文档内容
第 03 讲 基本不等式
（6 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析
余弦定理解三角形 用基底表示向量 用定义求向量的数量积 基本不等式
2023年天津卷，第14题,5分
求积的最大值
2021年天津卷，第13题,5分 基本不等式求和的最小值
2020年天津卷，第14题,5分 基本不等式求和的最小值
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度有高有低，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握基本等式的基本内容
2.能掌握基本不等式的解题方法
3.具备函数与基本不等式思想意识，会利用函数的性质与基本不等式解决最值问题
4.能够在基本不等式与其他知识点结合时，灵活运用基本不等式的解题方法
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般最值问题，考虑使用基本不等式
知识讲解
知识点.基本不等式
1．基本不等式的形式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小
于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)
考点一、直接法
1．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
4
A．y=x2+2x+4 B．y=|sinx|+
|sinx|
4
C．y=2x+22−x D．y=lnx+
lnx
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得
出B,D不符合题意，C符合题意．
【详解】对于A，y=x2+2x+4=(x+1) 2+3≥3，当且仅当x=−1时取等号，所以其最小值为3，A不符合
题意；
4
对于B，因为0<|sinx|≤1，y=|sinx|+ ≥2√4=4，当且仅当|sinx|=2时取等号，等号取不到，所
|sinx|
以其最小值不为4，B不符合题意；
4
对于C，因为函数定义域为R，而2x>0，y=2x+22−x=2x+ ≥2√4=4，当且仅当2x=2，即x=1时取等
2x
号，所以其最小值为4，C符合题意；
4
对于D，y=lnx+ ，函数定义域为(0,1)∪(1,+∞)，而lnx∈R且lnx≠0，如当lnx=−1，y=−5，
lnx
D不符合题意．
故选：C．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数
的性质即可解出．
1 a
2．（2021·天津·高考真题）若a>0,b>0，则 + +b的最小值为 ．
a b2
【答案】2√2
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】∵ a>0,b>0，
1 a √1 a 2 √2
∴ + +b≥2 ⋅ +b= +b≥2 ⋅b=2√2，
a b2 a b2 b b
1 a 2
当且仅当 = 且 =b，即a=b=√2时等号成立，
a b2 b
1 a
所以
+ +b的最小值为2√2.
a b2
故答案为：2√2.
x2 y2
1.（2024·宁夏银川·二模）已知 A(3,0),B(−3,0)，P 是椭圆 + =1上的任意一点，则
25 16
|PA|⋅|PB|的最大值为 .
【答案】25
【分析】先根据条件得|PA|+|PB|=10，再利用基本不等式求最值.
x2 y2
【详解】由已知可得A(3,0),B(−3,0)为椭圆 + =1的焦点，
25 16
根据椭圆定义知|PA|+|PB|=10，
(
|PA|+|PB|
)
2
所以|PA|⋅|PB|≤ =25，
2
当且仅当|PA|=|PB|=5时等号成立，
故|PA|⋅|PB|的最大值为25.
故答案为：25.
7
2.（2024·甘肃定西·一模）x2+ +√7的最小值为（
）
x2
A．2√7 B．3√7 C．4√7 D．5√7
【答案】B
【分析】利用基本不等式即可得解.
7
【详解】由题意知x≠0，所以x2>0, >0，
x27 √ 7
所以x2+ +√7≥2 x2 ⋅ +√7=3√7.
x2 x2
7
当且仅当x2= ，即x2=√7时，等号成立.
x2
故选：B.
3.（2024·全国·模拟预测）若x>0,y>0,3x+2y=1，则8x+4y的最小值为（ ）
A．√2 B．2√2 C．3√2 D．4√2
【答案】B
【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】8x+4y=23x+22y≥2√23x ⋅22y=2√23x+2y=2√2，
1 1
当且仅当23x=22y且3x+2y=1，即x= ,y= 时等号成立，
6 4
故选：B.
4.（2024·重庆·模拟预测）若实数a，b满足ab=2， 则 a2+2b2的最小值为（ ）
A．2 B．2√2 C．4 D．4√2
【答案】D
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】a2+2b2≥2√2a2b2=2√2×22=4√2，
当且仅当a2=2b2时，等号成立.
故选：D.
5.（2024·安徽·模拟预测）若a>0，b>0，则“√a+√b≤2”是“a+b≤1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】借助充分条件与必要条件的定义，先借助特值排除充分性，再借助基本不等式验证必要性即可得.
【详解】当a=b=1时，√a+√b≤2成立，而a+b≤1不成立，
故“√a+√b≤2”不是“a+b≤1”的充分条件；
当a+b≤1时，有a+b≥2√ab，当且仅当a=b时等号成立，
则√a+√b=√(√a+√b) 2=√a+b+2√ab≤√2(a+b)=√2≤2，
故“√a+√b≤2”是“a+b≤1”的必要条件.
故选：B.
6.（2024·四川成都·三模）若正实数a,b满足a2+b2=m，则a+b的最大值为 （用m表示）．
【答案】√2m
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得.
【详解】因为a,b是正实数，a2+b2=m，所以(a+b) 2=a2+b2+2ab≤a2+b2+(a2+b2 )=2m，
√2m
当且仅当a=b= 时取等号，于是a+b≤√2m，
2所以a+b的最大值为√2m.
故答案为：√2m
考点二、 配凑法
1
1.（2024高三·全国·专题练习）若函数f (x)=x+ (x>3)在x=a处取最小值，则a= ．
x−3
【答案】4
1
【分析】利用配凑法可得f (x)=x−3+ +3，结合基本不等式计算即可求解.
x−3
1 1 √ 1
【详解】f (x)=x+ =x−3+ +3≥2 (x−3)⋅ +3=5，
x−3 x−3 x−3
1
当且仅当x−3= 即x=4时取等号，
x−3
即x=4时取最小值，故a=4．
故答案为：4
4
2.（2022·重庆·模拟预测）已知x>0，则2x+ 的最小值为 .
