文档内容
专题 16 与圆有关的计算
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（2大模块知识梳理）
知识模块一：正多边与圆
知识模块二：弧长与扇形面积
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（9大基础考点）
考点一： 求正多边形的中心角
考点二： 已知正多边形的中心角求边数
考点三： 利用弧长公式求弧长
考点四： 由弧长公式或扇形面积公式求圆心角、半径
考点五： 利用扇形面积公式计算扇形面积
考点六： 求弓形面积
考点七：求圆锥的侧面积，底面半径，高，母线
考点八： 求圆锥侧面展开图的圆心角
考点九： 圆锥的实际问题
04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（4大重难点）
重难点一： 求某点的弧形运动路径长度
重难点二： 求图形旋转后扫过的面积
重难点三： 求其它不规则图形面积
重难点四：圆锥侧面上最短路径问题
05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（2大易错点）
易错点1： 误把圆锥底面圆的半径看成侧面展开图中扇形的半径
易错点2： 混淆圆锥的表面积和侧面积知识模块一：正多边形与圆
知识点一：正多边形与圆.
正多边形的外接圆：一般地，用量角器把一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的
内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的外心，外接圆
的半径叫做正多边形的半径.
【补充】正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.知识点二：正多边形与圆的相关概念
中心 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
半径 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.
中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
边心距 正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
知识点三：正多边形的有关计算
1）内角：正n边形的每个内角和为 .
2）外角/中心角：正n边形的每个外角/中心角为 .
3）周长：正n边形的周长.
4）面积：正n边形的面积 .
知识模块二：弧长与扇形面积
知识点一：弧长公式
弧长公式： (n为圆心角的度数，R为圆的半径).
【注意】在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
nπR
【补充】在弧长公式l= 中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量．
180
知识点二：扇形面积公式
扇形的面积公式： (n为圆心角的度数，R为圆的半径)= (l是n°为圆心角所对的弧长).【补充】
1）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量．
2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，
nπR2 1
l
然后直接代入公式S扇形=
360
或S扇形=
2
R中求解即可．
知识点三：圆锥的侧面展开图及圆锥的侧面积
母线：连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥侧面积公式： （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的
底面半径）
n°
l
圆锥全面积公式： （圆锥的表面积=扇形面积+底
h
r
面圆面积）
圆锥的底面半径 r，高 h，母线长 l 之间可构成一个直角三角形，所以满足
r2+
ℎ
2=l2.
【补充】求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个
nπR
扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长，即2πr= ，来建立圆锥底面圆
180
的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系.
【易错点】注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念．
考点一： 求正多边形的中心角
1．（2022·山东青岛·中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在A´B上，则∠CME的度数
为（ ）A．30° B．36° C．45° D．60°
【答案】D
【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
360
COD= =60°，则∠COE=120°，
6
∴∠
1
CME= COE=60°，
2
∴∠ ∠
故选：D．
360
【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为 是解答的关键．
n
2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，
k
EF∥x轴，点E在双曲线y= (k为常数，k>0)上，将正六边形ABCDEF向上平移√3个单位长度，点D
x
恰好落在双曲线上，则k的值为（ ）A．4√3 B．3√3 C．2√3 D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等
1
等，过点E作EH⊥x轴于H，连接OE，可证明△OED是等边三角形，则DE=OD，OH=DH= OH，
2
√3
进而得到EH= OD，设OD=2m，则OH=m，HE=√3m，则E(m，√3m)，D(2m，0)，即可得
2
到点(2m，√3)在双曲线上，再由点E也在双曲线上，得到k=2m⋅√3=m⋅√3m，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点E作EH⊥x轴于H，连接OE，
∵原点O为正六边形ABCDEF的中心，
