文档内容
专题 16 与圆有关的计算
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（2大模块知识梳理）
知识模块一：正多边与圆
知识模块二：弧长与扇形面积
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（9大基础考点）
考点一： 求正多边形的中心角
考点二： 已知正多边形的中心角求边数
考点三： 利用弧长公式求弧长
考点四： 由弧长公式或扇形面积公式求圆心角、半径
考点五： 利用扇形面积公式计算扇形面积
考点六： 求弓形面积
考点七：求圆锥的侧面积，底面半径，高，母线
考点八： 求圆锥侧面展开图的圆心角
考点九： 圆锥的实际问题
04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（4大重难点）
重难点一： 求某点的弧形运动路径长度
重难点二： 求图形旋转后扫过的面积
重难点三： 求其它不规则图形面积
重难点四：圆锥侧面上最短路径问题
05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（2大易错点）
易错点1： 误把圆锥底面圆的半径看成侧面展开图中扇形的半径
易错点2： 混淆圆锥的表面积和侧面积知识模块一：正多边形与圆
知识点一：正多边形与圆.
正多边形的外接圆：一般地，用量角器把一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的
内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的外心，外接圆
的半径叫做正多边形的半径.
【补充】正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.知识点二：正多边形与圆的相关概念
中心 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
半径 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.
中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
边心距 正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
知识点三：正多边形的有关计算
1）内角：正n边形的每个内角和为 .
2）外角/中心角：正n边形的每个外角/中心角为 .
3）周长：正n边形的周长.
4）面积：正n边形的面积 .
知识模块二：弧长与扇形面积
知识点一：弧长公式
弧长公式： (n为圆心角的度数，R为圆的半径).
【注意】在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
nπR
【补充】在弧长公式l= 中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量．
180
知识点二：扇形面积公式
扇形的面积公式： (n为圆心角的度数，R为圆的半径)= (l是n°为圆心角所对的弧长).【补充】
1）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量．
2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，
nπR2 1
l
然后直接代入公式S扇形=
360
或S扇形=
2
R中求解即可．
知识点三：圆锥的侧面展开图及圆锥的侧面积
母线：连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥侧面积公式： （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的
底面半径）
n°
l
圆锥全面积公式： （圆锥的表面积=扇形面积+底
h
r
面圆面积）
圆锥的底面半径 r，高 h，母线长 l 之间可构成一个直角三角形，所以满足
r2+
ℎ
2=l2.
【补充】求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个
nπR
扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长，即2πr= ，来建立圆锥底面圆
180
的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系.
【易错点】注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念．
考点一： 求正多边形的中心角
1．（2022·山东青岛·中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在A´B上，则∠CME的度数
为（ ）A．30° B．36° C．45° D．60°
2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，
k
EF∥x轴，点E在双曲线y= (k为常数，k>0)上，将正六边形ABCDEF向上平移√3个单位长度，点D
x
恰好落在双曲线上，则k的值为（ ）
A．4√3 B．3√3 C．2√3 D．3
3．（2024·河北·模拟预测）如图，正六边形ABCDEF和正六边形GHIJKL均以点O为中心，连接
AG，BH，CI，DJ，EK，FL（A，G，H三点共线），若CI=2,IJ=3，则正六边形ABCDEF的
边长为（ ）
A．√3 B．5 C．√19 D．19
考点二： 已知正多边形的中心角求边数
1．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）一个正多边形的中心角为30°，这个正多边形的边数是（ ）
A．8 B．12 C．3 D．6
2．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，M是正六边形EFGHPQ的中心．在平面直角坐标系中，若点M的坐标为(0,0)，点E的坐标为(−1,0)，则点H的坐标为（）
A．(−2,0) B．(1,1) C．(1,0) D．(2,0)
3．（2023·江西九江·一模）如图正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保
留作图痕迹）．
(1)请在图（1）中对角线BE上作一点M，使得BC=2BM；
(2)请在图（2）中BC边上作一点P，使得BC=3BP．
考点三： 利用弧长公式求弧长
1．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，
OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则E´F的长度为 （结果保留π）．
2．（2024·贵州·中考真题）如图，在扇形纸扇中，若∠AOB=150°，OA=24，则A´B的长为（ ）
A．30π B．25π C．20π D．10π
3．（2024·湖北·中考真题）Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在AC上，以OC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．且BD=BC．
(1)求证：AB是⊙O的切线．
(2)连接OB交⊙O于点F，若AD=√3,AE=1，求弧CF的长．
考点四： 由弧长公式或扇形面积公式求圆心角、半径
1．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为3cm的圆的周长的5倍，
则这条弧的半径为（ ）
A．45cm B．40cm C．35cm D．30cm
2．（2024·云南红河·模拟预测）为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也
能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为10π，侧面积为75π的圆锥形草帽，
则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（ ）
A．150° B．120° C．180° D．100°
3．（2024·陕西商洛·模拟预测）传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，
π
如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中A´D的长度为 米，裙长AB=0.8米，圆心角
3
∠AOD=∠BOC=60°，则OB的长为（ ）
A．1米 B．1.8米 C．2米 D．2.2米考点五： 利用扇形面积公式计算扇形面积
1．（2024·吉林·中考真题）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如
图所示，该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB,OC分别与⊙O交于点A，D．OA=1m，OB=10m，
∠AOD=40°，则阴影部分的面积为 m2（结果保留π）．
2．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在矩形ABCD中，BC=√2AB，O为BC中点，OE=AB=4，则
扇形EOF的面积为 ．
3．（2023·山东泰安·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若
∠CAO=40°，∠ACB=70°，则阴影部分的面积是（ ）
4 8 16 32
A． π B． π C． π D． π
3 3 3 3
考点六： 求弓形面积
1．（2021·内蒙古通辽·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，AB=2√3，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是 ．
2．（2021·山东泰安·中考真题）若△ABC为直角三角形，AC=BC=4，以BC为直径画半圆如图所示，
则阴影部分的面积为 ．
3．（2021·四川遂宁·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点
