文档内容
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专题 03 平面直角坐标系与函数
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（4大模块知识梳理）
知识模块一：平面直角坐标系 知识模块二:点的坐标特征与变换
知识模块三： 坐标方法的简单应用 知识模块四： 函数
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（9大考点）
考点一：用有序数对表示位置 考点二：实际问题中用坐标表示位置
考点三：判断点所在的象限 考点四：直角坐标系中点的坐标
考点五：点坐标规律探索 考点六：点的坐标变换
考点七：自变量和函数值 考点八：函数解析式
考法九：函数图象
04 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，冲刺高分。（3大易错点）
易错点1：函数图像中的动点问题
易错点2：平面直角坐标系中的面积问题
易错点3：函数图像中的动点问题
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知识模块一：平面直角坐标系
有序数对概念：
有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）.
相关概念 具体内容
定义 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系.
平
两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取 向右 方向为正方向；
面
直 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取 向上 方向为正方向.（见图一）
角
原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点.
坐
标
坐标平面 坐标系所在的平面叫做坐标平面.
系
x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限.
象限
按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.（见图一）
对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应
点的坐标
的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作
A(a，b). （见图二）
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知识模块二:点的坐标特征与变换
知识点一：点的坐标特征
第一象限 x＞0，y＞0
第二象限 x＜0，y＞0
在象限内
第三象限 x＜0，y＜0
第四象限 x＞0，y＜0
x轴 y=0
坐标轴上
y轴 x=0
点P(x，y)
的位置
原点 x=y=0
在角平分线上 第一、三象限 x=y
第二、四象限 x= -y
平行x轴 所有点的 纵 坐标相等
在平行坐标轴的直线上
平行y轴 所有点的 横 坐标相等
知识点二：点的坐标变化
变换方式 具体变换过程 变换后的坐标
向左平移a个单位 （x-a，y）
向右平移a个单位 (x+a，y)
平移变换
向上平移a个单位 (x，y+a)
向下平移a个单位 (x，y-a)
点P(x，y)
简单记为“点的平移右加左减，上加下减”
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关于x轴对称 (x，-y)
关于y轴对称 (-x，y)
对称变换
关于原点对称 (-x，-y)
简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变”
关于x=m对称 (2m-x，y)
关于y=n对称 (x，2n-y)
绕原点顺时针旋转90° （y，-x）
绕原点顺时针旋转180° (-x，-y)
旋转变换
绕原点逆时针旋转90° （-y，x）
绕原点逆时针旋转180° (-x，-y)
知识点三：点到坐标轴的距离
在平面直角坐标系中，已知点P(a,b)， 则
y
1）点P到x轴的距离为|b|； a
P（a,b）
2）点P到y轴的距离为|a|；
b
3）点P到原点O的距离为P＝ √a2+b2.
O x
知识点四：坐标系内点与点之间的距离
点M（x，y）与点N（x，y）之间的直线距离（线段长度）：|MN|=√（x −x ) 2+(y −y ) 2
1 1 2 2 2 1 2 1
若AB∥x轴，则A(x ,y),B(x ,y)的距离为|x −x |；
A B A B
若AB∥y轴，则A(x,y ),B(x,y )的距离为|y −y |；
A B A B
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知识模块三： 坐标方法的简单应用
用坐标表示地理位置的方法
1）选择一个适当的参照点为原点建立直角坐标系，并确定x轴、y轴的正方向；
2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出长度单位；
3）坐标平面内画出这些点，并写出各点的坐标和各个地点的名称.
知识模块四： 函数
知识点一：函数的相关概念
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量.
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量.
函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都
有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数.
函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围.
确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数；
2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零；
3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零；
4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零；
5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义.
函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a
时的函数值.
函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式.
函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：
1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在.
2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解.
知识点二：函数的三种表示法及其优缺点
解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示
法叫做解析法.
列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法.
图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法.