360°
∴OE=OD，∠EOD= =60°，
6
∴△OED是等边三角形，
∴DE=OD，
∵EH⊥OD，
1
∴OH=DH= OD，
2
√3
∴EH=√DE2−DH2= OD，
2设OD=2m，则OH=m，HE=√3m，
∴E(m，√3m)，D(2m，0)，
∵将正六边形ABCDEF向上平移√3个单位长度，点D恰好落在双曲线上，
∴点(2m，√3)在双曲线上，
又∵点E也在双曲线上，
∴k=2m⋅√3=m⋅√3m，
解得m=2或m=0（舍去），
∴k=2m⋅√3=4√3，
故选：A．
3．（2024·河北·模拟预测）如图，正六边形ABCDEF和正六边形GHIJKL均以点O为中心，连接
AG，BH，CI，DJ，EK，FL（A，G，H三点共线），若CI=2,IJ=3，则正六边形ABCDEF的
边长为（ ）
A．√3 B．5 C．√19 D．19
【答案】C
【分析】本题考查正多边形的性质，全等三角形的性质，30°直角三角形的性质，连接OA，OB，OG，
OH，根据正六边形的性质证明△AOG≌△BOH，得到∠AGO=∠BHO=120°，BH=AG，即可得到
B，I，H三点共线，同理可得C，I，J三点共线，D，K，J三点共线，且CI=DJ=2，然后在三角形CJD
中计算即可．
【详解】连接OA，OB，OG，OH，过D作CJ⊥DM于M，∵正六边形ABCDEF和正六边形GHIJKL均以点O为中心，
∴OG=OH，OA=OB，∠LGH=∠GHI=∠IJK=120°，∠AOB=∠GOH=∠60°，
∴∠AOG=∠BOH=∠60°−∠BOG，∠OHI=∠HGO=∠60°，
∴△AOG≌△BOH，
∴∠AGO=∠BHO，BH=AG，
A，G，H三点共线，
∵∴∠AGO=180°−∠HGO=120°，
∴∠AGO=∠BHO=120°，
∴∠BHO+∠OHI=180°，
B，I，H三点共线，
∴同理可得C，I，J三点共线，D，K，J三点共线，且CI=DJ=2，
∴∠CJD=60°，
∵CJ⊥DM，
∴∠JMD=∠CMD=90°，∠JDM=30°，
1
∴JM= DJ=1，DM=√J D2−J M2=√22−12=√3，
2
∵CI=2,IJ=3，
∴CM=CI+IJ−JM=4，
∴CD=√DM2+CM2=√42+(√3) 2=√19，
即正六边形ABCDEF的边长为√19，
故选：C．
考点二： 已知正多边形的中心角求边数
1．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）一个正多边形的中心角为30°，这个正多边形的边数是（ ）
A．8 B．12 C．3 D．6
【答案】B
360°
【分析】根据正n边形的中心角的度数为 ，列方程即可得到答案．
n
360°
【详解】解： =30°，解得n=12．
n
这个正多边形的边数为12．故选：B．
【点睛】本题考查的是正多边形中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
2．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，M是正六边形EFGHPQ的中心．在平面直角坐标系中，若点M的
坐标为(0,0)，点E的坐标为(−1,0)，则点H的坐标为（）
A．(−2,0) B．(1,1) C．(1,0) D．(2,0)
【答案】C
【分析】此题考查了正六边形的性质，熟练掌握正六边形的有关性质是解题的关键．根据点E的坐标求出
ME的长，再根据正六边形的性质求出MH，进而求出H的坐标即可．
【详解】解：如图，连接ME、MH，
∵E点的坐标为(−1,0)，
∴ME=1，
∴MH=1，
∴H(1,0)，
故选:C．
3．（2023·江西九江·一模）如图正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保
留作图痕迹）．
(1)请在图（1）中对角线BE上作一点M，使得BC=2BM；(2)请在图（2）中BC边上作一点P，使得BC=3BP．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接AC、BE交于点M即为所求；利用正六边形的性质及含30度角的直角三角形的性质
证明即可；
（2）连接FT交BC于点P即为所求，连接DF交BE于点H，利用相似三角形的判定和性质证明即可．
【详解】（1）解：如图，连接AC、BE交于点M即为所求；
∵正六边形ABCDEF，
∴四边形ABEF与四边形CBED关于BE成轴对称，
∴AC⊥BE，AC⊥AF，AC⊥CD，
180°×(6−2)
∵正六边形每个内角的度数为： =120°，
6
∴∠BCM=120°−90°=30°，
∴BC=2BM；
（2）如图，连接FT交BC于点P即为所求．证明如下：
连接DF交BE于点H，
∴BT=EH，
由（1）得BC=2BM，∴TH=2BT，
∴TE=3BT，
∵正六边形ABCDEF，
∴BC∥EF，
∴△BTP∽△ETF，
EF BT 1
∴ = = ，
BP TH 3
∴EF=3BP，
∴BC=3BP．
【点睛】题目主要考查正多边形的性质及相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，理
解题意，作出相应图形是解题关键．
考点三： 利用弧长公式求弧长
1．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，
OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则E´F的长度为 （结果保留π）．
2π 2
【答案】 / π
3 3
【分析】本题主要考查了弧长的计算、正方形的性质及翻折变换（折叠问题），解直角三角形，熟知正方
形的性质、图形翻折的性质及弧长的计算公式是解题的关键．
由对折可知，∠EOM=∠FOM，过点E作OM的垂线，进而可求出∠EOM的度数，则可得出∠EOF
的度数，最后根据弧长公式即可解决问题．
【详解】解：∵折叠，且四边形ABCD是正方形
四边形AOMD是矩形，∠EOM=∠FOM，
1
则OM=AD=2，DM= CD=1．
2
过点E作EP⊥OM于P，1
则EP=DM= CD=1，
2
∵OE=OM=AD=2，CD=AD=2，
1
∴EP= OE.
2
EP 1
在Rt△EOP中，sin∠EOP= = ，
OE 2
∴∠EOP=30°，
则∠EOF=30°×2=60°，
60⋅π⋅2 2π
∴E´F的长度为： = ，
180 3
2π
故答案为： .
