文档内容
专题 04 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
三、定直线问题...................................................................................2
二、典型题型.......................................................................................2
题型一：定点问题..........................................................................2
题型二：定值问题........................................................................12
题型三：定直线问题....................................................................23
三、专项训练.....................................................................................34
一、必备秘籍
一、定点问题
1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量 ， 视作
常数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参
数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 ， 的方程组，这个方程组的解所确定
的点就是直线或曲线所过的定点．
2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究
变化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情
况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
二、定值问题
1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜
率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始
终是一个确定的值．常见定值问题的处理方法：
（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示
（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能
否得到一个常数.
2. 定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进
而给后面一般情况的处理提供一个方向.
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢
（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运
算
三、定直线问题
定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为
求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．
二、典型题型
题型一：定点问题
1．（2024高三·全国·专题练习）如图，四边形ABCD是椭圆 的内接四边形，直
线AB经过左焦点 ，直线AC，BD交于右焦点 ，直线AB与直线CD的斜率分别为
．
(1)求证： 为定值；
(2)求证：直线CD过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）设 ，表示出直线AC的方程，代入椭
圆方程化简，利用根与系数的关系表示出 ，则可表示出 ，表示出点 的坐标，同理表
示出点 的坐标，再由A， ，B三点共线，得 ，然后利用斜率公式化
简 ，可得 的关系；
（2）解法一：直线CD交x轴于点 ，表示出直线 的方程，表示出 ，结合（1）中的关系化简可得答案，解法二：设直线AB，DC交于点P，则由题意可设P（3，
m），由对称性可知，直线CD过定点必在x轴上，然后根据（1）得到的关系化简可得答
案.
【详解】（1）设 ，
则直线AC的方程为 ，代入椭圆方程 ，
整理得 ．
因为 ，所以 ，从而 ．
故点 ，同理，点 ．
因为A， ，B三点共线，所以 ，从而 ．
所以
．
故 ．
（2）解法一：由（1）知 ， ，
设直线CD交x轴于点 ，
因为 ，所以直线 为 ，
当 时， ，得 ，
所以
，
故直线CD过定点 ．解法二：如图，设直线AB，DC交于点P，则点P在F 对应的极线 ，即x＝3
2
上，
可设P（3，m），
由对称性可知，直线CD过定点必在x轴上，不妨设定点为T（t，0）
则 ，由（1）知 ，得 ，即 ．
∴ ，故直线CD过定点 ．
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值和定点问题，
解题的关键是利用“设而不求”的思想，设出交点坐标，设出直线方程，代入椭圆方程化
简，结合根与系数的关系求解，考查计算能力和转化思想，属于难题.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为
， ，过 的直线l与椭圆C交于P，Q两点， 的周长为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，点A， 分别是椭圆C的左顶点、左焦点，直线m与椭圆C交于不同的两点M，
N（M，N都在x轴上方）．且 ．证明直线m过定点，并求出该定点的坐
标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点 ．【分析】（1）由焦距和焦点三角形的周长求出 ，得椭圆C的方程；
（2）设直线l方程为 ，代入椭圆方程，设 ，韦达定理表示出
根与系数的关系，由 ，得 ，利用斜率公式结合韦达定理化简
得 ，可得直线l过定点 .
【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c，由题意知 ，解得c＝2．
由椭圆的定义知， 的周长为 ，∴ ，故 ．
∴椭圆C的方程为 ．
（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设直线l： ， ，
把直线方程代入椭圆方程，整理可得 ，
，即 ，∴ ．
∵ ，M，N都在x轴上方，且 ，∴ ．
∴ ，即 ．
将 代入，
整理可得 ，又 ，
即 ，整理可得 ，
∴直线l为 ．∴直线l过定点 ．
【点睛】方法点睛：
解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方
程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线
方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直
线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜
率、三角形的面积等问题．
3．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知双曲线 的焦距为 ，点
在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线 与C的右支交于 两点，点 与点 关于 轴对称， 点在 轴上的
投影为 .①求 的取值范围；
②求证：直线 过点 ．
【答案】(1)
(2)① ；②证明见解析
【分析】（1）由题可得 ，解方程即可得到答案；
（2）①设 ，联立 ，消去 得 ，由于
与 的右支交于 ， 两点，双曲线 的渐近线方程为 ，可得
，以及 ，解不等式可得 的取值范围；
②由①得 ， ，由题可得 ，利用向量关系可得
，从而可得 ， ， 三点共线，即可证明.
