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专题 19 统计与概率
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（2大模块知识梳理）
知识模块一：统计
知识模块二：概率
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（7大基础考点）
考点一： 统计图
考点二： 与平均数、中位数、众数、方差有关的计算
考点三： 统计量的选择
考点四： 根据概率公式计算概率
考点五： 列举法求概率
考点六： 画树状图法/列表法求概率
考点七：由频率估计概率
04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（4大重难点）
重难点一： 几何概率
重难点二： 游戏公平性
重难点三： 统计图与数据分析综合
重难点四： 概率与统计综合
05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（4大易错点）
易错点1： 混淆总体、个体、样本、样本容量
易错点2： 对平均数、中位数、众数的概念理解不到位
易错点3： 对概率的定义理解不到位
易错点4： 混淆放回与不放回实验
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知识模块一：统计
知识点一：普查与抽样调查
概念 优缺点 举例
普查 为特定的目的对全部考 优点：收集到的数据全面、准确. 1）检测“神舟十六号”飞船的零部件.
察对象进行的调查，叫 缺点：一般花费多、工作量大，耗 2）了解全班50名同学每天体育锻炼的
做全面调查. 时长. 时间.
抽取一部分对象进行调 优点：调查范围小，花费少、工作 1）测试一批灯泡的使用寿命或炮弹的
抽 样 查，根据调查样本数据 量较小，省时. 杀伤半径等.
调查 推断全体对象的情况叫 缺点：抽取的样本是否具有代表 2）调查某批中性笔的使用寿命.
抽样调查. 性，直接关系到对总体估计的准确 3）了解全国中学生的视力和用眼卫生
程度. 情况.
知识点二：总体、个体、样本及样本容量
分类 概念 注意事项 举例
总体 所要调查的全体对 考察一个班学生的身高，那么总 对全市2.3万名初中毕业生升学考试的数学成绩进
象 体就是指这个班学生身高的全 行统计调查，为了了解这2.3万学生的数学成绩，
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体，不能错误地理解为学生的全 从中抽取1000名学生的数学成绩进行统计.那么:
体为总体.
总体指的是2.3万名学生的数学成绩；
个体 总体中的每一个考 总体包括所有的个体.
察对象 个体指的是每一个学生的数学成绩；
样本 从总体中抽取的部 样本是总体的一部分，一个总体 样本指的是2000名学生的数学成绩；
分个体 中可以有许多样本，样本能够在
一定程度上反映总体. 样本容量是2000.
样本 样本中个体的数目 一般地，样本容量越大，通过样
容量 （无单位） 本对总体的估计越精确.
知识点三：数据的分析
n个数的和 x +x +⋅⋅⋅+x
平均数
定义：一般地，如果有n个数x 1，x 2，…，x n，那么x =
数的个数
= 1 2
n
n ，读作“
拔”.
优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体的平均数.
缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算,所以它易受极端值的影响.
x w +x w +⋅⋅⋅+x w
定义：若n个数x ，x ，…，x 的权分别是w ，w ，…，w ，则 1 1 2 2 n n ，叫做这n个
加权平均数 1 2 n 1 2 n w +w +⋅⋅⋅+w
1 2 n
数的加
权平均数.
【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数.
定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫
做这组数据的中位数.
中位数 优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响,当一组数据中的个别数据变动较大时,一般用中位数来
描述数据的集中趋势.
缺点：不能充分地利用各数据的信息.
定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数.
众数 优点：众数考察的是各数据所出现的频数,其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复
出现时，众数往往更能反映问题.
缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时,它往往就没有什么特别意义.
定义：在一组数据x ，x ，…，x 中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，
1 2 n
1
记作 s2 .计算公式是：s2= [(x1−x) 2+(x2−x) 2+...+(xn−x) 2 ].
n
方差
意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，
数据的波动性越小.
定义：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差.
极差 【注意】极差是由数据中的两个极端值所决定的,当个别极端值远离其他数据时，极差往往不能反映全体
数据的实际波动情况.
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√[(x1−x) 2+(x2−x) 2+...+(xn−x) 2
定义：方差的算术平方根,即s=
标准差 n
【补充】标准差也是用来描述一组数据波动的情况,常用来比较两组数据波动的大小.
知识点四：统计图/表的应用
统计 图形 优点 缺点 常见结论
图
条形 1）能清楚地表示出每 对于条形统计图，人们习惯 各组数量之和=总
统计 个项目中的具体数目. 于由条形柱的高度看相应的 数
图 2）易于比较数目之间 数据，即条形柱的高度与相
的差别. 应的数据成正比，若条形柱
的高度与数据不成正比，就
容易给人造成错觉.
扇形 能清楚地表示出各部分 在两个扇形统计图中，若一 各部分百分比之和
统计 在总体中所占的百分 个统计图中的某一个量所占 =100%；
图 比. 的百分比比另一个统计图中
的某个量所占的百分比多，
各部分圆心角的度
这样容易造成第一个统计量
数=相应百分比
比第二个统计量大的错误理
×360°
解.
折线 能清楚的反映各数据的 在折线图中，若横坐标被 各种数量之和=样
统计 变化趋势. “压缩”，纵坐标被“放 本容量
图 大”，此时的折线统计图中
的统计量变化量变化明显，
反之，统计量变化缓慢.