3
2．（2024·贵州·中考真题）如图，在扇形纸扇中，若∠AOB=150°，OA=24，则A´B的长为（ ）
A．30π B．25π C．20π D．10π
【答案】C
nπr
【分析】本题考查了弧长，根据弧长公式∶l= 求解即可．
180
【详解】解∵∠AOB=150°，OA=24，
150π×24
∴A´B的长为 =20π，
180
故选∶C．
3．（2024·湖北·中考真题）Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在AC上，以OC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．且BD=BC．
(1)求证：AB是⊙O的切线．
(2)连接OB交⊙O于点F，若AD=√3,AE=1，求弧CF的长．
【答案】(1)见解析
π
(2)弧CF的长为 ．
3
【分析】（1）利用SSS证明△OBD≌△OBC，推出∠ODB=∠OCB=90°，据此即可证明结论成立；
（2）设⊙O的半径为x，在Rt△AOD中，利用勾股定理列式计算求得x=1，求得∠AOD=60°，再求得
∠COF=60°，利用弧长公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接OD，
在△OBD和△OBC中，¿，
∴△OBD≌△OBC(SSS)，
∴∠ODB=∠OCB=90°，
∵OD为⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ODB=90°，
∴∠ODA=90°，
设⊙O的半径为x，
在Rt△AOD中，AO2=OD2+AD2，即(x+1) 2=x2+(√3) 2 ，解得x=1，
OD 1
∴OD=OC=1，OA=2，cos∠AOD= = ，
OA 2
∴∠AOD=60°，
∵△OBD≌△OBC，
1
∴∠BOD=∠COF= (180°−60°)=60°，
2
60π×1 π
∴弧CF的长为 = ．
180 3
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，三角函数的定义，弧长公式．正确引出辅助线解决问题是解
题的关键．
考点四： 由弧长公式或扇形面积公式求圆心角、半径
1．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为3cm的圆的周长的5倍，
则这条弧的半径为（ ）
A．45cm B．40cm C．35cm D．30cm
【答案】B
【分析】设这条弧的半径为rcm，根据弧长公式和已知条件列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设这条弧的半径为rcm，
135πr
由题意得 =2π×3×5，
180
解得r=40，
∴这条弧的半径为40cm．
故选：B
【点睛】本题考查了弧长公式，熟知弧长公式并根据题意列出方程是解题关键．
2．（2024·云南红河·模拟预测）为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也
能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为10π，侧面积为75π的圆锥形草帽，
则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（ ）
A．150° B．120° C．180° D．100°
【答案】B
【分析】本题考查了圆锥侧面积，弧长公式等知识；设扇形的半径为r，扇形面积可求得半径r；再由弧长公式即可求得扇形圆心角的度数．
1
【详解】解：设扇形的半径为r，则 ×10πr=75π，
2
解得：r=15；
nπ×15
设扇形圆心角度数为n度，则 =10π，
180
解得：n=120，
即扇形圆心角为120°；
故选：B．
3．（2024·陕西商洛·模拟预测）传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，
π
如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中A´D的长度为 米，裙长AB=0.8米，圆心角
3
∠AOD=∠BOC=60°，则OB的长为（ ）
A．1米 B．1.8米 C．2米 D．2.2米
【答案】B
60π⋅OA 1
【分析】本题考查了弧长公式．由题意知，l = = π，求得OA=1，得到OB=1.8米即可．
A´D 180 3
60π⋅OA 1
【详解】解：由题意知，l = = π，
A´D 180 3
解得OA=1，
∵裙长AB为0.8米，
∴OB=1.8米，
故选：B．
考点五： 利用扇形面积公式计算扇形面积
1．（2024·吉林·中考真题）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB,OC分别与⊙O交于点A，D．OA=1m，OB=10m，
∠AOD=40°，则阴影部分的面积为 m2（结果保留π）．
【答案】11π
【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解．
40π(102−12)
【详解】解：由题意得：S = =11π，
阴影 360
故答案为：11π．
2．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在矩形ABCD中，BC=√2AB，O为BC中点，OE=AB=4，则
扇形EOF的面积为 ．
【答案】4π
【分析】本题考查了扇形的面积公式，解直角三角形．利用解直角三角形求得∠BOE=45°，
∠COF=45°，得到∠EOF=90°，再利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵BC=√2AB，AB=4，
∴BC=4√2，
∵O为BC中点，
1
∴OB=OC= BC=2√2，
2
∵OE=4，
OB 2√2 √2
在Rt△OBE中，cos∠BOE= = = ，
OE 4 2∴∠BOE=45°，
同理∠COF=45°，
∴∠EOF=180°−45°−45°=90°，
90π⋅42
∴扇形EOF的面积为 =4π，
360
故答案为：4π．
3．（2023·山东泰安·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若
∠CAO=40°，∠ACB=70°，则阴影部分的面积是（ ）
4 8 16 32
A． π B． π C． π D． π
3 3 3 3
【答案】C
【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得∠BOC=180°−30°×2=120°，再根据扇
形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵OC=OB，OA=OC，∠CAO=40°，
∴∠OCA=∠OAC=40°，∠OCB=∠OBC，
∵∠ACB=70°，
∴∠OBC=∠OCB=∠ACB−∠ACO=70°−40°=30°，
∴∠BOC=180°−30°×2=120°，
120° 1 16
∴S =πr2× =π×42× = π，
阴影 360° 3 3
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及扇形的面积公式等知识，求出
∠BOC=120°是解答的关键．考点六： 求弓形面积
1．（2021·内蒙古通辽·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，AB=2√3，点C是⊙O上的一个动点，且
∠ACB=60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是 ．
4 √3
【答案】 π−
3 4
【分析】阴影面积由弓形ADB面积加上△MNB的面积，而弓形面积不变，因此只需要求出△MNB的最大
1
面积，由M,N为AB,BC的中点，所以MN是△ABC的中位线，所以△BMN∽△BAC，所以S BMN=
4
△
S ABC，求出△ABC的最大面积即可，而AB边为定值，当点C到AB的距离最大，三角形面积最大，当
△
CM⊥AB时，三角形面积最大，即可求出阴影面积最大值．
【详解】连接OA,OB，连接OM，如图
∵∠ACB=60° ,
∴∠AOB=2∠ACB=120°，∵M为AB中点，
1
∴OM⊥AB，AM=BM= AB=√3,∠AOM=BOM=60°
2