2x+1
【答案】3
4
【分析】将原式变形为2x+1+ −1，然后利用基本不等式求最小值.
2x+1
4 4 √ 4 1
【详解】解：2x+ =2x+1+ −1≥2 (2x+1)⋅ −1=3，当且仅当2x+1=2，即x=
2x+1 2x+1 2x+1 2
时，等号成立.
故答案为：3.
x2+2x+2
1.（2023高三·全国·专题练习）若x>1，则 的最小值为
x−1
【答案】2√5+4/4+2√5
x2+2x+2 5
【分析】由已知可得x−1>0，变形可得 =(x−1)+ +4，然后根据基本不等式即可得出答
x−1 x−1
案.
【详解】由x>1，则x−1>0.
因为x2+2x+2=(x−1) 2+4(x−1)+5，x2+2x+2 5 √ 5
所以 =(x−1)+ +4 ≥2 (x−1)⋅ +4=2√5+4，
x−1 x−1 x−1
5
当且仅当x−1= ，即x=√5+1时等号成立，
x−1
x2+2x+2
故 的最小值为2√5+4.
x−1
故答案为：2√5+4.
2.（21-22高三上·安徽安庆·期末）下列函数的最小值为2√2的是（ ）
2
A．y=|cosx|+ B．y=√x+√8−x
|cosx|
2x4+8x2+10
C．y=2x+22−x D．y=
x2+2
【答案】B
【分析】利用对勾函数的性质判断A、D，利用基本不等式判断C，将y=√x+√8−x两边平方，即可求出y
的范围，从而判断B.
2
【详解】对于A：因为0<|cosx|≤1，又y=x+ 在(0,1]上单调递减，
x
所以当|cosx|=1时y =3，故A错误；
min
对于B：将y=√x+√8−x两边平方得y2=8+2√−x2+8x，
因为−x2+8x=−(x−4) 2+16，所以y2≥8（当x=0或x=8时等号成立），又y>0，
所以y =2√2，故B正确；
min
因为2x>0，所以y=2x+22−x≥2√2x ⋅22−x=4，当且仅当2x=22−x，即x=1时取等号，故C错误；
对于D：y= 2x4+8x2+10 = 2 [(x2+2) 2 +1 ] =2 ( x2+2+ 1 ) ，又x2+2≥2，y=x+ 1 在[2,+∞)上单调
x2+2 x2+2 x2+2 x
递增，
所以当x2+2=2，即x=0时y =5，故D错误．
min
故选：B．
y 4x
3.（2024·江西赣州·二模）已知y>x>0，则 − 的最小值为 .
y−x 2x+ y
2
【答案】
3
y 4x
【分析】依据条件结构特征利用分离常数法和配凑法思想对 − 进行变形配凑，再结合基本不
y−x 2x+ y
等式即可求解最小值.
【详解】由题y>x>0，所以
y 4x y 4x+2y−2y y 2y
− = − = + −2
y−x 2x+ y y−x 2x+ y y−x 2x+ y( 1 2 ) ( 2 2 )
= y + −2= y + −2
y−x 2x+ y 2y−2x 2x+ y
1 ( 2 2 )
= [(2y−2x)+(2x+ y)] + −2
3 2y−2x 2x+ y
2( 2x+ y 2y−2x)
= 2+ + −2
3 2y−2x 2x+ y
2( √ 2x+ y 2y−2x) 8 2
≥ 2+2 · −2= −2= ，
3 2y−2x 2x+ y 3 3
2x+ y 2y−2x
当且仅当 = ，即2x+ y=2y−2x，即y=4x时等号成立.
2y−2x 2x+ y
2
故答案为： .
3
4x 4x+2y−2y 2y
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于巧妙变形分离− =− = −2和配凑
2x+ y 2x+ y 2x+ y
1
y= [(2y−2x)+(2x+ y)].
3
4.（22-23 高三下·上海浦东新·阶段练习）若关于 x 的不等式x2+bx+c≥0(b>1)的解集为R，则
1+2b+4c
的最小值为 ．
b−1
【答案】8
b2 1+2b+4c 4
【分析】由题意可得Δ≤0化简得c≥ ，所以 ≥ (b−1)+ +4，利用基本不等式即可求
4 b−1 b−1
解
b2
【详解】因为不等式x2+bx+c≥0(b>1)的解集为R，则Δ=b2−4c≤0⇒c≥ ，
4
因为b>1，所以b−1>0，
1+2b+4c b2+2b+1 (b−1) 2+4(b−1)+4 4 √ 4
∴ ≥ = =(b−1)+ +4≥2 (b−1)× +4=8．
b−1 b−1 b−1 b−1 b−1
4
当且仅当b−1= ，即b=3时，取到等号．
b−1
故答案为：8
考点 三 、 常数“ 1 ”的代换
1 9
1.（2024·安徽·模拟预测）已知m,n∈(0,+∞)， +n=4，则m+ 的最小值为（ ）
m n
A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.
【详解】∀m,n∈(0,+∞)，m+ 9 = 1( m+ 9)( 1 +n ) = 1( 10+mn+ 9 ) ≥ 1( 10+2 √ mn⋅ 9 ) =4，
n 4 n m 4 mn 4 mn
9
当且仅当mn= ，即m=1，n=3时等号成立.
mn
故选：B.