频数 直观显示各组频数的分 各组数量之和=样
分布 布情况，易于显示各组 本容量;
直方 之间频数的差别
图
各组频率之和=1;
步骤：
①计算数据的最大值与
数据总数×相应的
最小值的差.
频率=相应的频数
②选取组距，确定组
数.
③确定各组的分点.
④列频数分布表.
⑤画出频数直方图.
知识模块二：概率
知识点一：确定事件与随机事件
类别 定义 举例
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确 必然 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情 在一个只装有红球的袋子中摸
定 事件 称为必然事件. 球，摸出红球.
事
不可能 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些 在一个只装有红球的袋子中摸
件
事件 事情称为不可能事件. 球，摸出白球.
不确定事件 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事 在一个装有红球和白球的袋子
（随机事件） 情称为不确定事件（又叫随机事件）. 中摸球，摸出白球.
知识点二：概率的定义
概率：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，记为
P(A).
概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数，它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.
概率的取值范围：当事件A为必然事件时，P(A)=1；当事件A为不可能事件时,P(A)=0；当事件A为随机事
件时， 0＜P(A)＜1.
【注意事项】
1）概率大，并不能说明事件一定发生，只是发生的可能性大；概率小，并不能说明事件不发生，只是发
生的可能性小；
2）在一次试验中，如果事件的各种结果发生的可能性不相等，就不能用概率公式进行计算.
知识点三：概率的计算方法
1.公式法
概率的计算方法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件
A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率 ，即 .
用 求概率时，试验需满足的条件：1）在一次试验中，可能出现的结果只有有限个；
2）在一次试验中，各种结果出现的可能性相等.
2.列举法
定义：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可
通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法.
用列举法求概率的前提：1）所有可能出现的结果是有限个；2）每个结果出现的可能性相等.
3.列表法
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定义：当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，
这种方法叫列表法.
4.画树状图法
定义：当事件要经过多个步骤完成时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树
状图法.
5.用频率估计概率
一般地，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，
摆动的幅度会减小.因此，当试验次数很大时，可以用一个事件发生的频率作为其概率的估计值.
考点一： 统计图
1．（2024·甘肃·中考真题）近年来，我国重视农村电子商务的发展．下面的统计图反映了2016—2023年
中国农村网络零售额情况．根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（ ）
A．2023年中国农村网络零售额最高
B．2016年中国农村网络零售额最低
C．2016—2023年，中国农村网络零售额持续增加
D．从2020年开始，中国农村网络零售额突破20000亿元
【答案】D
【分析】根据统计图提供信息解答即可．
本题考查了统计图的应用，从统计图中得到解题所需要的信息是解题的关键．
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【详解】A. 根据统计图信息，得到8945<12449<13679<17083<17946<20500<21700<24900，
故2023年中国农村网络零售额最高，正确，不符合题意；
B. 根据题意，得8945<12449<13679<17083<17946<20500<21700<24900，
故2016年中国农村网络零售额最低，正确，不符合题意；
C. 根据题意，得8945<12449<13679<17083<17946<20500<21700<24900，
故2016—2023年，中国农村网络零售额持续增加，正确，不符合题意；
D. 从2021年开始，中国农村网络零售额突破20000亿元，原说法错误，符合题意；
故选D．
2．（2024·山东济宁·中考真题）为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，
班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全
班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）．下列说法正确的是（ ）
A．班主任采用的是抽样调查 B．喜爱动画节目的同学最多
C．喜爱戏曲节目的同学有6名 D．“体育”对应扇形的圆心角为72°
【答案】D
【分析】根据全班共50名学生，班主任制作了50份问卷调查，可知班主任采用的是普查，由此可判断
A；根据喜爱娱乐节目的同学所占的百分比最多，可判断B；用50乘以喜爱戏曲节目的同学所占的百分比
计算出喜爱戏曲节目的同学的人数，可判断C；用360°乘以“体育”所占的百分比求出“体育”对应扇形
的圆心角的度数，即可判断D．
本题考查了扇形统计图，从扇形统计图中正确获取信息是解题关键．
【详解】全班共50名学生，班主任制作了50份问卷调查，
所以班主任采用的是全面调查，
故A选项错误；
喜爱娱乐节目的同学所占的百分比最多，因此喜爱娱乐节目的同学最多，
故B选项错误；
喜爱戏曲节目的同学有50×6%=3名，
故C选项错误；
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“体育”对应扇形的圆心角为360°×20%=72°，
故D选项正确．
故选：D．
3．（2024·江西·中考真题）如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空
气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ）
A．五月份空气质量为优的天数是16天 B．这组数据的众数是15天
C．这组数据的中位数是15天 D．这组数据的平均数是15天
【答案】D
【分析】根据折线统计图及中位数、众数、平均数的意义逐项判断即可．
【详解】解：观察折线统计图知，五月份空气质量为优的天数是16天，故选项A正确，不符合题意；
15出现了3次，次数最多，即众数是15天，故选项B正确，不符合题意；
把数据按从低到高排列，位于中间的是15，15，即中位数为15天，故选项C正确，不符合题意；
1
这组数据的平均数为： ×(12+14+15×3+16)=14.5，故选项D错误，符合题意；
6
故选：D．
【点睛】本题考查了折线统计图、一组数据的中位数、众数、平均数等知识，掌握以上基础知识是解本题
的关键.
