文档内容
专题 08 三角形及全等三角形
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（2大模块知识梳理）
知识模块一：三角形
知识模块二：全等三角形
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（10大基础考点）
考点一：三角形的稳定性
考点二：与五线有关的计算
考点三：与五线有关的作图问题
考点四：利用三角形三边关系求解
考点五：三角形内角和定理与外角和定理的综合
考点六：利用全等三角形的性质求解【热考】
考点七：全等三角形证明方法的合理选择
考点八：利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题
考点九：利用全等三角形解决实际问题
考点十：全等三角形与相似三角形综合
04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（5大重难点）
重难点一：添加辅助线证明两个三角形全等-构造平行线
重难点二：添加辅助线证明两个三角形全等-构造垂线
重难点三：添加辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法
重难点四：添加辅助线证明两个三角形全等-截长补短法
重难点五：与全等三角形有关的基础模型-一线三等角【热考】
重难点六：与全等三角形有关的基础模型-手拉手模型【热考】
05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，冲刺高分。（4大易错点）
易错点1：对三角形的高理解不到位
易错点2：与三角形高有关的分类讨论问题
易错点3：在等腰三角形中，忽略三边关系而致错【失分点】
易错点4：未掌握全等三角形的判定定理知识模块一：三角形
知识点一：三角形的相关概念
三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
三角形的表示：用符号“Δ”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”.
【补充】三角形的表示方法中“Δ”代表“三角形”,后边的字母为三角形的三个顶点，字母的顺序可以自
由安排， 即∆ABC, ACB等均为同一个三角形.
三角形的稳定性: 三角形∆ 三条边确定之后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
【补充】四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样
多边形就具有稳定性了.
三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．
三角形三边关系的应用：
1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形．
2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b
3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形．
知识点二：与三角形的有关线段（掌握）
类型 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
从三角形的一个顶点向它的对 三角形一个内角的平分线与它的对
文字 三角形中，连接一个顶点和它对边
边所在的直线作垂线，顶点和 边相交，这个角的顶点与交点之间
语言 中点的线段．
垂足之间的线段． 的线段．
图形
语言
∵AD是∆ABC中BC边的高 ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线
∴∠ADB=∠ADC=90° 1
∴∠BAD=∠DAC= ∠BAC
性质 2
S =S =
∴BD=CD △ABD △ADC
S
△ABC
用途
1）线段垂直．2）角度相等． 1）线段相等．2）面积相等． 角度相等．
举例
类型 三角形的中位线 三角形的垂直平分线
文字
连接三角形两边中点的线段 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线
语言
图形
语言
∵DE是∆ABC的中位线 ∵直线l是AB的垂直平分线
性质 1 ∴PA=PB, AC=BC, ∠PCA=∠PCB=90°
∴DE= BC DE∥BC
2
用途
1）线段平行．2）线段关系． 1）线段相等．2）角度相等．
举例知识点三：与三角形有关的角（掌握）
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．
推论：直角三角形的两个锐角互余.
三角形的内角和定理的应用：
1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；
2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；
3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.
三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．
三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
知识模块二：全等三角形
知识点一：全等三角形的概念
全等图形的概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形.
特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等.
全等三角形的概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
【补充】
1）全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的
形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关.
2）形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形.
全等三角形的表示：全等用符号“≌”，读作“全等于”.
【补充】书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上. 如△ABC和△DEF全等，记作
△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF.
全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换.
常见的全等变换：平移变换、翻折变换、旋转变换，即过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等
图形.知识点二：全等三角形的性质与判定（贯穿整个几何部分）
全等三角形的性质：1）全等三角形的对应边相等，对应角相等.
2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等．
3）全等三角形的周长相等，面积相等（但周长或面积相等的三角形不一定是全等三角
形）.
全等三角形的判定：
1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
【易错】
①只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等；
A D
例:
B C E F
②在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上.
3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或
“AAS”）；
5）斜边、直角边：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或
“HL”）．
【总结】从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个
元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的
边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路.
