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专题 04 基本不等式
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
一、基本不等式
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件： a >0 ， b >0 .
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2.基本不等式的证明
（1）.代数证法（2）.几何证法
如图，AB 是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE, 连接 AD,BD. 可
证△ACD~△DCB, 因而 CD=√ab. 由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为 显然，
当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，上述不等式的等号成立.
例 已知a,b,c 都是正数，证明：
证明：
二、几个重要不等式
1．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2 ab (a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
三、最值定理
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
理解基本不等式 。结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小
值的问题。利用基本不等式求最值是高考的重点内容，在选择题、填空题中常常出现。重点提升数学抽
象、逻辑推理和数学运算素养.
一、利用基本不等式求最值方法
方法1 配凑法
例1 (1)(2022·长沙模拟)设0<x<，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为( )
A. B．4
C. D．9
答案 C
解析 y＝4x(3－2x)＝2·2x·(3－2x)≤2·2＝.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号，
∴当x＝时，y ＝.
max
(2)若x<，则f(x)＝3x＋1＋有( )
A．最大值0 B．最小值9
C．最大值－3 D．最小值－3
答案 C
解析 ∵x<，∴3x－2<0，
f(x)＝3x－2＋＋3
＝－＋3
≤－2＋3＝－3.
当且仅当2－3x＝，即x＝－时取“＝”．
(3)(2022·天津模拟)函数y＝(x>－1)的最小值为________．
答案 9
解析 因为x>－1，则x＋1>0，
所以y＝
＝
＝(x＋1)＋＋5
≥2＋5＝9，
当且仅当x＋1＝，即x＝1时等号成立，所以函数的最小值为9.
方法2 常数代换法
例2 (2022·重庆模拟)已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值是( )
A．1 B．2
C. D.
答案 C
解析 因为a>0，b>0，且a＋b＝2，
所以＝1，
所以＋＝(a＋b)
＝
≥×
＝，
当且仅当a＝，b＝时，等号成立．
方法3 消元法
例3 (2022·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为_____．
答案 6
解析 方法一 (换元消元法)
由已知得9－(x＋3y)＝·x·3y≤·2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号．
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，
得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
方法二 (代入消元法)
由x＋3y＋xy＝9，得x＝，
所以x＋3y＝＋3y＝
＝＝
＝3(1＋y)＋－6≥2－6
＝12－6＝6，
当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号，
所以x＋3y的最小值为6.
延伸探究 本例条件不变，求xy的最大值．
解 方法一 9－xy＝x＋3y≥2，
∴9－xy≥2，
令＝t，
∴t>0，
∴9－t2≥2t，
即t2＋2t－9≤0，
解得0<t≤，
∴≤，∴xy≤3，
当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为3.
方法二 ∵x＝，
∴x·y＝·y＝
＝
＝－3(y＋1)－＋15≤－2＋15＝3.
当且仅当3(y＋1)＝，即y＝1，x＝3时取等号．∴xy的最大值为3.
思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是
消元法．
方法4 换元法
当所求最值的代数式中的变量关系复杂，变形方向难寻我时，可通过换元的方式发现新元的特点，进而利
用基本不等式求得最值．
例4
答案
方法5 多次应用基本不等式化简求最值
连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号的条件是否一致，若不能同时取等哈，则连续使用
基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当拆分或合并，直到取等号的条件一致.
例5
答案 4
提示b+（a-b）=a，[b+(a-b)]2=a2 [b+(a-b)]2≥4b（a-b）
二、恒（能）成立含参数的问题
①分离参数法：则常将参数分离后,利用最值转化法求解
三、利用基本不等式求解实际问题
(1)根据题意将待求最大值或最小值的变量定义为函数后,将实际问题抽象出函数的解析后,再将函数解析式
变形利用基本不等式求得函数的最值.
(2)在求函数的最值时,一定要在定义域内求解.
