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专题 17 图形的平移，旋转与轴对称
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（3大模块知识梳理）
知识模块一：图形的平移
知识模块二：图形的旋转
知识模块三：图形的轴对称与中心对称
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（8大基础考点）
考点一：轴对称图形、中心对称图形，平移，旋转的识别
考点二：利用平移的性质求解
考点三：利用旋转的性质求解
考点四：利用轴对称的性质求解
考点五：利用中心对称的性质求解
考点六：用平移、轴对称、旋转、中心对称作图
考点七：利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案
考点八：与坐标系有关的对称、平移、旋转问题
04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（5大重难点）
重难点一：与三角形有关的折叠问题
重难点二：与特殊平行四边形有关的折叠问题
重难点三：与函数图象有关的折叠问题
重难点四：利用轴对称求最值
重难点五：旋转或轴对称综合题之线段、线段问题
05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（2大易错点）
易错点 1 ： 判断轴对称图形与中心对称图形时出错
易错点2：未对旋转方向进行分类讨论，导致漏解
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知识模块一：图形的平移
知识点一：平移的定义
平移的定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形这种移动叫做平移．它是
由移动方向和距离决定的.
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知识点二：平移的性质
1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等.
2）平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等.
3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离.
知识点三：平移作图的步骤
1）定：根据题目要求，确定平移的方向和距离；
2）找：找出确定图形形状的关键点；
3）移：过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的
对应点；
4）连：按原图顺序依次连接各对应点.
【注意】确定一个图形平移后的位置需要三个条件：①图形原位置；②平移的方向；③平移的距离.
知识模块二：图形的旋转
知识点一：旋转的基础
旋转的概念：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运
动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．
旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．
知识点二：旋转的性质
1）对应点到旋转中心的距离相等；
2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
3）旋转前后的图形全等．
知识点三：旋转作图的步骤
1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；
2）找出原图形的关键点；
3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；
4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．
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知识模块三：图形的轴对称与中心对称
知识点一：轴对称与中心对称
类别 轴对称 中心对称
定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与 如果一个图形绕某点旋转 180°后与另一个
另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直 图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心
线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫 对称.
做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称
点.
性质 1）对应点的连线被对称轴垂直平分； 1）对应点的连线都经过对称中心，且被对称
中心平分；
2）成轴对称的两个图形全等；
2）成中心对称的两个图形全等；
3）只有一条对称轴.
3）只有一个对称中心.
知识点二：轴对称图形与中心对称图形
类别 轴对称图形 中心对称图形
定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的 如果一个图形绕某一点旋转 180°后能与它
部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称 自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称
图形.这条直线就是它的对称轴. 图形，这个点叫做它的对称中心.
性质 1）有对称轴; 1) 有对称中心;
2）将图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分完 2) 将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图
