文档内容
专题 18 弧长和扇形面积（3 个知识点 4 种题型 3 种中考考法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.弧长公式（重点）
知识点2.扇形的面积公式（重点）
知识点3.圆锥的侧面积和全面积（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.弧长公式的应用
题型2.圆锥与其侧面展开图的关系问题
题型3.利用圆锥的侧面展开图求最短距离
题型4.不规则图形面积的求法
【方法三】 仿真实战法
考法1.弧长公式
考法2.扇形面积公式
考法3.圆锥与其侧面展开图
【方法四】 成果评定法
【学习目标】
1. 了解扇形的概念，理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并会计算弧长和扇形的面积。
2. 了解圆锥母线的概念理解圆锥与其展开图的对应关系，并掌握圆锥侧面积和全面积的计算方法。
3. 会利用平移及旋转求不规则图形的面积。
【知识导图】【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.弧长公式（重点）
（1）圆周长公式：C＝2 R
nπRπ
（2）弧长公式：l= （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
180
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用 表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念π，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，
只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
【例1】（2022•费县一模）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，
AC，BD分别与 O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°， O的半径为5cm，则图中弧
CD的长为_____⊙__cm．（结果保留 ）（ ） ⊙
π
5 5 25 25
A． π B． π C． π D． π
3 6 3 6
知识点2.扇形的面积公式（重点）
（1）圆面积公式：S＝ r2
（2）扇形：由组成圆心π角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则n 1
S扇形 = R2或S扇形 = lR（其中l为扇形的弧长）
360 2
π
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
【例2】（2022春•长兴县月考）如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为6cm．求扇形AOB的弧
长和面积．
知识点3.圆锥的侧面积和全面积（难点）
1
圆锥的侧面积：S侧 = •2 r•l＝ rl．
2
π π
圆锥的全面积：S全 ＝S底+S侧 ＝ r2+ rl
【例3】如图，圆锥的底面半径πOB＝π 6，高OC＝8，求该圆锥的侧面积．【例4】（2022秋·陕西安康·九年级统考期末）圆锥的底面直径是 ，母线长 ．求它的侧面展开
图的圆心角和圆锥全面积．
【方法二】实例探索法
题型1.弧长公式的应用
1．（2022春•二道区校级月考）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，∠BCD＝120°，OB＝2．则弧BD
的长为（ ） ⊙
8 4
A．2 B．3 C． π D． π
3 3
π π
π
2．（2022•铁西区开学）如果一个扇形的半径是2，弧长是 ，则此扇形的图心角的度数为 ．
2
题型2.圆锥与其侧面展开图的关系问题
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，圆锥的底面半径是1，则圆锥侧面展开图中扇形的弧长为（
）
A． B． C． D．4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为 ，则它
的侧面展开图面积为( )
A． B． C． D．
5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，如果从半径为 的圆形纸片上剪去 圆周的一个扇形，将留
下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
题型3.利用圆锥的侧面展开图求最短距离
6．（2022秋·九年级专题练习）如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆
周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝ ．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则
蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A．3 B．4 C． D．2
7．（2022秋·九年级专题练习）已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，如果一只蚂蚁从圆锥的点 出
发，沿表面爬到 的中点 处，则最短路线长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·九年级专题练习）如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点．则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为 ．
9．（2022秋·九年级专题练习）如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B
出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？
10．（2022秋·九年级专题练习）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是
4．
（1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数．
（2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的
最短距离．11．（2022秋·江苏泰州·九年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图所示，已知圆锥底面半径 ，
母线长为 ．
(1)求它的侧面展开图的圆心角；
(2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线 的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？
题型4.不规则图形面积的求法
12．（2022•九龙坡区模拟）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，连接AB，以点B为圆心，以OB的
长为半径作弧，交弧AB于点C，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积为 ．
13．（2022•莆田模拟）如图，方格纸中2个小正方形的边长均为1，图中阴影部分均为扇形，则这两个小扇形的面积之和为 （结果保留 ）．
π
14.如图，已知AB是 O直径，且AB＝8．C，D是 O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC，∠CBD＝
30°． ⊙ ⊙
（1）求∠COA的度数．
（2）求出CE的长度．
（3）求出图中阴影部分的面积（结果保留 ）．
π
【方法三】 仿真实战法
考法1.弧长公式
1．（2023•镇江）如图，扇形OAB的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧
相交于点P，∠BOP＝35°，则 的长l＝ （结果保留 ）．
π2．（2021•泰州）扇形的半径为8cm，圆心角为45°，则该扇形的弧长为 cm．
考法2.扇形面积公式
3．（2022•连云港）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和11
点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A． ﹣ B． ﹣ C． ﹣2 D． ﹣
考法3.圆π锥与其侧面展开图π π π
