 √3
A．3√3 B． C．√3 D．
2 2
2．（2020·贵州毕节·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过Rt△ACD的直角边DC上的点F，
交AC边于点E，点F是弧EB的中点，∠C=90°，连接AF．
（1）求证：直线CD是⊙O切线．
（2）若BD=2，OB=4，求tan∠AFC的值．
3．（2024·甘肃定西·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，若AB=2AC，D是弧BC的中点，则∠CAD
的度数为（ ）
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．15° B．30° C．35° D．45°
重难点二： 与圆有关的常见辅助线-遇到弦时，常添加弦心距
1．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面
是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB为1米，请计算出淤泥横截面
的面积（ ）
1 √3 1 √3 2 1 1
A． π− B． π− C． π−√3 D． π−
6 4 6 2 3 6 4
2．（2023·宁夏·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，
垂足为E．连接AC．
(1)求证：AC平分∠BAE；
3
(2)若AC=5，tan∠ACE= ，求⊙O的半径．
4
3．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠ACB=2∠BAC．
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(1)求证：∠AOB=2∠BOC；
(2)若AB=4,BC=√5，求⊙O的半径．
重难点三： 与圆有关的常见辅助线-遇到直径时，常添加直径所对的圆周角
1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，若∠B=25°，则
∠CAD °．
2．（2023·江苏·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，BC=2CD，
则∠BAD的度数是 °．
3．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，在△ABC中，AB=BC，以BC为直径作⊙O与AC交于点D，过
点D作DE⊥AB，交CB延长线于点F，垂足为点E．
(1)求证：DF为⊙O的切线；
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4
(2)若BE=3，cosC= ，求BF的长．
5
易错点1： 对同弦所对的圆周角的个数考虑不全面而漏解
1．（2020·湖北襄阳·中考真题）在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于
°．
2．（2023·湖北襄阳·模拟预测）半径长为n的⊙O中，有一条弦AB的长为√2n，则弦AB所对的圆周角度
数等于 ．
易错点2： 对弦的位置考虑不全面而漏解
1．（2022·黑龙江牡丹江·二模）在半径为4cm的⊙O中，弦CD平行于弦AB，AB=4√3cm，
∠BOD=90°，则AB与CD之间的距离是 cm．
2．（2020·青海·中考真题）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=8cm，
CD=6cm，则AB与CD之间的距离为 cm．
16