1 1
2.（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知正数a，b满足 + =1，则ab+3b的最小值为（ ）
a b
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】B
1 1
【分析】将 + =1变形为ab=a+b，代入ab+3b，再通过常数代换和基本不等式可得.
a b
1 1
【详解】因为 + =1，所以ab=a+b，
a b
(1 1) 4b a
所以ab+3b=a+4b=(a+4b) + =5+ + ≥5+2√4=9，
a b a b
3
当且仅当a=3,b= 时，等号成立，所以ab+3b的最小值为9.
2
故选：B
4 1
1.（2024·辽宁鞍山·模拟预测）若x>0，y>0，且x+ y=1，则 + 的最小值为 ．
x y
【答案】9
【分析】利用“1”的变形，结合基本不等式即可求解.
4 1 (4 1) 4 y x √4 y x
【详解】 + = + (x+ y)=5+ + ≥5+2 ⋅ =9，
x y x y x y x y
4 y x 2 1
当 = ，即x=2y，联立x+ y=1，得到x= ,y= 时，等号成立，
x y 3 3
4 1
所以 + 的最小值为9.
x y
故答案为：9
1 1
2.（2024·广西河池·模拟预测）若实数a>1>b>0，且a2+2b=b2+2a，则 + 的最小值为
a−1 b
.
【答案】4
【分析】根据a>1>b>0，将a2+2b=b2+2a化简可得a+b−2=0，再根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可.
【详解】由a2+2b=b2+2a可得(a−b)(a+b−2)=0，
因为a>1>b>0，所以a−b≠0，即a+b−2=0，则a−1+b=1，
1 1 ( 1 1) b a−1 √ b a−1
则 + = + (a−1+b)=2+ + ≥2+2 ⋅ =4，
a−1 b a−1 b a−1 b a−1 b
b a−1 3 1 1 1
当且仅当 = ，即a= ,b= 时等号成立，故 + 的最小值为4.
a−1 b 2 2 a−1 b
故答案为：4.
1 1
3.（2024·上海徐汇·二模）若正数a、b满足 + =1，则2a+b的最小值为 .
a b
【答案】3+2√2/2√2+3
【分析】根据基本不等式求解．
1 1 2a b 2a b
【 详 解 】 由 已 知 2a+b=(2a+b)( + )=3+ + ≥3+2√2， 当 且 仅 当 = ， 即
a b b a b a
√2
a=1+ ,b=1+√2时等号成立，故所求最小值是3+2√2．
2
故答案为：3+2√2．
2 1
4.（2024·浙江·模拟预测）已知a>0，b>0，若 + =1，则ab的最大值为（ ）
a2+2ab b2+ab
A．2−√2 B．2+√2 C．4+2√2 D．4−2√2
【答案】D
( 2 1 ) a
【分析】首先变形ab=ab× + ，化简后换元 =x>0，转化为关于x的式子，利用基本
a2+2ab b2+ab b
不等式求最值.
( 2 1 ) 2ab ab
【详解】ab=ab× + = +
，
a2+2ab b2+ab a2+2ab b2+ab
2 1
= +
a b ，
+2 +1
b a
a
设 =x>0，
b
2 1 2 x 2 1
ab= + = + = − +1
则 x+2 1 x+2 x+1 x+2 x+1 ，
+1
x
x 1 1
= +1= +1≤ +1=4−2√2
(x+2)(x+1) 2 2√2+3 ，
x+ +3
x
2 a
当x= ，即x=√2， =√2时等号成立，
x b所以ab的最大值为4−2√2.
故选：D
1 4 1
5.（2024·宁夏·二模）直线ax+by−1=0过函数f(x)=x+ 图象的对称中心，则 + 的最小值为
x−1 a b
（ ）
A．9 B．8 C．6 D．5
【答案】A
【分析】先利用函数图象平移与奇函数的性质求得f (x)的对称中心，从而得到a+b=1，再利用基本不等
式“1”的妙用即可得解．
1
【详解】因为y=x+ 为奇函数，所以函数图象关于(0,0)中心对称，函数图象向右平移1个单位，再向上
x
1
平移1个单位可得函数f(x)=x+ 的图象，
x−1
所以f (x)的对称中心为(1,1)，所以a+b=1，
4 1 (4 1) 4b a √4b a
所以 + =(a+b) + =5+ + ≥5+2 ⋅ =9，
a b a b a b a b
4b a 2
当且仅当 = ，即a=2b= 时，等号成立，
a b 3
4 1
所以 + 的最小值为9．
a b
故选：A
1 4
6.（2024·河南·模拟预测）已知点P(x,y)在以原点O为圆心，半径r=√7的圆上，则 + 的最
x2+1 y2+1
小值为（ ）
4 5+2√2 7
A． B． C． D．1
9 9 9
【答案】D
【分析】由题可得点P满足的圆方程x2+ y2=7，进而(x2+1)+(y2+1)=9，然后利用基本不等式结合条件
即得.
【详解】由题意可得点P的坐标满足x2+ y2=7，所以，(x2+1)+(y2+1)=9．
1 4 1
因此， + = ¿
x2+1 y2+1 9
1[ y2+1 4(x2+1)] 1 [ √ y2+1 4(x2+1) ]
= 5+ + ≥ 5+2 × =1.