4．（2024·广东广州·中考真题）为了解公园用地面积x（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地
50个公园的用地面积，按照0
80>79>78
∴丁得分最高，故最终被录用的是丁．
故选：D．
考点四： 根据概率公式计算概率
13．（2024·湖北·中考真题）小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简
介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其
中一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是 ．
1
【答案】 /0.2
5
【分析】此题考查概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种
m
可能，那么事件A的概率P(A)= ．根据概率公式计算即可．
n
【详解】解：因为总共有5人，
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1
所以从中任选一个，恰好是赵爽是概率是 ．
5
1
故答案为： ．
5
14．（2024·甘肃兰州·中考真题）七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具，现将1
个七巧板，2个九连环，1个华容道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有
盒子除里面的玩具外均相同．从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 6
【答案】D
【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，分析可知6个益智玩具中有1个七巧板，根据概率公式
计算即可．
【详解】解： 一共6个盒子里面有6个益智玩具，6个益智玩具中有1个七巧板，
∵ 1
从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是： ，
6
∴
故选：D．
15．（2024·湖南长沙·中考真题）某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节．抽奖方
案如下：不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球
有3个，蓝球有5个，每次摇匀后从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球
获三等奖，每个家庭有且只有一次抽奖机会，小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为 ．
1
【答案】 /0.2
5
【分析】本题考查概率公式，掌握概率的意义是解题的关键．
利用概率公式直接进行计算．
2 1
【详解】解：小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为 = ，
2+3+5 5
1
故答案为： ．
5
16．（2024·四川·中考真题）某校组织多项活动加强科学教育，八年级（一）班分两批次确定项目组成员，
参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生．现从项目组中随机
3
抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为 ，则第一批次确定的人员中，男生为 人．
5
【答案】5
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【分析】题目主要考查概率的计算及一元一次方程的应用，理解题意，根据概率公式列式计算是解题关键．
【详解】解：设第一批次确定的人员中，男生为x人，
x+1 3
根据题意得： = ，
7+1+2 5
解得：x=5，
故答案为：5．
考点五： 列举法求概率
17．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，从①AC=BD，②AC⊥BD，③
AB=BC，这三个条件中任意选取两个，能使 ▱ABCD是正方形的概率为（ ）
2 1 1 5
A． B． C． D．
3 2 3 6
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的判定，用概率公式求概率，掌握正方形的判定方法和概率公式是解题的关键．
根据从①AC=BD，②AC⊥BD，③AB=BC，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3
种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形．再根据概率公式求
解即可．
【详解】解：从①AC=BD，②AC⊥BD，③AB=BC，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、
②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形．
∴ ▱ABCD，从①AC=BD，②AC⊥BD，③AB=BC，这三个条件中任意选取两个，能使 ▱ABCD是
2
正方形的概率为 ．
3
故选：A．
18．（2024·山东潍坊·中考真题）小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的
笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的
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颜色都不匹配的概率是 ．
1
【答案】
3
【分析】本题考查了用列举法求概率，列出所有可能出现的结果，再找出每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配
的结果，利用概率公式计算即可求解，正确列出所有可能出现的结果是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，共有6种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；
黄红，蓝黄，红蓝；蓝红，红黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝；
其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有2种结果，
2 1
∴每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是 = ，
6 3
1
故答案为： ．
3
19．（2023·湖南·中考真题）有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三
位数是5的倍数的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 4 3 2
【答案】C
【分析】根据题意列出所有可能，根据概率公式即可求解．
【详解】∵有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，
∴摆出的三位数有456,465,546,564,654,645共6种可能，其中465,645是5的倍数，
2 1
∴摆出的三位数是5的倍数的概率是 = ，
6 3
故选：C．
【点睛】本题考查了列举法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
考点六： 画树状图法/列表法求概率
20．（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年
级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字
分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随
机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明
胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
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(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
1
【答案】(1)
3
(2)树状图见解析，该游戏对双方公平
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，
再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论．