全重合. 形能与原来的图形重合.
考点一： 轴对称图形、中心对称图形，平移，旋转的识别
1．（2023·湖南郴州·中考真题）下列图形中，能由图形a通过平移得到的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移
变换，结合各选项所给的图形即可作出判断．
【详解】解：观察图形可知，B中图形能由图形a通过平移得到，A，C，D均不能由图形a通过平移得到；
故选B．
【点睛】本题考查平移．熟练掌握平移的性质，是解题的关键．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图
形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（2024·山西·中考真题）1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是
中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． 山西煤炭化学研究所 B． 东北地理与农业生态研究所
C． 西安光学精密机械研究所 D． 生态环境研究中心
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【答案】A
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形
绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这
个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．不中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
考点二： 利用平移的性质求解
4．（2024·山东东营·中考真题）如图，将△≝¿沿FE方向平移3cm得到△ABC，若△≝¿的周长为24cm，
则四边形ABFD的周长为 cm．
【答案】30
【分析】本题主要考查了平移的性质、三角形周长等知识点，掌握平移的性质及等量代换成为解题的关键．
由平移的性质可得AD=BE=3cm,DE=AB,再根据△≝¿的周长为24cm可得AB+EF+DF=24，然后根
据四边形的周长公式及等量代换即可解答．
【详解】解：∵将△≝¿沿FE方向平移3cm得到△ABC，
∴AD=BE=3cm,DE=AB,
∵△≝¿的周长为24cm，
∴DE+EF+DF=24,即AB+EF+DF=24，
∴四边形ABFD的周长为
AB+BF+DF+AD=AB+BE+EF+DF+AD=(AB+EF+DF)+BE+AD=24+3+3=30cm．
故答案为：30．
5．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，将△ABC沿其底
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1
边中线AD向下平移，使A的对应点A'满足A A'= AD，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．
3
4√3 4
【答案】 / √3
9 9
【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一，根据平移的性质，推出
△A'EF∽△A'B'C'，根据对应边上的中线比等于相似比，求出EF的长，三线合一求出A'D的长，利用
面积公式进行求解即可．
【详解】解：∵等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，
∴∠ABC=30°，
∵AD为中线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
1
∴AD= AB=1，BD=√3AD=√3，
2
∴BC=2√3，
∵将△ABC沿其底边中线AD向下平移，
∴B'C'∥BC,B'C'=BC=2√3，A'G=AD=1，
∴△A'EF∽△A'B'C'，
EF A'D
∴ = ，
B'C' A'G
1
∵A A'= AD，
3
2 2 2
∴DA'= AD= A'G= ，
3 3 3
EF A'D 2
∴ = = ，
B'C' A'G 3
2 4√3
∴EF= B'C'= ，
3 3
1 1 4√3 2 4√3
∴S = EF⋅A'D= × × = ；
阴影 2 2 3 3 9
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4√3
故答案为： ．
9
6．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的
点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当
余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例 ： “ 和 点 ” P(2,1)按 上 述 规 则 连 续 平 移 3 次 后 ， 到 达 点 P (2,2)， 其 平 移 过 程 如 下 ：
3
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q (−1,9)，则点Q的坐标为（ ）
16
A．(6,1)或(7,1) B．(15,−7)或(8,0) C．(6,0)或(8,0) D．(5,1)或(7,1)
【答案】D
【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键．
先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、
向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照Q 的反向运动理解去分类讨论：①Q 先向右1个单位，不
