文档内容
专题 07 图形的初步认识
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（2大模块知识梳理）
知识模块一：几何图形基础
知识模块二：相交线
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（10大基础考点）
考点一：由几何体展开图计算表面积、体积
考点二：正方体的展开图（高频）
考点三：指出现实问题后的数学依据（高频）
考点四：线段的和与差
考点五：与角平分线有关的计算
考点六：与余角、补角、对顶角、邻补角有关的计算
考点七：利用平行线的判定进行证明
考点八：根据平行线的性质求解
考点九：根据平行线性质与判定求解
考点十：平行线的形状在生活中的应用（高频）
04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（3大重难点）
重难点一：平行线常见辅助线作法—与“拐点”作平行线
重难点二：等积模型
重难点三：三角板拼接模型
05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（5大易错点）
易错点1：不能把握直线、射线、线段的特征而致错
易错点2：计算线段的长度或角的度数时未分类讨论，导致漏解
易错点3：不注意角的单位未统一而致错
易错点4：三线八角的识别
易错点5：忽略同位角(或内错角)相等、同旁内角互补的前提知识模块一：几何图形基础
知识点一：平面图形与立体图形
1.立体图形
立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形.
立体图形的分类：2.平面图形
平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形.
几何图形的概念: 我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形，几何图形分为平面图形和立体图形.
【补充】几何图形不研究物体的颜色、质量、质地等性质，只关注物体的形状、大小和位置.
【常见的平面图形的种类】线段、角、三角形、长方形、圆等.
知识点二：直线、射线、线段
1. 线段、射线、直线的区别与联系
直线 射线 线段
定义 直线是几何图形基础，是一个 直线上一点和它一旁的部分叫做射 直线上两点和它们之间的部分
不做定义的原始概念. 线. 叫做线段.
图形
m n l
A B O A A B
表示方法 直线AB或直线BA 射线OA 线段AB、线段BA
直线m 射线n 线段l
端点个数 无 1个 2个
度量情况 不可度量 不可度量 可以度量
延伸情况 可向两方无限延伸 只能以一方无限延伸 不能延伸
作法叙述 作直线AB 作射线OA 作线段AB 作线段m
作直线m 连接AB延伸叙述 反向延伸射线OA 延长线段AB
反向延伸线段BA
射线和线段都是直线的一部分，线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为了直线，
联系
射线向反方向无限延伸就成为直线.
2、有关直线的基本事实
经过两点有一条直线，并且只有一条直线，简述为两点确定一条直线.
3、线段的性质
两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.它是线段的长度，是数量（非负）.
线段基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短.
知识点三：角
1、角的定义
角的定义（静态）：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线
是角的两条边．
角的定义（动态）：由一条射线绕着它的端点旋转一定角度而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是
角的内部.
2、角的度量单位和换算
角的度量单位：度、分、秒是常用的角的度量单位，
1）把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记为1°；
2）把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记为1″；
3）把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，记为1′.
角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″，
1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°
角的换算方法：
1）由度化为分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝ 60″；
2）由分、秒化为度的形式（即由低位向高位化）： ， .
3、角平分线
角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.
4、方向角
方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角.
方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，叫做方位角，取值范围为 0°到360°,比如正东方向就是方位角为90°,正西方向就是方位角为270°.
5、余角和补角的性质
余角的性质：同角（等角）的余角相等；
补角的性质：同角（等角）的补角相等；
知识模块二：相交线
知识点一：相交线
直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行.
垂线的定义：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直
线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线段的定义：如图，点P为直线外一点,PO⊥m，垂足为0，称PO为点P到直线m的垂线段.
P
m
A A A O A A
3 2 1 4 5
垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P
与直线m上的各点连线中，线段PO最短.
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
【注意】
1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误；
2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的.
知识点二：相交线中的角
1.对顶角与邻补角
种类 图形 顶点 边的关系 大小关系
对顶角 有公共 一个角的两边分别是另一角的 ∠1=∠2，∠3=∠4
顶点 两边的反向延长线
A D
3
1 2
邻补角 4 有公共 两个角有一条公共边，且它们 ∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°
C B 顶点 的另一边互为反向延长线.∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180°
2.同位角、内错角、同旁内角
角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征
同位角 在截线的同侧，在被截两 形如字母“F”
条直线同侧 1
2
内错角 在截线的两侧，且夹在两 形如字母“Z”
条被截直线之间
3
4
同旁内角 在截线的同侧，在被截两 形如字母“U”
条直线之间
6
5
【补充】
1）如图，两条直线a、b被第三条直线c所截，构成8个角，简称为“三线八角”，其中共有4对同位角，
2对内错角，2对同旁内角.
2）同位角、内错角、同旁内角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系，它们之间的大小关系是不
确定的.
3）同位角、内错角、同旁内角是指具有特殊位置关系的两个角，是成对出现的，对它们的识别要结合图
形.
4）同位角、内错角、同旁内角这三类角都没有公共顶点.
知识点三：平行线
平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.如图，直线AB与
CD平行，记作;AB∥CD，读作：AB平行于CD.A B
C D
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行.