【详解】（1）由已知得 ，解得 ，
所以 的方程为 .
（2）①设 ， ，则 ，
联立 ，
消去 得 ，则 ， ，
解得 ，且 .
又 与 的右支交于 ， 两点， 的渐近线方程为 ，
则 ，即 ，
所以 的取值范围为 .
②由①得 ， ，
又点 在 轴上的投影为 ，所以 ， ，
所以 ，
，
所以 ，
又 ， 有公共点 ，所以 ， ， 三点共线，所以直线 过点 .
【点睛】关键点睛：（1）直线与双曲线一支相交于两点，可利用韦达定理、根的判别式以
及直线斜率与渐近线斜率的关系进行求解；
（2）证明直线过定点，可利用向量平行关系进行证明.
4．（2024·青海海南·二模）已知双曲线 的虚轴长为 ，点
在 上.设直线 与 交于A，B两点（异于点P），直线AP与BP的斜率之积为 .
(1)求 的方程；
(2)证明：直线 的斜率存在，且直线 过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）借助虚轴定义得 ，将 的坐标代入方程得 ，即可求解双曲
线方程；
（2）设出直线方程，代入曲线中，可得与交点横坐标有关韦达定理，借助韦达定理计算斜
率之积可得直线l中参数关系，即可得其定点.
【详解】（1）因为虚轴长为 ，所以 ，
将 的坐标代入方程 ，得 ，解得 ，故 的方程为 .
（2）设 ，直线AP的斜率为 ，直线BP的斜率为 ．
当直线 的斜率不存在时，设 ，联立 得 ，
即 ，
由 ，得 ，解得 （舍去）或 （舍去），
所以直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
代入 的方程得 ，
则 ，
由
，
可得 ，
即 ，
化简得 ，即 ，
所以 或 ，
当 时，直线 的方程为 ，直线 过点 ，
与条件矛盾，舍去；
当 时，直线 的方程为 ，直线 过定点
【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，
即确定题目中核心变量（通常为变量 ）；②利用条件找到 过定点的曲线 之间
的关系，得到关于 与 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐
标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探
索出定点，再证明该定点与变量无关.
5．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知抛物线 的焦点为 ， 为原
点，第一象限内的点 在 上， ，且 的面积为 .
(1)求 的方程；
(2)若 ， 是 上与 不重合的两动点，且 ，求证：直线 过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据 ，可得 ，由面积公式即可求出 ，从而得到抛物
线方程；
（2）设直线 的方程为： ， ， ，联立方程结合韦达定理可得
， ，
由 ，利用向量关系化简可得： ，从而得到 ， 的关系，
即可证明.
【详解】（1）由题可得 ，由 ，可得 的横坐标为 ，
因为点 在第一象限内，则 ，
所以 ，解得： ，
所以抛物线方程为
（2）由(1)可得： ， ，显然直线 的斜率不为0，设直线 的方程为： ， ， ，
所以 ，
联立方程 ，可得： ，
所以 ，即 ， ， ，
因为 ，所以 ，
则 ，
化简得： ，
则 ，
所以 ，
解得： ，或 ，
当 时，即 ，且 ，
所以 ，所以直线 过定点为 ，
当 时，即 ，且 ，
所以 ，所以直线 过定点为 ，即点 ，
不满足题意，舍去；
综上：直线 过定点为
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的
一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线
系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的
解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式
或横截式 来证明.6．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知 为坐标原点， 是抛物线 上
与点 不重合的任意一点．
(1)设抛物线 的焦点为 ，若以 为圆心， 为半径的圆 交 的准线 于 两
点，且 的面积为 ，求圆 的方程；
(2)若 是拋物线 上的另外一点，非零向量 满足 ，证明：直线
必经过一个定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出 ，点 到准线 的距离 ，利用 求出 可得答
案；
（2）方法一，对 两边平方得 ，设 ，
设直线 的方程为 ，结合抛物线方程得 ，再由
可得答案；方法二，对 两边平方得 ，设
，设直线 的方程为 与抛物线方程联立，利用韦达定理结合
可得答案.