16 16
符合题意；②Q 先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了
16
7次，此时坐标为(6,1)，那么最后一次若向右平移则为(7,1)，若向左平移则为(5,1)．
【详解】解：由点P (2,2)可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到P (2,3)，
3 4
此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到P (1,3)，此时横、纵坐标之和除
4
以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位⋯⋯，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所
得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q (−1,9)，则按照“和点”Q 反向运动16次求点
16 16
Q坐标理解，可以分为两种情况：
①Q 先向右1个单位得到Q (0,9)，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是Q 向右平移1
16 15 15
个单位得到Q ，故矛盾，不成立；
16
②Q 先向下1个单位得到Q (−1,8)，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个
16 15
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单位得到Q ，故符合题意，那么点Q 先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8
16 16
次，向右平移了7次，此时坐标为(−1+7,9−8)，即(6,1)，那么最后一次若向右平移则为(7,1)，若向左平
移则为(5,1)，
故选：D．
考点三： 利用旋转的性质求解
7．（2024·湖北·中考真题）如图，点A的坐标是(−4,6)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应
点的坐标是（ ）
A．(4,6) B．(6,4) C．(−6,−4) D．(−4,−6)
【答案】B
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化−旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题
的关键．
根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题．
【详解】解：如图所示，
分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为M和N，
由旋转可知，
OA=OB，∠AOB=90°，
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∴∠AOM+∠BON=∠A+∠AOM=90°，
∴∠A=∠BON．
在△AOM和△OBN中，
¿，
∴△AOM≌△OBN(AAS)，
∴BN=MO，ON=AM．
∵点A的坐标为(−4,6)，
∴BN=MO=4，ON=AM=6，
∴点B的坐标为(6,4)．
故选：B．
8．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，△ABC中，AB=BC=1，∠C=72°．将△ABC绕点A顺时针
旋转得到△AB'C'，点B'与点B是对应点，点C'与点C是对应点．若点C'恰好落在BC边上，下列结论：
1 AB B'B
①点B在旋转过程中经过的路径长是 π；②B' A∥BC；③BD=C'D；④ = ．其中正确的结论
5 AC BD
是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，三角
形内角和定理．根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求得各角的度数，再逐一判断各项，即可求解．
【详解】解：∵AB=BC，∠C=72°，
∴∠BAC=∠C=72°，∠ABC=180°−2∠C=36°，
由旋转的性质得∠AB'C=∠ABC=36°，∠B' AC'=∠BAC=72°，∠AC'B'=∠C=72°，
∠AC'B'=∠ADC=72°，AC'=AC，
∴∠AC'C=∠C=72°，
∴∠CAC'=36°，
∴∠CAC'=∠BAC'=36°，
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∴∠B' AB=72°−36°=36°，
由旋转的性质得AB'=AB，
1
∴∠ABB'=∠AB'B= (180°−36°)=72°，
2
36π⋅1 1
①点B在旋转过程中经过的路径长是 = π；①说法正确；
180 5
②∵∠B' AB=∠ABC=36°，∴B' A∥BC；②说法正确；
③∵∠DC'B=180°−2×72°=36°，
∴∠DC'B=∠ABC=36°，
∴BD=C'D；③说法正确；
④∵∠BB'D=∠ABC=36°，∠B'BD=∠BAC=72°，
∴△B'BD∽△BAC，
AB B'B
∴ = ．④说法正确；
AC BD
综上，①②③④都是正确的，
故选：A．
9．（2024·山东德州·中考真题）在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，点D是AB上一个动点（点D
不与A，B重合），以点D为中心，将线段DC顺时针旋转120°得到线DE．
(1)如图1，当∠ACD=15°时，求∠BDE的度数；
(2)如图2，连接BE，当0°<∠ACD<90°时，∠ABE的大小是否发生变化？如果不变求，∠ABE的度数；