考点一：三角形的稳定性
1．（2023·吉林·中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．【答案】三角形具有稳定性
【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可．
【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响．
2．（2022·广东·中考真题）下列图形中具有稳定性的是（ ）．
A．三角形 B．长方形 C．正方形 D．平行四边形
【答案】A
【分析】根据三角形具有稳定性可直接得出答案．
【详解】解：三角形具有稳定性，长方形、正方形、平行四边形不具有稳定性，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的稳定性、四边形的不稳定性，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
3．（2024·吉林长春·一模）四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行
四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（ ）
A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等
C．四边形的不稳定性 D．四边形的内角和等于360°
【答案】C
【分析】本题考查了四边形的不稳定性，根据四边形的不稳定性求解即可．
【详解】解：升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是：四边形的不稳定性，
故选：C．考点二：与五线有关的计算
1．（2024·山东德州·中考真题）如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD=4，S =12，则BE
△ABC
的长为（ ）
A．1.5 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据S =12和AD=4求出BC=6，根据AE是中线即
△ABC
可求解．
1
【详解】解：∵S = ×BC×AD=12，AD=4，
△ABC 2
∴BC=6
∵AE是中线，
1
∴BE= BC=3
2
故选：B
2．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，在△ABC中，AC=2√2，∠ACB=120°，D是边AB的中点，E
是边BC上一点，若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（ ）
√5 √2+1
A． B． C．√2 D．√3
2 2
【答案】C
【分析】延长BC至F，使得CF=CA，连接AF，构造等边三角形，根据题意可得DE是△AFB的中位线，
即可求解．【详解】解：如图，延长BC至F，使得CF=CA，连接AF，
∵ ∠ACB=120°
，
∴∠FCA=60°,
又∵ CF=CA，
∴△AFC是等边三角形，
∴AF=AC=2√2，
∵ D是边AB的中点，E是边BC上一点，DE平分△ABC的周长，
∴AC+CE+AD=BE+BD，AD=BD，
∴AC+CE=BE，
∵AC=CF，
∴ CF+CE=BE，
即EF=EB，
∴ED是△ABF的中位线，
1
∴ED= FA=√2．
2
故选C．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质与判定，等边三角形的性质，三角形中线的定义，构造等边三角
形是解题的关键．
3．（2021·辽宁阜新·中考真题）如图，直线AB//CD，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD
上，EG平分∠CEF，则∠1的度数为 °．
【答案】60
【分析】根据角平分线的定义可求出∠CEG的度数，即可得到∠CEF的度数，再利用平行线的性质即可
解决问题．【详解】∵一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，
∴∠FEG=30°，
∵EG平分∠CEF，
∴∠CEG=∠FEG=30°，
∴∠CEF=∠CEG+∠FEG=60°，
∵AB//CD，
∴∠1=∠CEF=60°．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
1
4．（2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于 AB的长为
2
半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G
（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK=2，则正方形ABCD的边长为
（ ）
5 3+√5
A．√2+1 B． C． D．√3+1
2 2
【答案】D
【分析】连接AG，设EF交AB于点H，正方形边长为2x，由作图知，AG=AD=2x，EF垂直平分AB，
得到AH=BH=x，∠AHG=90°，由勾股定理得到GH=√3x，证明AD∥GH∥BC，推出DG=GK，
推出GH=x+1，得到√3x=x+1，即得2x=√3+1．
【详解】连接AG，设EF交AB于点H，正方形边长为2x，
由作图知，AG=AD=2x，EF垂直平分AB，
1
∴AH=BH= AB=x，∠AHG=90°，
2∴GH=√AG2−AH2=√3x，
∵∠BAD=90°，
∴AD∥GH，
∵AD∥BC，
∴AD∥GH∥BC，
DG AH
∴ = =1，
GK HB
∴DG=GK，
∵BK=2，
1
∴GH= (AD+BK)=x+1，
2
∴√3x=x+1，
√3+1
∴x= ，
2
∴2x=√3+1．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形和线段垂直平分线综合．熟练掌握正方形性质，线段垂直平分线性质，勾
股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理，梯形中位线性质，是解决问题的关键．
5．（2024·四川巴中·中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，
AC=4．若▱ABCD的周长为12，则△COE的周长为（ ）A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线的性质．由平行四边形的性质和三角形的中位线
的性质可求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
O是AC中点，
∴又∵E是BC中点，
OE是△ABC的中位线，
∴ 1 1
∴OE= AB，CE= BC，
2 2
∵▱ABCD的周长为12，AC=4，
1
∴AB+BC= ×12=6，
2
1 1
∴△COE的周长为OE+CE+OC= (AB+BC+AC)= ×(6+4)=5．
2 2
故选：B.