4．（2023•扬州）用半径为24cm，面积为120 cm2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面
圆的半径为 cm． π
5．（2022•宿迁）用半径为6cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的
半径是 cm．
6．（2023•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长 l为6cm，扇形的
圆心角 为120°，则圆锥的底面圆的半径r为 cm．
θ
【方法四】 成果评定法
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋•仓山区校级月考）若圆柱的底面半径为 3cm，母线长为 4cm，则这个圆柱的侧面积为
（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．12 cm2 D．24 cm2
2．（2023秋•鼓楼区校级月考）圆锥底面圆的半径为π3cm，其侧面展开图是π半圆，则圆锥的母线长为（）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
3．（2023秋•五华区校级月考）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分
是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮
筒，需要多少千克锌？（ 的值取3.14）（ ）
π
A．282.6 B．282600000 C．357.96 D．357960000
4．（2023秋•玄武区校级月考）如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画
，E为四边形内部一点，且BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，则阴影部分面积（ ）
A． B．6 C． D．
π
5．（2023秋•兴宁区校级月考）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽
略不计）是（ ）A．27cm2 B．54cm2 C．27 cm2 D．54 cm2
6．（2023秋•仓山区校级月考）如图， O中，弦ABπ⊥CD于E，若∠A＝3π0°， O的半径等于6，则弧
AC的长为（ ） ⊙ ⊙
A．6 B．4 C．5 D．8
7．（20π23秋•海淀区校级月考π）如图，四边形ABCDπ是 O的内接四边形π，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若
⊙
O的半径为5，则 的长为（ ）
⊙
A． B． C． D．
8．（2023秋•宜丰县校级月考）如图，正方形 ABCπD内接于圆O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（
）
A．4 ﹣16 B．8 ﹣16 C．16 ﹣32 D．32 ﹣16
9．（202π3秋•鼓楼区校级月考π）如图，O是弧AD所在π圆的圆心．已知点B、πC将弧AD三等分，那么下列
四个选项中不正确的是（ ）A．AC＝2CD B．∠AOC＝2∠COD
C．S扇形AOC ＝2S扇形COD D． ＝2
10．（2023秋•建邺区校级月考）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则
此扇形的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
二．填空π题（共8小题） π
11．（2023秋•亭湖区校级月考）若圆锥的底面半径长 2cm，母线长 3cm，则该圆锥的侧面积为
cm2．（结果保留 ）
12．（2023秋•栖霞区π校级月考）若一个圆锥的底面圆的半径是 2，侧面展开图的圆心角的度数是180°，
则该圆锥的母线长为 ．
13．（2023秋•西山区校级月考）圆锥的底面圆半径是1，侧面展开图的圆心角是90°，那么圆锥的母线长
是 ．
14．（2023春•兴化市月考）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆
的半径r＝5cm，则该圆锥的母线长l＝12cm，扇形的圆心角 ＝ °．
θ
15．（2023秋•渝中区校级月考）如图，矩形ABCD中，AD＝2CD＝4，以D为圆心，AD长为半径画弧，
交CB于E，则图中阴影部分的面积是 ．16．（2023秋•东台市月考）若圆锥的底面半径为 2cm，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则这个
圆锥的母线长是 cm．
17．（2023秋•五华区校级月考）已知圆锥的底面半径为5cm，它的侧面积是35 cm2，则这个圆锥的母线
长为 cm． π
18．（2023秋•江北区校级月考）如图，在菱形ABCD中，BC＝3，∠ADC＝120°，以A为圆心，AD为半
径 画 弧 ， 交 AC 于 点 E ， 过 点 E 作 EF∥ AB 交 AD 于 点 F ， 则 阴 影 部 分 的 面 积 为
．
三．解答题（共8小题）
19．（2023秋•东台市月考）如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需
要用如图3所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC将扇形EAF围成圆锥时，AE、AF恰好重
合，已知这种加工材料的顶角∠BAC＝90°．
（1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值；
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留
）
π20．（2023秋•玄武区校级月考）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点 A
（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2），请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为 ；
（2）连接AD、CD，则 D的半径长为 （结果保留根号），∠ADC的度数为
； ⊙
（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的周长为 ．（结
果保留根号）
21．（2023•滨海县模拟）如图，AB是 O的直径，点C是 的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点
⊙
F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若BE＝OE＝3，求 的长度．22．（2023秋•仓山区校级月考）如图，在扇形 AOB中，圆心角∠AOB＝90°，半径OA＝2．点P为 上
一点，连结OP，过点A作AQ⊥OP于点Q．
（1）求 的长．
（2）当点A、Q、B在同一条直线上时，求扇形AOP的面积．
（3）连结BQ，则线段BQ长的最小值为 ．
（4）延长AQ，交直线OB于点C，若点Q为线段AC的三等分点，直接写出AC的长．
23．（2022•江岸区模拟）如图，AB是 O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB
相交于点P，连接EF、EO，若DE＝⊙2，∠DPA＝45°．
（1）求 O的半径；
（2）求⊙图中阴影部分的面积．24．（2023•古丈县一模）在半径为 的圆形纸片中，剪出一个圆心角为60°的扇形（图中的阴影部分）．
（1）求这个扇形的半径；
（2）若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径．
25．（2023•丰润区模拟）如图，把两个扇形OAB与扇形OCD的圆心重合叠放在起，且∠AOB＝∠COD，
连接AC．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若OA＝5cm，OC＝3cm，弧AB的长为3 cm，弧CD的长为1.8 cm，求阴影部分的面积．
（3）在（2）的条件下求由扇形OAB围成的圆π锥的高． π26．（2023秋•南关区校级月考）如图①，水平放置的空圆柱形容器内放着一个实心的铁“柱锥体”（由
一个高为5cm的圆柱和一个同底面的高为3cm圆锥组成的铁几何体）．向这个容器内匀速注水，水流速
度为5cm3/s，注满为止．整个注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的函数关系如图②
所示．
（1）圆柱形容器的高为 cm．
（2）求线段BC所对应的函数表达式．
（3）直接写出“柱锥体”顶端距离水面3.5cm时t的值．
