文档内容
专题 04 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
三、定直线问题...................................................................................2
二、典型题型.......................................................................................2
题型一：定点问题..........................................................................2
题型二：定值问题..........................................................................5
题型三：定直线问题......................................................................8
三、专项训练.....................................................................................11
一、必备秘籍
一、定点问题
1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量 ， 视作
常数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参
数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 ， 的方程组，这个方程组的解所确定
的点就是直线或曲线所过的定点．
2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究
变化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情
况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
二、定值问题
1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜
率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始
终是一个确定的值．常见定值问题的处理方法：
（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示
（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能
否得到一个常数.
2. 定值问题的处理技巧：
学科网（北京）股份有限公司（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进
而给后面一般情况的处理提供一个方向.
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢
（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运
算
三、定直线问题
定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为
求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．
二、典型题型
题型一：定点问题
1．（2024高三·全国·专题练习）如图，四边形ABCD是椭圆 的内接四边形，直
线AB经过左焦点 ，直线AC，BD交于右焦点 ，直线AB与直线CD的斜率分别为
．
(1)求证： 为定值；
(2)求证：直线CD过定点，并求出该定点的坐标．
学科网（北京）股份有限公司2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为
， ，过 的直线l与椭圆C交于P，Q两点， 的周长为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，点A， 分别是椭圆C的左顶点、左焦点，直线m与椭圆C交于不同的两点M，
N（M，N都在x轴上方）．且 ．证明直线m过定点，并求出该定点的坐
标．
3．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知双曲线 的焦距为 ，点
在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线 与C的右支交于 两点，点 与点 关于 轴对称， 点在 轴上的
投影为 .
①求 的取值范围；
②求证：直线 过点 ．
学科网（北京）股份有限公司4．（2024·青海海南·二模）已知双曲线 的虚轴长为 ，点
在 上.设直线 与 交于A，B两点（异于点P），直线AP与BP的斜率之积为 .
(1)求 的方程；
(2)证明：直线 的斜率存在，且直线 过定点.
5．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知抛物线 的焦点为 ， 为原
点，第一象限内的点 在 上， ，且 的面积为 .
(1)求 的方程；
(2)若 ， 是 上与 不重合的两动点，且 ，求证：直线 过定点.
学科网（北京）股份有限公司6．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知 为坐标原点， 是抛物线 上
与点 不重合的任意一点．
(1)设抛物线 的焦点为 ，若以 为圆心， 为半径的圆 交 的准线 于 两
点，且 的面积为 ，求圆 的方程；
(2)若 是拋物线 上的另外一点，非零向量 满足 ，证明：直线
必经过一个定点．
题型二：定值问题
1．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，已知椭圆系方程 ： （
， ）， 、 是椭圆 的焦点， 是椭圆 上一点，且 ．
(1)求 的离心率，求出 的方程．
学科网（北京）股份有限公司(2)P为椭圆 上任意一点，过P且与椭圆 相切的直线l与椭圆 交于M、N两点，点P
关于原点的对称点为Q，求证： 的面积为定值．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，过 轴上
一点 作一直线 ，与椭圆交于 两点（异于 ），直线 和 的交点为
，记直线 和 的斜率分别为 ，求 的值．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知 是双曲线 的左右焦点，
，点 在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线 与双曲线相切与于点 ，与双曲线的两条渐近线分别相交于 两点，当点
在双曲线上运动时， 的值是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由.
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线 ： 的离心率为 ，点
在双曲线 上．过 的左焦点F作直线 交 的左支于A、B两点．
(1)求双曲线 的方程．
(2)若 ，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在出直线l
的方程；若不存在，说明理由．
(3)点 ，直线 交直线 于点 ．设直线 、 的斜率分别 、 ，求
证： 为定值．
5．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线 经过点 ，直线 与抛
物线 有两个不同的交点 ，直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ．
(1)若直线 过点 ，求直线 的斜率 的取值范围；
(2)若直线 过抛物线 的焦点 ，交 轴于点 ，求 的值；
(3)若直线 过点 ，设 ，求 的值．
学科网（北京）股份有限公司6．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知抛物线 经过点
中的两个点， 为坐标原点， 为焦点.