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优点 缺点
解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实
际问题中有的函数值不一定能用解析式表示
列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量
与函数值的对应关系，有局限性
图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系
考点一：用有序数对表示位置
【典例1】（2024·湖北宜昌·模拟预测）电影院中的第a排b号位，简记为 ，那么 （ ）
A．表示 排a号
B．表示第b排a号位
C．表示b排或a号
D．与 不可能代表同一个位置
【典例2】（2024·甘肃·中考真题）敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的
《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到
60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地
的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为 ，
那么有序数对记为 对应的田地面积为（ ）
A．一亩八十步 B．一亩二十步 C．半亩七十八步 D．半亩八十四步
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【典例3】（2024·河北邯郸·模拟预测）如图所示为雷达在一次探测中发现的三个目标，其中目标A，B的
位置分别表示为 ， ，按照此方法可以将目标C的位置表示为（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（2024·江苏盐城·三模）小民和小泽两姐弟拿着如图的密码表玩听声音猜汉字的游戏，若听到
“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“ ”，则听到“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚
咚咚-咚”表示的汉字可能为（ ）
4
3
2
1
1 2 3 4 5
A．汉 B．华 C．盐 D．音
考点二：实际问题中用坐标表示位置
【典例1】（2024·广西南宁·二模）中国阳明文化园部分平面图如图所示，若用 表示王阳明纪念馆的
位置，用 表示游客接待中心的位置，则南门的位置可表示为（ ）
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A． B． C． D．
【典例2】（2024·贵州·模拟预测）“在生活的舞台上，我们都是不屈不挠的拳击手，面对无尽的挑战，挥
洒汗水，拼搏向前！”今年的春节档《热辣滚烫》展现了角色坚韧不拔的精神面貌，小星、小红两人也观
看了此电影．如图是利用平面直角坐标系画出的影院内分布图，若分别以正东、正北方向为 轴、 轴的
正方向，建立平面直角坐标系 ，他们这样描述自己的座位：①小星：表示我座位的坐标为 ；②
小红：在小星的座位向右走4个座位，再向上走2个座位，就可以找到我了，则表示小红座位的坐标为
．
【典例3】（2024·贵州·模拟预测）如图，小星从点 出发，先向西走 ，再向南走 到达点 ，
如果点 的位置用 表示，那么 表示的位置是点 ．
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【典例4】（2024·山西朔州·模拟预测）我国水墨画发展有着悠远历史，相传始于唐代，成于五代，盛于宋
元，明清及近代以来续有发展，重于意境优美，图为水墨画“早有蜻蜓立上头”，若将其放在平面直角坐
标系中，点 ， ，则点C坐标为 ．
【典例5】（2024·四川·中考真题）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目
标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为 ，则点C的位置可以表示为 ．
【典例6】（2024·贵州六盘水·一模）如图，小黔与小红在玩“五子棋”；小黔是黑子，他把第四子下在棋
盘坐标的 上，则小红下的白色第三子的棋盘坐标是 ．
考点三：判断点所在的象限
【典例1】（2024·贵州·中考真题）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．
小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的
坐标分别为 ， ，则“技”所在的象限为（ ）
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A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【典例2】（2024·福建福州·模拟预测）已知一次函数 的图象如图所示，则点
所在的象限为 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【典例3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半
径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画
弧，两弧在第一象限交于点H，画射线 ，若 ，则 ．
【典例4】（2024·山东临沂·模拟预测）已知 ， ，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手
盖住的点的坐标可能是（ ）
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A． B． C． D．
【典例5】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点 在直线 上，坐标 是二元一次方
程 的解，则点 的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【典例6】（2024·四川雅安·模拟预测）在平面直角坐标系中有五个点，分别是
从中任选一个点恰好在第二象限的概率是 ．
【典例7】（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系 中，对于点P(x,y)，若x，y均为整数，则称点
P为“整点”．特别地，当 （其中 ）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点
在第二象限，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个
D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10
【典例8】（2024·甘肃·模拟预测）从小到大的三个整数： ，2，3，从中随机抽取一个数作为点P的横
坐标，在余下的两个数中随机抽取一个数作为点P的纵坐标．
(1)请用画树状图或列表的方法写出点P所有可能的坐标．
(2)在所有可能的点P中，求点P落在第二象限的概率．
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考点四：直角坐标系中点的坐标
【典例1】（2024·贵州贵阳·一模）中国象棋趣味浓厚，基本规则简明易懂，而棋子活动的场所，叫作“棋
盘”．观察如图所示象棋盘，以“炮”为原点，分别以正东、正北方向为x轴，y轴的正方向建立平面直