【详解】（1）准线 为 到 的距离是 ．由对称性知，
是等腰直角三角形，斜边 ，
点 到准线 的距离 ，
，解得 ，
故圆 的方程为 ；
（2）方法一，因为 ，
所以 ，
所以 ，
设 在抛物线 上，
则 ．
显然直线 的斜率存在，则直线 的方程为 ，
将 代入得， ，
即 ，
令 ，得 ，
由 得， ，
因为 （否则， 有一个为零向量），
所以 ，代入 式可得 ，
故直线 经过定点 ．
方法二，因为 ，所以 ，
设 在拋物线 上，
则 ，
显然直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
联立 消去 得到，
，
由 得， ，
因为 （否则， 有一个为零向量），
所以 ，即 ，
因此 就是 ．故直线 经过定点 ．
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，
特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，
再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为
所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
题型二：定值问题
1．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，已知椭圆系方程 ： （
， ）， 、 是椭圆 的焦点， 是椭圆 上一点，且 ．
(1)求 的离心率，求出 的方程．
(2)P为椭圆 上任意一点，过P且与椭圆 相切的直线l与椭圆 交于M、N两点，点P
关于原点的对称点为Q，求证： 的面积为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据椭圆 ， ， ，求得a，b，进而得到椭圆
的方程求解；
（2）作伸缩变换 ，使椭圆 变为圆 ，椭圆 变为圆 ，
由题意得到 ，再由点P关于原点的对称点为Q， 求解.
【详解】（1）解：椭圆 的方程为 ，即 ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，即 ．
又 ，∴ ， ，
∴椭圆 的方程为 ．
∴ 的离心率 ，
椭圆 的方程为 ．
（2）作伸缩变换 ，
则椭圆 变为圆 ，椭圆 变为圆 ．
如图所示．
∵直线MN与椭圆 相切于点P，则变换后直线 与圆 相切于点 ，此时
．
而 ， ，则 ，
从而 ，
故 ，于是 ．
又点P关于原点的对称点为Q，则 ，
即 的面积为定值 ．
【点睛】方法点睛：本题第二问通过作伸缩变换 ，将椭圆问题转化为圆的问题，
易得 ，再利用对称性，由 而得解.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，过 轴上
一点 作一直线 ，与椭圆交于 两点（异于 ），直线 和 的交点为
，记直线 和 的斜率分别为 ，求 的值．【答案】
【分析】法一：首先利用三点共线表示点 的横坐标，并利用方程联立，得出 两点坐
标关系，代入 ，即可求值.
法二：由题意可得点N在 关于椭圆的极线 上，设 ，再利用斜率公
式计算即可得出结论.
【详解】解法一：由题意设直线 的方程： ， ， ， ，
由 和 三点共线可知 ，
解得
， ，（*）
联立 ，得 ，
，
，
代入（*）得 ，
， ， .
解法二：∵A，P，Q，B是椭圆上的四点，直线AB与PQ相交于点M，
直线AP与BQ相交于点N，
则点N在 关于椭圆的极线 上，设 ，
则 ，∴ .【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知 是双曲线 的左右焦点，
，点 在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线 与双曲线相切与于点 ，与双曲线的两条渐近线分别相交于 两点，当点
在双曲线上运动时， 的值是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，定值为3
【分析】（1）由题意可得 ，即有 ，又点 在双曲线上，代入双曲
线的方程，解方程可得 ，进而得到双曲线的方程；
（2）讨论 为双曲线的顶点，即切线的斜率不存在，求得 的坐标，可得
；再设 ，且切线的斜率存在，代入双曲线的方程，求导可得切线的斜率和方程，联
立渐近线方程求得 的坐标，再由向量数量积的坐标表示，计算即可得到所求定值.
【详解】（1）由题意可得 ，即 ，即有 ，
又点 在双曲线上，可得 ，解得 ，
即有双曲线的方程为 .
（2）假设 为双曲线的顶点，设 ，切线为 ，
代入双曲线的渐近线方程 ，可得 ，
即有 ；
设 ，且切线的斜率存在，且有 ，
对双曲线的方程两边对x求导，可得 ，求得切线的斜率为 ，切线的方程为 ，
化为 ，
联立渐近线方程 ，可得 ，
即有 .