【详解】（1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同，
1
∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是 ，
3
1
故答案为： ；
3
（2）解：画树状图如下所示：
由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4
的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种，
3 1 3 1
∴小明获胜的概率为 = ，小红获胜的概率为 = ，
6 2 6 2
∴小明和小红获胜的概率相同，
∴该游戏对双方公平．
21．（2024·山东东营·中考真题）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营
市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查
了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间x分成五档：A档：
0≤x<1；B档：1≤x<2；C档：2≤x<3；D档：3≤x<4；E档：4≤x）．调查的八年级男生、女生劳
动时间的不完整统计图如下：
根据以上信息，回答下列问题：
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(1)本次调查中，共调查了_______名学生，补全条形统计图；
(2)调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．则调查的全部男生劳动时间的
中位数为_______小时．
(3)学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法
求所选两名学生恰好都是女生的概率．
【答案】(1)50，见详解
(2)2.5
1
(3)
6
【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，中位数的定
义，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）运用D档人数除以D的百分比，得出调查的学生总数，再运用总数乘上E档的百分比，即可作答．
（2）根据中位数的定义，排序后位于中间位置的数为中位数，据此即可作答．
（3）依题意，得出E档有2名男学生，有2名女学生，运用列表法得共有12种等可能的结果，再运用概率
公式列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，(6+7)÷26%=50（名）
∴本次调查中，共调查了50名学生；
则50×8%=4（名）
∴4−2=2（名）
则E档有2名男学生，有2名女学生,
补全条形统计图如图所示：
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（2）解：依题意，
5+3+7+6+2=23（名）
本次调查的男学生的总人数是23名
∴则调查的全部男生劳动时间的中位数位于第12名，
∵5+3=8，5+3+7=15
∴第12名位于C档
∵调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．
则调查的全部男生劳动时间的中位数为2.5小时，
故答案为2.5；
（3）解：用A，B表示2名男生，用C，D表示两名女生，列表如下：
共有12种等可能的结果，其中所选两名学生恰好都是女生的结果有2种，
2 1
∴ P= = ．
12 6
22．（2024·江苏宿迁·中考真题）某校组织七年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的
研学活动，策划了四条研学线路供学生选择：A彭雪枫纪念馆，B淮海军政大礼堂，C爱园烈士陵园，D大
王庄党性教育基地，每名学生只能任意选择一条线路．
(1)小刚选择线路A的概率为________；
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(2)请用画树状图或列表的方法，求小刚和小红选择同一线路的概率．
1
【答案】(1) ；
4
1
(2)
4
【分析】本题考查了简单概率公式的计算，列表或树状图求概率，熟悉概率公式和列表或树状图求概率是
解题的关键，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数．
（1）根据简单概率的公式计算即可，概率=所求情况数与总情况数之比；
（2）根据列表法即可求得概率．
【详解】（1）解：依题意，共四条研学线路，每条线路被选择的可能性相同．
1
∴小刚选择线路A的概率为 ；
4
1
故答案为：
4
（2）解：依题意，列表可得
小刚\小红 A B C D
A AA BA CA DA
B AB BB CB DB
C AC BC CC DC
D AD BD CD DD
由列表可得，共有16种等可能性结果，其中相同线路的可能结果有4种，
4 1
∴小刚和小红选择同一线路的概率为 = ．
16 4
考点七： 由频率估计概率
23．（2024·江苏扬州·中考真题）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 （精确到0.01）
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【答案】0.53
【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可
用这个常数表示概率．根据图表中数据解答本题即可．
【详解】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，
故答案为：0.53．
24．（2024·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，
这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次．
(1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________．
(2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
【答案】(1)0.3
9
(2)
25
【分析】本题考查求频率、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方
法是解题的关键．
（1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可；
（2）画出树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，再利用概率
公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，摸出黄球的频率是3÷10=0.3，
故答案为：0.3；
（2）解：画树状图得，
共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，
9
∴两次摸出的小球都是红球的概率为 ．
25
25．（2023·辽宁鞍山·中考真题）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，
将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球
200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有 个．
【答案】3
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1
【分析】利用频率估计随机摸出1个球是红球的概率为 ，根据概率公式即可求出答案．
4
【详解】解：设红球有x个，
x 50
则 = ，
12 200
x=3
答：红球的个数约为3个．
故答案为：3．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的红球个数．
重难点一： 几何概率
26．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘ABCD内，若飞锤落在镖盘内
各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
3 2 1 √2
A． B． C． D．
4 3 2 2
【答案】C
【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设AB=2a，则圆的直径为2a，求出小
正方形的面积，即可求出几何概率．
【详解】解：如图：连接EG，HF，设AB=2a，则圆的直径为2a，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EG=FH=AB=2a，
1
∴小正方形的面积为：
×2a×2a=2a2
，
2