角坐标系，请写出“馬”的坐标是 ．
【典例2】（2024·辽宁锦州·模拟预测）已知a，b都是实数，设点 ，若满足 ，则称点P
为“新奇点”．若点 是“新奇点”，则M的坐标为 ．
【典例3】（2024·四川广元·中考真题）若点 满足 ，则称点Q为“美好点”，写出一个
“美好点”的坐标 ．
【典例4】（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图1所示，该几何体为长方体，记作长方体 ，
如图2所示， 以顶点 为原点O， 分别以棱 ， ， 所在的直线为x轴、y轴、z轴， 建成的坐
标系称为立体坐标系（亦称三维坐标系） ，立体空间中点的位置由三个有序的实数确定，记作
，称为该点的坐标．若长方体的长宽高分别为 ， ，我们知道，在平面直角
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坐标系 中， 点 的坐标为 ，由点 竖直向上平移1个单位可得到点C，所以点 C在立体坐标
系中的坐标记为 ， 由此可知点O 和点B的坐标分别记为 ， ．照此方法，请你
确定点 D 在立体坐标系中的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【典例5】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点 ，点B在x轴的正半轴上，
且 ，将 沿x轴向右平移得到 ， 与 交于点F．若 ，则点D的坐标
为 ．
【典例6】（2024·四川乐山·模拟预测）如图所示，矩形 中， ，则点B的
坐标为（ ）．
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A． B．
C． D．
考点五：点坐标规律探索
【典例1】（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将点 绕点 顺时针旋转 后
得到点 ，再将点 绕点A顺时针旋转 后得到 ，再将点 绕点A顺时针旋转 后得到 ，依此类
推，则 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·广东惠州·模拟预测）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2
米，圆心角为 的弧 多次复制并首尾连接而成．现有一点 从 （ 为坐标原点）出发，以每秒
米的速度沿曲线向右运动，则在第2024秒时点 的纵坐标为（ ）
A． B． C．0 D．1
【典例3】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形 顶点M的坐
标为 ， 是等边三角形，点B坐标是(1,0)， 在正方形 内部紧靠正方形 的边
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（方向为 ）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为 ， 的
坐标是(2,0)；第二次滚动后， 的对应点记为 ， 的坐标是(2,0)；第三次滚动后， 的对应点记为 ，
的坐标是 ；如此下去，……，则 的坐标是 ．
【典例4】．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知 ， ， ， ，
， ， ， …，依此规律，则点 的坐标为 ．
【典例5】（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在平面直角坐标系中，点 、 、 、 …在x轴的正半
轴上，点 、 、 …在直线 上．若点 的坐标为(2,0)，且 、 、
…均为等边三角形．则点 的纵坐标为 ．
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【典例6】（2024·宁夏银川·二模）如图， （n为正整数）均为
等边三角形，它们的边长依次是2，4，6，…， ，顶点 均在y轴上，点O是所有等边三
角形的中心，点 的坐标为 ．
【典例7】（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大
于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余
数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单
位长度．
例 ： “ 和 点 ” 按 上 述 规 则 连 续 平 移 3 次 后 ， 到 达 点 ， 其 平 移 过 程 如 下 ：
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点 ，则点Q的坐标为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【典例8】（2024·全国·模拟预测）观察规律 ，运用你观察到的规
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律解决以下问题：如图，分别过点 作 轴的垂线，交 的图象于点 ，交
直线 于点 ．则 的值为（ ）
A． B． C． D．
考点六：点的坐标变换
【典例1】（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知 ， 两点的坐标分别为 ， ，将线段
平移得到线段 ．若点 的对应点是 ，则点 的对应点 的坐标是 ．
【典例2】（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点 的坐标为(0,4)，
点 均在 轴上．将 绕顶点 逆时针旋转 得到 ，则点 的坐标为 ．
【典例3】（2024·辽宁抚顺·一模）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，
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的顶点均在格点上．
(1)画出 关于原点O的中心对称图形 ．
(2)将 绕点E顺时针旋转 得到 ，画出 ．
(3)若 由 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ．
【典例4】（2024·广西柳州·三模）如图， 的顶点坐标分别是 、 、 ．
(1)如果将 沿x轴翻折得到 ，写出 的三个顶点坐标；
(2)如果将 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ．
【典例5】（2024·江苏常州·中考真题）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向
移动一定的距离 后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图
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形的“平移关联图形”．
(1)如图 ， 是线段 的四等分点．若 ，则在图中，线段 的“平移关联图形”是
________， ________（写出符合条件的一种情况即可）；
(2)如图 ，等边三角形 的边长是 ．用直尺和圆规作出 的一个“平移关联图形”，且满足
（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(3)如图 ，在平面直角坐标系 中，点 的坐标分别是 、 、 ，以点 为圆心，