∴∠OAM=30°,
设OM=x，则AO=2x，在Rt△AOM中
OM2+AM2=AO2, 即
x2+(√3) 2=(2x) 2 ，
解得x=1，
即OM=1,AO=2 ,
120°×π×22 1 4
S ADB=S OADB−S = − ×2√3×1= π−√3，
弓形 扇形 △AOB 360° 2 3
∵M,N为边AB,BC的中点，
∴MN∥AC，
∴△BMN∼△BAC,
1
∴S = S ,
△BMN 4 △ABC
当C,O,M在同一直线上时，△ABC的面积最大，
由垂径定理可知，AC=BC,
又∵∠ACB=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=2√3 ,
在Rt△ACM中，
CM=√AC2−AM2=√ (2√3) 2 −(√3) 2=3,
1
∴S 的最大值为： ×2√3×3=3√3 ,
△ABC 2
1 1 3√3
∴S = S = ×3√3= ,
△BMN 4 △ABC 4 4
4 3√3 4 √3
∴阴影面积的最大值为： π−√3+ = π− ．
3 4 3 4
4 √3
故填： π− ．
3 4
【点睛】本题考查弓形面积，扇形面积，圆心角与圆周角关系，三角形的中位线，相似三角形的性质，垂径定理，勾股定理，解题关键是将不规则面积转化为规则图形的面积．
2．（2021·山东泰安·中考真题）若△ABC为直角三角形，AC=BC=4，以BC为直径画半圆如图所示，
则阴影部分的面积为 ．
【答案】4
【分析】设AB与半圆的交点为D,连接DC,根据题意,得到阴影部分的面积等于S ，计算即可
△ACD
【详解】解：如图，设AB与半圆的交点为D，连接DC，
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴∠DBC=∠DCB=45°，AD=BD，
过点D作DE⊥BC，垂足为E，
则∠CDE=∠BDE=45°，
∴CE=EB=ED=2，
∴半圆关于直线DE对称，
∴阴影部分的面积等于S ，
△ACD
1 1 1
∴S = S = × ×4×4=4
△ACD 2 △ABC 2 2
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，圆的对称性，利用圆的对称性化阴影的面积为三角形的面积加以计算是解题的关键．
3．（2021·四川遂宁·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点
D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为4√3，∠CDF=15°， 则阴影部分的面积为（ ）
A．16π−12√3 B．16π−24√3
C．20π−12√3 D．20π−24√3
【答案】A
【分析】连接AD，连接OE，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质得到
∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，求得∠AOE=120°，过O作OH⊥AE于H，解直角三角形得到OH=2√3，
AH=6，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接AD，连接OE，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=∠DFA=90°，
∴∠DAC=∠CDF=15°，
∵AB=AC，D是BC中点，
∴∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，
∵OA=OE，∴∠AOE=120°，
过O作OH⊥AE于H，
∵AO=4√3，
1
∴OH= AO=2√3，
2
∴AH=√3OH=6，
∴AE=2AH=12，
2
120π×(4√3) 1
∴S =S AOE-S AOE= − ×12×2√3
阴影 扇形
360 2
△
=16π−12√3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，数形结合
是解答此题的关键．
考点七： 求圆锥的侧面积，底面半径，高，母线
1．（2024·云南·中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长
为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．700π平方厘米 B．900π平方厘米
C．1200π平方厘米 D．1600π平方厘米
【答案】C
【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公式计算即可求
解，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键．
【详解】解：圆锥的底面圆周长为2π×30=60π厘米，
1
∴圆锥的侧面积为 ×60π×40=1200π平方厘米，
2
故选：C．
2．（2024·江苏扬州·中考真题）若用半径为10cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆
的半径为 cm．
【答案】5
【分析】本题考查了圆锥的计算．用到的知识点为：圆锥的侧面展开图弧长等于底面周长．根据题意得圆锥的母线长为10cm，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以2π即为
圆锥的底面半径．
【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2π×10÷2=10π(cm)，
∴圆锥的底面半径为10π÷2π=5(cm)，
故答案为：5．
3．（2023·黑龙江·中考真题）已知圆锥的母线长13cm，侧面积65πcm2，则这个圆锥的高是
cm．
【答案】12
【分析】利用圆锥的侧面积公式可得到底面半径，再利用勾股定理即可得到高．
S 65π
【详解】解：根据圆锥侧面积公式S =πrl变形可得r= 侧= =5cm，
侧 πl 13π
根据圆锥母线公式l=√r2+
ℎ
2，可得
ℎ
=√l2−r2=√132−52=12cm，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式和母线公式，熟知上述公式是解题的关键．
4．（2024·江苏扬州·模拟预测）圆锥的侧面展开图的面积为200πcm2，圆锥母线与底面圆的半径之比为
2:1，则母线长为 ．
【答案】20cm/20厘米
【分析】本题考查圆锥的侧面积，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面积公式列出方程进行求解
即可．
【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，则：母线长为2rcm，
1
由题意，得： ×2πr⋅2r=200π，
2
∴r=10（负值舍去），
∴母线长为2×10=20cm．
故答案为：20cm．
考点八： 求圆锥侧面展开图的圆心角
1．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，圆锥母线AB=6，底面半径CB=2，则其侧面展开图扇形的圆心角
α的度数为 ．【答案】120°
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的
απ×6
母线长和弧长公式得到 =2π×2，然后解方程即可．
180
απ×6
【详解】解：根据题意得 =2π×2，
180
解得：α=120，
∴侧面展开图扇形的圆心角为120°．
故答案为：120°．
【点睛】本题考查圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．掌握圆锥侧面展开图的相关知识是解题的关键．
2．（2024·四川绵阳·三模）在直角三角形ABC中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°，如果把该三角形绕
直线AC旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开得到的扇形的圆心角大小是 ．
【答案】216
【分析】本题考查求圆锥侧面展开图扇形的圆心角的度数，勾股定理求出BC的长，根据旋转的方式，得
到底面圆的半径为6，母线为10，根据底面圆的周长等于展开图扇形的弧长，进行求解即可．
