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专题 07 图形的初步认识
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（2大模块知识梳理）
知识模块一：几何图形基础
知识模块二：相交线
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（10大基础考点）
考点一：由几何体展开图计算表面积、体积
考点二：正方体的展开图（高频）
考点三：指出现实问题后的数学依据（高频）
考点四：线段的和与差
考点五：与角平分线有关的计算
考点六：与余角、补角、对顶角、邻补角有关的计算
考点七：利用平行线的判定进行证明
考点八：根据平行线的性质求解
考点九：根据平行线性质与判定求解
考点十：平行线的形状在生活中的应用（高频）
04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（3大重难点）
重难点一：平行线常见辅助线作法—与“拐点”作平行线
重难点二：等积模型
重难点三：三角板拼接模型
05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（5大易错点）
易错点1：不能把握直线、射线、线段的特征而致错
易错点2：计算线段的长度或角的度数时未分类讨论，导致漏解
易错点3：不注意角的单位未统一而致错
易错点4：三线八角的识别
易错点5：忽略同位角(或内错角)相等、同旁内角互补的前提
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知识模块一：几何图形基础
知识点一：平面图形与立体图形
1.立体图形
立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形.
立体图形的分类：
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2.平面图形
平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形.
几何图形的概念: 我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形，几何图形分为平面图形和立体图形.
【补充】几何图形不研究物体的颜色、质量、质地等性质，只关注物体的形状、大小和位置.
【常见的平面图形的种类】线段、角、三角形、长方形、圆等.
知识点二：直线、射线、线段
1. 线段、射线、直线的区别与联系
直线 射线 线段
定义 直线是几何图形基础，是一个 直线上一点和它一旁的部分叫做射 直线上两点和它们之间的部分
不做定义的原始概念. 线. 叫做线段.
图形
m n l
A B O A A B
表示方法 直线AB或直线BA 射线OA 线段AB、线段BA
直线m 射线n 线段l
端点个数 无 1个 2个
度量情况 不可度量 不可度量 可以度量
延伸情况 可向两方无限延伸 只能以一方无限延伸 不能延伸
作法叙述 作直线AB 作射线OA 作线段AB 作线段m
作直线m 连接AB
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延伸叙述 反向延伸射线OA 延长线段AB
反向延伸线段BA
射线和线段都是直线的一部分，线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为了直线，
联系
射线向反方向无限延伸就成为直线.
2、有关直线的基本事实
经过两点有一条直线，并且只有一条直线，简述为两点确定一条直线.
3、线段的性质
两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.它是线段的长度，是数量（非负）.
线段基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短.
知识点三：角
1、角的定义
角的定义（静态）：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线
是角的两条边．
角的定义（动态）：由一条射线绕着它的端点旋转一定角度而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是
角的内部.
2、角的度量单位和换算
角的度量单位：度、分、秒是常用的角的度量单位，
1）把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记为1°；
2）把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记为1″；
3）把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，记为1′.
角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″，
1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°
角的换算方法：
1）由度化为分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝ 60″；
2）由分、秒化为度的形式（即由低位向高位化）： ， .
3、角平分线
角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.
4、方向角
方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角.
方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，叫做方位角，取值范围为 0°到360°,比如正东方
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向就是方位角为90°,正西方向就是方位角为270°.
5、余角和补角的性质
余角的性质：同角（等角）的余角相等；
补角的性质：同角（等角）的补角相等；
知识模块二：相交线
知识点一：相交线
直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行.
垂线的定义：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直
线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线段的定义：如图，点P为直线外一点,PO⊥m，垂足为0，称PO为点P到直线m的垂线段.
P
m
A A A O A A
3 2 1 4 5
垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P
与直线m上的各点连线中，线段PO最短.
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
【注意】
1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误；
2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的.
知识点二：相交线中的角
1.对顶角与邻补角
种类 图形 顶点 边的关系 大小关系
对顶角 有公共 一个角的两边分别是另一角的 ∠1=∠2，∠3=∠4
顶点 两边的反向延长线
A D
3
1 2
邻补角 4 有公共 两个角有一条公共边，且它们 ∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°
C B 顶点 的另一边互为反向延长线.
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∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180°
2.同位角、内错角、同旁内角
角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征
同位角 在截线的同侧，在被截两 形如字母“F”
条直线同侧 1
2
内错角 在截线的两侧，且夹在两 形如字母“Z”
条被截直线之间
3
4
同旁内角 在截线的同侧，在被截两 形如字母“U”
条直线之间
6
5
【补充】
1）如图，两条直线a、b被第三条直线c所截，构成8个角，简称为“三线八角”，其中共有4对同位角，
2对内错角，2对同旁内角.
2）同位角、内错角、同旁内角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系，它们之间的大小关系是不
确定的.
3）同位角、内错角、同旁内角是指具有特殊位置关系的两个角，是成对出现的，对它们的识别要结合图
形.
4）同位角、内错角、同旁内角这三类角都没有公共顶点.
知识点三：平行线
平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.如图，直线AB与
CD平行，记作;AB∥CD，读作：AB平行于CD.
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A B
C D
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行.
【拓展】
1）平行线具有传递性：若多条直线都与同一条直线平行，则这多条直线也相互平行.
2）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行，即在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.
平行线的判定与性质的区别
条件 结论 作用
同位角相等 两直线平行
判定 内错角相等 两直线平行 由角的数量关系确定直线的位置关系
同旁内角互补 两直线平行
两直线平行 同位角相等
性质 两直线平行 内错角相等 由直线位置关系得到角的数量关系
两直线平行 同旁内角互补
【总结】从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性
质.
【注意】在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论.这是平行线特有
的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，
这些是不成立的.
平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距
离.
性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等；
2）平行线间的距离处处相等.
