文档内容
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专题 10 相似三角形
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（4大模块知识梳理）
知识模块一：比例线段及其性质
知识模块二：平行线分线段成比例
知识模块三：相似三角形的性质与判定
知识模块四：位似图形
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（12大基础考点）
考点一： 黄金分割
考点二： 平行线分线段成比例
考点三： 选择合适的方法证明两个三角形相似
考点四： 利用相似三角形的性质求解
考点五： 相似三角形的性质与判定综合
考点六： 利用相似三角形列函数关系式
考点七：利用三点定形法证明比例式或等积式
考点八： 利用相似三角形解决实际问题
考点九：利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题
考点十： 相似三角形与函数综合
考点十一： 利用位似图形的性质求解
考点十二： 坐标系中画位似图形
04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（9大重难点）
考点一： 利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题
考点二： 利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图象
考点三： 相似模型 -A 型
考点四： 相似模型 -X 型
考点五： 相似模型 - 母子型
考点六： 相似模型 - 手拉手模型
考点七： 相似模型 - 角含半角模型
考点八： 相似模型 - 三角形内接矩形模型
考点九： 相似模型 - 一线三等角模型
考点十一：05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（3大易错点）
易错点 1 ： 当三角形对应关系不明确时，未进行分类讨论而漏解
易错点 2 ： 未掌握相似比与面积比的关系
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易错点 3 ： 求位似图形对应坐标时漏解
知识模块一：比例线段及其性质
知识点一：两条线段的比及比例线段
定义：如果选用同一长度单位的两条线段a，b的长分别是m和n，就说两条线段的比是a：b=m：n，或写
成 ，和数的比一样，两条线段的比a:b中a叫做比的前项，b叫做比的后项.（两条线段长度的比叫
做这两条线段的比）
【易错点】
1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的比值是一个结果，是一个数；
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2）求两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位；
3）线段的比，最终要化成最简整数比.
比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线
段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果 ,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d
叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.
比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即 ，那么线段b叫做线段a，c的
比例中项.
知识点二：比例的基本性质
1）基本性质：
2）推论：
3）合比性质： ，分比性质：
合分比性质：
4）等比性质：如果
5）黄金分割
定义：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足 （此时线段AB是线段
AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们
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的比值为 ，近似值为0.618.
【补充】
1)黄金分割是以线段的比例中项来定义的；
2) ，0.618又被称为黄金分割数；
知识模块二：平行线分线段成比例
知识点一：平行线分线段成比例
定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有 等等.
2）对应线段成比例可用语言形象表示： 等等.
A D
上 上
全 B E 全
C 下 下 F
推论：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例．
如图，若DE∥BC，则有
A E D A
A
D E D E
B C B C B C
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知识模块三：相似三角形的性质与判定
知识点一：相似三角形的定义
相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC
和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF.
【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1.
【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如
△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应；
【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系.
相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比.
【补充】相似比具有顺序性，如△ABC∽△DEF，相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为 .
常见的基本图形：
A E D A A A B A
A D
D E O
E D
D
D
C
C B
B C B C B C B C
图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 图⑥
图①和图②分别为“A型”图和“X型”图，条件是DE//BC，基本结论是△ABC∽△ADE；
图③、图④是图①的变形图，图⑤是图②的变形图;
图⑥是“母子型”图，条件是BD为直角△ABC斜边上的高，基本结论是△ABC∽△BDC∽△ADB.
知识点二：相似三角形的判定
相似三角形的判定方法：
1）判定三角形相似的常用定理：
①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
②三边成比例的两个三角形相似；
③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
④两角分别相等的两个三角形相似．
2）直角三角形相似的判定方法：
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①有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
②两组直角边成比例的两个直角三角形相似.
③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
知识点三：相似三角形的性质
相似三角形的性质：
1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
【补充】己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大，小对小；长对长，短
对短”.
【小技巧】相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方
法时一定要注意找准对应关系.
2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
3）相似三角形周长的比等于相似比.
4）相似三角形面积比等于相似比的平方.
5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB.
知识模块四：位似图形
知识点一：位似图形的性质
1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点.
2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等.
3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质.
5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似
知识点二：位似变换的坐标特征
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原
图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).
【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标
符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反.