【拓展】
1）平行线具有传递性：若多条直线都与同一条直线平行，则这多条直线也相互平行.
2）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行，即在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.
平行线的判定与性质的区别
条件 结论 作用
同位角相等 两直线平行
判定 内错角相等 两直线平行 由角的数量关系确定直线的位置关系
同旁内角互补 两直线平行
两直线平行 同位角相等
性质 两直线平行 内错角相等 由直线位置关系得到角的数量关系
两直线平行 同旁内角互补
【总结】从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性
质.
【注意】在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论.这是平行线特有
的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，
这些是不成立的.
平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距
离.
性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等；
2）平行线间的距离处处相等.
考点一： 由几何体展开图计算表面积、体积
1．（2023·江苏无锡·中考真题）若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为6的正方形，则
该直三棱柱的表面积为 ．【答案】36+2√3/2√3+36
【分析】根据题意得出正三角形的边长为2，进而根据表面积等于两个底面积加上侧面正方形的面积即可
求解．
【详解】解：∵侧面展开图是边长为6的正方形，
∴底面周长为6，
∵底面为正三角形，
∴正三角形的边长为2
作CD⊥AB，
∵△ABC是等边三角形，AB=BC=AC=2，
∴AD=1，
∴在直角ΔADC中，
CD=√AC2−AD2=√3，
1
∴S = ×2×√3=√3；
△ABC 2
∴该直三棱柱的表面积为6×6+2√3=36+2√3，
故答案为：36+2√3．
【点睛】本题考查了三棱柱的侧面展开图的面积，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握以上知识
是解题的关键．
2．（2024·河北邯郸·模拟预测）用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其
表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形：下列说法正确的是（ ）
A．方案 1中的 a=4 B．方案2中的b=6
C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸
盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同
【答案】C
【分析】本题考查图形的展开与折叠，考查学生的运算能力、推理能力、空间观念．分别求出a和b的值，
方案1和方案2的容积即可得到答案．
【详解】解：方案1：a=12÷4＝3，故A选项错误，
所折成的无盖长方体的底面积为3×3=9．
容积为5×9=45．
12−2×2
方案2：b= =4，故B选项错误，
2
所折成的无盖长方体的底面积为4×2=8．
容积为6×8=48．
∴方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积，
故选：C．
3．（2024·河北邯郸·一模）一透明的敞口正方体容器ABCD−A'B'C'D'内装有一些有色液体，棱AB始
终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α．（注：图①中∠CBE=α，图②中BQ=3dm）
探究：如图①，液面刚好过棱CD，并与棱BB'交于点Q，此时液体的三视图及尺寸如图②所示，那么图①
中，液体形状为______（填几何体的名称）；
利用图②中数据，计算出图①中液体的体积为多少？（提示：V＝底面积×高）
拓展：在图①的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．若从正面看，液面与
棱CC'或CB交于点P，点Q始终在棱BB'上，设PC=xdm，则BQ的长度为______（用含x的代数式表
示）．12
【答案】探究：三棱柱，24；拓展： dm或(−x+3)dm
4−x
【分析】本题考查利用几何体三视图识别原图形，三棱柱体积公式，一元一次方程，代数式表示线段，勾
股定理等．根据题意观察几何体可知图形为三棱柱，再利用三棱柱体积公式可求出体积，后列出关于BQ
的一元一次方程即可得到．
【详解】解：探究：通过观察图形可知，几何体为三棱柱，
∵BQ=3dm，CQ=5dm，正方体容器ABCD−A'B'C'D'，
∴CB=4dm，
1
∴S = ×4×3=6dm2 ，
△CBQ 2
∴图①中液体的体积：6×4=24 dm3；
拓展：若容器向左旋转，主视图如图①
∵液体体积不变，
1
∴ (x+BQ)×4×4=24，
2
∴BQ=(−x+3)dm，
若容器向右旋转，主视图如图②，1
同理可知 ×(4−x)⋅BQ×4=24，
2
12
∴BQ= dm．
4−x
考点二： 正方体的展开图
1．（2024·江西·中考真题）如图是4×3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展
开图的方法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】B
【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构
特征进行判断，即可得出结论．
【详解】解：如图所示：
共有2种方法，
故选：B．
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期
全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A．自 B．立 C．科 D．技
【答案】C
【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，还原正方体是正确解答的关键．
根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【详解】解：将“自”作为底面，则折起来“强”在前面，“立”在右面，“科”在后面，
∴与“强”字所在面相对面上的汉字是“科”，
故选：C．
3．（2023·山东青岛·中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开
图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体
能看得到的面上数字之和最小是（ ）
A．31 B．32 C．33 D．34
【答案】B
【分析】根据正方体展开图的特征，得出相对面上的数字，再结合正方体摆放方式，得出使该几何体能看
得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，即可解答．
【详解】解：由图①可知：1的相对面是3，2的相对面是4，5的相对面是6，
由图2可知：
要使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，
上面的正方体有一个面被遮住，则这个面数字为6，