考点一： 由几何体展开图计算表面积、体积
1．（2023·江苏无锡·中考真题）若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为6的正方形，则
该直三棱柱的表面积为 ．
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【答案】36+2√3/2√3+36
【分析】根据题意得出正三角形的边长为2，进而根据表面积等于两个底面积加上侧面正方形的面积即可
求解．
【详解】解：∵侧面展开图是边长为6的正方形，
∴底面周长为6，
∵底面为正三角形，
∴正三角形的边长为2
作CD⊥AB，
∵△ABC是等边三角形，AB=BC=AC=2，
∴AD=1，
∴在直角ΔADC中，
CD=√AC2−AD2=√3，
1
∴S = ×2×√3=√3；
△ABC 2
∴该直三棱柱的表面积为6×6+2√3=36+2√3，
故答案为：36+2√3．
【点睛】本题考查了三棱柱的侧面展开图的面积，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握以上知识
是解题的关键．
2．（2024·河北邯郸·模拟预测）用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其
表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形：
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下列说法正确的是（ ）
A．方案 1中的 a=4 B．方案2中的b=6
C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸
盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同
【答案】C
【分析】本题考查图形的展开与折叠，考查学生的运算能力、推理能力、空间观念．分别求出a和b的值，
方案1和方案2的容积即可得到答案．
【详解】解：方案1：a=12÷4＝3，故A选项错误，
所折成的无盖长方体的底面积为3×3=9．
容积为5×9=45．
12−2×2
方案2：b= =4，故B选项错误，
2
所折成的无盖长方体的底面积为4×2=8．
容积为6×8=48．
∴方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积，
故选：C．
3．（2024·河北邯郸·一模）一透明的敞口正方体容器ABCD−A'B'C'D'内装有一些有色液体，棱AB始
终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α．（注：图①中∠CBE=α，图②中BQ=3dm）
探究：如图①，液面刚好过棱CD，并与棱BB'交于点Q，此时液体的三视图及尺寸如图②所示，那么图①
中，液体形状为______（填几何体的名称）；
利用图②中数据，计算出图①中液体的体积为多少？（提示：V＝底面积×高）
拓展：在图①的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．若从正面看，液面与
棱CC'或CB交于点P，点Q始终在棱BB'上，设PC=xdm，则BQ的长度为______（用含x的代数式表
示）．
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12
【答案】探究：三棱柱，24；拓展： dm或(−x+3)dm
4−x
【分析】本题考查利用几何体三视图识别原图形，三棱柱体积公式，一元一次方程，代数式表示线段，勾
股定理等．根据题意观察几何体可知图形为三棱柱，再利用三棱柱体积公式可求出体积，后列出关于BQ
的一元一次方程即可得到．
【详解】解：探究：通过观察图形可知，几何体为三棱柱，
∵BQ=3dm，CQ=5dm，正方体容器ABCD−A'B'C'D'，
∴CB=4dm，
1
∴S = ×4×3=6dm2 ，
△CBQ 2
∴图①中液体的体积：6×4=24 dm3；
拓展：若容器向左旋转，主视图如图①
∵液体体积不变，
1
∴ (x+BQ)×4×4=24，
2
∴BQ=(−x+3)dm，
若容器向右旋转，主视图如图②，
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1
同理可知 ×(4−x)⋅BQ×4=24，
2
12
∴BQ= dm．
4−x
考点二： 正方体的展开图
1．（2024·江西·中考真题）如图是4×3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展
开图的方法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】B
【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构
特征进行判断，即可得出结论．
【详解】解：如图所示：
共有2种方法，
故选：B．
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期
全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体
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的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A．自 B．立 C．科 D．技
【答案】C
【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，还原正方体是正确解答的关键．
根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【详解】解：将“自”作为底面，则折起来“强”在前面，“立”在右面，“科”在后面，
∴与“强”字所在面相对面上的汉字是“科”，
故选：C．
3．（2023·山东青岛·中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开
图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体
能看得到的面上数字之和最小是（ ）
A．31 B．32 C．33 D．34
【答案】B
【分析】根据正方体展开图的特征，得出相对面上的数字，再结合正方体摆放方式，得出使该几何体能看
得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，即可解答．
【详解】解：由图①可知：1的相对面是3，2的相对面是4，5的相对面是6，
由图2可知：
要使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，
上面的正方体有一个面被遮住，则这个面数字为6，
能看见的面数字之和为：1+2+3+4+5=15；
左下的正方体有3个面被遮住，其中两个为相对面，则这三个面数字分别为4，5，6，
能看见的面数字之和为：1+2+3=6；
右下的正方体有2个面被遮住，这两个面不是相对面，则这两个面数字为4，6，
能看见的面数字之和为：1+2+3+5=11；
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∴能看得到的面上数字之和最小为：15+6+11=32，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方体的相对面，掌握正方体展开图中“相间一行是相对面”，是解题的关键．
4．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，已知骰子相对两面的点数之和为7，下列图形为该骰子表面展开图
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据骰子表面展开后，其相对面的点数之和是7，逐项判断即可作答．
【详解】A项，2的对面是4，点数之和不为7，故A项错误；
B项，2的对面是6，点数之和不为7，故B项错误；
C项，2的对面是6，点数之和不为7，故C项错误；
D项，1的对面是6，2的对面是5，3的对面是4，相对面的点数之和都为7，故D项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了立体图形的侧面展开图的知识，解答时，找准相对面是解答本题的关键．没有共
同边的两个面即为相对的面．
考点三： 指出现实问题后的数学依据
1．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推
力F 、F ，则F 的力臂OA大于F 的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
1 2 1 2
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A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点O有
OB⊥AB，进而利用垂线段最短得到OA>OB即可解题．
【详解】解：∵过点O有OB⊥AB，
∴OA>OB，
即得到F 的力臂OA大于F 的力臂OB，
1 2
∴其体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
2．（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴
含的数学道理是 ．
【答案】两点之间，线段最短
【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．
【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，
其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短
故答案为：两点之间，线段最短．
3．（2022·河北·二模）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短等知识．熟练掌握两点确定一
条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短是解题．
【详解】解：由题意知，A中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意；
B中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意；
C中能用垂线段最短进行解释，符合题意；
D中能用两点之间，线段最短进行解释，不符合题意；
故选：C．
考点四： 线段的和与差
1．（2023·宁夏·中考真题）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是−1，点B是AC的中点，线段
AB=√2，则点C表示的数是 ．
【答案】2√2−1
【分析】根据两点间的距离公式和中点平分线段进行计算即可．
【详解】解：∵点B是AC的中点，线段AB=√2，
∴AC=2√2，
∴点C表示的数是：2√2−1；
故答案为：2√2−1．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，以及线段的中点．熟练掌握线段中点的定义，以及数轴上两点间
的距离公式，是解题的关键．
2．（2023·河北沧州·三模）如图，用圆规比较两条线段的长短，则正确的结果是（ ）
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A．AB>AC B．AB=AC C．AB<AC D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了线段的大小比较，熟练掌握线段大小的比较方法是解决问题的关键． 根据比较线段
的长短的方法即可解答．
【详解】解：由图可知，AB<AC．
故选C．
3．（2024·河北沧州·模拟预测）A，B，C，D四个车站的位置如图所示．求：
(1)A，D两站的距离；
(2)C，D两站的距离；
(3)若a=3，C为AD的中点，求b的值．
【答案】(1)4a+3b
(2)a+3b
(3)b=2
【分析】此题考查了整式的加减，线段和差关系；
（1）根据题意列出关系式，合并即可得到结果；
（2）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；
（3）根据中点的定义列出方程计算即可求解．
【详解】（1）a+b+3a+2b=4a+3b
A，D两站的距离是4a+3b；
∴（2）3a+2b−(2a−b)=3a+2b−2a+b=a+3b
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C，D两站的距离为a+3b；
∴（3）由（2）得：C，D两站的距离为a+3b，
A，C两站的距离为a+b+2a−b=3a，
∵C为AD的中点，
∵∴a+3b=3a，
2
∴b= a，
3
∵a=3，
∴b=2．
考点五： 与角平分线有关的计算
1．（2024·四川·中考真题）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，∠1=30°，则∠2=（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，根据平行线的性质求角，根据∠BAD=∠1、∠2= ∠BAD
即可求解.