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如果变化，请说明理由；
(3)如图3，点M在CD上，且CM:MD=3:2，以点C为中心，将线CM逆时针转120°得到线段CN，连
接EN，若AC=4，求线段EN的取值范围．
【答案】(1)75°
(2)∠ABE的大小不发生变化，∠ABE=30°，理由见解析
4√21 8√21
(3) ≤EN<
5 5
【分析】（1）由旋转的性质得∠CDE=120°，由等边对等角和三角形内角和定理得到∠A=30°，由三
角形外角的性质得∠BDC=45°，进而可求出∠BDE的度数；
OC OD
（2）连接CE交BD于点O，证明△BOC∽△EOD得 = ，再证明△COD∽△BOE即可求出
OB OE
∠ABE的度数；
1
（3）过点C作CH⊥AB于H，求出∠A=30°，则CH= AC=2；由旋转的性质得∠CDE=120°，
2
CD=DE，∠MCN=120°，CM=CN，设CD=DE=5x，则CM=CN=3x；如图所示，过点D作
1 5 5√3
DG⊥CE于G，则可得到DG= DC= x，CE=2CG，由勾股定理得CG=√CD2−DG2= x；
2 2 2
2 4
证明∠ECN=90°，在Rt△ECN中，由勾股定理得 EN=2√21x；再求出 ≤x< ，即可得到
5 5
4√21 8√21
≤EN< ．
5 5
【详解】（1）解：由旋转的性质得∠CDE=120°．
∵AC=BC，∠ACB=120°，
180°−∠ACB
∴∠A=∠B= =30°．
2
∵∠ACD=15°，
∴∠BDC=∠ACD+∠A=30°+15°=45°，
∴∠BDE=∠CDE−∠BDC=120°−45°=75°；
（2）解：∠ABE的大小不发生变化，∠ABE=30°，理由如下：
连接CE交BD于点O，
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由旋转的性质得∠CDE=120°，CD=DE，
180°−∠CDE
∴∠DCO=∠DEO= =30°，
2
∴∠DEO=∠ABC=30°，
又∵∠BOC=∠EOD，
∴△BOC∽△EOD，
OC OB
∴ =
OD OE
OC OD
∴ = ，
OB OE
∵∠COD=∠BOE，
∴△COD∽△BOE，
∴∠ABE=∠DCO=30°；
（3）解：如图所示，过点C作CH⊥AB于H，
∵AC=BC，∠ACB=120°，
180°−∠ACB
∴∠A=∠B= =30°，
2
∵CH⊥AB，
1
∴CH= AC=2；
2
由旋转的性质得∠CDE=120°，CD=CE，∠MCN=120°，CM=CN，
设CD=DE=5x，
∵CM:MD=3:2，
3
∴CM=CN= CD=3x，
5
如图所示，过点D作DG⊥CE于G，
∵∠CDE=120°，CD=CE，
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180°−∠CDE
∴∠DCO=∠DEO= =30°，
2
∵DG⊥CE，
1 5
∴DG= DC= x，CE=2CG，
2 2
5√3
在Rt△CDG中，由勾股定理得CG=√CD2−DG2= x，
2
∴CE=5√3x,
∵∠DCE=30°，∠DCN=120°，
∴∠ECN=120°−30°=90°，
在Rt△ECN中，由勾股定理得EN2=CE 2+CN2
❑
=(3x) 2+(5√3x) 2
❑
=84x2，
∴EN=2√21x或EN=−2√21x（舍去）；
∵点D是AB上一个动点（点D不与A，B重合），
∴CG≤CD0，开口向上，对称轴直线t=0
2
2 √3
∴在 ≤t<1时，S= t2 随着t的增大而增大
3 2
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2√3 √3
∴ ≤S< ；
9 2
3
当1≤t≤ 时，如图：
2
1 1 1 √3 √3
S= (O'P+MC')×MP= (OP+CM)×MP= (t+t−1)×√3= (2t−1)=√3t−
2 2 2 2 2
∴√3>0，S随着t的增大而增大
3 3 √3 3√3 √3 √3 √3
∴在t= 时S=√3× − = − =√3；在t=1时S=√3×1− = ；
2 2 2 2 2 2 2
3 √3
∴当1≤t≤ 时， ≤S≤√3
2 2
3 5
∵当 0)上第一象限内的两个动点(OD>OB)，以线段
k
BD为对角线作矩形ABCD，AD∥x轴．反比例函数y= 的图象经过点A．
x
【构建联系】
k
（1）求证：函数y= 的图象必经过点C．
x
（2）如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为(1,2)时，
求k的值．
【深入探究】
（3）如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接AC交BD于点P．
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以点O为圆心，AC长为半径作⊙O．若OP=3√2，当⊙O与△ABC的边有交点时，求k的取值范围．
16
【答案】（1）证明见解析；（2）k= ；（3）6≤k≤8
3
( k ) ( k ) k
【分析】（1）设B(m,ma)，则A m, ，用含m,k的代数式表示出C ,am ，再代入y= 验证即
m am x
可得解；
DE
（2）先由点B的坐标和k表示出DC=k−2，再由折叠性质得出2= ，如图，过点D作DH⊥y轴，
BE
k
过点B作BF⊥y轴，证出△DHE∽△EFB，由比值关系可求出HF=2+ ，最后由HF=DC即可得解；
4
（3）当⊙O过点B时，如图所示，过点D作DH∥x轴交y轴于点H，求出k的值，当⊙O过点A时，根
据A，C关于直线OD对轴知，⊙O必过点C，如图所示，连AO，CO，过点D作DH∥x轴交y轴于点
H，求出k的值，进而即可求出k的取值范围．
( k )
【详解】（1）设B(m,ma)，则A m, ，
m
∵AD∥x轴，
k
D点的纵坐标为 ，
