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专题 19 统计与概率
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（2大模块知识梳理）
知识模块一：统计
知识模块二：概率
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（7大基础考点）
考点一： 统计图
考点二： 与平均数、中位数、众数、方差有关的计算
考点三： 统计量的选择
考点四： 根据概率公式计算概率
考点五： 列举法求概率
考点六： 画树状图法/列表法求概率
考点七：由频率估计概率
04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（4大重难点）
重难点一： 几何概率
重难点二： 游戏公平性
重难点三： 统计图与数据分析综合
重难点四： 概率与统计综合
05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（4大易错点）
易错点1： 混淆总体、个体、样本、样本容量
易错点2： 对平均数、中位数、众数的概念理解不到位
易错点3： 对概率的定义理解不到位
易错点4： 混淆放回与不放回实验
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知识模块一：统计
知识点一：普查与抽样调查
概念 优缺点 举例
普查 为特定的目的对全部考 优点：收集到的数据全面、准确. 1）检测“神舟十六号”飞船的零部件.
察对象进行的调查，叫 缺点：一般花费多、工作量大，耗 2）了解全班50名同学每天体育锻炼的
做全面调查. 时长. 时间.
抽取一部分对象进行调 优点：调查范围小，花费少、工作 1）测试一批灯泡的使用寿命或炮弹的
抽 样 查，根据调查样本数据 量较小，省时. 杀伤半径等.
调查 推断全体对象的情况叫 缺点：抽取的样本是否具有代表 2）调查某批中性笔的使用寿命.
抽样调查. 性，直接关系到对总体估计的准确 3）了解全国中学生的视力和用眼卫生
程度. 情况.
知识点二：总体、个体、样本及样本容量
分类 概念 注意事项 举例
总体 所要调查的全体对 考察一个班学生的身高，那么总 对全市2.3万名初中毕业生升学考试的数学成绩进
象 体就是指这个班学生身高的全 行统计调查，为了了解这2.3万学生的数学成绩，
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体，不能错误地理解为学生的全 从中抽取1000名学生的数学成绩进行统计.那么:
体为总体.
总体指的是2.3万名学生的数学成绩；
个体 总体中的每一个考 总体包括所有的个体.
察对象 个体指的是每一个学生的数学成绩；
样本 从总体中抽取的部 样本是总体的一部分，一个总体 样本指的是2000名学生的数学成绩；
分个体 中可以有许多样本，样本能够在
一定程度上反映总体. 样本容量是2000.
样本 样本中个体的数目 一般地，样本容量越大，通过样
容量 （无单位） 本对总体的估计越精确.
知识点三：数据的分析
n个数的和 x +x +⋅⋅⋅+x
平均数
定义：一般地，如果有n个数x 1，x 2，…，x n，那么x =
数的个数
= 1 2
n
n ，读作“
拔”.
优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体的平均数.
缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算,所以它易受极端值的影响.
x w +x w +⋅⋅⋅+x w
定义：若n个数x ，x ，…，x 的权分别是w ，w ，…，w ，则 1 1 2 2 n n ，叫做这n个
加权平均数 1 2 n 1 2 n w +w +⋅⋅⋅+w
1 2 n
数的加
权平均数.
【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数.
定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫
做这组数据的中位数.
中位数 优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响,当一组数据中的个别数据变动较大时,一般用中位数来
描述数据的集中趋势.
缺点：不能充分地利用各数据的信息.
定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数.
众数 优点：众数考察的是各数据所出现的频数,其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复
出现时，众数往往更能反映问题.
缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时,它往往就没有什么特别意义.
定义：在一组数据x ，x ，…，x 中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，
1 2 n
1
记作 s2 .计算公式是：s2= [(x1−x) 2+(x2−x) 2+...+(xn−x) 2 ].
n
方差
意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，
数据的波动性越小.
定义：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差.
极差 【注意】极差是由数据中的两个极端值所决定的,当个别极端值远离其他数据时，极差往往不能反映全体
数据的实际波动情况.
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√[(x1−x) 2+(x2−x) 2+...+(xn−x) 2
定义：方差的算术平方根,即s=
标准差 n
【补充】标准差也是用来描述一组数据波动的情况,常用来比较两组数据波动的大小.
知识点四：统计图/表的应用
统计 图形 优点 缺点 常见结论
图
条形 1）能清楚地表示出每 对于条形统计图，人们习惯 各组数量之和=总
统计 个项目中的具体数目. 于由条形柱的高度看相应的 数
图 2）易于比较数目之间 数据，即条形柱的高度与相
的差别. 应的数据成正比，若条形柱
的高度与数据不成正比，就
容易给人造成错觉.
扇形 能清楚地表示出各部分 在两个扇形统计图中，若一 各部分百分比之和
统计 在总体中所占的百分 个统计图中的某一个量所占 =100%；
图 比. 的百分比比另一个统计图中
的某个量所占的百分比多，
各部分圆心角的度
这样容易造成第一个统计量
数=相应百分比
比第二个统计量大的错误理
×360°
解.