【详解】解：∵AB∥CD，∠1=30°，
∴∠BAD=∠1=30°
∵AD平分∠BAC，
∴∠2= ∠BAD=30°
故选：B
2．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，△ABC中，在CA，CB上分别截取CD，CE，使CD=CE，分别
1
以D，E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点F，作射线CF，交AB于点M，
2
过点M作MN⊥BC，垂足为点N，若BN=CN，AM=4，BM=5，则AC的长为 ．
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【答案】6
【分析】由线段垂直平分线的性质定理得到MB=MC，因此∠B=∠BCM，由角平分线定义推出
AC AM
∠ACM=∠B，又∠CAM=∠CAB，推出△ACM∽△ABC，得到 = ，代入有关数据，即可求
AB AC
出AC的长．
【详解】由题中作图可知：CM平分∠ACB，
∴∠ACM=∠BCM，
∵MN⊥BC， BN=CN，
∴MB=MC，
∴∠B=∠BCM，
∴∠ACM=∠B，
∵∠CAM=∠CAB，
∴△ACM∽△ABC，
AC AM
∴ = ，
AB AC
∵AM=4，BM=5，
∴AB=AM+BM=4+5=9，
AC 4
∴ = ，
9 AC
∴AC=6，
故答案为：6．
【点睛】此题考查了尺规作图，角平分线定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形
AC AM
的判定和性质，解题的关键是证明△ACM∽△ABC，得到 = ，从而求出AC的长，
AB AC
3．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=∠D，点E在BA的延长线上，
连接CE．
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(1)求证：∠E=∠ECD；
(2)若∠E=60°,CE平分∠BCD，直接写出△BCE的形状．
【答案】(1)见解析
(2)等边三角形
【分析】（1）由平行线的性质得到∠EAD=∠B，已知∠B=∠D,则∠EAD=∠D，可判定BE∥CD,
即可得到∠E=∠ECD；
（2）由∠E=60°，∠E=∠ECD得到∠ECD=∠E=60°，由CE平分∠BCD，得到
∠BCE=∠ECD=60°，进一步可得∠BCE=∠E=∠BEC，即可证明△BCE是等边三角形．
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠B，
∵∠B=∠D,
∴∠EAD=∠D，
∴BE∥CD,
∴∠E=∠ECD．
（2）∵∠E=60°，∠E=∠ECD，
∴∠ECD=∠E=60°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠ECD=60°，
∴∠BCE=∠E=60°，
∴∠B=180°−∠BCE−∠E=60°，
∴∠BCE=∠E=∠B，
∴△BCE是等边三角形
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质、等边三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义等知
识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
4．（2023郑州市模拟）【阅读理解】
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1
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA= ∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的伴随线．例如，
2
1
如图1，∠AOB=60°，∠AOC=∠COD=∠BOD=20°，则∠AOC= ∠BOC，称射线OC是射线
2
1
OA的伴随线；同时，由于∠BOD= ∠AOD，称射线OD是射线OB的伴随线．
2
(1)【知识运用】如图2，∠AOB=120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM=________°，若
∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是
________．（用含α的代数式表示）
(2)如图3若∠AOB=180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针转动，射线OD与
射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针转动，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．
①是否存在某个时刻t（秒）使得∠COD的度数是20°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
②当t的值为多少时，射线OC，OD，OA中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？
α
【答案】(1)40°,
6
90 360 180
(2) 当t=20秒或25秒时，∠COD的度数是20°．②当t= , , ,30时，OC、OD、OA中恰
7 19 7
①
好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
【分析】本题主要考查了角平分线的顶用、角的计算、一元一次方程的应用等知识点，灵活利用分类讨论
思想解决问题是解题的关键．
（1）根据伴随线定义求解即可；
（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后两种情况分别列式计算即可；②利用分类讨论思想，分相
遇之前和之后，分别画出四个图形进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，∵射线 是射线 的伴随线，
1
∴∠AOC= ∠BOC，
2
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1 1
∴∠AOC= ∠AOB= ×120°=40° ，
3 3
∴同理，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，
1 1
∴∠BON= ∠AOB= α，
3 3
∵射线OC是∠AOB的平分线，
1 1
∴∠BOC= ∠AOB= a ，
2 2
1 1 1
∴∠NOC=∠BOC−∠BON= a− a= a．
2 3 6
π
故答案为：40°, ．
6
180
（2）解：射线OD与OA重合时， t= =36（秒）
5
①当∠COD的度数是20°时，有两种可能：
若在相遇之前，则180−5t−3t=20，解得：t=20；
若在相遇之后，则5t+3t−180=20，解得：t=25．
综上所述，当t=20秒或25秒时，∠COD的度数是20°．
②相遇之前：
a．如图1，
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1 1 90
当OC是OA的伴随线时，则∠AOC= ∠COD，即3t= (180−5t−3t)，解得：t= ；
2 2 7
b．如图2，
1 1 360
当OC是OD的伴随线时，则∠COD= ∠AOC，即180−5t−3t= ×3t，解得：t= ；
2 2 19
相遇之后：
c．如图3，
1 1 180
当OD是OC的伴随线时，则∠COD= ∠AOD，即5t+3t−180= (180−5t)，解得：t= ；
2 2 7
d．如图4，
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1 1
当OD是OA的伴随线时，则∠AOD= ∠COD，即180−5t= (3t+5t−180)，解得：t=30．
2 2
90 360 180
综上所述，当t= , , ,30时，OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
7 19 7
考点六：与余角、补角、对顶角、邻补角有关的计算
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，直线AB∥CD，直线MN分别与直线AB、CD交于点E、F，且
∠1=40°，则∠2等于（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；
两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．先根据平行线的性质得出∠DFN=∠1=40°，
再根据邻补角求出结果即可．
【详解】解：∵AB∥CD，∠1=40°，
∴∠DFN=∠1=40°，
∴∠2=180°−∠DFN=140°．
故选：C．
2．（2024·山东日照·中考真题）如图，直线AB,CD相交于点O．若∠1=40°,∠2=120°，则∠COM的
度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【答案】B
【分析】本题考查对顶角的定义，几何中角度的计算，由对顶角相等得到∠2=∠BOC=∠COM+∠1，
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即可解答．
【详解】解：∵∠2=∠BOC=∠COM+∠1，
∴∠COM=∠2−∠1=120°−40°=80°．
故选：B．
3．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，一副三角尺按如图方式摆放． 若直线a∥b，∠1=50°，则∠2的
度数为（ ）
A．20° B．15° C．10° D．5°
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