m
∴ k k
∴将y= 代入y=ax中得： =ax得，
m m
k
∴x= ，
am
( k k )
∴D , ，
am m
( k )
∴C ,am ，
am
k k
∴将x= 代入y= 中得出y=am，
am x
k
∴函数y= 的图象必经过点C；
x
（2）∵点B(1,2)在直线y=ax上，
∴a=2，
∴y=2x，
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A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2，
k
∴∵函数y= 的图象经过点A，C，
x
(k )
∴C ，2 ，A(1,k)，
2
(k )
∴D ，k ，
2
∴DC=k−2，
∵把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E，
k
∴BE=BC= −1，∠BED=∠BCD=90°，
2
DC k−2 DE
= =2=
∴BC k BE，
−1
2
如图，过点D作DH⊥y轴，过点B作BF⊥y轴，
∵AD∥x轴，
H，A，D三点共线，
∴∠HED+∠BEF=90°，∠BEF+∠EBF=90°，
∴
∴∠HED=∠EBF，
∵∠DHE=∠EFB=90°，
∴△DHE∽△EFB，
DH HE DE
= = =2,
EF BF BE
∴ k
∵BF=1，DH=
2
k
∴HE=2，EF= ，
4
k
∴HF=2+ ，
4
由图知，HF=DC，
k
∴2+ =k−2，
4
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16
∴k= ；
3
（3）∵把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合，
∴AC⊥BD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴四边形ABCD为正方形，∠ABP=∠DBC=45°，
AP 1
∴AB=BC=CD=DA= =√2AP，AP=PC=BP= AC，BP⊥AC，
sin45° 2
∵BC∥x轴，
∴直线y=ax为一，三象限的夹角平分线，
∴y=x，
当⊙O过点B时，如图所示，过点D作DH∥x轴交y轴于点H，
∵AD∥x轴，
H，A，D三点共线，
∴
∵以点O为圆心，AC长为半径作⊙O，OP=3√2，
∴OP=OB+BP=AC+BP=2AP+AP=3AP=3√2，
∴AP=√2，
∴AB=AD=√2AP=2，BD=2AP=2√2，BO=AC=2AP=2√2，
∵AB∥y轴，
∴△DHO∽△DAB，
HO DH DO
∴ = = ，
AB AD BD
HO DH 2√2+2√2
∴ = = ，
2 2 2√2
∴HO=HD=4，
∴HA=HD−DA=4−2=2，
∴A(2,4)，
∴k=2×4=8，
当⊙O过点A时，根 据A，C关于直线OD对轴知，⊙O必过点C，如图所示，连AO，CO，过点D作
DH∥x轴交y轴于点H，
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AO=OC=AC,
∴△AOC为等边三角形，
∵
∵OP⊥AC，
1
∴∠AOP= ×60°=30°，
2
√3
∴AP=tan30°×OP= ×3√2=√6=PD，AC=BD=2AP=2√6，
3
∴AB=AD=√2AP=2√3，OD=OP+PD=3√2+√6，
∵AB∥y轴，
∴△DHO∽△DAB，
HO DH DO
∴ = = ，
AB AD BD
HO DH 3√2+√6
= = ,
2√3 2√3 2√6
∴∴HO=HD=3+√3，
∴HA=HD−DA=3+√3−2√3=3−√3，
∴A(3−√3,3+√3)，
k=(3−√3)×(3+√3)=6,
∴∴当⊙O与△ABC的边有交点时，k的取值范围为6≤k≤8．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的性质，反比例函数的性质，
矩形的性质，正方形的判定和性质，轴对称的性质，圆的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助
线是解决此题的关键．
重难点四： 利用轴对称求最值
1．（2022·山东德州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE=2，点M是对角线
BD上的一个动点，则EM+CM的最小值是（ ）
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A．6√2 B．3√5 C．2√13 D．4√13
【答案】C
【分析】连接AM，AE，根据正方形的对称性可得AM=CM，进而可知EM+CM=EM+AM，再利用
A，M，E三点共线时，EM+AM的值最小，将EM+AM转化为AE，最后运用勾股定理即可解答．
【详解】如图，连接AM，AE，
∵A、C关于BD对称，
∴ AM=CM，
∴EM+CM=EM+AM
当A，M，E三点共线时，EM+AM=AE的值最小，
即EM+CM的值最小，
∵AB=6，BE=BC−CE=4，
由勾股定理得：AE=√AB2+BE2=√62+42=2√13，
即EM+CM的最小值为2√13，
故选C．
【点睛】本题考查了运用轴对称解决最短路径问题、勾股定理的应用、正方形的性质，明确当A，M，E
三点共线时，EM+AM有最小值是解题的关键．
2．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在 ▱ABCD中，∠C=120°，AB=8，BC=10．E为边CD的中
点，F为边AD上的一动点，将△≝¿沿EF翻折得△D'EF，连接AD'，BD'，则△ABD'面积的最小值为
．
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【答案】20√3−16/−16+20√3
【分析】根据平行四边形的性质得到CD=AB=8，AB∥CD，∠ABC=60°，由折叠性质得到