9 x2+1 y2+1 9 x2+1 y2+1
y2+1 4(x2+1)
当且仅当 = 时，即x=±√2,y=±√5时取等号．
x2+1 y2+1
故选: D．考点 四 、 和积定值
1.（2024·广西·模拟预测）已知a,b∈(−∞,0)，且a+4b=ab−5，则ab的取值范围为（ ）
A．[25,+∞)B．[1,+∞) C．(0,5] D．(0,1]
【答案】D
【分析】首先确定02√ab+3，
ab
从而2(√ab)
3+3(√ab) 2<1．
(1)
设函数g(x)=2x3+3x2，则g(√ab)0,b>0，所以03，且xy+2x−3 y=12，则x+ y的最小值为
（ ）
A．1+2√6 B．8 C．6√2 D．1+2√3
【答案】A12−2x 6 6
【分析】由题意得y= =−2+ ，进一步表示出x+ y=(x−3)+ +1，结合基本不等式即
x−3 x−3 x−3
可求解.
12−2x 6
【详解】因为x>3，且xy+2x−3 y=12，所以y= =−2+ ，
x−3 x−3
6 6
从而x+ y=x−2+ =(x−3)+ +1≥2√6+1，等号成立当且仅当x=√6+3,y=√6−2，
x−3 x−3
所以x+ y的最小值为1+2√6.
故选：A.
1 y
2.（2024·云南·模拟预测）已知正数x,y满足x+ y=4，则 − 的最小值为 .
x 4
【答案】0
1 y 1 4−x 1 x
【分析】根据题意，化简得到 − = − = + −1，结合基本不等式，即可求解.
x 4 x 4 x 4
【详解】由正数x,y满足x+ y=4，可得y=4−x，
1 y 1 4−x 1 x √1
所以 − = − = + −1≥2 −1=0，当且仅当x= y=2时取等号，
x 4 x 4 x 4 4
1 y
所以 − 的最小值为0.
x 4
故答案为：0.
1.（2024·陕西西安·三模）已知x>0,y>0，xy+2x−y=10，则x+ y的最小值为 ．
【答案】4√2−1/−1+4√2
y+10
【分析】依题意可得x= ，再由基本不等式计算可得.
y+2
【详解】因为x>0，y>0且xy+2x−y=10，
y+10
所以x= ，
y+2
y+10 8 √ 8
所以x+ y= + y= + y+2−1≥2 ⋅(y+2)−1=4√2−1，
y+2 y+2 y+2
8
当且仅当 = y+2，即y=2√2−2，x=1+2√2时，等号成立，
y+2
故x+ y的最小值为4√2−1．
故答案为：4√2−1．
1 1
2.（2024·浙江·模拟预测）已知a,b>0,ab=1，求S= + 的最小值．
1+a 1+2b
【答案】2√2−21
1 S=1−
【分析】根据条件，b= 代入消去b，将S的表达式分离常数得 2 ，利用基本不等式求得结
a a+ +3
a
果.
【详解】∵a,b>0，ab=1，
1 1 1 1
∴S= + = +
1+a 1+2b 1+a 2
1+
a
1 a a2+2a+2 a
= + = =1−
1+a a+2 a2+3a+2 a2+3a+2
1
=1−
2 ，
a+ +3
a
2 √ 2 2
∵a+ ≥2 a⋅ =2√2，当且仅当a= ，即a=√2时等号成立，
a a a
1
所以S≥1− =2√2−2.
2√2+3
故S的最小值为2√2−2.
3.（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足x2+3xy−2=0，则2x+ y的最小值为（ ）
2√10 √10 2 1
A． B． C． D．
3 3 3 3
【答案】A
5x 2
【分析】根据题意分析可知2x+ y= + ，利用基本不等式运算求解.
3 3x
2 x
【详解】因为正实数x，y满足x2+3xy−2=0，则y= − ，
3x 3
2 x 5x 2 √5x 2 2√10
则2x+ y=2x+ − = + ≥2 ⋅ = ，
3x 3 3 3x 3 3x 3
5x 2 √10 4√10
当且仅当 = ，即x= ,y= 时，等号成立，
3 3x 5 15
2√10
所以2x+ y的最小值为 .
3
故选：A.
考点 六 、 双换元
a3+b3
1.（2024·四川成都·三模）设a>b>0，若a2+λb2≤ ，则实数λ的最大值为（ ）
a−bA．2+2√2 B．4 C．2+√2 D．2√2
【答案】A
a3+b3 a 2
−a2 1+( )
a−b b2+a2 b
【分析】由不等式可得λ≤ = = ，求出右边的最小值，进而可得λ的最大值．
b2 ab−b2 a
−1
b
a3+b3 a 2
−a2 1+( )
a3+b3 a−b b2+a2 b
【详解】因为a>b>0，若a2+λb2≤ ，可得λ≤ = = ，
a−b b2 ab−b2 a
−1
b
a
设t= >1，只需要λ小于等于右边的最小值即可，
b
a 2
1+( )
b 1+t2
则 = ，
a t−1
−1
b
令s=t−1>0，可得t=s+1，
1+(s+1) 2 2 √ 2 2
所以 =s+ +2≥2 s⋅ +2=2√2+2，当且仅当s= ，即s=√2时取等号，
s s s s
所以λ≤2+2√2，
即λ的最大值为2+2√2．
故选：A．
a3+b3
2.（23-24高三上·河南·阶段练习）正数a，b满足a>b，ab=4，则 的最小值为（ ）
a2−b2
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
a3+b3 a2+b2−ab (a−b) 2+4 4
【分析】已知条件化简可得： = = =a−b+ ，利用基本不等式计算可
a2−b2 a−b a−b a−b
得结果.
a3+b3 a2+b2−ab (a−b) 2+4 4
【详解】由题意得 = = =a−b+ ，
a2−b2 a−b a−b a−b
a3+b3 4
令t=a−b>0，则 =t+ ≥4，当且仅当t=2时，等号成立．
a2−b2 t
故选:C．
6 2
1.（2024·全国·模拟预测）已知x>y>0， + =1，则2x−y的最小值为 ．
x+ y x−y【答案】12
2 2 1 1 1 1 (1 3)
【分析】令a= ，b= ，从而可得x= + ，y= − ，再根据2x−y= + (3a+b)，结合
x+ y x−y a b a b a b
基本不等式求解即可.