先根据平行线的性质可得∠4=∠1+∠3°，从而可得∠4=80°，再根据余角关系求出，然后根据平行线
的性质即可得．
【详解】解：如图，
∵直线a∥b，
∴∠4=∠1+∠3
∵∠3=30°，∠1=50°
∴∠4=50°+30°=80°，
∵∠4+∠2=90°
∴∠2=90°−∠4=10°，
故选：C．
4．（2021·山东烟台·一模）如图，已知∠EOC是平角，OD平分∠BOC，在平面上画射线OA，使
∠AOC和∠COD互余，若∠BOC=56°，则∠AOB的度数为（ ）
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A．118° B．34°
C．90°或34° D．118°或6°
【答案】D
【分析】本题考查了角的和差，角平分线的定义，互余的定义，根据角平分线的定义求出
∠COD、∠BOD的度数， 分两种情况：射线OA在直线CE的左上方和射线OA在直线CE的右下方一一
加以计算即可，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键．
【详解】解：∵OD平分∠BOC，
1
∴∠COD= ∠BOC=28°，
2
①当射线OA在直线CE的左上方时，如图所示，
∵∠AOC和∠COD互余，
∴AO⊥OD，即∠AOD=90°，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=90°+28°=118°，
②射线OA在直线CE的右下方，如图所示，
∵∠AOC和∠COD互余，
∴∠COD+∠AOC=90°，
∴∠AOC=62°，
∴∠AOB=∠BOC−∠AOC=62°−56°=6°，
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故选：D．
考点七： 利用平行线的判定进行证明
1．（2023·山东临沂·中考真题）在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过P作m的垂线n，则直
线l与n的位置关系是（ ）
A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定
【答案】C
【分析】根据“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”即可作出判断．
【详解】解：∵在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，即l⊥m，
又∵过P作m的垂线n，即n⊥m，
∴l∥n，
∴直线l与n的位置关系是平行，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定．掌握平行线判定的方法是解题的关键．
2．（2022·湖南郴州·中考真题）如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直
线c∥d的是（ ）
A．∠3=∠4 B．∠1+∠5=180° C．∠1=∠2 D．∠1=∠4
【答案】C
【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可得出结果．
【详解】解：A、当∠3=∠4时，c∥d；故A不符合题意；
B、当∠1+∠5=180°时，c∥d；故B不符合题意；
C、当∠1=∠2时，a∥b；故C符合题意；
D、∵a∥b，则∠1=∠2，
∵∠1=∠4，则∠2=∠4，
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∴c∥d；故D不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用．
3．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知AB=CD，点E，F在线段BD上，且AF=CE．
请从①BF=DE；②∠BAF=∠DCE；③AF=CF中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得
△ABF≌△CDE．
你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明AE∥CF．
【答案】①（或②）
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定
理与性质并灵活运用．利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解，再根据全等三角
形的性质及平行线的判定证明即可．
【详解】解：可选取①或②（只选一个即可），
证明：当选取①时，
在△ABF与△CDE中，
¿，
∴△ABF≌△CDE(SSS)，
∴∠B=∠D，
∵BF=DE，
∴BF+EF=DE+EF，
∴BE=DF，
在△ABE与△CDF中，
¿，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴∠AEB=∠CFD，
∴AE∥CF；
证明：当选取②时，
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在△ABF与△CDE中，
¿，
∴△ABF≌△CDE(SAS)，
∴∠B=∠D，BF=DE，
∴BF+EF=DE+EF，
∴BE=DF，
在△ABE与△CDF中，
¿，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴∠AEB=∠CFD，
∴AE∥CF；
故答案为：①（或②）
4．（2024·江苏南通·中考真题）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF=DE．
求证CF∥AB．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，根据题意得AE=EC，即可证明
△AED≌△CEF，有∠DAE=∠FCE成立，根据平行线的判定即可证明结论．
【详解】证明： 点E为边AC的中点，
AE=EC， ∵
∴EF=DE，∠AED=∠CEF，
∵△AED≌△CEF(SAS)，
∴∠DAE=∠FCE，
∴CF∥AB．
∴
考点八： 根据平行线的性质求解
1．（2024·四川巴中·中考真题）如图，直线m∥n，一块含有30°的直角三角板按如图所示放置．若
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∠1=40°，则∠2的大小为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质．利用对顶角相等求得∠3的度数，再利用三角形
的外角性质求得∠4的度数，最后利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵∠3=∠1=40°，
∴∠4=∠3+30°=70°，
∵m∥n，
∴∠2=∠4=70°，
故选：A．
2．（2024·陕西·中考真题）如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B=145°，则∠D的度数为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据“两直线平行，同旁内
角互补”，得到∠C=35°，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案．
【详解】∵AB∥DC，
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∴∠B+∠C=180°，
∵∠B=145°，
∴∠C=180°−∠B=35°，
∵BC∥DE，
∴∠D=∠C=35°．
故选B．
3．（2023·江苏盐城·中考真题）小华将一副三角板（∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45°）按如图
所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
【答案】C
【分析】根据平行线的性质得出∠AGF=∠F=45°，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图：设AB、FD交于点G，
∵AB∥EF，
∴∠AGF=∠F=45°，
∵∠A=60°，
∴∠1=180°−∠A−∠AGF=180°−60°−45°=75°．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
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4．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在△ABC中，若
DE∥BC,FG∥AC,∠BDE=120°,∠DFG=115°，则∠C= °．
【答案】55°/55度
【分析】先由邻补角求得∠ADE=60°，∠BFG=65°，进而由平行线的性质求得∠B=∠ADE=60°，
∠A=∠BFG=65°，最后利用三角形的内角和定理即可得解．
【详解】解：∵∠BDE=120°,∠DFG=115°，∠BDE+∠ADE=180°，∠DFG+∠BFG=180°，
∴∠ADE=60°，∠BFG=65°，
∵DE∥BC,FG∥AC，
∴∠B=∠ADE=60°，∠A=∠BFG=65°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°−65°−60°=55°，
故答案为：55°．
【点睛】本题主要考查了邻补角，平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题
的关键．
考点九： 根据平行线性质与判定求解
1．（2024·广东·模拟预测）如图，已知∠1=∠2，∠B=40°，则∠3的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先根据内错角相等，两直线平行得到AB∥CT，再根据
两直线平行，同位角相等即可得到∠3=∠B=40°．