考点三：与五线有关的作图问题
1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：△ABC．
(1)尺规作图：画出△ABC的重心G．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，连接AG，BG．已知△ABG的面积等于5cm2，则△ABC的面积是______cm2．
【答案】(1)见解析
(2)15
【分析】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线；（1）分别作BC,AC的中线，交点即为所求；
S 2
（2）根据三角形重心的性质可得 △ABG= ，根据三角形中线的性质可得S =2S =15cm2
S 3 △ABC △ABD
△ABD
【详解】（1）解：如图所示
作法：①作BC的垂直平分线交 BC 于点 D
②作AC的垂直平分线交AC于点F
③连接AD、BF相交于点G
④标出点 G，点 G 即为所求
（2）解：∵G是△ABC的重心，
2
∴AG= AD
3
S 2
∴
△ABG=
S 3
△ABD
∵△ABG的面积等于5cm2，
∴S =7.5cm2
△ABD
又∵D是BC的中点，
∴S =2S =15cm2
△ABC △ABD
故答案为：15．
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的7×5网格，每个小正方形的顶点叫做格点．
△ABC的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．(1)在图1中，BD平分∠ABC交边AC于点D，先画出△ABC的角平分线AE，再在射线BD上画点F，连
1
接AF，使得AF= BD；
2
(2)在图2中，先画△ABC的高AH，再画∠AHC的平分线HP．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）利用三角形三条角平分线交于一点，先找出过点C的角平分线，确定角平分线交点，再找过
1
点A的角平分线AE，利用全等可得BD=AE，即转化为作AF= AE，作出点E的对称点，可证得点E的
2
对称点、A、B构成的三角形是等腰三角形，且BD为其角平分线，利用三线合一可得BD为中线，即可得
点F为BD延长与AE对称线段的交点；
（2）利用两个直角三角形全等，其中两对应边垂直，则第三边也对应垂直可得高AH，利用90°的圆周角
所对的弦是直径，可得点H在以AC为直径的圆上，设∠AHC的平分线与此圆的交点即为格点P，则
∠APC=90°，证明AP=CP，则△APC为等腰直角三角形，可得∠AHP=∠CHP，即可确定点P位置．
【详解】（1）解：如图：AE，F点即为所求；
理由如下：
如图，利用等腰直角三角形ABC，可作出∠ACB的平分线CO，交BD于点O，
由三角形的三条角平分线交于一点，
则AO为∠BAC的平分线，
延长AO交BC于点E，△ABC的角平分线AE即得；利用对称性作点B的对称点B'，连接B'D，
再利用对称性作点E的对称点E'，连接AE'交BD延长线于点F，
由对称性得AE=AE'，
利用ASA可证△BCD≌△ACE，
∴BD=AE，
∴BD=AE'，
利用∠BAC=∠ABC=45°，及BD、AE为角平分线，
∴∠EAC=22.5°，
∴∠AEC=67.5°，∠E' AC=22.5°，
∴∠AE'C=∠BAE'=67.5°，
∴AB=BE'，
又∵BD平分∠ABC，
1
∴AF= AE' ，
2
1
∴AF= BD，
2
则点F即为所求作；
（2）解：如图：HP即为所求，
理由如下：
如图，∵BT=AW，CT=QW，∠AWQ=∠BTC，
∴Rt△AWQ≌Rt△BTC，
∴∠TBC=∠QAW，
而AW⊥BT，即∠AKB=90°，
∵∠ANK=∠BNH，
∴∠BHN=∠AKN=90°，∴AQ⊥BC，
∴AH⊥BC，
则AH即为所求作；
在过点A、C、H的圆上，∠AHC=90°，
∵AP2=5=CP2，AP2+CP2=10=AC2，
∴∠APC=90°，AP=CP，
∴∠AHC+∠APC=180°，
∴A,H,C,P四点共圆，
∵AP=CP，
∴∠AHP=∠CHP，
∴AP平分∠AHC．
【点睛】本题考查利用直尺结合网格作图，涉及三角形的角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角
形的判断与性质，圆周角的性质即推论，熟练的掌握这些性质是解题的关键．
3．（2024·吉林·模拟预测）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小
正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上，点G是图③中边AC上的任意一点：只用无刻度的直尺
按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
(1)在图①中作边BC上的高AD；
(2)在图②中作△ABC的中位线EF，使点E、F分别在边AC、AB上；
(3)在图③中△ABC的边AB上找到一点H，使AH=AG．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【分析】（1）如图，取格点K，连接AK交BC于D，则AD为BC上的高；