为半径画圆．若对 上的任意点 ，连接 所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满
足 ，直接写出 的取值范围．
考点七：自变量和函数值
【典例1】（2024·山东东营·中考真题）在弹性限度内，弹簧的长度 是所挂物体质量 的一次函
数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为
5kg时，弹簧的长度为 cm，
【典例2】（2024·湖南娄底·模拟预测）y与x之间的函数关系可记为y=f (x)．例如：函数 可记为
．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f (−x)=f (x)，则 是偶函数；若对于自变量
取值范围内的任意一个x，都有f (−x)=−f (x)，则 是奇函数．例如： 是偶函数，
是奇函数．已知函数 是奇函数，当 时， ，那么 ．
【典例3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数 中，自变量 的取值范围是 ．
【典例4】（2024·江西宜春·模拟预测）阅读下面的材料：
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如果函数y=f (x)满足：对于自变量 的取值范围内的任意 ， ，若 ，都有 ，则称
是增函数；若 ，都有 ，则称 是减函数．
例题：证明函数 是减函数．
证明：设 ，
．
∵ ，∴ ， ．∴ ．即 ．
∴ ．∴函数 （ ）是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
已知函数
(1)计算： __________， __________；
(2)猜想：函数 是__________函数（填“增”或“减”）；
(3)请仿照例题证明你的猜想．
【典例5】（2024·陕西咸阳·模拟预测）周末，爱好骑行的许一一同学和爸爸从家出发，骑行去渭河运动公
园锻炼．许一一先出发，并且匀速骑行完全程，爸爸随后出发并且出发一段时间后速度提高为原来的2倍．
如图所示是许一一和爸爸骑行离家的距离s（米）与许一一骑行时间t（分）之间的函数图象，根据图象解
答下列问题：
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(1)许一一骑行的速度为_______米/分．
(2)求爸爸骑行过程中 段对应的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
(3)求许一一出发多长时间后爸爸追上她．
【典例6】（2024·北京·中考真题）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数
学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下，
当1号杯和2号杯中都有 mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度 （单位：cm）和2号杯的水面高
度 （单位：cm），部分数据如下：
/mL 0 40 100 200 300 400 500
/cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5
/cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8
(1)补全表格（结果保留小数点后一位）；
(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画 与 ， 与 之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这
两个函数的图象；
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(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为___________cm
（结果保留小数点后一位）；
②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为
___________cm（结果保留小数点后一位）．
考点八：函数解析式
【典例1】（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（ ），另一个锐角为y度，则
y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·山西·模拟预测）某树苗的初始高度为 ，如图，这是该树苗的高度与生长的月数的
有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，则该树苗的高度 与
生长月数 之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
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【典例3】（2024·广西·中考真题）激光测距仪L发出的激光束以 的速度射向目标M， 后测距
仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离 与时间 的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（2024·甘肃·中考真题）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄
伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．
七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每
张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【典例5】（2024·四川绵阳·三模）某茶叶销售商计划将120罐茶叶按甲、乙两种礼品盒包装出售，其中甲
种礼品盒每盒装4罐，每盒售价240元；乙种礼品盒每盒装6罐，每盒售价300元，恰好全部装完．已知
每罐茶叶的成本价为30元，设甲种礼品盒的数量为 盒，乙种礼品盒的数量为 盒．
(1)求 关于 的函数关系式；
(2)若120罐茶叶全部售出后的总利润不低于3000元，则甲种礼品盒的数量至少要多少盒？
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【典例6】（2024·广东深圳·中考真题）
【缤纷618，优惠送大家】
今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳各大
购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的
618优惠节，采购了若干辆购物车．
背
景
素 如图为某商场叠放的购物车，右图为购物车叠放在一起的示意图，
材 若一辆购物车车身长 ，每增加一辆购物车，车身增加 ．
问题解决
任
务 若某商场采购了n辆购物车，求车身总长L与购物车辆数n的表达式；
1
任
若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为 ，且一次可以
务
运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？
2
任
若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5
务