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【详解】解：如图所示，
∵∠1=∠2，
∴AB∥CT，
∵∠B=40°，
∴∠3=∠B=40°，
故选：B．
2．（2024·湖北·模拟预测）“抖空竹”是我国非物质文化遗产，某中学将此运动引人特色大课间，某同学
“抖空竹”的一个瞬间如图所示，将图1抽象成图2的数学问题：在平面内，AB∥CD．若∠BAE=50°，
∠DCE=85°，则∠AEC的度数为（ ）
A．115° B．125° C．135° D．145°
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．过点E作EF∥AB，得出
EF∥AB∥CD，利用平行线的性质得出∠DCE=∠CEF=85°，∠BAE=∠AEF=50°，进而得出答
案．
【详解】解：如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD
，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠DCE=∠CEF=85°，∠BAE=∠AEF=50°，
∴∠AEC=∠CEF+∠AEF=85°+50°=135°．
故选：C．
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3．（2024西城区模拟）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架
OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠AOE=∠BNM．
(1)请对OE∥DM说明理由；
(2)若OE平分∠AOF，∠ODC=30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)105°
【分析】（1）结合题意，根据对顶角相等推出∠AOE=∠BNM，根据“同位角相等，两直线平行”即
可得解；
（2）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可；
本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，角平分线的定义，平行公理推论，掌握平行线的判定与性质
是解题的关键．
【详解】（1）解：理由如下：∵∠BNM=∠∧¿，∠AOE=∠BNM，
∴∠AOE=∠∧¿，
∴OE∥DM；
（2）解：∵AB与底座CD都平行于地面EF，
∴AB∥CD，
∴∠BOD=∠ODC=30°，
∵∠AOF+∠BOD=180°，
∴∠AOF=150°，
∵OE平分∠AOF，
1
∴∠EOF= ∠AOF=75°，
2
∴∠BOE=∠BOD+∠EOF=105°，
∵OE∥DM，
∴∠ANM=∠BOE=105°．
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考点十： 平行线的性质在生活中的应用【热考】
1．（2024·山西·中考真题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持
力F 的方向与斜面垂直，摩擦力F 的方向与斜面平行．若斜面的坡角α=25°，则摩擦力F 与重力G方向
1 2 2
的夹角β的度数为（ ）
A．155° B．125° C．115° D．65°
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知β是重力G与斜面形成的三
角形的外角，从而可求得β的度数．
【详解】解：∵重力G的方向竖直向下，
∴重力G与水平方向夹角为90°，
∵摩擦力F 的方向与斜面平行，α=25°，
2
∴β=∠1=α+90°=115°
，
故选：C．
2．（2023·四川绵阳·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，
要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，∠1=122°，则∠2的
度数为（ ）
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A．32° B．58° C．68° D．78°
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，根据“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”
即可得到结论．
【详解】解：∵水面和杯底互相平行，
∴∠1+∠3=180°
，
∵∠1=122°，
∴∠3=180°−∠1=180°−122°=58°．
∵水中的两条光线平行，
∴∠2=∠3=58°．
故选：B．
3．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与
底部支架AB所成锐角α=15°．顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β=45°，则EF与FG所成锐角的度数为
（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
【答案】A
【分析】本题考查了平行线性质，平行公理的推论，过点E作EH∥AB，可得AB∥EH∥FG，即得
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∠BEH=∠α=15°，∠FEH+∠EFG=180°，根据∠β=45°求出∠FEH即可求解，正确作出辅助线
是解题的关键．
【详解】解：过点E作EH∥AB，
∵AB∥FG，
∴AB∥EH∥FG，
∴∠BEH=α=15°，∠FEH+∠EFG=180°，
∵β=45°，
∴∠FEH=180°−45°−15°=120°，
∴∠EFG=180°−∠FEH=180°−120°=60°，
∴EF与FG所成锐角的度数为为60°，
故选：A．
4．（2024·福建·中考真题）在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CD ⊥ DE）按如图
方式摆放，若AB ∥ CD，则∠1的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，由AB ∥ CD，可得∠CDB=60°，即可求解．
【详解】∵AB ∥ CD，
∴∠CDB=60°，
∵CD ⊥ DE，则∠CDE=90°，
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∴∠1=180°−∠CDB−∠CDE=30°，
故选：A．
重难点一： 平行线常见辅助线作法—与“拐点”作平行线
1．（2024·海南·中考真题）如图，直线m∥n，把一块含45°角的直角三角板ABC按如图所示的方式放置，
点B在直线n上，∠A=90°，若∠1=25°，则∠2等于（ ）
A．70° B．65° C．25° D．20°
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数．如图，过点C作直线CD平行于直线m，易得
m∥CD∥n，根据平行线的性质可得∠3=∠1=25°，由∠ACB=45°可求出∠4的度数，再由平行线
的性质可得∠2的度数．
【详解】解：如图，过点C作直线CD平行于直线m，
∵直线m∥n，
∴m∥CD∥n，
∴∠3=∠1=25°，∠4=∠2，
由题意可得∠ACB=45°，
∴∠4=45°−25°=20°，
∴∠2=∠4=20°，
故选：D．
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2 ①如图1， ，则 ；②如图2， ，则 ；③如图3，
，则 ；④如图4，直线 EF，点 在直线 上，则 ．
以上结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】①过点E作直线EF AB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；
②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+ P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；
③如图3，过点E作直线EF AB，由平行线的性质可∠得出∠A+ AEC﹣ 1＝180°，即得∠AEC＝180°+ 1﹣
A； ∥ ∠ ∠ ∠
∠④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+ COF＝180°，再利用角的关系解答即可．
【详解】解： ∠
①如图1，过点E作直线EF AB，
AB CD， ∥
∵AB∥CD EF，
∴ A∥+ 1＝∥ 180°，∠2+ C＝180°，
∴∠A+∠B+ AEC＝360°∠，
∴故∠①错∠误；∠
②如图2，∵∠1是△CEP的外角，
1＝∠C+ P，
∴∠AB CD， ∠
∵ ∥
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A＝∠1，
∴即∠∠P＝∠A﹣ C，
故②正确； ∠
③如图3，过点E作直线EF AB，
AB CD， ∥
∵AB∥CD EF，
∴ A∥+ 3＝∥ 180°，∠1＝∠2，
∴∠A+∠AEC﹣ 1＝180°，
∴即∠∠A∠EC＝180∠°+ 1﹣ A，
故③错误； ∠ ∠
④如图4，∵AB EF，
α＝∠BOF，∥
∴∠CD EF，
∵ γ+∥ COF＝180°，
∴∠BO∠F＝∠COF+ β，
∵∠COF＝∠α﹣ β∠，
∴∠γ+ α﹣ β＝1∠80°，
∴故∠④正∠确；∠
综上结论正确的个数为2，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线
是解答此题的关键．
3．如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，AD∥BE
(1)求证：∠B+∠C−∠A=180°：