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考点一： 黄金分割
1．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字
“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，
BC √5−1
“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且 = ，若NP=2cm，则BC的长为
AB 2
cm（结果保留根号）．
2．（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器的一根弦AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支
撑点C是靠近点B的黄金分割点，即AC2=AB⋅BC，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则两个支撑点
C，D之间的距离 cm．（结果保留根号）
3．（2024·广东·模拟预测）大自然是美的设计师，校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．
AP √5−1 √5−1
如图，点 P是AB的黄金分割点，即 = ， 这个无理数约是（ ）
AB 2 2
A．0.505 B．0.618 C．0.707 D．0.828
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考点二： 平行线分线段成比例
1．（2023·江苏·中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
画法 图形
1．以A为端点画一条射线；
2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；
3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是
线段AB的三等分点．
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两条平行线之间的距离处处相等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
2．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在 ▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交
BA的延长线于点G，EF=1，EC=3，则GF的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5
3．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在△ABC中，AB=BC，tan∠B= ，D为BC上一点，且满足
12
BD 8 CE
= ，过D作DE⊥AD交AC延长线于点E，则 = ．
CD 5 AC
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考点三： 选择合适的方法证明两个三角形相似
1．（2024·广东广州·中考真题）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=3，EC=6，
CF=2．求证：△ABE∽△ECF．
2．（2023·贵州·中考真题）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交
⊙O于点E，连接EA，EB．
(1)写出图中一个度数为30°的角：_______，图中与△ACD全等的三角形是_______；
(2)求证：△AED∽△CEB；
(3)连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．
3．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在△ABC与△A'B'C'中，点D、D'分别在边BC、B'C'上，且
BD B'D' AB A'B'
△ACD∽△A'C'D'，若___________，则△ABD∽△A'B'D'．请从① = ；② = ；③
CD C'D' CD C'D'
∠BAD=∠B' A'D'这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
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考点四： 利用相似三角形的性质求解
1．（2022·云南·中考真题）如图，在△ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设△ABC的面积为S
S
❑❑，△EBD的面积为S ❑❑．则 2 =（ ）
1 2 S
1
1 1 3 7
A． B． C． D．
2 4 4 8
2．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA=1，则OG=
（ ）
125√5 125 64 32√3
A． B． C． D．
64 64 27 27
3．（2024·上海杨浦·一模）如图，在△ABC中，点G是重心，过点G作GD∥BC，交边AC于点D，联结
BG，如果S =36，那么S = ．
△ABC 四边形BGDC
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考点五： 三角形的性质与判定综合
1．（2024·宁夏·中考真题）如图，在 ▱ABCD中，点M,N在AD边上，AM=DN，连接CM并延长交
BA的延长线于点E，连接BN并延长交CD的延长线于点F．求证：AE=DF．小丽的思考过程如下：
参考小丽的思考过程，完成推理．
2．（2024·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片，AB=AD=6m，CB=CD=8cm，∠B为
直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm．
3．（2024·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(4,0)，C(0,4√2)是矩形OABC的
顶点，点M,N分别为边AB,OC上的点，将矩形OABC沿直线MN折叠，使点B的对应点B'在边OA的中
k
点处，点C的对应点C'在反比例函数y= (k≠0)的图象上，则k=
x
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考点六： 利用相似三角形列函数关系式
1．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=10cm，
BD=4√5cm．动点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，动点Q从点A出发，沿
AD方向匀速运动，速度为2cm/s．以AP，AQ为邻边的平行四边形APMQ的边PM与AC交于点E．设
运动时间为t(s)(00)的图象交AC于点E，过点E作EF⊥x轴，垂足为点
x
F．若点E为AC的中点，BD=2AD，BF−CF=3，则k的值为 ．
3．（2023·河南·中考真题）如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB=CA．
若OA=5，PA=12，则CA的长为 ．
重难点四： 相似模型-X型
1．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若
S 1 S
△ABD=
，则
△AOD=
．
S 3 S
△BCD △BOC
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2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别交边AB、CD于
点E、F．若AD=8，BE=10，则tan∠ABD= ．
3．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，E、F分别是边
CD、AD上的动点，且CE=DF．当AE+CF的值最小时，则CE= ．
重难点五： 相似模型-母子型
1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，
1
点D为A´C的中点，连接BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F，若DF=1，tanB= ，则AE的长
2
为 ．
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2．（2023·湖北武汉·模拟预测）探索发现；（1）如图1，在△ABC中，∠B=∠CAF；求证：
AC2=CF·BC；
初步应用：（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AB，BE⊥AD，连接CE、CD；求证：
BE CE
= ．
BD CD
迁移拓展：（3）如图3，在△ABC中，∠B=∠CAF，H为AC上一点使CH=CF，过H作HG∥BC交
BF
AB于G，AG=AF，求 的值；
CF
重难点六： 相似模型-手拉手模型
1．（2022·安徽合肥·三模）如图，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，且△ABC∽△AB'C'，连
接CC'，将CC'沿C'B'方向平移至EB'，连接BE，若CC' =√6，则BE的长为（ ）
A．1 B．√2 C．√3 D．2
2．（2023·湖南常德·中考真题）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D是AB上一
BD
点，且AD=2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中
CE
的值为 ．
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重难点七： 相似模型-角含半角模型
1．（2022·广东深圳·二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形
ABC和AFG摆放在一起，点A为公共顶点，∠BAC=∠G=90°，若△ABC固定不动，将△AFG绕点A
旋转，边AF，AG与边BC分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论
BE⋅CD=AB2是否成立 （填“成立”或“不成立”）；
【类比引申】（2）如图2，在正方形ABCD中，∠EAF为∠BAD内的一个动角，两边分别与BD，BC交
于点E，F，且满足∠EAF=∠ADB，求证：△ADE∽△△ACF；
【拓展延伸】（3）如图3，菱形ABCD的边长为12cm，∠BAD=120°，∠EAF的两边分别与BD，BC
相交于点E，F，且满足∠EAF=∠ADB，若BF=9cm，则线段DE的长为 cm．
2．（22-23九年级上·江苏徐州·期末）如图，在△PAB中，C、D为AB边上的两个动点，PC=PD．
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(1)若PC=CD,∠APB=120°，则△APC与△PBD相似吗?为什么?