能看见的面数字之和为：1+2+3+4+5=15；
左下的正方体有3个面被遮住，其中两个为相对面，则这三个面数字分别为4，5，6，
能看见的面数字之和为：1+2+3=6；
右下的正方体有2个面被遮住，这两个面不是相对面，则这两个面数字为4，6，
能看见的面数字之和为：1+2+3+5=11；∴能看得到的面上数字之和最小为：15+6+11=32，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方体的相对面，掌握正方体展开图中“相间一行是相对面”，是解题的关键．
4．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，已知骰子相对两面的点数之和为7，下列图形为该骰子表面展开图
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据骰子表面展开后，其相对面的点数之和是7，逐项判断即可作答．
【详解】A项，2的对面是4，点数之和不为7，故A项错误；
B项，2的对面是6，点数之和不为7，故B项错误；
C项，2的对面是6，点数之和不为7，故C项错误；
D项，1的对面是6，2的对面是5，3的对面是4，相对面的点数之和都为7，故D项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了立体图形的侧面展开图的知识，解答时，找准相对面是解答本题的关键．没有共
同边的两个面即为相对的面．
考点三： 指出现实问题后的数学依据
1．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推
力F 、F ，则F 的力臂OA大于F 的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
1 2 1 2A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点O有
OB⊥AB，进而利用垂线段最短得到OA>OB即可解题．
【详解】解：∵过点O有OB⊥AB，
∴OA>OB，
即得到F 的力臂OA大于F 的力臂OB，
1 2
∴其体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
2．（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴
含的数学道理是 ．
【答案】两点之间，线段最短
【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．
【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，
其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短
故答案为：两点之间，线段最短．
3．（2022·河北·二模）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短等知识．熟练掌握两点确定一
条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短是解题．
【详解】解：由题意知，A中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意；
B中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意；
C中能用垂线段最短进行解释，符合题意；
D中能用两点之间，线段最短进行解释，不符合题意；
故选：C．
考点四： 线段的和与差
1．（2023·宁夏·中考真题）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是−1，点B是AC的中点，线段
AB=√2，则点C表示的数是 ．
【答案】2√2−1
【分析】根据两点间的距离公式和中点平分线段进行计算即可．
【详解】解：∵点B是AC的中点，线段AB=√2，
∴AC=2√2，
∴点C表示的数是：2√2−1；
故答案为：2√2−1．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，以及线段的中点．熟练掌握线段中点的定义，以及数轴上两点间
的距离公式，是解题的关键．
2．（2023·河北沧州·三模）如图，用圆规比较两条线段的长短，则正确的结果是（ ）A．AB>AC B．AB=AC C．AB”“<”或“=”）．
【答案】<
【分析】本题考查了角度换算，角度比较大小，换算20°24'=20.4°进行比较，即可求解；掌握
1'= ( 1 ) °是解题的关键．
60
【详解】解：24'=
(24)
°=0.4°，
60
∴ 20°24'=20.4°，
∵ 20.24°<20.4°，
∴ 20.24°<20.24'，
故答案：<．
易错点4： 三线八角的识别
1．（2022·广西贺州·中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（ ）
A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠2与∠3 D．∠3与∠4
【答案】B
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称
为同位角，据此作答即可．
【详解】解：∠1与∠2是对顶角，选项A不符合题意；
∠1与∠3是同位角，选项B符合题意；
∠2与∠3是内错角，选项C不符合题意；
∠3与∠4是邻补角，选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟记同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键．
2．（2021·广西百色·中考真题）如图，与∠1是内错角的是（ ）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【答案】C
【分析】根据内错角的定义，即两条直线被第三条直线所截，位于截线的两侧，且夹在两条被截直线之间
的两个角，解答即可．
【详解】根据内错角的定义，得：∠1是内错角的是∠4 ．
故选：C
【点睛】本题主要考查了内错角的定义，解题的关键是熟练掌握并理解内错角的定义．
3．（2021·广西贺州·中考真题）如图，下列两个角是同旁内角的是（ ）
A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠1与∠4 D．∠2与∠4
【答案】B
【分析】根据同旁内角的概念求解即可．
【详解】解：由图可知，∠1与∠3是同旁内角，
∠1与∠2是内错角，
∠4与∠2是同位角，
故选：B．
【点睛】本题考查了同旁内角的概念，属于基础题，熟练掌握同位角，同旁内角，内错角的概念是解决本
题的关键．
易错点5： 忽略同位角(或内错角)相等、同旁内角互补的前提
1．（2024·福建宁德·一模）如图，直线a，b被直线c所截，下列判断错误的是（ ）A．∠1+∠2=180°° B．∠4=∠5
C．∠3与∠4是内错角 D．∠1=∠4
【答案】D
【分析】此题主要考查了对顶角、邻补角、内错角，解题的关键是掌握内错角的边构成“Z”形．
根据对顶角、邻补角、内错角的概念对选项进行判断．
【详解】解：A. ∠1与∠2是邻补角，∴∠1+∠2=180°，故此选项不符合题意；
B. ∠4与∠5是对顶角，∴∠4=∠5，故此选项不符合题意；
C. ∠3与∠4是内错角，故此选项不符合题意；
D. ∠1和∠4是同位角，只有当a∥b时，∠1=∠4，故此选项符合题意；
故选：D．