(2)如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；
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(3)如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，直线AQ、BC交于点P，QP⊥PB，直接写出
∠DAC：∠ACB：∠CBE= ．
【答案】(1)见解析
(2)2∠AQB+∠C=180°，理由见解析
(3)1：2：2
【分析】（1）过点C作CF∥AD，则CF∥BE，根据平行线的性质可得出∠ACF=∠A、
∠BCF=180°−∠B，据此可得；
（2）过点Q作QM∥AD，则QM∥BE，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出
1
∠AQB= (∠CBE−∠CAD)，结合（1）的结论可得出2∠AQB+∠C=180°；
2
1
（3）由（2）的结论可得出∠CAD= ∠CBE①，由QP⊥PB可得出∠CAD+∠CBE=180°②，联立
2
①②可求出∠CAD、∠CBE的度数，再结合（ 1）的结论可得出∠ACB的度数，将其代入
∠DAC：∠ACB：∠CBE中可求出结论．
【详解】（1）在图①中，过点C作CF∥AD，则CF∥BE．
∵CF∥AD∥BE，
∴∠ACF=∠A，∠BCF+∠B=180°，
∴∠ACB+∠B−∠A=∠ACF+∠BCF+∠B−∠A=∠A+180°−∠A=180°．
（2）在图2中，过点Q作QM∥AD，则QM∥BE．
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∵QM∥AD，QM∥BE，
∴∠AQM=∠NAD，∠BQM=∠EBQ．
∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，
1 1
∴∠NAD= ∠CAD,∠EBQ= ∠CBE，
2 2
1
∴∠AQB=∠BQM−∠AQM= (∠CBE−∠CAD)．
2
∵∠C=180°−(∠CBE−∠CAD)=180°−2∠AQB，
∴2∠AQB+∠C=180°．
（3）∵AC∥QB，
1 1
∴∠AQB=∠CAP= ∠CAD,∠ACP=∠PBQ= ∠CBE，
2 2
1
∴∠ACB=180°−∠ACP=180°− ∠CBE．
2
∵2∠AQB+∠ACB=180°，
1
∴∠CAD= ∠CBE.．
2
又∵QP⊥PB，
∴∠CAP+∠ACP=90°，即∠CAD+∠CBE=180°，
∴∠CAD=60°，∠CBE=120°，
∴∠ACB=180°−(∠CBE−∠CAD)=120°，
∴∠DAC：∠ACB：∠CBE=60°：120°：120°=1：2：2，
故答案为：1：2：2．
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行
线．
重难点二： 等积模型
1．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若
S 1 S
△ABD=
，则
△AOD=
．
S 3 S
△BCD △BOC
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1
【答案】
9
【分析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线间的距离，相似
三角形的判定与性质是解题的关键．
1
AD⋅d
S 2 1 AD 1
设AD，BC的距离为d，则 △ABD= = ，即 = ，证明△AOD∽△COB，则
S 1 3 BC 3
△BCD BC⋅d
2
S
△AOD=
(AD) 2
，计算求解即可．
S BC
△BOC
【详解】解：设AD，BC的距离为d，
1
AD⋅d
S 2 1 AD 1
∴ △ABD= = ，即 = ，
S 1 3 BC 3
△BCD BC⋅d
2
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，
∴△AOD∽△COB，
∴
S
△AOD=
(AD) 2
=
(1) 2
=
1
，
S BC 3 9
△BOC
1
故答案为： ．
9
2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在△ABC中，D是边BC上的点（不与点B，C重合）．过点D作
DE∥AB交AC于点E；过点D作DF∥AC交AB于点F．N是线段BF上的点，BN=2NF；M是线段
DE上的点，DM=2ME．若已知△CMN的面积，则一定能求出（ ）
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A．△AFE的面积 B．△BDF的面积
C．△BCN的面积 D．△DCE的面积
【答案】D
FB FD NF BF
【分析】如图所示，连接ND，证明△FBD∽△EDC，得出 = ，由已知得出 = ，则
ED EC ME DE
FD NF
= ，又∠NFD=∠MEC，则△NFD∼△MEC，进而得出∠MCD=∠NDB，可得MC∥ND，
EC ME
1 1
结合题意得出S = S = S ，即可求解．
△EMC 2 △DMC 2 △MNC
【详解】解：如图所示，连接ND，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠ECD=∠FDB，∠FBD=∠EDC，∠BFD=∠A，∠A=DEC．
∴△FBD∼△EDC，∠NFD=∠MEC．
FB FD
∴ = ．
ED EC
∵DM=2ME，BN=2NF，
1 1
∴NF= BF，ME= DE
3 3
NF BF
∴ = ．
ME DE
FD NF
∴ = ．
EC ME
又∵∠NFD=∠MEC，
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∴△NFD∼△MEC．
∴∠ECM=∠FDN．
∵∠FDB=∠ECD
∴∠MCD=∠NDB．
∴MC∥ND．
∴S =S ．
△MNC △MDC
∵DM=2ME，
1 1
∴S = S = S ．
△EMC 2 △DMC 2 △MNC
∵S =S +S ，
△DCE △EMC △DMC
1 3
∴S = S +S = S ．
△DCE 2 △MNC △MNC 2 △MNC
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定，平行线的判定和性
质，等面积转换．
3. 课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用
1
阅读理解：如图1，已知直线a∥b，直线a，b的距离为h，则三角形ABC的面积为S = ×AB×h．
△ABC 2
(1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：S =S ；
△AOC △BOD
(2)【深化拓展】如图3，记S =S 、S =S 、S =S 、S =S ，根据图形特征，试证明：
△AOC 1 △BOD 2 △COD 3 △BOA 4
S ×S =S ×S ；
1 2 3 4
(3)【灵活运用】如图4，在平行四边形ABCD中，点E是线段AD上的一点，BE与AC相交于点O，已知
S =10，且EO:EB=2:5，求四边形CDEO的面积．
△ABE
【答案】(1)见解析
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(2)见解析
(3)11
【分析】本题考查平行线间的距离，三角形的面积，掌握转化思想是解题的关键．
（1）根据“等底等高”可得S =S ，从而S −S =S −S ，即可得证结论；
△ABC △ABD △ABC △AOB △ABD △AOB
S S
（2）分别过点C、B作边AD的垂线，记高分别h 、h ，根据三角形的面积可得出 1= 4 ，从而得证结论；
1 2 S S
3 2
（3）连接EC，由EO:EB=2:5得到EO:OB=2:3，从而S :S =2:3，进而得到S =4，
△AEO △ABO △AEO
S =6，由（1）可得S =S =6，由（2）可得S ⋅S =S ⋅S ，因此S =9，
△ABO △EOC △ABO △ABO △EOC △AEO △BOC △BOC
S =S +S =15，进而S =S −S =S −S ，即可解答．
△ABC △ABO △BOC 四边形CDEO △ACD △AEO △ABC △AEO
1 1
【详解】（1）证明：∵S = ×AB×h，S = ×AB×h，
△ABC 2 △ABD 2
∴S =S （等底等高），
△ABC △ABD
∴S −S =S −S ，
△ABC △AOB △ABD △AOB
∴S =S
△AOC △BOD
（2）证明：如图3分别过点C、B作边AD的垂线，记高分别h 、h ，
1 2
1 1
×AO×h ×AO×h
S 2 1 AO S 2 2 AO
则 1= = ， 4= =
S 1 OD S 1 OD
3 ×OD×h 2 ×OD×h
2 1 2 2
S S
∴
1= 4
，
S S
3 2
∴S S =S S ．
1 2 3 4
（3）解：连接EC，
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∵EO:EB=2:5，
∴EO:OB=2:3，
∴S :S =2:3（两个三角形等高，面积之比等于底边之比），
△AEO △ABO
∵S +S =S =10，
△AEO △ABO △ABE
∴S =4，S =6
△AEO △ABO
∵AD∥BC，
∴由（1）可知，S =S =6
△EOC △ABO
∵由（2）可知，S ⋅S =S ⋅S ，即6×6=4S ，
△ABO △EOC △AEO △BOC △BOC
∴S =9，
△BOC
∴S =S +S =6+9=15
△ABC △ABO △BOC
∴S =S −S =S −S =15−4=11．
四边形CDEO △ACD △AEO △ABC △AEO
4．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线l ∥l ，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？