则当点 在双曲线上运动时， 的值为定值3.
【点睛】方法点睛：定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变
量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
4．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线 ： 的离心率为 ，点
在双曲线 上．过 的左焦点F作直线 交 的左支于A、B两点．
(1)求双曲线 的方程．
(2)若 ，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在出直线l
的方程；若不存在，说明理由．
(3)点 ，直线 交直线 于点 ．设直线 、 的斜率分别 、 ，求
证： 为定值．
【答案】(1) ；
(2)不存在，理由见解析；
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意列式求 ，进而可得双曲线方程；
（2）设 ，联立方程，利用韦达定理判断 是否为零
即可；
（3）用 两点坐标表示出直线 ，得点 坐标，表示出 ，结合韦达定理，证明
为定值．
【详解】（1）由双曲线 的离心率为 ，且 在双曲线 上，
可得 ，解得 ，所以双曲线的方程为 ．（2）双曲线 的左焦点为 ，
当直线 的斜率为0时，此时直线为 ，与双曲线 左支只有一个交点，不符合题意，
当直线 的斜率不为0时，设 ，
由 ，消去 得 ，
显然 ， ，
设 ，则 ，得 ，
于是 ，
，
即 ，因此 与 不垂直，
所以不存在直线 ，使得点 在以 为直径的圆上．
（3）由直线 ，得 ，
则 ，又 ，
于是
，
而 ，即有 ，且 ，
所以 ，即 为定值．
【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定
值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
5．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线 经过点 ，直线 与抛
物线 有两个不同的交点 ，直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ．
(1)若直线 过点 ，求直线 的斜率 的取值范围；
(2)若直线 过抛物线 的焦点 ，交 轴于点 ，求 的值；
(3)若直线 过点 ，设 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）由题意易得直线斜率存在且不为 ，且直线 、 斜率存在，设出直线方
程，并联立抛物线方程，根据交点有两个，得出 ，解不等式即可得直线斜率的范围.
（2）设直线 的方程为： 联立直线与抛物线的方程得出点 纵坐标之
间的关系，再由 ， ，得出 、 与点 坐标之间的关系，对
化简可求得 的值.
（3）根据 ， ，得出 、 与点 坐标之间的关系，再根据
在同一直线上， 在同一直线上，得出 ， 与点 坐标之间的关系，根据
（1）中联立所得的方程得出点 横坐标之间的关系，对原式进行化简，即可得 的
值.
【详解】（1）因为抛物线 经过点 ，所以 ，所以 ，
所以抛物线 的解析式为 ．
又因为直线 过点 ，且直线 与抛物线 有两个不同的交点．
易知直线 斜率存在且不为 ，故可设直线 的方程式为 .
根据题意可知直线 不能过点 ，所以直线 的斜率 .若直线 与抛物线的一个交点为 ，此时该点与点 所在的直线斜率不存在，
则该直线与 轴无交点，与题目条件矛盾，
此时 ，所以直线 斜率 .
联立方程 ，得 ，
因为直线 与抛物线有两个不同交点，所以 ，所以 ．
故直线 的斜率 的取值范围是 且 且 .
即率 的取值范围是 .
（2）如图所示
设直线 的方程为： 由 ，得 ，
设 ， ，
则 ，∵ ， ，
， ，
∴ ， ，∴
，
.
（3）如图所示设点 ， ，则 ， ，
因为 ，所以 ，故 ，由 得 ，
设 ， ，
直线 方程为 ，
令 ，得 ①，由直线 可得 ②，
因为 ③，
将①②代入③可得，
，
又由根与系数的关系： ， ，
所以 ，
所以 .
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，注意 的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.6．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知抛物线 经过点
中的两个点， 为坐标原点， 为焦点.
(1)求抛物线 的方程；
(2)过 且倾斜角为 的直线交 于 两点， 在第一象限，求 的值；
(3)过点 的直线 与抛物线 交于 两点，直线 分别交直线 于 两
点，记直线 的斜率分别为 ，证明： 为定值.
【答案】(1)
(2)3
(3)证明见解析
【分析】（1）根据抛物线的对称性，确定抛物线经过的点，从而求出其方程；
（2）利用抛物线的定义分别求出 和 ，计算即得；
（3）依题设 ，将其与抛物线方程联立，写出韦达定理，分别求出点 的坐
标，求得 的表示式，化简 ，消元并代入韦达定理计算即得.