(1)求抛物线 的方程；
(2)过 且倾斜角为 的直线交 于 两点， 在第一象限，求 的值；
(3)过点 的直线 与抛物线 交于 两点，直线 分别交直线 于 两
点，记直线 的斜率分别为 ，证明： 为定值.
题型三：定直线问题
1．（23-24高三下·上海·开学考试）已知椭圆 的离心率为 ，左右
焦点分别为 ， 是椭圆上一点， ， ．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点 的直线与椭圆交于 两点， 为线段 中点．
学科网（北京）股份有限公司（i）求证： 点轨迹方程为 ；
（ii） 为坐标原点，射线 与椭圆交于点 ，点 为直线 上一动点，且
，求证：点 在定直线上．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆 的离心率为 ， ，
分别为 的上、下顶点， 为坐标原点，直线 与 交于不同的两点 ， ．
(1)设点 为线段 的中点，证明：直线 与直线 的斜率之积为定值；
(2)若 ，证明：直线 与直线 的交点 在定直线上．
3．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知A，B分别是双曲线 的
左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为 ，且
.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知过点 的直线 ，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上.
学科网（北京）股份有限公司4．（2024高三下·河南·专题练习）动点 与定点 的距离和它到定直线
的距离的比是2，记动点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)过 的直线 与 交于 两点，且 ，若点 满足 ，
证明：点 在一条定直线上.
5．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知抛物线 的焦点 关于直线
的对称点为 ．
(1)求 的方程；
(2)若 为坐标原点，过焦点 且斜率为1的直线 交 于 两点，求 ；
(3)过点 的动直线 交 于不同的 两点， 为线段 上一点，且满足
，证明：点 在某定直线上，并求出该定直线的方程．
学科网（北京）股份有限公司6．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点 ， ， 和动点 满足 是
， 的等差中项．
(1)求 点的轨迹方程；
(2)设 点的轨迹为曲线 按向量 平移后得到曲线 ，曲线 上不同的两点
M，N的连线交 轴于点 ，如果 （ 为坐标原点）为锐角，求实数 的取值
范围；
(3)在（2）的条件下，如果 时，曲线 在点 和 处的切线的交点为 ，求证：
在一条定直线上．
学科网（北京）股份有限公司三、专项训练
1．（2024高三·全国·专题练习）椭圆 经过点 ，且离心率
．
(1)求椭圆的方程；
(2)设 是直线 上任意一点， 是经过椭圆右焦点 的一条弦（不经过点 ）．记直
线 ， ， 的斜率依次为 ， ， ，问是否存在常数 ，使得 ？若存
在，求 的值；若不存在，说明理由．
2．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：
，F是椭圆的右焦点且椭圆C与圆M： 外切，又与圆
N： 外切．
学科网（北京）股份有限公司(1)求椭圆C的方程．
(2)已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，A在x轴的上方，连接AF，BF并分别延长
交椭圆C于D，E两点，证明：直线DE过定点．
3．（23-24高二下·山西运城·期中）已知A，B分别是双曲线 的左、
右顶点， 是 上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为 ，且 .
(1)求双曲线 的方程;
(2)已知过点 的直线 交 于 两点（异于A，B），直线 与直线 交于点 .求
证:点 在定直线上.
4．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）设抛物线 的焦点为 ，点
，过点 且斜率存在的直线交 于不同的 两点，当直线 垂直于 轴时，
.
学科网（北京）股份有限公司(1)求 的方程；
(2)设直线 与 的另一个交点分别为 ，设直线 的斜率分别为 ，证
明：
（ⅰ） 为定值；
（ⅱ）直线 恒过定点.
5．（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知点 ，圆 ，点 是
圆 上的任意一点.动圆 过点 ，且与 相切，点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)若与 轴不垂直的直线 与曲线 交于 、 两点，点 为 与 轴的交点，且
，若在 轴上存在异于点 的一点 ，使得 为定值，求点 的坐
标；
(3)过点 的直线与曲线 交于 、 两点，且曲线 在 、 两点处的切线交于点 ，
证明： 在定直线上.
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