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2a2 1
则飞镖落在阴影区域的概率为： = ．
(2a) 2 2
故选：C．
27．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是AO的中点．过点C作
CE⊥AO交A´B于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为点D．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部
分的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
4 3 2 3
【答案】B
【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形OBE的面积，即可求
解．
【详解】解：∵∠AOB=90°，CE⊥AO，ED⊥OB
∴四边形OCDE是矩形，
∴S =S
△OCE △ODE
∴S =S +S =S
阴影部分 △ODE BDE 扇形OBE
∵点C是AO的中点
1
∴OC= OE=DE
2
ED 1
∴sin∠EOD= =
OE 2
∴∠EOD=30°
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30π×AO2 π×AO2 90π×AO2 π×AO2
∴S =S +S =S = = ，S = = ，
阴影部分 △ODE BDE 扇形OBE 360 12 扇形AOB 360 4
π×AO2
S 12 1
点P落在阴影部分的概率是 阴影部分 = =
S π×AO2 3
扇形AOB
4
故选：B．
28．（2023·山东烟台·中考真题）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，
以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正
方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为P ，停在空白部分的概率为P ，则P 与P 的大小关系
1 2 1 2
为（ ）
A．P P D．无法判断
1 2 1 2 1 2
【答案】B
【分析】根据题意可得阴影部分面积等于正方形面积的一半，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接AE，BD交于O，
由题意得，A，B，C，D分别是正方形四条边的中点，
∴点O为正方形的中心，
∴S =S ，
四边形AOBF 四边形AODC
根据题意，可得扇形OAB的面积等于扇形CAD的面积，
∴S −S =S −S ，
四边形AOBF 扇形OAB 四边形AODC 扇形AOC
∴阴影部分面积等于空白部分面积，即阴影部分面积等于正方形面积的一半
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∴P =P ，
1 2
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形面积，几何概率，得出阴影部分面积等于正方形面积的一半是解
题的关键．
29．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，在正方形ABCD中，分别以四个顶点为圆心，以边长的一半为
半径画圆弧，若随机向正方形ABCD内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米粒落在图中阴影部分的概率
为 ．
π 1
【答案】 / π
4 4
【分析】将图中阴影面积除以正方形面积即可求出米粒落在图中阴影部分的概率．
【详解】解：设正方形的边长为2a，则4个扇形的半径为a，
πa2 π
= ，
(2a) 2 4
π
故答案为： ．
4
【点睛】本题考查几何概率，掌握几何概率的计算方法，以及扇形面积和正方形面积的计算方法是解题的
关键．
重难点二： 游戏公平性
30．（2024·甘肃·中考真题）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标
有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数
字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
(1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
(2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．
2
【答案】(1)
3
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(2)这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由见解析
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性：
（1）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两球上的数字之和为奇数的结果数，最后利用概
率计算公式求解即可；
（2）同（1）求出乙获胜的概率即可得到结论．
【详解】（1）解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为奇数的结果数有8种，
8 2
∴甲获胜的概率为 = ；
12 3
（2）解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下：
由（1）中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果数有4种，
4 1
∴乙获胜的概率为 = ，
12 3
1 2
∵ < ，
3 3
∴甲获胜的概率大于乙获胜的概率，
∴这个游戏规则对甲乙双方不公平．
31．（2024·四川眉山·二模）四张质地相同的卡片上如图所示，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．
小红和小明想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图，你认为这个游戏公平吗？请用列表法或树状图
说明理由；若认为不公平，请你修改规则，使游戏变得公平．
【答案】不公平，可以改为和不大于9的小红胜，大于9的小明胜（方法不唯一），详见解析
【分析】本题主要考查了用树状图求概率和游戏公平性问题等知识点，用树状图列出他们所抽卡片的所有
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等可能结果，再根据概率公式分别计算小红小明胜负的概率即可作出判断，然后修改规则使概率相等即可
得解，熟练掌握树状图求概率是解决此题的关键．
【详解】不公平，理由如下：
6 3
由树状图知共有16种等可能结果，其中和为奇数的有6种，此时概率为 = ，和为偶数有10种，此时
16 8
10 5
概率为 = ，
16 8
3 5
∵ ≠ ，
8 8
∴这个游戏是不公平的，
1
可以改为和不大于9的小红胜，大于9的小明胜，它们的概率各为 （方法不唯一），
2
∴此时游戏是公平．
32．（2024·江苏连云港·二模）如图所示，小明和小亮用转盘做游戏，小明转动的A盘被等分成4个扇形，
小亮转动的B盘被等分成3个扇形，两人分别转动转盘一次．
（1）用列表法或画树状图求恰好“配成紫色”的概率（红色与蓝色配成紫色）；
（2）若“配成紫色”小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．
5
【答案】（1） （2）不公平，理由见详解．
12
【分析】本题考查的是列表法和画树状图，游戏公平性的判断，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据题意，用列表法将所有可能出现的结果，根据概率公式即可得答案；
（2）由（1）的表格，分析可能得到紫色的概率，继而可得小亮获胜，得到结论不公平．
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【详解】（1）解：用列表法将所有可能出现的结果表示如下：
所有可能出现的结果共有12种，
由上表可得：两人转动转盘恰好转到红色与蓝色有5种，
5
即“配成紫色”的概率为
12
（2）不公平．
理由：∵上面等可能出现的12种结果中，有5种情况可能得到紫色，
5 5
∴配成紫色的概率是 ，即小明获胜的概率是 ；
12 12
5 7
∴小亮获胜的概率为1− = ，
12 12
7 5
∵ > ，
12 12
∴小亮获胜的概率大，这个“配色”游戏对双方是不公平的．
重难点三： 统计图与数据分析综合
33．（2024·山西·中考真题）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞
赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