2 2 2 2
【详解】令a= ，b= ，则x+ y= ，x−y= ，且a>0，b>0，
x+ y x−y a b
1 1 1 1
所以x= + ，y= − ．
a b a b
(1 1) (1 1) 1 3 (1 3)
又3a+b=1，所以2x−y=2 + − − = + = + (3a+b)
a b a b a b a b
b 9a √b 9a
=3+ + +3≥6+2 ⋅ =12，
a b a b
1 1
当且仅当a= ，b= ，即x=8，y=4时，等号成立．
6 2
故答案为：12
2 9x2 y2
2.（2024高三·全国·专题练习）设正实数x,y满足x> ,y>2，不等式 + ≥m恒成立，求m
3 y−2 3x−2
的最大值．
【答案】16
【分析】利用换元法，将不等式左边转化为a,b 的表达式，再多次利用基本不等式求得其最小值，从而得
解.
2
【详解】因为x> ，y>2，所以3x−2>0，y−2>0，
3
a 2
令a=3x−2，b= y−2，则a>0，b>0，x= + ，y=b+2，
3 3
(a 2) 2
9 +
所以 9x2 y2 3 3 (b+2) 2 a2 4a 4 b2 4b 4
+ = + = + + + + +
y−2 3x−2 b a b b b a a a
a2 b2 4a 4b 4 4 √a2 b2 √4a 4b √4 4
= + + + + + ≥2 ⋅ +2 ⋅ +2 ⋅
b a b a b a b a b a b a
8 √ 8
=2√ab+8+ ≥2 2√ab× +8=16，
√ab √ab
a2 b2 4a 4b 4 4 8
当且仅当 = 且 = 且 = 且2√ab= ，即a=b=2，
b a b a b a √ab
4
即x= ，y=4时，等号成立，
3
9x2 y2
又不等式 + ≥m恒成立，所以m≤16，即m的最大值为16.
y−2 3x−21 4
1．（2022·福建泉州·模拟预测）若正实数x，y满足 + y=2，则x+ 的最小值是（ ）
x y
9
A．4 B． C．5 D．9
2
【答案】B
【分析】本题利用“1”的妙用技巧进行替换，然后利用基本不等式求解.
【详解】解：因为x，y是正实数，所以xy>0
4 1(1 )( 4) 1( 4 ) 1 9
故有x+ = + y x+ = 5+xy+ ≥ (5+2√4)= ，
y 2 x y 2 xy 2 2
4 3 4
当且仅当xy= ，即x= ，y= 时取到等号.
xy 2 3
故选：B.
2．（2024·天津·二模）已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点M(4,y )到F的距离为
0
x2 y2
6，双曲线 − =1(a>0，b>0)的左焦点F 在抛物线的准线上，过点F 向双曲线的渐近线作垂线，垂
a2 b2 1 1
足为H，则H与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（ ）．
A．2 B．√3 C．√5 D．3
【答案】A
【分析】利用抛物线的定义及焦半径公式先求p、F、F ，再由双曲线的性质，基本不等式计算即可.
1
(p ) p
【详解】设双曲线右焦点F ，易知F ,0 ，MF=4+ =6⇒p=4，
2 2 2
b
即F(2,0),F (−2,0),F (2,0)，而双曲线的一条渐近线为y= x，
1 2 a
|bc|
易知|F H|= =b，a2+b2=c2=4所以|OH|=a，
1 √a2+b2
由双曲线的性质可知S =2S =ab，
△HF F △HF O
1 2 1
a2+b2
由基本不等式可知ab≤ =2，当且仅当a=b=√2时取得等号.
2
故选：A
3．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知a>0，b>0，则“a+b>2”是“ab>1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B
【分析】通过举例的方法，以及基本不等式，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.
【详解】若a=1.5,b=0.6，满足a+b>2，但ab<1，
若a>0,b>0，ab>1，则a+b≥2√ab>2，即a+b>2，
所以“a+b>2”是“ab>1”的必要不充分条件.
故选：B
4．（2023·天津南开·一模）已知实数a>0,b>0,a+b=1，则2a+2b的最小值为 .
【答案】2√2
【分析】运用基本不等式求和的最小值即可.
【详解】∵a>0，b>0，a+b=1，
1
∴2a+2b≥2√2a×2b=2√2a+b=2√2，当且仅当2a=2b即a=b= 时取等号.
2
故答案为：2√2.
x−y
5．（2022·天津南开·模拟预测）若实数x，y满足x>y>0，且xy=4，则 的最大值为
(x+ y) 2
.
1
【答案】 /0.125
8
x−y 1
=
【分析】令x−y=t，对不等式变形得到(x+ y) 2 16，利用基本不等式进行求解.
t+
t
【详解】令x−y=t，则t>0，
x−y t t 1 1 1
= = = ≤ =
(x+ y) 2 (x−y) 2+4xy t2+16 t+ 16
2
√
t⋅
16 8，
t t
16
当且仅当t= ，即t=4时，等号成立，
t
x−y 1
所以 的最大值为
(x+ y) 2 8
1
故答案为：
8
6．（21-22高三上·天津南开·阶段练习）若a，b>0，且ab=a+b+3，则ab的最小值是 ．
【答案】9
【分析】利用基本不等式得a+b=ab−3≥2√ab，再解不等式可得结果.