(2)若PC⊥AB（即C、D重合），则∠APB=_______°时，△APC∽△PBD；
(3)当∠CPD和∠APB满足怎样的数量关系时，△APC∽△PBD?请说明理由．
重难点八： 相似模型-三角形内接矩形模型
1．（2023·内蒙古通辽·模拟预测）如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M、N在BC上，点P、Q分别
在AC和AB边上，且BC边上的高AD=6cm，BC=12cm，则正方形MNPQ的边长为 ．
2．（2024·河南·三模）阅读与思考：下面是小华同学写的一篇数学小论文，请你认真阅读并完成相应学习
任务：怎样作直角三角形的内接正方形？如果一个正方形的四个顶点都在直角三角形的三条边上，我们把
这样的正方形叫做该直角三角形的内接正方形．那么怎样作出一个直角三角形的内接正方形呢？我们可以
用如下方法：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作∠ACB的角平分线，交斜边AB于点D；然后过
点D，分别作AC，BC的垂线，垂足分别为F，E，则DF=DE ．（依据 1 ） 容易证明四边形DFCE是正
方形．
用上面方法所作出的正方形，有一个顶点恰好是直角三角形的直角顶点．
如图2，如果Rt△ABC的内接正方形的一边恰好在斜边AB上，我就可用如下方法，
第一步：过直角顶点C作CD⊥AB，垂足为D；
第二步，延长AB到M，使得BM=AD，连接CM；
第三步：作∠BDC的平分线，交MC于点E；
第四步：过点E分别作DC，DB的垂线，垂足分别为P，K，EP交BC于点F，EP的延长线交AC交于
G；
第五步：分别过点F，G作AB的垂线，垂足分别为N，H．
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则四边形NFGH就是Rt△ABC的内接正方形，并且NH恰好在该直角三角形的斜边上．
理由如下：易证四边形EPDK是正方形，EG∥AM．
∵EG∥AM，∴∠CGP=∠CAD，∠CPG=∠CDA，∴△CGP∽△CAD，同理可得：
△CEF∽△CMB ．（依据 2 ）
GP CP EF CF CP
∴ = ； = = ．
AD CD BM CB CD
学习任务：
(1)材料中画横线部分的依据分别是：
依据1：__________；依据2：__________．
(2)请完成图2说理过程的剩余部分．
(3)分析图2的作图过程，不难看出是将图2转化成图1去完成的，即先作图形EPDK，再将正方形EPDK
转化为正方形NFGH，转化的过程可以看作是一种图形变换，这种图形变换是__________．（填出字母代
号即可）．
A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．位似
重难点九： 相似模型-一线三垂直
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点A(0,−2)，B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，若
∠ABC=90°，BC=2AB，则点D的坐标是 ．
k
2．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数y= (x>0)的
x
图象上，延长AB交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，连接BD并延长，交x轴于点E，连接CE.若
AB=2BC，△BCE的面积是4.5，则k的值为 .
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3．（2023·海南·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=8，点E在边AD上，且AD=4AE，点P为
EF
边AB上的动点，连接PE，过点E作EF⊥PE，交射线BC于点F，则 = ．若点M是线段EF的
PE
中点，则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为 ．
4．（2023·山东东营·中考真题）如图，一束光线从点A(−2,5)出发，经过y轴上的点B(0,1)反射后经过点
C(m,n)，则2m−n的值是 ．
易错点1： 当三角形对应关系不明确时，未进行分类讨论而漏解
1．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出
发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、
D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是 ．
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易错点2： 未掌握相似比与面积比的关系
1．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，△ABC与△≝¿是以点O为位似中心的位似图形，若OA:OD=2:3，
则△ABC与△≝¿的面积比是 ．
易错点3： 求位似图形对应坐标时漏解
1．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，△ABO的顶点坐标是A(2,6)，B(3,1)，O(0,0)，以点O为位似中
1
心，将△ABO缩小为原来的 ，得到△A'B'O，则点A'的坐标为 ．
3
31