平均数 中位数（分） 众数（分） 方 优秀率
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（分） 差
甲组 7.625 a 7 4.48 37.5%
乙组 7.625 7 b 0.73 c
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1)填空：a= ，b= ，c= ；
(2)小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结
合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）．
【答案】(1)7.5，7，25%
(2)见解析
【分析】本题考查的是方差，加权平均数，中位数和众数．
（1）根据中位数，众数和优秀率的定义和计算公式计算即可；
（2）从优秀率，中位数，众数和方差等角度中选出两个进行分析即可．
【详解】（1）解：根据题意得：
7+8
a= =7.5（分），
2
b=7（分），
2
c= ×100%=25%，
8
故答案为：7.5，7，25%；
（2）解：小祺的观点比较片面．
理由不唯一，例如：
①甲组成绩的优秀率为37.5%，高于乙组成绩的优秀率25%，
∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；
②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数，
∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面．
34．（2024·湖北·中考真题）某校为增强学生身体素质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，
并对学生进行专项体能测试，以下是某次八年级男生引体向上测试成绩的抽样与数据分析过程．
【收集数据】随机抽取若干名男生的测试成绩．
【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用x(引体向上个数)表示成绩，分成四组：
A组(0≤x<5)，B组(5≤x<10)，C组(10≤x<14)，D组(x≥14)．
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【描述数据】根据抽取的男生成绩，绘制出如下不完整的统计图．
【分析数据】抽取的八年级男生测试成绩的平均数为8，中位数为8，众数为11．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求A组人数，并补全条形统计图；
(2)估计该校八年级参加测试的400名男生中成绩不低于10个的人数；
(3)从平均数、中位数和众数这三个统计量中任选一个，解释其在本题中的意义．
【答案】(1)12人，见解析
(2)180人
(3)见解析
【分析】本题考查频数分布直方图，中位数、众数、方差和加权平均数，理解中位数、众数、方差的意义
以及和加权平均数的计算方法是解决问题的关键．
（1）用C组的频数除以C组的频率，可得样本容量，再用样本容量分别减去其它三组的频数，即可得出A
组的频数，进而补全条形统计图；
（2）用400乘样本中成绩不低于10个的人数所占比例即可；
（3）根据平均数、中位数和众数解答即可．
【详解】（1）解：样本容量为：14÷35%=40，
故A组人数为：40−10−14−4=12(人)，
补全条形统计图如下：
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14+4
（2）400× =180(人)，
40
答：估计该校八年级参加测试的400名男生中成绩不低于10个的人数大约有180人；
（3）从平均数看，估计该校八年级男生引体向上测试成绩的平均个数为8个．
从中位数看，估计该校八年级男生引体向上测试成绩至少有一半不低于8个．
从众数看，估计该校八年级男生引体向上测试成绩为11个的最多．(答案不唯一，任选其中一个说明即可)．
35．（2024·山东潍坊·中考真题）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商
家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该
平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评
价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．
【数据描述】
下图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（1）（2）．
（1）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；
（2）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角α的度数．
【分析与应用】
样本数据的统计量如下表，请回答问题（3）（4）．
商家 统计量
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中位数 众数 平均数 方差
甲商家 a 3 3.5 1.05
乙商家 4 b x 1.24
（3）直接写出表中a和b的值，并求x的值；
（4）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪
一家？说明你的观点．
【答案】（1）平台从甲商家抽取了30个评价分值，从乙商家抽取了20个评价分值，补图见解析；（2）
120°；（3）a=3.5，b=4，x=3.6；（4）小亮应该选择乙商家，理由见解析．
【分析】（1）分别用3分的评价分值个数除以其百分比即可求出从甲、乙两个商家各抽取的评价分值个数，
进而求出甲、乙商家4分的评价分值个数，即可补全条形统计图；
（2）用360°乘以甲商家4分的占比即可求解；
（3）根据中位数、众数和加权平均数的定义计算即可求解；
（4）根据中位数、众数、平均数和方差即可判断求解；
本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数、众数、平均数和方差，看懂统计图是解题的关键．
【详解】解：（1）由题意可得，平台从甲商家抽取了12÷40%=30个评价分值，
从乙商家抽取了3÷15%=20个评价分值，
∴甲商家4分的评价分值个数为30−2−1−12−5=10个，
乙商家4分的评价分值个数为20−1−3−3−4=9个，
补全条形统计图如下：
10
（2）α=360°× =120°；
30
（3）∵甲商家共有30个数据，
∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第15位和第16位数的平均数，
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3+4
∴a= =3.5，
2
由条形统计图可知，乙商家4分的个数最多，
∴众数b=4，
1×1+2×3+3×3+4×9+5×4
乙商家平均数x= =3.6；
20
（4）小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方
差较接近，
∴小亮应该选择乙商家．
36．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队
员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：
收集数 7 7 7 8
77 76 84 91 78 79
据 8 2 5 5
7 7 9 7
82 76 91 76 75 85
8 9 1 4
9 7 7 8
75 80 75 87 76 77
1 7 5 5
整理、描述数据
7 8
成绩/分 72 74 75 76 78 79 80 82 84 87 91
7 5
人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4
分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表：
平均数 众数 中位数
80 c 78
解决问题
(1)表格中的a=______；b=______；c=______；
(2)分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标
应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分；
(3)学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图
法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率．
【答案】(1)5；2；75
(2)78；80
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1