1 2
解：相等．理由如下：
1 1
设l 与l 之间的距离为h，则S = BC⋅h，S = BC⋅h．
1 2 △ABC 2 △DBC 2
∴S =S ．
△ABC △DBC
【探究】
S h
(1)如图②，当点D在l ，l 之间时，设点A，D到直线l 的距离分别为h，h'，则 △ABC = ．
1 2 2 S h'
△DBC
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证明：∵S
△ABC
S AM
(2)如图③，当点D在l ，l 之间时，连接AD并延长交l 于点M，则 △ABC = ．
1 2 2 S DM
△DBC
证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM=∠DFM=90°，
∴AE∥ ．
∴△AEM∽ ．
AE AM
∴ = ．
DF DM
S
由【探究】（1）可知 △ABC = ，
S
△DBC
S AM
∴ △ABC = ．
S DM
△DBC
(3)如图④，当点D在l 下方时，连接AD交l 于点E．若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，
2 2
S
△ABC
的值为 ．
S
△DBC
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【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
7
(3)
3
1 1
【分析】（1）根据三角形的面积公式可得S = BC⋅h,S = BC⋅h' ，由此即可得证；
△ABC 2 △DBC 2
（2）过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，先根据平行线的判定可得
AE AM
AE∥DF，再根据相似三角形的判定可证△AEM∼△DFM，根据相似三角形的性质可得 = ，
DF DM
然后结合【探究】（1）的结论即可得证；
（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，先根据相似三角形的判定证出
AM AE 7
△AME∼△DNE，再根据相似三角形的性质可得 = = ，然后根据三角形的面积公式可得
DN DE 3
1 1
S = BC⋅AM，S = BC⋅DN，由此即可得出答案．
△ABC 2 △DBC 2
1 1
【详解】（1）证明：∵S = BC⋅h，S = BC⋅h' ，
△ABC 2 △DBC 2
S h
∴ △ABC = ．
S h'
△DBC
（2）证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则
∠AEM=∠DFM=90°，
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∴AE∥DF
．
∴△AEM∼△DFM．
AE AM
∴ = ．
DF DM
S AE
由【探究】（1）可知 △ABC = ，
S DF
△DBC
S AM
∴ △ABC = ．
S DM
△DBC
（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，则∠AME=∠DNE=90°，
∴AM∥DN
，
∴△AME∼△DNE，
AM AE
∴ = ，
DN DE
∵点A,E,D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，
∴AE=5−1.5=3.5，DE=1.5，
AM 3.5 7
∴ = = ，
DN 1.5 3
1 1
又∵S = BC⋅AM，S = BC⋅DN，
△ABC 2 △DBC 2
S AM 7
∴ △ABC = = ，
S DN 3
△DBC
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7
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握相似三
角形的判定与性质是解题关键．
重难点三： 三角板拼接模型
1．（2023·河南信阳·二模）【阅读理解】如图1，小明把一副三角板直角顶点O重叠在一起．如图2固定三
角板AOB，将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当OD边与OB边重合时
停止转动．
【解决问题】
(1)在旋转过程中，请填出∠AOC、∠BOD之间的数量关系______；
(2)当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由；
(3)当∠AOC、∠AOB、∠BOC中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优
线”，请直接写出所有满足条件的t值．
【答案】(1)∠AOC+∠BOD=180°
(2)有，OD平分∠AOB，OB平分∠COD，理由见解析
(3)t=2，3，4，9，12
【分析】（1）由题意，根据题目分析，然后画出图形可得结论；
（2）依据题意，画出图形，然后分别计算出角的度数可得解；
（3）依据题意，将所有可能情形梳理并分类讨论可得t的值．
【详解】（1）解：①如图，∠AOC+∠BOD=180°，理由如下：
由题意得，∠DOA=90°−∠AOC，∠COB=90°−∠AOC．
∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠DOA+∠AOC+∠COB
=∠AOC+90°−∠AOC+∠AOC+90°−∠AOC
=180°，
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② ∠AOC+∠BOD=180°
如图， ，理由如下：
由题意得，∠DOA=90°−∠DOB，∠COB=90°−∠DOB．
∴∠AOC+∠BOD=∠DOA+∠DOB+∠COB+∠BOD
=90°−∠DOB+∠DOB+90°−∠DOB+∠BOD
=180°，
综上，∠AOC+∠BOD=180°．
故答案为：∠AOC+∠BOD=180°；
（2）解：有，OD平分∠AOB，OB平分∠COD．
如图所示，理由如下：
当运动时间为9秒时，∠AOC=15°×9=135°，
∴∠BOC=∠AOC−∠AOB=135°−90°=45°．
∵∠COD=90°，
∴∠BOD=∠COD−∠BOC=90°−45°=45°，
∴∠BOC=∠BOD=45°，
∴OB平分∠COD，
1
∵∠BOD=45°= ∠AOB，
2
∴OD平分∠AOB；
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（3）解：由题意得，∠AOB=90°，∠AOC=(15t)°．
当∠BOC=2∠AOC时，∠AOC=30°，
∴15t=30，解得t=2；
当∠AOB=2∠AOC，OC在∠AOB内部时，∠AOC=45°，
∴15t=45，解得t=3；
当∠AOC=2∠BOC时，∠AOC=60°，
∴15t=60，解得t=4；
当∠AOB=2∠BOC时，∠AOC=135°，
∴15t=135，解得t=9；
当∠AOC=2∠AOB时，∠AOC=180°，
∴15t=180，解得t=12；
综上，t=2，3，4，9，12．
【点睛】本题主要考查角的计算，解题时需要全面考虑分析所有可能，学会分类讨论是解题的关键．
2．（2023·江苏南京·二模）三角尺是几何学习中常用的学具．
【重温旧知】
(1)图①～③是课本上三角尺的3种摆放方式．借助图①中的∠α和∠β，课本定义了一种两个角的关系，
这种关系叫做______；图②中，∠DBC的度数是______°，三角尺DEF的直角边DF和三角尺ABC的直角
边AC之间的数量关系是______；图③中确认弦MN是圆的直径的定理是______．
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【探索研究】
(2)如图④，将图②中的一副三角尺ABC和DEF叠放在一起，使得点D，F分别在AC，BC边上，我们在同
一平面内研究下面两个问题．
CF
①当DF∥AB时，求 的值；
CB
②若AB的长为a，直接写出顶点C和E的距离的最大值（用含a的代数式表示）．
【答案】(1)互补，75，√3DF=√2AC，直径所对的圆周角为直角
√3 √3+√39
(2) ；② a
3 6
①
【分析】（1）根据互补的定义，即可得出∠α和∠β的关系；根据三角板中各个角的度数，即可求出
∠DBC；根据EF=AB，即可得出DF和AC之间的数量关系；根据直径所对的圆周角为直角，即可得出
弦MN是圆的直径；
（2）①证明△CDF∽△CAB，即可根据相似三角形对应边成比例得出结论；②连接点C和DF中点M，
连接点E和DF中点M，在△CME中，CE<CM+EM，当点C、M、E在同一条直线上时，
CE=CM+EM，此时CE最大．
【详解】（1）解：由图可知，三角板的两个直角顶点重合，
∴∠α+∠β=180°，则∠α和∠β互补；
由图可知：∠DBC=∠DBA+∠CBA=30°+45°=75°；
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∵∠DBF=30°，∠CBA=45°，
DF AC
∴EF= =√3DF，AB= =√2AC，
tan30° sin45°
∵EF=AB，
∴√3DF=√2AC；
∵∠MFN=90°，
∴弦MN是圆的直径（直径所对的圆周角为直角），
故答案为：互补，75，√3DF=√2AC，直径所对的圆周角为直角；
（2）解：①根据题意可得：EF=AB，
由（1）可知EF=√3DF，则AB=√3DF，
DF √3
∴ = ，
AB 3
∵DF∥AB，
∴∠CDF=∠A,∠CFD=∠B，
∴△CDF∽△CAB，
CF DF √3
∴ = = ；
CB AB 3
②连接点C和DF中点M，连接点E和DF中点M，
DF √3
∵AB=EF=a， = ，
AB 3
√3
∴DF= a，
3
∵点M为DF中点，
1 1 √3 √3
∴CM=MF= DF= × a= a，
2 2 3 6