次，求：共有多少种运输方案？
3
考法九：函数图象
【典例1】（2024·江西·中考真题）将常温中的温度计插入一杯 的热水（恒温）中，温度计的读数
与时间 的关系用图象可近似表示为（ ）
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A． B． C． D．
【典例2】（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的
是（ ）
A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩
B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息
C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间
D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家
【典例3】（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形 中， ， ，菱形
的顶点 ， 在同一水平线上，点 与 的中点重合， ， ，现将菱形
以 的速度沿 方向匀速运动，当点 运动到 上时停止，在这个运动过程中，菱形
与矩形 重叠部分的面积 与运动时间 之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
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C． D．
【典例4】（2024·江苏镇江·中考真题）甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量 （单位：
L）关于行驶路程 （单位：百公里）的函数图像分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每
百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【典例5】（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从
地匀速出发，甲健步走向 地．途中偶遇一位朋友，驻足交流 后，继续以原速步行前进；乙因故比
甲晚出发 ，跑步到达 地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之
间的距离 与甲出发的时间 之间的函数关系．( )
那么以下结论：
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为 ；
②甲出发 时，甲、乙两人之间的距离达到最大值 ；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后 ；
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④ ， 两地之间的距离是 ．
其中正确的结论有：
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【典例6】（2024·甘肃兰州·中考真题）甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）
如图所示，现有以下三个推断：
①甲的成绩更稳定；
②乙的平均成绩更高；
③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是 ．（填序号）
【典例7】（2024·四川资阳·中考真题）小王前往距家2000米的公司参会，先以 （米/分）的速度步行一
段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：
米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以 （米/分）的速度步行，则
他到达时距会议开始还有 分钟．
易错点1：坐标规律探究
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1. 解决与点坐标变化有关的规律问题一般方法：
1)若点的坐标在坐标轴上或象限内循环(周期)变化时，先求出第一个循环周期内相关点的坐标，然后找出
所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置，从而求出坐标；
2)点的坐标是成倍递推变化时，先求出前几个点的坐标，然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间存
在的规律．
2. 解决与点坐标变化有关的规律问题的注意事项：
1）求什么找什么的规律；
2）变化规律最好用算式而不是得数表示；
3）找算式中数字与序号间的变化规律；
4）找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规律（点的坐标题型首先用这一条）.
【典例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了
如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为 ，点B的
坐标为 ，点C在第一象限， ．将 沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与
x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为 ，点C的对应点为 ， 与 的交点为 ，称点 为第
一个“花朵”的花心，点 为第二个“花朵”的花心；……；按此规律， 滚动2024次后停止滚动，
则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ．
【典例2】（2024·四川广安·中考真题）已知，直线 与 轴相交于点 ，以 为边作等边
三角形 ，点 在第一象限内，过点 作 轴的平行线与直线 交于点 ，与 轴交于点 ，以
为边作等边三角形 （点 在点 的上方），以同样的方式依次作等边三角形 ，等边三角形
，则点 的横坐标为 ．
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【典例3】（2024·山东·中考真题）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将
该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜
想”．在平面直角坐标系 中，将点 中的 ， 分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的
横、纵坐标，其中 ， 均为正整数．例如，点 经过第1次运算得到点 ，经过第2次运算得到
点 ，以此类推．则点(1,4)经过2024次运算后得到点 ．
【典例4】（2024·广东韶关·模拟预测）如图，一个机器人从点 出发，向正西方向走 到达点 ；再向
正北方向走 到达点 ；再向正东方向走 到达点 ；再向正南方向走 到达点 ；再向正西方向走
到达点 ；…，按如此规律走下去，当机器人走到点 时，点 的坐标为
易错点2：平面直角坐标系中的面积问题
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在平面直角坐标系中,解决与面积有关的问题时,要会求出点到坐标轴的距离.在求面积时,要会应用转化方
法,将图形补成规则的图形或将图形分割成规则的图形进行求解.