【详解】解：∵AB=6，AC=8，∠A=90°，
∴BC=√AB2+AC2=10，
由题意，得：圆锥的底面圆的半径为6，母线为10，
nπ
设展开后扇形的圆心角的度数为n°，则：2π×6= ×10，
180
解得：n=216；故答案为：216．
3．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开
图的圆心角的度数为 °．
【答案】120
【分析】本题考查了根据三视图还原几何体，勾股定理，弧长等知识．熟练掌握根据三视图还原几何体，
勾股定理，弧长是解题的关键．
nπ×6
由三视图可知，该几何体为圆锥，由勾股定理可得，圆锥的母线长为√(4√2) 2+22=6，则 =π×4，
180
计算求解，然后作答即可．
【详解】解：由三视图可知，该几何体为圆锥，
由勾股定理可得，圆锥的母线长为√(4√2) 2+22=6，
nπ×6
∴ =π×4，
180
解得 ，n=120°，
故答案为：120．
考点九： 圆锥的实际问题
1．（2022·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为5cm的圆形滤纸片按图1所示的步
骤进行折叠，并围成圆锥形．
(1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线OB长为6cm，开口圆的直径为6cm．当滤纸1
片重叠部分三层，且每层为 圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗
4
管口处），请你用所学的数学知识说明；
(2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为6cm，开口圆的直径为7.2cm，现将同样大小的滤纸围成重叠部
分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？
【答案】(1)能，见解析
(2)5πcm2
【分析】此题考查了圆锥侧面积实际应用．
（1）证明表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．即可得到结论；
180°
（2）求出扇形弧长为7.2πcm，则圆心角为7.2π÷6× =216°，滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥
π
的最外层侧面展开图的圆心角也应为216°，由重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外
层侧面展开图的面积的差的一半，进一步即可得到滤纸重叠部分每层面积．
【详解】（1）解：如图所示：
∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形，
∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．
由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥
侧面的关系．
1
将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为 圆，
4
( 1) 1
则围成的圆锥形的侧面积= 1−2× S = S ．
4 ❑滤纸圆 2 ❑滤纸圆
∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为180度，
如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：πd=π×6=6π(cm)，
180°
该侧面展开图的圆心角为6π÷6× =180°．
π
由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等．
∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁．（2）如果抽象地将母线长为6cm，开口圆直径为7.2cm的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形
弧长为7.2πcm，
180°
圆心角为7.2π÷6× =216°，
π
滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为216°，
又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，
∴滤纸重叠部分每层面积= ( 25π− 216 ×25π ) ÷2=5π(cm2)．
360
2．（2024·湖南长沙·模拟预测）湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．
2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范
片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为3π米，高
度为3.6米，则此粮仓的侧面积为 m2．（结果保留π）
【答案】5.85π
【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算，先计算底面半径和母线长，然后根据扇形面积公式计算即可．熟
知圆锥的侧面是扇形以及扇形的面积计算方法是关键．
【详解】解：∵底面周长为3π米
3π
∴底面半径为： =1.5m
2π
母线长为：√3.62+1.52=3.9m米
1
故粮仓的侧面积为：
×3π×3.9=5.85π(m2)，
2
故答案为：5.85π．
3．（2023·安徽·二模）《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四
分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体
积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛．【答案】22
【分析】根据米堆的底部的弧度即底面圆周的四分之一为8尺，可求出圆锥的底面半径，从而计算出米堆
的体积，用体积除以每斛的体积即可求得斛数．
1
【详解】解：设米堆所在圆锥的底面半径为r尺，由题意，得： ×2πr=8，
4
16
∴r= ，
π
1 1 320
∴米堆的体积为： ⋅ πr2×5= ≈35.56，
4 3 3π
35.56
∴米堆的斛数为： ≈22；
1.62
故答案为：22．
【点睛】本题考查了圆锥的计算及弧长的计算，解题的关键是从实际问题中抽象出圆锥的知识，难度不大．
重难点一： 求某点的弧形运动路径长度
1．（2024·吉林长春·中考真题）一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的方式摆放，边AB与直线l重
合，AB=12cm．现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C'落在直线l上，则点A经过的路径长
至少为 cm．（结果保留π）【答案】8π
【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键．
由旋转的性质可得∠ABC=∠A'BC=60°,即∠A'BA=120°，再根据点A经过的路径长至少为以B为圆
心，以AB为半径的圆弧的长即可解答．
【详解】解：∵将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C'落在直线l上，
∴∠ABC=∠A'BC=60°,即∠A'BA=120°，
120°⋅π⋅12
∴点A经过的路径长至少为 =8π．
180°
故答案为：8π．
2．（2022·内蒙古通辽·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，若AB=2√3，BC=3，
点P从B点出发，在△ABC内运动且始终保持∠CBP=∠BAP，当C，P两点距离最小时，动点P的运动
路径长为 ．
√3
【答案】 π
3
【分析】根据题中的条件可先确定点P的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定CP的长最小时点P的
位置，进而求出点P的运动路径长．
【详解】解：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°.