【详解】因为a+b=ab−3≥2√ab（当且仅当a=b时，等号成立），
2
所以(√ab) −2√ab−3≥0，
所以(√ab−3)(√ab+1)≥0，所以√ab≥3，所以ab≥9，所以ab的最小值为9.
故答案为：9
( 1)( 1)
7．（2024·天津·模拟预测）若a>0，b>0，且a+b=1，则 a+ b+ 的最小值为
a b
25
【答案】
4
( 1)( 1) 2
【分析】先对 a+ b+ 进行等式变形，利用a+b=1把原式化简为ab+ −2，再利用均值不等式可
a b ab
1 1 1 25
得ab≤ ，然后由函数y=x+ 在区间(0, ]上是单调递减，即可得到最小值为 .
4 x 4 4
( 1)( 1) b a 1 a2+b2 1 (a+b) 2−2ab 1
【详解】由 a+ b+ =ab+ + + =ab+ + =ab+ + ，
a b a b ab ab ab ab ab
1−2ab 1 2
因为a+b=1，所以上式=ab+ + =ab+ −2，
ab ab ab
(a+b) 2 1
又因为a>0，b>0，由均值不等式得：00，则 的最小值为
xy
（ ）
A．√2+1 B．√2+2 C．4 D．√2−1
【答案】A
x2+ y x y
【分析】根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出 = + +1，利用
xy y 2x
基本不等式求得其最小值，得到结果.
【详解】∵⃗a=(1,1)， ⃗b=(2x+ y,2)，其中xy>0，且⃗a//⃗b，
∴2x+ y=2，y
x+
∴x2+ y x 1 x 2 x y √ x y ，
= + = + = + +1≥2 ⋅ +1=√2+1
xy y x y x y 2x y 2x
当且仅当y=√2x即x=2−√2时取等号，
x2+ y
∴ 的最小值为√2+1.
xy
故选：A.
3．（2024高三·天津·专题练习）已知正项等比数列{a }中，a ，3a ，a 成等差数列．若数列{a }中存
n 4 3 5 n
1 4
在两项a ，a ，使得√2a 为它们的等比中项，则 + 的最小值为（ ）
m n 1 m n
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】B
【分析】先根据题意求出首项及公比，再根据等比中项的定义求出m+n，再根据基本不等式中“1”的整
体代换即可得解.
【详解】设正项等比数列{a }公比为q，由a ，3a ，a 成等差数列，
n 4 3 5
有6a =a +a ，即6a =a q+a q2 ，得q2+q−6=0，
3 4 5 3 3 3
由q>0，解得q=2，
若数列{a }中存在两项a ，a ，使得√2a 为它们的等比中项，
n m n 1
则(√2a ) 2=a ⋅a ，即2a2=a qm−1 ⋅a qn−1 ，得2m+n−2=2，则m+n=3，
1 m n 1 1 1
1 4 1( 1 4) 1( n 4m ) 1( √ n 4m)
+ = + (m+n)= 1+ + +4 ≥ 5+2 ⋅ =3，
m n 3 m n 3 m n 3 m n
n 4m
当且仅当 = ，即m=1,n=2时等号成立，
m n
1 4
所以 + 的最小值为3．
m n
故选：B
4．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知正项等比数列{a }的前n项和为S ，且S −2S =6，则
n n 8 4
a +a +a +a 的最小值为（ ）
9 10 11 12
A．10 B．14 C．20 D．24
【答案】D
6
【 分 析 】 设 正 项 等 比 数 列 {a }的 公 比 为 q， 推 导 出 q>1， S = ， 可 得 出
n 4 q4−1
[ 1 ]
a +a +a +a =6 (q4−1)+ +2 ，结合基本不等式可求得a +a +a +a 的最小值.
9 10 11 12 q4−1 9 10 11 12
【详解】设正项等比数列{a }的公比为q，则q>0，
n
所以，S =a +a +a +a +a +a +a +a =a +a +a +a +q4 (a +a +a +a )
8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 1 2 3 4=S (1+q4)，
4
6
则S −2S =S (q4−1)=6，则q4>1，可得q>1，则S = ，
8 4 4 4 q4−1
6q8 6(q4−1+1) 2
所以，a +a +a +a =q8 (a +a +a +a )=S q8= =
9 10 11 12 1 2 3 4 4 q4−1 q4−1
6
[(q4−1) 2 +1+2(q4−1)]
[ 1 ] [ √ 1 ]
= =6 (q4−1)+ +2 ≥6 2 (q4−1)⋅ +2 =24，
q4−1 q4−1 q4−1
1
当且仅当q4−1= (q>1)时，即当q=√4
2时，等号成立，
q4−1
故a +a +a +a 的最小值为24.
9 10 11 12
故选：D.
5 ． （ 2024· 天 津 武 清 · 模 拟 预 测 ） 如 图 ， 直 角 梯 形 ABCD 中 ， AB∥CD， AB⊥AD，
AB=2CD=2AD=2，在等腰直角三角形CDE中，∠C=90°，则向量⃗AE在向量⃗CB上的投影向量的模为；
5
若M，N分别为线段BC，CE上的动点，且⃗AM⋅⃗AN= ，则⃗MD⋅⃗DN的最小值为 .
2
√2 2√2−5
【答案】 ；
2 2
【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，利用坐标法求解投影向量的模；再设⃗BM=λ⃗BC=(−λ,λ)，
1 1 5
⃗CN=μ⃗CE=(0,μ)，λ,μ∈[0,1]，进而根据题意得λμ= ，再根据坐标运算得⃗MD⋅⃗DN=λ+ − ，
2 2λ 2
进而结合基本不等式求解即可.