折线 能清楚的反映各数据的 在折线图中，若横坐标被 各种数量之和=样
统计 变化趋势. “压缩”，纵坐标被“放 本容量
图 大”，此时的折线统计图中
的统计量变化量变化明显，
反之，统计量变化缓慢.
频数 直观显示各组频数的分 各组数量之和=样
分布 布情况，易于显示各组 本容量;
直方 之间频数的差别
图
各组频率之和=1;
步骤：
①计算数据的最大值与
数据总数×相应的
最小值的差.
频率=相应的频数
②选取组距，确定组
数.
③确定各组的分点.
④列频数分布表.
⑤画出频数直方图.
知识模块二：概率
知识点一：确定事件与随机事件
类别 定义 举例
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确 必然 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情 在一个只装有红球的袋子中摸
定 事件 称为必然事件. 球，摸出红球.
事
不可能 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些 在一个只装有红球的袋子中摸
件
事件 事情称为不可能事件. 球，摸出白球.
不确定事件 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事 在一个装有红球和白球的袋子
（随机事件） 情称为不确定事件（又叫随机事件）. 中摸球，摸出白球.
知识点二：概率的定义
概率：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，记为
P(A).
概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数，它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.
概率的取值范围：当事件A为必然事件时，P(A)=1；当事件A为不可能事件时,P(A)=0；当事件A为随机事
件时， 0＜P(A)＜1.
【注意事项】
1）概率大，并不能说明事件一定发生，只是发生的可能性大；概率小，并不能说明事件不发生，只是发
生的可能性小；
2）在一次试验中，如果事件的各种结果发生的可能性不相等，就不能用概率公式进行计算.
知识点三：概率的计算方法1.公式法
概率的计算方法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件
A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率 ，即 .
用 求概率时，试验需满足的条件：1）在一次试验中，可能出现的结果只有有限个；
2）在一次试验中，各种结果出现的可能性相等.
2.列举法
定义：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可
通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法.
用列举法求概率的前提：1）所有可能出现的结果是有限个；2）每个结果出现的可能性相等.
3.列表法
定义：当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，
这种方法叫列表法.
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4.画树状图法
定义：当事件要经过多个步骤完成时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树
状图法.
5.用频率估计概率
一般地，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，
摆动的幅度会减小.因此，当试验次数很大时，可以用一个事件发生的频率作为其概率的估计值.
考点一： 统计图
1．（2024·甘肃·中考真题）近年来，我国重视农村电子商务的发展．下面的统计图反映了2016—2023年
中国农村网络零售额情况．根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（ ）
A．2023年中国农村网络零售额最高
B．2016年中国农村网络零售额最低
C．2016—2023年，中国农村网络零售额持续增加
D．从2020年开始，中国农村网络零售额突破20000亿元
2．（2024·山东济宁·中考真题）为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，
班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全
班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）．下列说法正确的是（ ）
A．班主任采用的是抽样调查 B．喜爱动画节目的同学最多
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C．喜爱戏曲节目的同学有6名 D．“体育”对应扇形的圆心角为72°
3．（2024·江西·中考真题）如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空
气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ）
A．五月份空气质量为优的天数是16天 B．这组数据的众数是15天
C．这组数据的中位数是15天 D．这组数据的平均数是15天
4．（2024·广东广州·中考真题）为了解公园用地面积x（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地
50个公园的用地面积，按照0P D．无法判断
1 2 1 2 1 2
29．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，在正方形ABCD中，分别以四个顶点为圆心，以边长的一半为
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半径画圆弧，若随机向正方形ABCD内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米粒落在图中阴影部分的概率
为 ．
重难点二： 游戏公平性
30．（2024·甘肃·中考真题）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标
有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数
字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
(1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
(2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．
31．（2024·四川眉山·二模）四张质地相同的卡片上如图所示，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．
小红和小明想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图，你认为这个游戏公平吗？请用列表法或树状图
说明理由；若认为不公平，请你修改规则，使游戏变得公平．
32．（2024·江苏连云港·二模）如图所示，小明和小亮用转盘做游戏，小明转动的A盘被等分成4个扇形，
小亮转动的B盘被等分成3个扇形，两人分别转动转盘一次．
（1）用列表法或画树状图求恰好“配成紫色”的概率（红色与蓝色配成紫色）；
（2）若“配成紫色”小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．
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重难点三： 统计图与数据分析综合
33．（2024·山西·中考真题）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞
赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
平均数 方
中位数（分） 众数（分） 优秀率
（分） 差
甲组 7.625 a 7 4.48 37.5%
乙组 7.625 7 b 0.73 c
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1)填空：a= ，b= ，c= ；
(2)小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结
合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）．
34．（2024·湖北·中考真题）某校为增强学生身体素质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，
并对学生进行专项体能测试，以下是某次八年级男生引体向上测试成绩的抽样与数据分析过程．
【收集数据】随机抽取若干名男生的测试成绩．
【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用x(引体向上个数)表示成绩，分成四组：
A组(0≤x<5)，B组(5≤x<10)，C组(10≤x<14)，D组(x≥14)．
【描述数据】根据抽取的男生成绩，绘制出如下不完整的统计图．
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【分析数据】抽取的八年级男生测试成绩的平均数为8，中位数为8，众数为11．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求A组人数，并补全条形统计图；
(2)估计该校八年级参加测试的400名男生中成绩不低于10个的人数；
(3)从平均数、中位数和众数这三个统计量中任选一个，解释其在本题中的意义．