【详解】（1）因为抛物线 关于 轴对称，
所以必过 中的 两点，
代入可得 ，解得 ，所以拋物线 的方程为 .
（2）
如图1，过点 作抛物线准线的垂线，垂足为 ，
由抛物线定义可得 ，又 ，解得 ，
同理 ，解得 ，故 .
（3）如图2，设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，显然 ，所以 ，
直线 方程为 ，令 ，得点 的纵坐标 ，即 ，
同理可得 ，故可得 .
于是 ，即 是定值.
【点睛】思路点睛：本题主要考查抛物线定义的应用和与之相关的定值问题.
对于与抛物线的焦半径，焦点弦有关的题型，一般考虑运用抛物线定义求解；对于定值问
题，一般思路是设直线方程，与抛物线方程联立，得韦达定理，消元代入求解.
题型三：定直线问题
1．（23-24高三下·上海·开学考试）已知椭圆 的离心率为 ，左右
焦点分别为 ， 是椭圆上一点， ， ．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点 的直线与椭圆交于 两点， 为线段 中点．
（i）求证： 点轨迹方程为 ；
（ii） 为坐标原点，射线 与椭圆交于点 ，点 为直线 上一动点，且
，求证：点 在定直线上．
【答案】(1) ；(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的焦点三角形，即可结合余弦定理求解 ，
（2）（i）联立直线与椭圆的方程可得韦达定理，即可根据中点坐标公式可得
，从而即可得证；（ii）进一步根据向量的坐标运算即可得证.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为 ，所以 ，解得 .
因为 ， ， .
在 中，由余弦定理得 ，
解得 ，则 ，故椭圆的方程为 ；
（2）（i）
当直线 的斜率存在且不为0时，不妨设直线 的方程为 ，
联立 得 .
因 在椭圆内，所以直线 必与椭圆相交.
设 ，由韦达定理得 ，
所以 .
因为 为线段 中点，
所以 ，此时 ，则 .要证 ，只需证明 ，
而 ，
所以 点轨迹方程为 ；
（ii）联立 得 ，则 .
不妨设 ，所以 ， .
不妨设 ，由 得
，
即 .
因为 ， ，
所以 .
∵ ，所以 ，即 ，
则 点在定直线 上.
当直线 斜率为0时， 轴，此时 , .
因为 ，所以 ，则 ，
故 点在定直线 上；
当直线 无斜率时，此时直线 方程为 ，易知 轴，
所以点 在 轴上，则 .
∵ ，所以 ，即 ，则 点在定直线 上.
综上可得： 点在定直线 上.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无
关.
技巧：若直线方程为 ,则直线过定点 ；若直线方程为 ( 为
定值),则直线过定点
2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆 的离心率为 ， ，
分别为 的上、下顶点， 为坐标原点，直线 与 交于不同的两点 ， ．
(1)设点 为线段 的中点，证明：直线 与直线 的斜率之积为定值；
(2)若 ，证明：直线 与直线 的交点 在定直线上．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）设 ， ，由中点坐标公式和斜率公式，结合点差法证明定
值.
（2）由题意求出椭圆方程，与直线方程联立，韦达定理表示根与系数的关系，联立直线
与直线 的方程，化简可求得交点在定直线上．
【详解】（1）设 ， ，则 ．
由 两式相减得 ，即 ．
所以 ．
（2）解法一：
由 解得 所以椭圆 的方程为 ．
将直线的方程 代入椭圆 的方程 ，化简整理得
．①由 ，解得 ．
由韦达定理，得 ， ．②
设 ， ，
则直线 的方程为 ，③
直线 的方程为 ，④
由③④两式解得
，
即 ，所以直线 与直线 的交点 在定直线 上．
解法二：
设直线 （即直线 ）与直线 （ 轴）的交点为 ，直线 与直线
的交点为 ，
则点 ， ， 构成椭圆 的自极三点形，点 一定在点 对应的极线 上，其方
程为 ，即 ，
就是说直线 与直线 的交点 在定直线 上．
【点睛】方法点睛：
解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方
程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线
方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直
线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜
率、三角形的面积等问题．
3．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知A，B分别是双曲线 的
左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为 ，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知过点 的直线 ，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上.