(3)A，B两名队员恰好同时被选中的概率为 ．
6
【分析】本题主要考查画树状图或列表法求随机事件的概率，统计表，众数和中位数的意义．
（1）根据统计表直接写出a和b的值，根据众数的意义可求解c的值；
（2）根据中位数和平均数的意义即可求解；
（3）画树状图或列表法把所有等可能结果表示出来，再运用概率公式即可求解．
【详解】（1）解：根据收集的数据知a=5；b=2；
出现最多的是75分，有5人，众数为75分，则c=75；
故答案为：5；2；75；
（2）解：∵由统计图可知中位数为78分，
∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分，
如果想确定一个较高的目标，成绩目标应定为80分，
因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大，
可以估计，如果成绩目标定为80分，努力一下都能达到成绩目标．
故答案为：78；80；
（3）解：画树状图表示所有等可能结果如图所示，
共有12种等可能结果，A，B两名队员恰好同时被选中的情况有2种，
2 1
∴A，B两名队员恰好同时被选中的概率为= = ，
12 6
1
答：A，B两名队员恰好同时被选中的概率为 ．
6
重难点四： 概率与统计综合
37．（2024·海南·中考真题）根据以下调查报告解决问题．
调查主题 学校八年级学生视力健康情况
背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组为了解本校八年级学生视力情况，
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随机收集部分学生《视力筛查》数据．
调查结果
八年级学生右眼视力领
数分布表
右眼视力 频数
3.8≤x<4.0 3
4.0≤x<4.2 24
4.2≤x<4.4 18
4.4≤x<4.6 12
4.6≤x<4.8 9
4.8≤x<5.0 9
5.0≤x<5.2 15
合计 90
建议：……
（说明：以上仅展示部分报告内容）．
(1)本次调查活动采用的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”）：
(2)视力在“4.8≤x<5.0”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：
4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、4.9，这组数据的中位数是________；
(3)视力低于5.0属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为
_______人；
(4)视力在“3.8≤x<4.0”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的
概率是________；
(5)请为做好近视防控提一条合理的建议．
【答案】(1)抽样调查；
(2)4.8；
(3)500；
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1
(4) ；
3
(5)建议学校加强电子产品进校园及使用的管控．
【分析】（1）根据普查和抽样调查的区别即可判断；
（2）根据中位数的定义即可求解；
（3）根据600乘以视力低于5．0的人数所占的百分比即可求解；
（4）根据题意画出树状图，再根据概率公式求解即可；
（5）根据学生近视程度较为严重，提出合理化建议即可．
本题考查了条形统计图和频数分布表，样本估计总体，中位数的定义，简单概率公式计算等知识，掌握相
关知识是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可知，本次调查采用的调查方式为抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）解：把9个数据按从小到大的顺序排列为：4.8、4.8、4.8、4.8、4.8、4.9、4.9、4.9、4.9，
排在第5位的数是4.8，
∴这组数据的中位数是4.8，
故答案为：4.8；
（3）解：调查数据中，视力低于5．0的人数有：3+24+18+12+9+9=75（人），
∴估计该校八年级右眼视力不良的学生约为：
75
600× =500（人）
90
故答案为：500；
（4）解：把两个男生标记为男1，男2，画树状图如下：
共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种，
2 1
∴恰好抽到两位男生的概率是： = ，
6 3
1
故答案为： ；
3
（5）解：由表中数据说明该校学生近视程度较严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控．
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38．（2024·山东济宁·中考真题）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安
全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和
（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．
【收集数据】
八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，
95，95，95，100，95．
八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，
90，95，90，95，95．
【描述数据】
八年级（1）班20名学生成绩统计表
分 8 9
80 90 100
数 5 5
人
3 3 a b 3
数
【分析数据】
八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表
统计量 平均
中位数 众数 方差
班级 数
八年级（1）班 m n 95 41.5
八年级（3）班 91 90 p 26.5
【应用数据】
根据以上信息，回答下列问题．
(1)请补全条形统计图：
(2)填空：m=______，n=______；
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(3)你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；
(4)从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽
取的2名学生恰好在同一个班级的概率．
【答案】(1)见详解
(2)91，92.5
(3)八年级（1）班成绩较好，理由见详解
2
(4)
5
【分析】（1）由八年级（3）班20名学生成绩统计可得90分学生有7人，95分学生有6人，补全条形统
即可；
（2）由八年级（1）班20名学生成绩统计可得a=4，b=7，根据平均数和中位数的定义进行计算即可；
（3）从平均数，中位数和众数综合分析得八年级（1）班成绩较好；
（4）设八年级（1）班的三名100分的学生用A、B、C表示，八年级（3）班的两名100分的学生用X、Y
表示，用列表法表示出所有可能结果，再从中找出2名学生恰好在同一个班级的结果数，再根据概率的计
算公式进行计算即可．
【详解】（1）解：由八年级（3）班20名学生成绩统计可得90分学生有7人，95分学生有6人，补全条
形统计图如图所示：
（2）解：由八年级（1）班20名学生成绩统计可得a=4，b=7，
80×3+85×3+90×4+95×7+100×3
∴m= =91，
20
一共20名学生，中位数应该为第10名与第11名的平均数，
95+90
n= =92.5．
2
（3）解：八年级（1）班和八年级（3）班的平均成绩相同，但八年级（1）班的中位数和众数都比八年级
（3）班高，即八年级（1）班高分段人数较多．因此八年级（1）班成绩较好．
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（4）解：设八年级（1）班的三名100分的学生用A、B、C表示．八年级（3）班的两名100分的学生用
X、Y表示，则随机抽两名学生的所有情况如下：
(1)班 （3）班 A B C X Y
A AB AC AX AY
B BA BC BX BY
C CA CB CX CY
X XA XB XC XY
Y YA YB YC YX
一共有20种情况．其中两名同学在同一个班级的有AB、AC、BA、BC、CA、CB、XY、YX共8
种，
8 2
∴所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率为： = ．
20 5
【点睛】本题考查读统计表和统计图，利用统计图获取信息的能力以及中位数，众数和平均数，以及概率
的计算．利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
易错点1： 混淆总体、个体、样本、样本容量
1．（2023·山东聊城·中考真题）4月15日是全民国家安全教育日.某校为了摸清该校1500名师生的国家安