35．（2024·山东潍坊·中考真题）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商
家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该
平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评
价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．
【数据描述】
下图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（1）（2）．
（1）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；
（2）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角α的度数．
【分析与应用】
样本数据的统计量如下表，请回答问题（3）（4）．
统计量
商家
中位数 众数 平均数 方差
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甲商家 a 3 3.5 1.05
乙商家 4 b x 1.24
（3）直接写出表中a和b的值，并求x的值；
（4）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪
一家？说明你的观点．
36．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队
员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：
收集数 7 7 7 8
77 76 84 91 78 79
据 8 2 5 5
7 7 9 7
82 76 91 76 75 85
8 9 1 4
9 7 7 8
75 80 75 87 76 77
1 7 5 5
整理、描述数据
7 8
成绩/分 72 74 75 76 78 79 80 82 84 87 91
7 5
人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4
分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表：
平均数 众数 中位数
80 c 78
解决问题
(1)表格中的a=______；b=______；c=______；
(2)分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标
应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分；
(3)学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图
法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率．
重难点四： 概率与统计综合
37．（2024·海南·中考真题）根据以下调查报告解决问题．
调查主题 学校八年级学生视力健康情况
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学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组为了解本校八年级学生视力情
背景介绍
况，随机收集部分学生《视力筛查》数据．
调查结果
八年级学生右眼视力领数分布表
右眼视力 频数
3.8≤x<4.0 3
4.0≤x<4.2 24
4.2≤x<4.4 18
4.4≤x<4.6 12
4.6≤x<4.8 9
4.8≤x<5.0 9
5.0≤x<5.2 15
合计 90
建议：……
（说明：以上仅展示部分报告内容）．
(1)本次调查活动采用的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”）：
(2)视力在“4.8≤x<5.0”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：
4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、4.9，这组数据的中位数是________；
(3)视力低于5.0属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为
_______人；
(4)视力在“3.8≤x<4.0”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的
概率是________；
(5)请为做好近视防控提一条合理的建议．
38．（2024·山东济宁·中考真题）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安
全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和
（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．
【收集数据】八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，
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95，90，95，95，95，95，100，95．
八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，
90，95，90，95，95．
【描述数据】八年级（1）班20名学生成绩统计表
分 8 9
80 90 100
数 5 5
人
3 3 a b 3
数
【分析数据】八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表
统计量 平均
中位数 众数 方差
班级 数
八年级（1）班 m n 95 41.5
八年级（3）班 91 90 p 26.5
【应用数据】
根据以上信息，回答下列问题．
(1)请补全条形统计图：
(2)填空：m=______，n=______；
(3)你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；
(4)从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽
取的2名学生恰好在同一个班级的概率．
易错点1： 混淆总体、个体、样本、样本容量
1．（2023·山东聊城·中考真题）4月15日是全民国家安全教育日.某校为了摸清该校1500名师生的国家安
全知识掌握情况，从中随机抽取了150名师生进行问卷调查．这项调查中的样本是（ ）
A．1500名师生的国家安全知识掌握情况
B．150
C．从中抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况
D．从中抽取的150名师生
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2．（2024·湖南长沙·模拟预测）为了了解某市2023年10000名考生的数学中考成绩，从中抽取了200名考
生的成 绩进行统计．在这个问题中，有下列说法：①这10000名考生的数学中考成绩的全体是总体；②每
个考生是个体；③从中抽取的200名考生的数学中考成绩是总体的一个样本；④样本容量是200．其中说
法正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
易错点2： 对平均数、中位数、众数的概念理解不到位
1．（2024·四川巴中·中考真题）一组数据−10,0,11,17,17,31，若去掉数据11，下列会发生变化的是
（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差
2．（2024·四川达州·中考真题）小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据
污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
易错点3： 对概率的定义理解不到位
1．（2024·贵州·中考真题）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下
列说法正确的是（ ）
A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次
2．（2024·江苏连云港·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大
B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大
C．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件
1
D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 ，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上
2
易错点4： 混淆放回与不放回实验
1．（2024·北京·中考真题）不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它
差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率
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为（ ）
3 1 1 1
A． B． C． D．
4 2 3 4
2．（2024·山西·中考真题）一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都
相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红
球的概率是（ ）
1 2 4 5
A． B． C． D．
3 3 9 9
20