∴∠ABP+∠PBC=90°.
∵∠PAB=∠PBC,
∴∠PAB+∠ABP=90°.
∴∴∠APB=90°.
∴点P在以AB为直径的圆上运动，且在△ABC的内部，
如图，记以AB为直径的圆的圆心为O ，连接O C交⊙O 于点P'，连接O P,CP.
1 1 1 1∵CP≥O C−O P,
1 1
∴当点O ,P,C三点共线时，即点P在点P'处时，CP有最小值，
1
∵AB=2√3
∴O B=√3
1
BC 3
在Rt ΔBCO 中，tan∠BO C= = =√3.
1 1 O B √3
1
∴∠BO C=60°.
1
∴B ´ P'= 60π×√3 = √3 π.
180 3
√3
∴.C,P两点距离最小时，点P的运动路径长为 π.
3
【点睛】本题主要考查了直径所对圆周角是直角，弧长公式，由锐角正切值求角度，确定点P的路径是解
答本题的关键．
3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，
在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−1,1)，B(−2,3)，C(−5,2)．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A B C ，并写出点B 的坐标；
1 1 1 1
(2)画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB C ，并写出点B 的坐标；
2 2 2(3)在（2）的条件下，求点B旋转到点B 的过程中所经过的路径长（结果保留π）
2
【答案】(1)作图见解析，B (2,3)
1
(2)作图见解析，B (−3,0)
2
√5
(3) π
2
【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应
点的位置是解题的关键．
（1）根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变；
（2）根据网格结构找出点B、C以点A为旋转中心逆时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可；
（3）先求出AB=√5，再由旋转角等于90°，利用弧长公式即可求出．
【详解】（1）解：如图，△A B C 为所求；点B 的坐标为(2,3)，
1 1 1 1
（2）如图，△AB C 为所求；B (−3,0)，
2 2 2
（3）AB=√12+22=√5，
90×√5π √5
点B旋转到点B 的过程中所经过的路径长 = π．
2 180 2
重难点二： 求图形旋转后扫过的面积
1．（2021·广西柳州·中考真题）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段CA绕点C按
顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A'，则此时线段CA扫过的图形的面积
为（ ）4 8
A．4√3 B．6 C． π D． π
3 3
【答案】D
【分析】由题意可知，AC扫过的图形为一个扇形，，半径为4，求出∠BA'C=30∘,∠BCA'=60∘，再根
据扇形面积公式求解即可．
【详解】解：由图可知：AC=A’C=4，BC=2，
BC 2 1
∴sin∠BA'C= = = ，
A'C 4 2
∴∠BA'C=30∘,∠BCA'=60∘，
线段CA扫过的图形为扇形，此扇形的半径为CA=4，
60∘ 8
∴S = π×42= π，
扇 形A'CA 360∘ 3
故选：D．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，读懂题目明确AC扫过的图形为一个扇形，且扇形的半径为4是解
决本题的关键．
2．（2021·四川凉山·中考真题）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C．已知
AC=3,BC=2，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为 ．
5π
【答案】
3【分析】由于将△ABC绕点C旋转120°得到△A′B′C′，可见，阴影部分面积为扇形ACA′减扇形BCB′，分别
计算两扇形面积，再计算其差即可．
【详解】解：如图：由旋转可得：
∠ACA′=∠BCB′=120°，又AC=3，BC=2，
120π×AC2
S ACA= =3π，
扇形 ′ 360
120π×BC2 4π
S BCB= = ，
扇形 ′ 360 3
4π 5π
则线段AB扫过的图形的面积为3π− = ，
3 3
5π
故答案为：
3
【点睛】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的查是解题的
关键．
3．（2024·江苏盐城·二模）如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB=8，将△ODB绕点O点逆时针
旋转60°，则线段DB扫过的图形面积为是 ．
8π
【答案】
3
【分析】本题考查了扇形面积和阴影部分的面积计算．将阴影部分面积转化为两扇形面积的差是解题的关
键．
由于绕点O点逆时△ODB针旋转60°得到△OD'B'．可见，阴影部分面积为扇形OBB'面积减去扇形
ODD',分别计算两扇形面积，再计算其差即可．
【详解】解：如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，1
∴ AD=BD= AB=4
2
在Rt△OBD中，根据勾股定理可得：
OB2−OD2=BD2=16．
∵ △ODB绕点O点逆时针旋转60°得到△OD'B'，
∴ △ODB≌△OD'B'，
∴ ∠DOD'=∠BOB'=60°，
60°π·OD2 OD2
∴扇形ODD'面积为： = π，
360° 6
60°π·OB2 OB2
扇形OBB'面积为： = π，
360° 6
OB2 OD2 π 16π 8π
∴阴影部分面积为： π− π= (OB2−OD2)= = ，
6 6 6 6 3
8π
故答案为： ．
3
重难点三： 求其它不规则图形面积
1．（2024·山东·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=60°，AB=BC=2AD=2．
以点A为圆心，以AD为半径作D´E交AB于点E，以点B为圆心，以BE为半径作E´F所交BC于点F，连接
FD交E´F于另一点G，连接CG．
(1)求证：CG为E´F所在圆的切线；
(2)求图中阴影部分面积．（结果保留π）
【答案】(1)见解析3√3 π
(2) −
4 3
【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，圆的性质，扇形面积，等边三角形的性质等知识点，证明四
边形ABFD是平行四边形是解题关键．