ED'=DE=4，进而得到点D'在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作EM⊥AB交AB延长线
于M，交圆E于D'，此时D'到边AB的距离最短，最小值为D'M的长，即此时△ABD'面积的最小，过C
作CN⊥AB于N，根据平行线间的距离处处相等得到EM=CN，故只需利用锐角三角函数求得CN=5√3
即可求解．
【详解】解：∵在 ▱ABCD中，∠BCD=120°，AB=8，
∴CD=AB=8，AB∥CD，则∠ABC=180°−∠BCD=60°，
E为边CD的中点，
∵ 1
∴DE=CE= CD=4，
2
∵△≝¿沿EF翻折得△D'EF，
∴ED'=DE=4，
∴点D'在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作EM⊥AB交AB延长线于M，交圆E于D'，此
时D'到边AB的距离最短，最小值为D'M的长，即△ABD'面积的最小，
过C作CN⊥AB于N，
∵AB∥CD，
∴EM=CN，
在Rt△BCN中，BC=10，∠CBN=60°，
√3
∴CN=BC⋅sin60°=10× =5√3，
2
∴D'M=ME−ED'=5√3−4，
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1
∴△ABD'面积的最小值为 ×8×(5√3−4)=20√3−16，
2
故答案为：20√3−16．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数
等知识，综合性强的填空压轴题，得到点D'的运动路线是解答的关键．
3．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，AB=√10，AD=4√2，点P是边AD上一
点（不与点A，D重合），连接PB，PC．点M，N分别是PB，PC的中点，连接MN，AM，DN，点
E在边AD上，ME∥DN，则AM+ME的最小值是（ ）
A．2√3 B．3 C．3√2 D．4√2
【答案】C
1 1
【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得AM= BP，DN= CP，通过证明四边形MNDE是平行
2 2
1
四边形，可得ME=DN，则AM+ME=AM+DN= (BP+CP)，作点C关于直线AD的对称点M，则
2
BP+CP=BP+PM，点B，P，M三点共线时，BP+PM的值最小，最小值为BM．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAP=∠CDP=90°，AD∥BC，
∵点M，N分别是PB，PC的中点，
1 1 1
∴ AM= BP，DN= CP，MN= BC，MN∥BC，
2 2 2
∵ AD∥BC，MN∥BC，
∴ MN∥BC，
又∵ ME∥DN，
∴四边形MNDE是平行四边形，
∴ ME=DN，
1
∴ AM+ME=AM+DN= (BP+CP)，
2
如图，作点C关于直线AD的对称点M，连接PM，BM，
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则BP+CP=BP+PM，
当点B，P，M三点共线时，BP+PM的值最小，最小值为BM，
在Rt△BCM中，MC=2CD=2AB=2√10，BC=AD=4√2，
∴ BM=√BC2+MC2=√(4√2) 2+(2√10) 2=6√2，
1
∴ AM+ME的最小值= BM=3√2，
2
故选C．
【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，
轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思
想．
重难点五： 旋转或轴对称综合题之线段、面积问题
1．（2023·湖北随州·中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直
线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里
拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择
填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④
处填写该三角形的某个顶点）
当△ABC的三个内角均小于120°时，
如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，连接PP'，
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由 PC=P'C，∠PCP'=60°， 可 知△PCP'为 ① 三 角 形 ， 故 PP'=PC， 又 P' A'=PA， 故
PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，
由 ② 可知，当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A'B，此时
的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB= ③ ；
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图 3，若
∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图 4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点 P 为
△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=2√3km，∠ACB=60°．
现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分