D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为4√3，∠CDF=15°， 则阴影部分的面积为（ ）
A．16π−12√3 B．16π−24√3
C．20π−12√3 D．20π−24√3
考点七： 求圆锥的侧面积，底面半径，高，母线
1．（2024·云南·中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长
为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．700π平方厘米 B．900π平方厘米
C．1200π平方厘米 D．1600π平方厘米2．（2024·江苏扬州·中考真题）若用半径为10cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆
的半径为 cm．
3．（2023·黑龙江·中考真题）已知圆锥的母线长13cm，侧面积65πcm2，则这个圆锥的高是
cm．
4．（2024·江苏扬州·模拟预测）圆锥的侧面展开图的面积为200πcm2，圆锥母线与底面圆的半径之比为
2:1，则母线长为 ．
考点八： 求圆锥侧面展开图的圆心角
1．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，圆锥母线AB=6，底面半径CB=2，则其侧面展开图扇形的圆心角
α的度数为 ．
2．（2024·四川绵阳·三模）在直角三角形ABC中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°，如果把该三角形绕
直线AC旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开得到的扇形的圆心角大小是 ．
3．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开
图的圆心角的度数为 °．
考点九： 圆锥的实际问题
1．（2022·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为5cm的圆形滤纸片按图1所示的步
骤进行折叠，并围成圆锥形．(1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线OB长为6cm，开口圆的直径为6cm．当滤纸
1
片重叠部分三层，且每层为 圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗
4
管口处），请你用所学的数学知识说明；
(2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为6cm，开口圆的直径为7.2cm，现将同样大小的滤纸围成重叠部
分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？
2．（2024·湖南长沙·模拟预测）湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．
2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范
片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为3π米，高
度为3.6米，则此粮仓的侧面积为 m2．（结果保留π）
3．（2023·安徽·二模）《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四
分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体
积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛．重难点一： 求某点的弧形运动路径长度
1．（2024·吉林长春·中考真题）一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的方式摆放，边AB与直线l重
合，AB=12cm．现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C'落在直线l上，则点A经过的路径长
至少为 cm．（结果保留π）
2．（2022·内蒙古通辽·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，若AB=2√3，BC=3，
点P从B点出发，在△ABC内运动且始终保持∠CBP=∠BAP，当C，P两点距离最小时，动点P的运动
路径长为 ．
3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，
在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−1,1)，B(−2,3)，C(−5,2)．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A B C ，并写出点B 的坐标；
1 1 1 1
(2)画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB C ，并写出点B 的坐标；
2 2 2
(3)在（2）的条件下，求点B旋转到点B 的过程中所经过的路径长（结果保留π）
2重难点二： 求图形旋转后扫过的面积
1．（2021·广西柳州·中考真题）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段CA绕点C按
顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A'，则此时线段CA扫过的图形的面积
为（ ）
4 8
A．4√3 B．6 C． π D． π
3 3
2．（2021·四川凉山·中考真题）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C．已知
AC=3,BC=2，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为 ．
3．（2024·江苏盐城·二模）如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB=8，将△ODB绕点O点逆时针
旋转60°，则线段DB扫过的图形面积为是 ．
重难点三： 求其它不规则图形面积
1．（2024·山东·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=60°，AB=BC=2AD=2．以点A为圆心，以AD为半径作D´E交AB于点E，以点B为圆心，以BE为半径作E´F所交BC于点F，连接
FD交E´F于另一点G，连接CG．
(1)求证：CG为E´F所在圆的切线；
(2)求图中阴影部分面积．（结果保留π）
2．（2023·江苏宿迁·中考真题）（1）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，
点E在AC上，连接DE、DB，________．求证：________．
从①DE与⊙O相切；②DE⊥AC中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整
（填写序号），并完成证明过程．
（2）在（1）的前提下，若AB=6，∠BAD=30°，求阴影部分的面积．
3．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC，点O在AB上，以O为圆心，
OA为半径的半圆分别交AC,BC，AB于点D,E,F，且点E是弧DF的中点．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若CE=√2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
重难点四： 圆锥侧面上最短路径问题
1．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，SB=6，AB=4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A．5 B．3√3 C．3√2 D．6√3
2．（2024·广东东莞·二模）【综合与实践】
主题：制作圆锥形生日帽．
素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆
锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，
(1)现在需要制作一个r=10cm，l=30cm的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数；
(2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧
面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值．
3．（22-23九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它
的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定了，我们把这个比值记作T(A)，即
∠A的对边(底边) BC
T(A)= = ，当∠A=60°时，如T(60°)=1．
∠A的邻边(腰) AC(1)T(90°)= ，T(120°)= ，T(A)的取值范围是 ；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁
爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：T(140°)≈0.53，T(70°)≈0.87，T(35°)≈1.66）
易错点1： 误把圆锥底面圆的半径看成侧面展开图中扇形的半径
1．（2024·江苏无锡·二模）将圆心角为150°的扇形围成一个圆锥，若底面圆的直径为10cm，则该圆锥的
侧面积为（ ）cm2
A．50π B．60π C．90π D．120π
易错点2： 混淆圆锥的表面积和侧面积
1．（2024·山东济宁·模拟预测）如图， 是一个几何体的三视图， 那么这个几何体的表面积是（ ）
A．12π B．18π C．24π D．30π
2．（2022·宁夏固原·模拟预测）已知一个圆锥的底面直径为20cm，母线长为30cm，则这个圆锥的表面积
是 ．