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√39
根据勾股定理可得：EM=√M F2+EF2= a，
6
在△CME中，CE<CM+EM，
当点C、M、E在同一条直线上时，CE=CM+EM，此时CE最大，
√3 √39 √3+√39
∴顶点C和E的距离的最大值=CM+EM= a+ a= a．
6 6 6
【点睛】本题主要考查了互补的定义，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，三角形三
边之间的关系，解题的关键是掌握相加等于180°的两个角互补，相似三角形对应边成比例，三角形两边之
和大于第三边．
易错点1： 不能把握直线、射线、线段的特征而致错
1．（2024·河北·模拟预测）如图，下列给出的直线，射线，线段能相交的是（ ）
A．a与b B．b与d C．b与c D．c与d
【答案】C
【分析】本题考查线段、直线、射线的概念和性质，直线：直线向两方无限延伸，无法度量长度；射线：
射线只能向一方无限延伸，无法度量长度；线段：线段不能向任何一方无限延伸，能度量长度．
【详解】A、线段不能向两边延伸，
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∴a与b不会相交，故本选项错误；
B、射线d向右上方方向延伸，
∴b与d不会相交，故本选项错误；
C、射线c向左下方方向延伸，
∴b与c会相交，故本选项正确；
D、射线d向右上方方向延伸，射线c向左下方方向延伸，
∴c与d不会相交，故本选项错误；
故选：C．
2．（2024·河北邢台·三模）下列图形中，可以表示为“线段AB”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据线段的性质即可得解．线段是直线的一部分，有两个端点．熟练掌握线段的性质是解题的关
键．
【详解】A、是直线，不符合题意；
B、是射线，不符合题意；
C、是线段，符合题意；
D、是射线，不符合题意；
故选：C．
3．（2023·河北邯郸·一模）对于如图，有两种语言描述：①射线BA；②延长线段AB．其中（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和②均正确 D．①和②均错误
【答案】A
【分析】根据射线指从一个定点出发沿着单一方向运动的点的轨迹，线段的延伸线解答即可．
【详解】解：①图中是以B为定点，沿BA方向延伸，因此称为射线BA，故①正确，
②图中是以B为定点向BA方向延伸，因此应是延长线段BA(延长线段AB是以A为定点，向AB 方向延伸)，
故②错误，
故选：A ．
【点睛】本题考查了直线、射线、线段的概念，解题的关键是掌握线段的延长概念．
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易错点2： 计算线段的长度或角的度数时未分类讨论，导致漏解
1．有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M−P−N，若该折线M−P−N上一点Q把这条折
线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线A−C−B的“折中
点”，点E为线段AC的中点，CD=3,CE=4，则线段BC的长是（ ）
A．2 B．4 C．2或14 D．4或14
【答案】C
【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差计算．根据题意运用分类讨论画出两个图形，运用线段中点
的定义与线段的和差即可解答．
【详解】分两种情况讨论：
①如图，CD=3,CE=4，
∵点E是线段AC的中点，
∴AC=2CE=2×4=8，
∴AD=AC−CD=8−3=5，
∵点D是折线A−C−B的“折中点”，
∴AD=DC+CB，即5=3+CB
∴BC=2；
②如图，CD=3,CE=4，
∵点E是线段AC的中点，
∴AC=2CE=2×4=8，
∵点D是折线A−C−B的“折中点”，
∴BD=AC+CD=8+3=11，
∴BC=BD+CD=11+3=14；
综上所述，线段BC的长为2或14．
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故选：C
2．（2020·浙江·模拟预测）在一条直线上顺次取A、B、C三点，已知AB=5cm，点O是线段AC的中点，
且OB=1.5cm，则BC的长是（ ）cm．
A．6 B．8 C．2或6 D．2或8
【答案】D
【分析】先根据题意画出图形，由已知条件得出OA的值，再由点O是线段AC的中点，求出OC的值，
从而求得BC的长度．
【详解】根据题意如图得：
∵AB=5cm，
OB=1.5cm，
∴OA=AB+OB=6.5cm．
∵O是AC的中点，
∴OC=OA=6.5cm，
∴BC=OB+OC=8cm；
如图：
∵AB=5cm，
OB=1.5cm，
∴OA=AB-OB=3.5cm．
∵O是AC的中点，
∴OC=OA=3.5cm，
∴BC=OC-OB=2cm；
综合上述可得：BC＝8cm或2cm．
故选：D．
【点睛】查了线段的中点的性质、两点间的距离，解题关键是分类讨论思想的运用和运用中点的性质求解．
3．已知∠AOB=60°，其角平分线为OM，∠BOC=20°，其角平分线为ON，则∠MON的大小为
（ ）
A．20° B．40° C．20°或40° D．30°或10°
【答案】C
【分析】本题主要考查角平分线定义的运用能力，能考虑到OC在∠AOB外部和内部两种情况是关键．
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分OC在∠AOB外部和内部两种情况，由OM、ON分别平分∠AOB、∠BOC可得∠BOM、∠BON度
数，在根据两种位置分别求之．
【详解】解：①如图，当OC在∠AOB外部时，
∵∠AOB=60°，OM平分∠AOB，
1
∴∠BOM= ∠AOB=30°，
2
又∵∠BOC=20°，ON平分∠BOC，
1
∴∠BON= ∠BOC=10°，
2
∴∠MON=∠BOM+∠BON=40°；
②如图，当OC在∠AOB内部时，
∵∠AOB=60°，OM平分∠AOB，
1
∴∠BOM= ∠AOB=30°，
2
又∵∠BOC=20°，ON平分∠BOC，
1
∴∠BON= ∠BOC=10°，
2
∴∠MON=∠BOM−∠BON=20°，
综上所述：∠MON为40°或20°．
故选C．
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易错点3： 不注意角的单位未统一而致错
1．（2024·吉林·二模）比较大小：20.24° 20°24'（填“>”“<”或“=”）．
【答案】<
【分析】本题考查了角度换算，角度比较大小，换算20°24'=20.4°进行比较，即可求解；掌握
1'= ( 1 ) °是解题的关键．
60
【详解】解：24'=
(24)
°=0.4°，
60
∴ 20°24'=20.4°，
∵ 20.24°<20.4°，
∴ 20.24°<20.24'，
故答案：<．
易错点4： 三线八角的识别
1．（2022·广西贺州·中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（ ）
A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠2与∠3 D．∠3与∠4
【答案】B
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称
为同位角，据此作答即可．
【详解】解：∠1与∠2是对顶角，选项A不符合题意；
∠1与∠3是同位角，选项B符合题意；
∠2与∠3是内错角，选项C不符合题意；
∠3与∠4是邻补角，选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟记同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键．
2．（2021·广西百色·中考真题）如图，与∠1是内错角的是（ ）
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A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【答案】C
【分析】根据内错角的定义，即两条直线被第三条直线所截，位于截线的两侧，且夹在两条被截直线之间
的两个角，解答即可．
【详解】根据内错角的定义，得：∠1是内错角的是∠4 ．
故选：C
【点睛】本题主要考查了内错角的定义，解题的关键是熟练掌握并理解内错角的定义．
3．（2021·广西贺州·中考真题）如图，下列两个角是同旁内角的是（ ）
A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠1与∠4 D．∠2与∠4
【答案】B
【分析】根据同旁内角的概念求解即可．
【详解】解：由图可知，∠1与∠3是同旁内角，
∠1与∠2是内错角，
∠4与∠2是同位角，
故选：B．
【点睛】本题考查了同旁内角的概念，属于基础题，熟练掌握同位角，同旁内角，内错角的概念是解决本
题的关键．
易错点5： 忽略同位角(或内错角)相等、同旁内角互补的前提
1．（2024·福建宁德·一模）如图，直线a，b被直线c所截，下列判断错误的是（ ）
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A．∠1+∠2=180°° B．∠4=∠5
C．∠3与∠4是内错角 D．∠1=∠4
【答案】D
【分析】此题主要考查了对顶角、邻补角、内错角，解题的关键是掌握内错角的边构成“Z”形．
根据对顶角、邻补角、内错角的概念对选项进行判断．
【详解】解：A. ∠1与∠2是邻补角，∴∠1+∠2=180°，故此选项不符合题意；
B. ∠4与∠5是对顶角，∴∠4=∠5，故此选项不符合题意；
C. ∠3与∠4是内错角，故此选项不符合题意；
D. ∠1和∠4是同位角，只有当a∥b时，∠1=∠4，故此选项符合题意；
故选：D．
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