在求几何图形面积时，线段的长度往往通过计算某些点横坐标之差的绝对值，或纵坐标之差的绝对值去实
现. (横坐标相减时最好用右边的数减左边的数，纵坐标相减时用上边的数减下边的数，这样所得结果就是
边或高的长度，就不用绝对值符号了).
【典例1】（2024·江苏无锡·三模）如图，在平面直角坐标系 中，已知A(9,0)，C(0,6)，四边形
是矩形，过点 的动直线 与 轴交于点 ，将 沿直线 翻折，使点 的对应点 落在矩形
内，当 与 一端点的连线所在直线能将 的面积分成相等的两部分时， 点的横坐标
为 ．
【典例2】（2024·江苏连云港·二模）如图，在平面直角坐标系 中，点A，B在双曲线 上，
的延长线交双曲线 于点C，连接 交双曲线 于点D，连接 ，若 ，
则 的面积为 ．
【典例3】（2024·广西·模拟预测）阅读与探究．定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，将原函
数中的自变量x替换为 ，从而形成一个新的函数，这个新函数叫做原函数的“绝对函数”．例如，函数
y=x+1的“绝对函数”是 ，即 ；函数 的“绝对函数”是
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，即 ；函数 的图象如图1，则它的“绝对函数” 的图
象如图②所示．
(1) 的“绝对函数”是______；
(2)在图3的平面直角坐标系中画出 的绝对函数的图象；
(3)在（1）的“绝对函数”图象上取一点A，点A关于y轴的对称点为 ，O是平面直角坐标系的原点，则
的面积是______；
(4)函数 的“绝对函数”与直线 有四个交点时，求m的取值范围．
【典例4】（2024·黑龙江·二模）在平面直角坐标系中，直线y=kx+b(k≠0)与y轴交于点 B，与x轴交于
点 C，线段 的长是一元二次方程 的两个根，直线 交 于点 ．
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(1)求点A的坐标；
(2)在平面直角坐标系中有一点 ，求 的面积S与m的函数关系式；
(3)M为直线 上的动点，过点M作y轴的平行线，交直线 于点N，点Q在y轴上，是否存在点M，使
为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
易错点3：函数图像中的动点问题
类型一 动点与函数图象判断的解题策略
方法一：趋势判断法. 根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增减
变化趋势；
方法二：解析式计算法. 根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断；
方法三：定点求值法. 结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行
排除；
方法四：范围排除法. 根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除．
类型二 动点与函数图象计算的解题策略
一看图：注意函数图象横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图象的拐点、最值点等；
二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况；
三结合：几何动点与函数图象相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值；
四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解．
【典例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰 中， ， ，动点
E，F同时从点A出发，分别沿射线 和射线 的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，
点F也随之停止运动，连接 ，以 为边向下做正方形 ，设点E运动的路程为 ，正
方形 和等腰 重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
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A． B． C． D．
【典例2】（2024·四川广元·中考真题）如图①，在 中， ，点P从点A出发沿A→C→B
以1 的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时， 的面积 随时间x（s）变化的函数图象，
则该三角形的斜边 的长为（ ）
A．5 B．7 C． D．
【典例3】（2024·安徽·中考真题）如图，在 中， ， ， ， 是边
上的高．点E，F分别在边 ， 上（不与端点重合），且 ．设 ，四边形 的面
积为y，则y关于x的函数图象为（ ）
A． B．
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C． D．
34