【详解】根据题意，如图，建立平面直角坐标系，
因为AB=2CD=2AD=2，
所以A(0,0),B(2,0),D(0,1),C(1,1),E(1,2)，所以，⃗AE=(1,2),⃗CB=(1,−1)，
所 以 ， 向 量 ⃗AE在 向 量 ⃗CB上 的 投 影 向 量 为
|⃗AE|cos⟨⃗AE,⃗CB⟩⋅ ⃗CB = √5 ⋅ 1−2 (1,−1)=− 1 (1,−1)= ( − 1 , 1) ，
|⃗CB| √2 √5⋅√2 2 2 2
( 1) 2 (1) 2 √2
故其模为 − + = .
2 2 2
因为M，N分别为线段BC，CE上的动点，
所以，设⃗BM=λ⃗BC=(−λ,λ)，⃗CN=μ⃗CE=(0,μ)，λ,μ∈[0,1]
所以⃗AM=⃗AB+⃗BM=(2−λ,λ),⃗AN=⃗AC+⃗CN(1,1+μ)，
5 1
所以⃗AM⋅⃗AN=2−λ+λ+λμ= ，即λμ= ，
2 2
所以⃗MD=⃗AD−⃗AM=(λ−2,1−λ),⃗DN=⃗AN−⃗AD=(1,μ)，
5 1 5 √1 5 2√2−5
所以⃗MD⋅⃗DN=λ−2+μ(1−λ)=λ+μ− =λ+ − ≥2 − = ，
2 2λ 2 2 2 2
1 √2
当且仅当λ= ，即λ= 时等号成立.
2λ 2
√2 2√2−5
故答案为： ；
2 2
6．（2024·天津·模拟预测）已知正△ABC的边长为√3，中心为O，过O的动直线l与边AB，AC分别
相交于点M、N，⃗AM=λ⃗AB，⃗AN=μ⃗AC，⃗BD=⃗DC.
（1）若⃗AN=2⃗NC，则⃗AD⋅⃗BN= ；
（2）△AMN与△ABC的面积之比的最小值为 .
3 4
【答案】 − /−0.75
4 9
1 2
【分析】根据⃗AD⋅⃗BN= (⃗AB+⃗AC)⋅( ⃗AC−⃗AB)，利用数量积的定义及运算律即可计算；由题意可
2 3
1 1 1 1 S
得⃗AO= ⃗AM+ ⃗AN，根据三点共线可得 + =3，利用三角形的面积公式可得 △AMN =λμ，再结
3λ 3μ λ μ S
△ABC
合基本不等式即可求解.
1 1 2
【详解】（1）⃗AD⋅⃗BN= (⃗AB+⃗AC)⋅(⃗AN−⃗AB)= (⃗AB+⃗AC)⋅( ⃗AC−⃗AB)
2 2 31 1 2 1 1 1 2 3
= (− ⃗AB⋅⃗AC+ ⃗AC2−⃗AB2 )= ×(− ×√3×√3× + ×3−3)=− ；
2 3 3 2 3 2 3 4
2 1 1 1 1 1
（2）因为⃗AO= × (⃗AB+⃗AC)= ⃗AB+ ⃗AC，所以⃗AO= ⃗AM+ ⃗AN，
3 2 3 3 3λ 3μ
1 1 1 1
因为M，O，N三点共线，故 + =1，即 + =3，
3λ 3μ λ μ
1
|AM|⋅|AN|⋅sin A
S 2 1 1
又因为 △AMN = =λμ，而λ,μ∈(0,1]， + =3，
S 1 λ μ
△ABC |AB|⋅|AC|⋅sin A
2
1 1 √1 1 4 2
则 + =3≥2 ⋅ ，即λμ≥ ，当且仅当λ=μ= 时取等号，
λ μ λ μ 9 3
4
所以△AMN与△ABC的面积之比的最小值为 .
9
3 4
故答案为：− ； .
4 9
1 1
7．（23-24高三下·天津·开学考试）已知x>0,y>0,lg2x+lg4y=lg2，当x= 时， +
x 4 y+1
取得最小值，最小值是 ．
3√2 2√2
【答案】 3− 1+
2 3
【分析】由x>0,y>0,lg2x+lg4y=lg2，利用对数运算得到x+2y=1，即2x+4 y+1=3，再利用“1”
的代换求解.
【详解】解：∵lg2x+lg4y=lg2x+2y=lg2，
1 1 1 ( 2 1 )
∴x+2y=1,2x+4 y+1=3， + = × + (2x+4 y+1)，
x 4 y+1 3 2x 4 y+1
1[ 2(4 y+1) 2x ] 1[ √2(4 y+1) 2x ] 2√2
= 3+ + = 3+2 ⋅ ≥1+ ，
3 2x 4 y+1 3 2x 4 y+1 3
2(4 y+1) 2x
当且仅当 = 时“＝”成立，
2x 4 y+1
又∵x+2y=1，
3√2
∴
2x2−12x+9=0,x=3±
，
2
3√2
∵2y=1−x>0,∴x<1，∴x=3− ，
2
3√2 1 1 2√2
即当x=3− 时， + 取得最小值1+ ．
2 x 4 y+1 3
3√2 2√2
故答案为：3− ;1+ ．
2 31 1 8
1．（2020·天津·高考真题）已知a>0, b>0，且ab=1，则 + + 的最小值为 ．
2a 2b a+b
【答案】4
a+b 8
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为 + ，利用基本不等式即可求解.