【答案】(1)
(2)（i） 或 ；（ii）证明见解析
【分析】（1）由已知条件去设点的坐标，表示斜率之积，通过点在双曲线上，代入并消元
一个变量，即可得到 ，从而求出双曲线方程；
（2）（i）利用过点 的直线与双曲线的左右两支相交，必满足 ,从而去求出
的取值范围；
（ii）先用交点 坐标去表示直线 的方程，然后猜想交点 的横坐标为定值，所
以消去纵坐标得到关于交点 的横坐标的表达式，最后利用韦达定理代入化简，可得定
值，即问题可得证.
【详解】（1）
由题意可知 ，
因为 ，所以 .
设 ，则 ，所以 ，
又 ，
所以 .所以双曲线C的方程为 .
（2）（i）由题意知直线l的方程为 .
联立 ，化简得 ，
因为直线l与双曲线左右两支相交，所以 ，
即 满足： ，
所以 或 ；
（ii） ，
直线AD的方程为
直线BE的方程为 .
联立直线AD与BE的方程，得 ，
所以 ，
所以 ，
所以.
所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线 上.
4．（2024高三下·河南·专题练习）动点 与定点 的距离和它到定直线
的距离的比是2，记动点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)过 的直线 与 交于 两点，且 ，若点 满足 ，
证明：点 在一条定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意列等式，然后化简即可得到 的方程；
（2）分斜率为0和不为0两种情况考虑，当直线 的斜率为0时得到 ，当直线
的斜率不为0时，联立直线和双曲线方程，结合韦达定理和 得到点 在定直
线 上，又 也在直线 上，即可证明点 在一条定直线上.
【详解】（1）由题意知 ，所以 ，
所以 ，
化简得， 的方程为 .
（2）依题意，设 ，
①当直线 的斜率为0时，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，从而 ，
则 ，即 ，解得 ，即 .
②当直线 的斜率不为0时，设 的方程为 ，
由 消去 ，得 ，
则 且 ，
因为 ，所以 ，
消去 ，得 ，
所以 ，
从而 ，
又 也在直线 上.
综上，点 在直线 上.
【点睛】方法点睛：求解动点在定直线上的方法：
（1）先猜后证：现根据特殊情况猜想，然后证明；
（2）参数法：用题目中参数表示动点的横纵坐标，然后消参，即可得到直线方程.
5．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知抛物线 的焦点 关于直线的对称点为 ．
(1)求 的方程；
(2)若 为坐标原点，过焦点 且斜率为1的直线 交 于 两点，求 ；
(3)过点 的动直线 交 于不同的 两点， 为线段 上一点，且满足
，证明：点 在某定直线上，并求出该定直线的方程．
【答案】(1) ；
(2)8；
(3)证明见解析，
【分析】（1）由焦点关于直线 的对称点为 即可求得p值，则抛物线方程可
求；
（2）联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理以及过抛物线焦点的弦长公式即可求解；
（3）设直线 的方程为 ，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理化简
，分析可得 ，则定直线方程可求.
【详解】（1）抛物线 的焦点 关于直线 的对称点为
，于是 ，解得： ，
所以抛物线 的方程为 ．
（2）由（1）知 ，直线 的方程为 ，设 ，
由 消去 得： ，
则 ，
所以 ．
（3）由题意可得直线 的斜率存在．设直线 的方程为 ，
代人抛物线方程，整理得 或
．
设 ，则 ，
由 ，
得 ，化简得 ，
当 时，因 ，化简得 ，与直线 的斜率存在矛
盾，不合题意；
当 时，
化简得 ．
即
化简得 ，
又 ，所以 ，
化简得 ，
所以点 在直线 上．
【点睛】
方法点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设出直线方程，再与圆锥曲
线方程联立，利用韦达定理并结合已知推理求解.