别为a元/km，a元/km，√2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．
（结果用含a的式子表示）
【答案】(1) 等边；②两点之间线段最短；③120°；④A．
(2)5
①
(3)2√13a
【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；
（2）根据（1）的方法将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，即可得出可知当B，P，P'，A在
同 一 条 直 线 上 时 ， PA+PB+PC取 最 小 值 ， 最 小 值 为 A'B， 在 根 据∠ACB=30°可 证 明
∠AC A'=∠A'CP'+∠BCP+∠PCP'=90°，由勾股定理求A'B即可，
（3）由总的铺设成本=a(PA+PB+√2PC)，通过将△APC绕，点C顺时针旋转90°得到△A'P'C，得
到等腰直角△PP'C，得到√2PC=PP'，即可得出当B，P，P'，A在同一条直线上时，P' A'+PB+PP'
取最小值，即PA+PB+√2PC取最小值为A'B，然后根据已知和旋转性质求出A'B即可．
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【详解】（1）解：∵PC=P'C，∠PCP'=60°，
∴△PCP'为等边三角形；
∴PP'=PC，∠P'PC=∠PP'C=60°，
又P' A'=PA，故PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，
由两点之间线段最短可知，当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，
最小值为A'B，此时的P点为该三角形的“费马点”，
∴∠BPC+∠P'PC=180°，∠A'P'C+∠PP'C=180°，
∴∠BPC=120°，∠A'P'C=120°，
又∵△APC≅△A'P'C，
∴∠APC=∠AP'C=120°，
∴∠APB=360°−∠APC−∠BPC=120°，
∴∠APC=∠BPC=∠APB=120°；
∵∠BAC≥120°，
∴BC>AC，BC>AB，
∴BC+AB>AC+AB，BC+AC>AB+AC，
∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．
又∵已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．
∴该三角形的“费马点”为点A，
故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③120°；④A．
（2）将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，连接PP'，
由（1）可知当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，最小值为A'B，
∵∠ACP=∠A'CP'，
∴∠ACP+∠BCP=∠A'CP'+∠BCP=∠ACB=30°，
又∵∠PCP'=60°
∴∠BC A'=∠A'CP'+∠BCP+∠PCP'=90°，
由旋转性质可知：AC=A'C=3，
∴A'B=√BC2+A'C2=√42+32=5，
∴PA+PB+PC最小值为5，
（3）∵总的铺设成本=PA·a+PB·a+PC·√2a=a(PA+PB+√2PC)
∴当PA+PB+√2PC最小时，总的铺设成本最低，
将△APC绕，点C顺时针旋转90°得到△A'P'C，连接PP'，A'B
由旋转性质可知：P'C=PC，∠PCP'=∠AC A'=90°，P' A'=PA，A'C=AC=4km，
∴PP'=√2PC，
∴PA+PB+√2PC=P' A'+PB+PP'，
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当B，P，P'，A在同一条直线上时，P' A'+PB+PP'取最小值，即PA+PB+√2PC取最小值为A'B，
过点A'作A'H⊥BC，垂足为H，
∵∠ACB=60°，∠AC A'=90°，
∴∠A'CH=30°，
1
∴A'H= A'C=2km，
2
∴HC=√AC2−AH2=√42−22=2√3(km)，
∴BH=BC+CH=2√3+2√3=4√3(km)，
∴A'B=√AH2+BH2=√ (4√3) 2+22=2√13(km)
PA+PB+√2PC的最小值为2√13km
总的铺设成本=PA·a+PB·a+PC·√2a=a(PA+PB+√2PC)=2√13a（元）
故答案为：2√13a
【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股
定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键．
2．（2023·吉林松原·二模）如图所示，在Rt△ABC中，AB=8，∠ACB=90°，∠A=60°，点P从点A
出发以每秒2个单位长度的速度沿AB向终点B运动，当点P不与点A，B重合时，作∠BPD=120°，边
PD交折线AC−CB于点D，点A关于直线PD的对称点为E，连接ED，EP得到△PDE．设点P的运动
时间为t（秒）．
(1)直接写出线段PD的长（用含t的代数式表示）；
(2)当点E落在边BC上时，求t的值；
(3)设△PDE与△ABC重合部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
【答案】(1)PD=¿，
4
(2)t= ，
3
(3)S=¿，
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【分析】本题属于几何变换综合题，考查了直角三角形30°角的性质，三角形的面积等知识，解题关键是
学会用分类讨论解决问题，属于中考压轴题．
（1）①当0