（1）根据圆的性质，证明BF=BE=AD=AE=CF，即可证明四边形ABFD是平行四边形，再证明
△BFG是等边三角形，再根据圆的切线判定定理即可证得结果．
（2）先求出平行四边形的高DH，根据扇形面积公式三角形面积公式，平行四边形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：连接BG如图，
根据题意可知：AD=AE，BE=BF
又∵AB=BC，
∴CF=AE=AD，
∵BC=2AD，
∴BF=BE=AD=AE=CF，
∵AD∥BC，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴∠BFD=∠DAB=60°，
∵BG=BF，
∴△BFG是等边三角形，
∴GF=BF，
∴GF=BF=FC，
∴G在以BC为直径的圆上，
∴∠BGC=90°，
∴CG为E´F所在圆的切线．
（2）过D作DH⊥AB于点H，由图可得：S =S −S −S −S ，
阴影 ▱ABFD 扇AED 扇BEG △BFG
在Rt△AHD中，AD=1，∠DAB=60°，
√3 √3
∴DH=AD⋅sin∠DAB=1× = ，
2 2
√3
∴S =AB⋅DH=2× =√3，
▱ABFD 2
由题可知：扇形ADE和扇形BGE全等，
nπr2 60π(AD) 2 60×π×12 π
∴S =S = = = = ，
扇AED 扇BGE 360 360 360 6
1 1 √3 √3
等边三角形BFG的面积为： GF⋅DH= ×1× = ，
2 2 2 4
π π √3 3√3 π
∴S =S −S −S −S =√3− − − = −
阴影 ▱ABFD 扇AED 扇BEG △BFG 6 6 4 4 3
2．（2023·江苏宿迁·中考真题）（1）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，
点E在AC上，连接DE、DB，________．求证：________．
从①DE与⊙O相切；②DE⊥AC中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整
（填写序号），并完成证明过程．
（2）在（1）的前提下，若AB=6，∠BAD=30°，求阴影部分的面积．
27 3π
【答案】（1）②①，证明见解析（或①②，证明见解析）（2） √3−
8 2
【分析】（1）一：已知条件为②DE⊥AC，结论为①DE与⊙O相切；连接OD，先证出OD∥AC，再
根据平行线的性质可得DE⊥OD，然后根据圆的切线的判定即可得证；二：已知条件为①DE与⊙O相切，结论为②DE⊥AC；连接OD，先证出OD∥AC，再根据圆的切线的性质可得DE⊥OD，然后根
据平行线的性质即可得证；
（2）连接OD,OF，先解直角三角形求出OD,AE,DE的长，再根据等边三角形的判定与性质可得AF的
长，从而可得EF的长，然后根据圆周角定理可得∠DOF=2∠CAD=60°，最后根据阴影部分的面积等
于直角梯形ODEF的面积减去扇形ODF的面积即可得．
【详解】解：（1）一：已知条件为②DE⊥AC，结论为①DE与⊙O相切，证明如下：
如图，连接OD，
∵OA=OD
，
∴∠OAD=∠ODA，
∵弦AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
又∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切；
二：已知条件为①DE与⊙O相切，结论为②DE⊥AC，证明如下：
如图，连接OD，
∵OA=OD
，
∴∠OAD=∠ODA，∵弦AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵DE与⊙O相切，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥AC；
（2）如图，连接OD,OF，
∵AB=6 ∠BAD=30°
， ，
∴OA=OD=OF=3,AD=AB⋅cos30°=3√3，∠CAD=30°，
1 3 9
∴DE= AD= √3,AE=AD⋅cos30°= ，
2 2 2
又∵∠BAD=∠CAD=30°，
∴∠BAC=60°，
∴△OAF是等边三角形，
∴AF=OA=3，
3
∴EF=AE−AF= ，
2
由圆周角定理得：∠DOF=2∠CAD=60°，
DE⋅(EF+OD) 60π×32
则阴影部分的面积为S −S = −
直角梯形ODEF 扇形ODF 2 360
3 (3 )
√3× +3
2 2 3π
= −
2 2
27 3π
= √3− ．
8 2
【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、解直角三角形、扇形的面积、圆周角定理等知识点，熟练掌
握圆的切线的判定与性质是解题关键．3．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC，点O在AB上，以O为圆心，
OA为半径的半圆分别交AC,BC，AB于点D,E,F，且点E是弧DF的中点．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若CE=√2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】(1)证明见解析
π
(2)2−
2
【分析】（1）连接OE、OD，证出OE⊥BC，即可得出结论；
（2）根据S =S −S ，分别求出S 和S 即可得出答案．
阴影 △OEB 扇OEF △OEB 扇OEF
【详解】（1）连接OE、OD，
∵ ∠C=90°,AC=BC
，
∴∠OAD=∠B=45°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO=45°，
∴∠AOD=90°，
∵点E是弧DF的中点，
1
∴∠DOE=∠EOF= ∠DOF=45°，
2
∴∠OEB=180°−∠EOF−∠B=90°，
∴ OE⊥BC，
∵ OE为半径，
∴ BC是⊙O的切线；
（2）∵ OE⊥BC，∠B=45°，∴ △OEB为等腰直角三角形，
设BE=OE=x，则OB=√2x，
∴AB=x+√2x，
∵AB=√2BC，
∴x+√2x=√2(√2+x)，
∴x=2，
1 45°π×22 π
∴ S =S −S = ×2×2− =2− ．
阴影 △OEB 扇OEF 2 360° 2
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理、扇形的面积、等腰直角三角形的性质，解题的关键
是熟练掌握切线的判定定理．
重难点四： 圆锥侧面上最短路径问题
1．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，SB=6，
AB=4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A．5 B．3√3 C．3√2 D．6√3
【答案】B