2 a+b
1 1 8 ab ab 8
【详解】∵a>0,b>0,∴a+b>0，ab=1,∴ + + = + +
2a 2b a+b 2a 2b a+b
a+b 8 √a+b 8
= + ≥2 × =4，当且仅当a+b=4时取等号，
2 a+b 2 a+b
结合ab=1,解得a=2−√3,b=2+√3，或a=2+√3,b=2−√3时，等号成立.
故答案为：4
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
(x+1)(2y+1)
2．（2019·天津·高考真题） 设x>0，y>0，x+2y=4，则 的最小值为 .
xy
9
【答案】 .
2
(x+1)(2y+1) 2xy+x+2y+1 2xy+5 5
【分析】把分子展开化为 = = =2+ ，再利用基本不等式求最值．
xy xy xy xy
【详解】由x+2y=4，得x+2y=4≥2√2xy，得xy≤2
(x+1)(2y+1) 2xy+x+2y+1 2xy+5 5 5 9
= = =2+ ≥2+ = ，
xy xy xy xy 2 2
等号当且仅当x=2y，即x=2,y=1时成立．
9
故所求的最小值为 ．
2
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
x2 y2
3．（2021·全国·高考真题）已知F ，F 是椭圆C： + =1的两个焦点，点M在C上，则
1 2 9 4
|M F |⋅|M F |的最大值为（ ）
1 2
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【 分 析 】 本 题 通 过 利 用 椭 圆 定 义 得 到 |M F |+|M F |=2a=6， 借 助 基 本 不 等 式
1 2
(|M F |+|M F |) 2
|M F |⋅|M F |≤ 1 2 即可得到答案．
1 2 2
【详解】由题，a2=9,b2=4，则|M F |+|M F |=2a=6，
1 2(|M F |+|M F |) 2
所以|M F |⋅|M F |≤ 1 2 =9（当且仅当|M F |=|M F |=3时，等号成立）．
1 2 2 1 2
故选：C．
→ 1 → → 1 →
4．（2023·天津·高考真题）在△ABC中，BC=1，∠A=60∘， AD= AB,CE= CD，记
2 2
⃗AB=⃗a,⃗AC=⃗b，用 → a, → b 表示 A ⃗ E= ；若⃗BF= 1 ⃗BC，则⃗AE⋅⃗AF的最大值为 ．
3
1 1 13
【答案】 ⃗a+ ⃗b
4 2 24
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合E为CD的中点进行求解；空2：用⃗a,⃗b表示出⃗AF，结合上一空
答案，于是⃗AE⋅⃗AF可由⃗a,⃗b表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为E为CD的中点，则⃗ED+⃗EC=0⃗，可得¿，
两式相加，可得到2⃗AE=⃗AD+⃗AC，
1 1 1
即2⃗AE= ⃗a+⃗b，则⃗AE= ⃗a+ ⃗b；
2 4 2
1
空2：因为⃗BF= ⃗BC，则2⃗FB+⃗FC=0⃗，可得¿，
3
得到⃗AF+⃗FC+2(⃗AF+⃗FB)=⃗AC+2⃗AB，
2 1
即3⃗AF=2⃗a+⃗b，即⃗AF= ⃗a+ ⃗b.
3 3
于是⃗AE⋅⃗AF= (1 ⃗a+ 1 ⃗b ) ⋅ (2 ⃗a+ 1 ⃗b ) = 1 (2⃗a2+5⃗a⋅⃗b+2⃗b2).
4 2 3 3 12
记AB=x,AC= y，
则⃗AE⋅⃗AF= 1 (2⃗a2+5⃗a⋅⃗b+2⃗b2)= 1 (2x2+5xycos60∘+2y2)= 1 ( 2x2+ 5xy +2y2) ，
12 12 12 2
在△ABC中，根据余弦定理：BC2=x2+ y2−2xycos60∘=x2+ y2−xy=1，
于是⃗AE⋅⃗AF= 1 ( 2xy+ 5xy +2 ) = 1 (9xy +2 ) ，
12 2 12 2
由x2+ y2−xy=1和基本不等式，x2+ y2−xy=1≥2xy−xy=xy，
故xy≤1，当且仅当x= y=1取得等号，
13
则x= y=1时，⃗AE⋅⃗AF有最大值 .
24
1 1 13
故答案为： ⃗a+ ⃗b； .
4 2 241
5．（2018·天津·高考真题）已知a ,
b∈R，且a−3b+6=0，则2a+
的最小值为 .
8b
1
【答案】
4
【分析】由题意首先求得a−3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号
成立的条件.
【详解】由a−3b+6=0可知a−3b=−6，
1
且：2a+ =2a+2−3b ，因为对于任意x，2x>0恒成立，
8b
1
结合均值不等式的结论可得：2a+2−3b≥2×√2a×2−3b=2×√2−6=
.
4
当且仅当¿，即¿时等号成立.
1 1
综上可得2a+
的最小值为 .
8b 4
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定
——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
a4+4b4+1
6．（2017·天津·高考真题）若a,b∈R，ab>0，则 的最小值为 .
ab
【答案】4
a4+4b4+1 4a2b2+1 1 √ 1
【详解】 ≥ =4ab+ ≥2 4ab⋅ =4 ，（前一个等号成立条件是a2=2b2，后
ab ab ab ab
1 √2 √2
一个等号成立的条件是ab= ，两个等号可以同时取得，则当且仅当a2= ,b2= 时取等号）.
2 2 4
【考点】均值不等式
【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）a,b∈R,a2+b2≥2ab ，当且仅当a=b
时取等号；（2）a,b∈R+ ，a+b≥2√ab ，当且仅当a=b时取等号；首先要注意公式的使用范围，其
次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.