6．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点 ， ， 和动点 满足 是
， 的等差中项．
(1)求 点的轨迹方程；
(2)设 点的轨迹为曲线 按向量 平移后得到曲线 ，曲线 上不同的两点
M，N的连线交 轴于点 ，如果 （ 为坐标原点）为锐角，求实数 的取值
范围；
(3)在（2）的条件下，如果 时，曲线 在点 和 处的切线的交点为 ，求证：
在一条定直线上．【答案】(1) ；
(2) 或 ；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据题意，由平面向量的坐标运算，结合等差中项的定义代入计算，即可得
到结果；
（2）根据题意，由平移公式可得曲线 的方程，然后与直线 的方程联立，由平面向
量的夹角公式，代入计算，即可得到结果；
（3）根据题意，求导可得在点 处的切线方程，联立两条切线方程，代入计算，即可
得到结果.
【详解】（1）由题意可得 ， ， ，
则 ，
，
又 是 ， 的等差中项，
，
整理得点 的轨迹方程为 ．
（2）
由（1）知 ，
又 ， 平移公式为 即 ，
代入曲线 的方程得到曲线 的方程为： ，
即 ．
曲线 的方程为 ．
如图由题意可设M，N所在的直线方程为 ，由 消去 得 ，
令 ， ，则 ，
， ，
又 为锐角， ，即 ，
，又 ，
，得 或 ．
（3）当 时，由（2）可得 ，对 求导可得 ，
抛物线 在点，
， 处的切线的斜率分别为 ，
，
在点M，N处的切线方程分别为 ， ，
由 ，解得交点 的坐标 ．
满足 即 ， 点在定直线 上．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了曲线的轨迹方程问题以及切线问题，难度较大，解
答本题的关键在于联立方程结合韦达定理计算以及转化为坐标运算.
三、专项训练
1．（2024高三·全国·专题练习）椭圆 经过点 ，且离心率
．
(1)求椭圆的方程；
(2)设 是直线 上任意一点， 是经过椭圆右焦点 的一条弦（不经过点 ）．记直
线 ， ， 的斜率依次为 ， ， ，问是否存在常数 ，使得 ？若存
在，求 的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的离心率及椭圆过点 ，可列方程，解方程即可；
（2）易知直线 斜率一定存在，设 ，当直线 斜率为 时，分别表示 ， ，
，可得 成立，当直线 与 轴不重合时，设直线 ，联立直线与
椭圆，结合韦达定理，分别表示 ， ， ，即可得 .
【详解】（1）由椭圆离心率 ，则 ，即 ，
所以椭圆方程为 ，
又椭圆过点 ，则 ，解得 ， ，
所以椭圆方程为 .
（2）由已知 ， 经过椭圆右焦点 ，不经过点 ，
可知直线 的斜率一定存在，设 ，
当直线 斜率为 时， ， ，
则 ， ， ，
此时 ，
当直线 斜率不为 时，
如图，设直线 的方程为 ，点 ， ，联立直线与椭圆 ，得 ， ，
则 ， ，
设 ， ，于是 ，即 ．
又 ，则 ，
，
综上所述存在常数 ，使得 ．
【点睛】方法点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x
（或y）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量
的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情
形．
2．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：
，F是椭圆的右焦点且椭圆C与圆M： 外切，又与圆
N： 外切．
(1)求椭圆C的方程．
(2)已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，A在x轴的上方，连接AF，BF并分别延长
交椭圆C于D，E两点，证明：直线DE过定点．
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【分析】（1）求出两圆的圆心和半径，再求出圆与坐标轴的交点，结合题意可得 ，从
而可求得椭圆方程；
（2）设 ，由 三点共线，可得
，再结合 均在椭圆上，可得 ，从而可表示出
，同理表示出 ，然后表示出直线 的方程，化简可得结论.
【详解】（1）由题意得圆 圆心 ，半径为4，过点 ，
和椭圆 外切，切点必为 ，故 ，
圆 圆心 ，半径为 ，过点 ，
和椭圆 外切，切点必为 ，故 ，
故椭圆C的方程为 ；
（2）设 ，
∵ 三点共线，又 ，
则 ，即 （★），
又∵点 均在椭圆上，则 ，可变形为 ，代入 中，
整理可得 ，结合（★）式得 （✰），
★✰式联立解得 ，
同理可得 ，
∴直线 的方程为 ，
即 ，又
，
，
∴直线DE的方程 ，
故直线DE过定点 ．
【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中直
线过定点问题，第（2）问解题的关键是由三点共线，利用向量知识表示出坐标之间的关
系，再结合点在椭圆上求解，考查数形结合的思想和计算能力，属于难题.