（2）如图，取格点M,K,Q,N，连接MN，QK，与AC，AB分别交于E,F，连接EF；则EF即为所求，
（3）如图，仿照（1）作AD⊥BC，连接BG交AD于T，连接CT并延长交AB于H，则AH=AG
【详解】（1）解：如图，取格点K，连接AK交BC于D，则AD为BC上的高；连接KB,KC，
∵AB=√12+42=√17=AC，KB=√12+22=KC，
∴AK是BC的垂直平分线，
∴AD⊥BC；
（2）解：如图，取格点M,K,Q,N，连接MN，QK，与AC，AB分别交于E,F，连接EF；则EF即为
所求，
由矩形的性质可得：AF=BF，AE=CE，
∴EF为三角形ABC的中位线；
（3）解：如图，仿照（1）作AD⊥BC，连接BG交AD于T，连接CT并延长交AB于H，则AH=AG，
∵由（1）得：AD是BC的垂直平分线，
∴TB=TC，
∴∠TBC=∠TCB，
∵AB=AC，
∴∠HBC=∠GCB，
∵BC=CB，
∴△HBC≌△GCB，
∴HB=GC，
∴AH=AG【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，三角形的中位线的定义，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，
线段的垂直平分线的判定，三角形的高的含义，熟练的利用网格特点作图是解本题的关键．
考点四：利用三角形三边关系求解
1．（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三
角形的是（ ）
A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12
【答案】D
【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断．
【详解】A、5+7=12，不能构成三角形，故此选项不合题意；
B、7+7=14<15，不能构成三角形，故此选项不合题意；
C、6+9=15<16，不能构成三角形，故此选项不合题意；
D、6+8=14>12，能构成三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三
个数．
2（2023·山东·中考真题）在△ABC中，BC=3,AC=4，下列说法错误的是（ ）
A．12，
∴能构成三角形，
∴第三边长为6；
当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6，
∵2+2<6，
∴不能构成三角形，舍去；
综上，第三边长为6，
故答案为：6．
2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程x2−10x+21=0的两个根，则这个三
角形的周长为（ ）
A．17或13 B．13或21 C．17 D．13
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得x =3，
1
x =7，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3，腰长为7，进而即可求出三角形的周长，掌
2
握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：由方程x2−10x+21=0得，x =3，x =7，
1 2
∵3+3<7，
∴等腰三角形的底边长为3，腰长为7，
∴这个三角形的周长为3+7+7=17，
故选：C．
3. 已知一等腰三角形的周长为26，其中一边为6，则这个等腰三角形的腰长是（ ）
A．8 B．6或10 C．6 D．10
【答案】D【分析】根据题意分长为6的边为腰或底两种情况分析，根据构成三角形的条件取舍，即可求得答案．
【详解】解：①6是腰长时，底边为：26﹣6×2＝14，
三角形的三边长分别为6、6、14，
6+6＜14，
∵∴不能组成三角形；
1
6是底边长时，腰长为： ×（26﹣6）＝10，
2
②
三角形的三边长分别10、10、6，能组成三角形，
综上所述，该等腰三角形的腰长是10，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分类讨论是解题的关键．
易错点4：未掌握全等三角形的判定定理
1．（2021·重庆·中考真题）如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB=∠DBC ，添加一个条件，不能证明
△ABC和△DCB全等的是（ ）
A．∠ABC=∠DCB B．AB=DC
C．AC=DB D．∠A=∠D
【答案】B
【分析】根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答．
【详解】选项A，添加∠ABC=∠DCB，
在△ABC和△DCB中，
¿ ，
∴△ABC≌△DCB（ASA），
选项B，添加AB=DC，
在△ABC和△DCB中，AB=DC，BC=CB，∠ACB=∠DBC，无法证明△ABC≌△DCB；
选项C，添加AC=DB，在△ABC和△DCB中，
¿ ，
∴△ABC≌△DCB（SAS）；
选项D，添加∠A=∠D，
在△ABC和△DCB中，
¿ ，
∴△ABC≌△DCB（AAS）；
综上，只有选项B符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