【分析】连接AB，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展
开后的圆心角，可得△SAB是等边三角形，即可求解．
【详解】解：连接AB，如图所示，∵AB为底面圆的直径，AB=4，
设半径为r,
∴底面周长=2πr=4π，
设圆锥的侧面展开后的圆心角为n，
∵圆锥母线SB=6，
nπ×6
根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：4π= ，
180°
解得：n=120°，
∴∠ASC=60°，
∵半径SA=SB，
∴△SAB是等边三角形，
√3
在Rt△ACS中，AC=SA⋅sin60°=6× =3√3，
2
∴蚂蚁爬行的最短路程为3√3，
故选：B．
【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形。扇形的弧长等于圆锥底面周
长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解．
2．（2024·广东东莞·二模）【综合与实践】
主题：制作圆锥形生日帽．
素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆
锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，
(1)现在需要制作一个r=10cm，l=30cm的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数；
(2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值．
【答案】(1)120°
(2)30√3cm
【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．
360r
（1）根据扇形的两个面积公式可得n= ，再代入求解即可；
l
（2）连接A A'，过点P作PH⊥A A'，线段A A'就是彩带长度的最小值，根据等腰三角形性质及解直角
三角形即可求解．
【详解】（1）∵r=10cm，l=30cm，
1 nπl2
∵ ×2πr×l= ，
2 360
360r 360×10
∴n= = =120，
l 30
∴扇形纸板的圆心角度数为120°；
（2）如图所示．连接A A'，过点P作PH⊥A A'，线段A A'就是彩带长度的最小值，
由（1）得PA=PA'=30cm,∠APA'=120°，
∴∠APH=∠A'PH=60°,AH=A'H,
∴∠PA'H=30°,
1
∴PH= PA=15
2
∴AH=√AP2−PH2=15√3,
∴A A'=2AH=30√3,
∴彩带长度的最小值为30√3cm．
3．（22-23九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它
的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定了，我们把这个比值记作T(A)，即∠A的对边(底边) BC
T(A)= = ，当∠A=60°时，如T(60°)=1．
∠A的邻边(腰) AC
(1)T(90°)= ，T(120°)= ，T(A)的取值范围是 ；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁
爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：T(140°)≈0.53，T(70°)≈0.87，T(35°)≈1.66）
√2 √3 1
【答案】(1) ; ;T(A)>
2 3 2
(2)20.7
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可；
（2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据T(A)的定义即
可解答．
【详解】（1）解：如图1，
BC
∠A=90°，AB=AC，则 =√2，
AB
AB √2
∴F(90° )= = ，
BC 2
如图2，∠A=120°，AB=AC，作AD⊥BC于D，则∠BAD=60°，
√3
∴BD= AB，
2
∴BC=√3AB，
AB √3
∴T(120° )= = ；
BC 3
∵2AB＞BC，
AB 1
∴ > ，
BC 2
1
∴T（A）＞ ．
2
√2 √3 1
故答案为： ; ;T(A)> ．
2 3 2
（2）解：∵圆锥的底面直径PQ=14，
∴圆锥的底面周长为14π，即侧面展开图扇形的弧长为14π，
设扇形的圆心角为n°，
n⋅π×18
则 =14π，解得n＝140，
180
∵T(70°)≈0.87，
18
∴蚂蚁爬行的最短路径长为 ≈20.7．
0.87
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知
识点，掌握相关性质定理和T(A)的定义是解本题的关键．
易错点1： 误把圆锥底面圆的半径看成侧面展开图中扇形的半径
1．（2024·江苏无锡·二模）将圆心角为150°的扇形围成一个圆锥，若底面圆的直径为10cm，则该圆锥的
侧面积为（ ）cm2
A．50π B．60π C．90π D．120π
【答案】B
【分析】本题考查了圆锥侧面积，扇形弧长公式；利用圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆周长，先求出圆锥母线长，再求出侧面积即可．
150πl
【详解】解：设圆锥母线长为l，则有： =10π，
180
解得：l=12，
1
则圆锥侧面积为：
×10π×12=60π(cm2
)，
2
故选：B．
易错点2： 混淆圆锥的表面积和侧面积
1．（2024·山东济宁·模拟预测）如图， 是一个几何体的三视图， 那么这个几何体的表面积是（ ）
A．12π B．18π C．24π D．30π
【答案】C
【分析】本题考查三视图，求圆锥的表面积，根据三视图可知立体图形为底面圆半径为3，高线为4的圆
锥，根据圆锥的表面积的计算公式进行求解即可．
【详解】解：由图可知：立体图形为底面圆半径为3，高线为4的圆锥，
∴母线长为√32+42=5，
∴表面积为：3×5π+3×3π=24π；
故选C．
2．（2022·宁夏固原·模拟预测）已知一个圆锥的底面直径为20cm，母线长为30cm，则这个圆锥的表面积
是 ．
【答案】400πcm2
20
【分析】由题意知，r= =10cm，l=30cm，根据S =S +S =πrl+πr2 ，计算求解即可．
2 表面积 侧 底20
【详解】解：由题意知，r= =10cm，l=30cm，
2
∴S =S +S =πrl+πr2=π×10×30+π×102=400πcm2 ，
表面积 侧 底
故答案为：400πcm2．
【点睛】本题考查了圆锥的表面积．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算．