3．（23-24高二下·山西运城·期中）已知A，B分别是双曲线 的左、
右顶点， 是 上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为 ，且 .
(1)求双曲线 的方程;
(2)已知过点 的直线 交 于 两点（异于A，B），直线 与直线 交于点 .求
证:点 在定直线上.
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由 可求 ，利用两点斜率公式表示 ，由条件列方程求 ，由此
可得双曲线方程；
（2）设 的方程为 ， ，利用设而不求法可得 ，
求直线直线 与直线 的交点坐标，由此证明结论.
【详解】（1）由题意可知 ，
因为 ，所以 .
设 ，则 ，所以 ，又 ，
所以 .
所以双曲线 的方程为 .
（2）若直线 的斜率为 ，则直线 与双曲线交于点 ，与条件矛盾，
所以直线 的斜率不能为0，
设 的方程为 .
联立 ，化简得
所以 ，所以 ，
，
直线AD的方程为 ，
直线BE的方程为 .
联立直线AD与BE的方程，得 ，
所以 ，
所以 ，
所以.
所以点 的横坐标始终为1，故点 在定直线 上.
【点睛】方法点睛：（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去
x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的
等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情
形．
4．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）设抛物线 的焦点为 ，点
，过点 且斜率存在的直线交 于不同的 两点，当直线 垂直于 轴时，
.
(1)求 的方程；
(2)设直线 与 的另一个交点分别为 ，设直线 的斜率分别为 ，证
明：
（ⅰ） 为定值；
（ⅱ）直线 恒过定点.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）由抛物线得定义求解抛物线的方程即可.
（2）（ⅰ）利用韦达定理求解出 ，
（ⅱ）通过韦达定理将直线化简成 ，求出直线过定点.
【详解】（1）由焦半径公式知： ， ，的方程为： .
（2）由（1）知： ，
可设直线 方程为： ，设 则
直线 方程为：
联立
，将 代入 得 ，
，同理：
（ⅰ） ，
（ⅱ）直线 的方程为：
由 得： 即 ，
，
直线 的方程为： ，
直线 恒过定点 .
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是写出直线 的方程，再代入韦达定理式化简
即可.
5．（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知点 ，圆 ，点 是
圆 上的任意一点.动圆 过点 ，且与 相切，点 的轨迹为曲线 .(1)求曲线 的方程；
(2)若与 轴不垂直的直线 与曲线 交于 、 两点，点 为 与 轴的交点，且
，若在 轴上存在异于点 的一点 ，使得 为定值，求点 的坐
标；
(3)过点 的直线与曲线 交于 、 两点，且曲线 在 、 两点处的切线交于点 ，
证明： 在定直线上.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）分析可知，点 的轨迹是以 为焦点的抛物线，即可得出曲线 的方
程；
（2）设 、 ，设直线 的方程为 ，将直线 的方程与抛物
线方程联立，列出韦达定理，根据 求出 的值，可得出点 的坐标，设
、 ，则 ，利用平面内两点间的距离公式结合 为定
值，可求得 的值，即可得出点 的坐标；
（3）设直线 的方程为 ，设 、 ，将直线 的方程与抛物线的
方程联立，列出韦达定理，写出抛物线在点 、 的切线方程，联立两切线方程，求出点
的坐标，即可证得结论成立.
【详解】（1）解：由题意知，点 到点 的距离和它到直线 的距离相等，
所以，点 的轨迹是以 为焦点的抛物线，所以 的方程为 ，
（2）解：设 、 ，设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，得 ， ，可得 ，所以 ①， ②
，
即 ，
将①②代入得 ，因为 ，所以 ，所以点 的坐标为 ，
设 、 ，则 ，
使 为定值，需满足 ，即 ，
因为 ，所以 ，则 ，所以点 坐标为 .
（3）解：设直线 的方程为 ，设 、 ，
联立方程组 得 ，则 ，可得 ，
则 ③， ④，
接下来证明出抛物线 在点 处的切线方程为 ，联立 ，可得 ，即 ，
，
又因为 ，即点 在直线 上，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，
同理可得曲线 在点 处的切线方程为 ，
联立 ，解得 ，
则 ，所以点 的坐标为 ，
所以点 在定直线 上.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