全知识掌握情况，从中随机抽取了150名师生进行问卷调查．这项调查中的样本是（ ）
A．1500名师生的国家安全知识掌握情况
B．150
C．从中抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况
D．从中抽取的150名师生
【答案】C
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分
个体，据此即可判断．
【详解】解：样本是从中抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况．
故选：C．
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【点睛】本题考查了样本的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．
总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．
2．（2024·湖南长沙·模拟预测）为了了解某市2023年10000名考生的数学中考成绩，从中抽取了200名考
生的成 绩进行统计．在这个问题中，有下列说法：①这10000名考生的数学中考成绩的全体是总体；②每
个考生是个体；③从中抽取的200名考生的数学中考成绩是总体的一个样本；④样本容量是200．其中说
法正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，
关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样
本中包含的个体的数目，不能带单位．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而
样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出
考查的对象，从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出
样本容量．
【详解】解：①这10000名考生的数学中考成绩的全体是总体，正确；
②每个考生的数学中考成绩是个体，故原说法错误；
③从中抽取的200名考生的数学中考成绩是总体的一个样本，正确；
④样本容量是200，正确；
故选：C．
易错点2： 对平均数、中位数、众数的概念理解不到位
1．（2024·四川巴中·中考真题）一组数据−10,0,11,17,17,31，若去掉数据11，下列会发生变化的是
（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差
【答案】B
【分析】本题考查数据的分析，平均数，中位数，众数，极差定义．根据题意分别求解原数据与新数据的
平均数，中位数，众数，极差即可得到本题答案．
【详解】解：∵一组数据−10,0,11,17,17,31，
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1 1
∴平均数为： ×(−10+0+11+17+17+31)=11，中位数为 ×(11+17)=14，
6 2
众数为17，极差为：31−(−10)=41，
去掉数据11为−10,0,17,17,31，
1
∴平均数为： ×(−10+0+17+17+31)=11，中位数为17，
5
众数为17，极差为：31−(−10)=41，
∴中位数发生变化，
故选：B．
2．（2024·四川达州·中考真题）小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据
污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】C
【分析】此题考查数据平均数、众数、中位数方差的计算方法，根据中位数的定义求解可得．
【详解】解：依题意“■”该数据在30~40之间，则这组数据的中位数为28，
∴“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的中位数．
故选：C．
易错点3： 对概率的定义理解不到位
1．（2024·贵州·中考真题）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下
列说法正确的是（ ）
A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次
【答案】A
【分析】本题主要考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大
小，机会大也不一定发生，据此求解即可．
【详解】解：小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，则由概率的意义
可知，小星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正确，选项B错误；
小星定点投篮10次，不一定投中4次，故选项C错误；
小星定点投篮4次，不一定投中1次，故选项D错误
故选；A．
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2．（2024·江苏连云港·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大
B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大
C．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件
1
D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 ，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上
2
【答案】C
【分析】本题考查事件发生的可能性与概率．由题意根据事件的可能性以及事件发生的概率对各选项进行
依次判断即可．
【详解】解：A、“10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率一样”，故该选项错误，
不符合题意；
B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，奇数有3个，偶数有2个，取得奇数的可能性较大，故该选项错
误，不符合题意；
C、 “小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件”，故该选项正确，符合题意；
1
D、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 ，连续抛此硬币2次有可能有1次正面朝上，故该选项错
2
误，不符合题意；
故选：C．
易错点4： 混淆放回与不放回实验
1．（2024·北京·中考真题）不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它
差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率
为（ ）
3 1 1 1
A． B． C． D．
4 2 3 4
【答案】D
【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率，依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现
结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．
【详解】解：画树状图如下：
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共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种，
1
∴两次都取到白色小球的概率为 ．
4
故选：D．
2．（2024·山西·中考真题）一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都
相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红
球的概率是（ ）
1 2 4 5
A． B． C． D．
3 3 9 9
【答案】B
【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率，掌握列表法或树状图法求概率是解题关键．求出摸到的两
个球的所有情况，再找出两个摸到的球恰好有一个红球的情况，根据概率公式求解即可．
【详解】解：用A、B、C分别表示红球，白球，绿球，列表如下：
第一次第二次 A B C
A (B,A)(C,A)
B (A,B) (C,B)
C (A,C()B,C)
由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中两次摸到的球恰好有一个红球的概率为4种，
4 2
∴两次摸到的球恰好有一个红球的概率是 =
6 3
故选：B．
43
