文档内容
专题 14 导数与函数的单调性
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
一 、函数单调性和导数的关系
函数y=f(x)在区间(a,b)内可导.
1. 若f'(x)>0, 则函数y=f(x)在区间(a,b) 内单调递增.
2.若 f'(x)<0, 则函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减。
二 、函数图象的变化和导数的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范 围内变化得快，这时，
函数的图象就比较“陡峭”;如果一个函数在自变量的某一变化范围内导数的绝对值较小，那么函数在这个
范围内变化得慢，这时，函数的图象就“平缓”一些 .导数绝对值的大小反映了函数在某个区间内或某点
附近变化的快慢程度。
三、利用导数求函数单调区间的方法
方法一：当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间；（无参函数）
确定函数单调区间的步骤
①确定函数f(x)的定义域．
②求f′(x)．
③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式 f′(x)<0，解集在定义域内的部分为
单调递减区间．方法二：当导函数方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确
定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间；
方法三：若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f′(x)的结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，
从而确定单调区间．
四、根据函数单调性求参数
方法一：由函数在区间[a，b]上单调递增(减)可知f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立，列出不等式；
方法二：利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；
方法三：对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0．若f′(x)恒等于0，则参数的这
个值应舍去；若只有在个别点处有f′(x)＝0，则参数可取这个值．
方法四：当函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题；当已知函数在某区间上不单调时，
则转化为关于导函数的方程在该区间上有解问题．
恒成立有解问题小结：
(1)已知可导函数f(x)在区间D上单调递增，则在区间D上f′(x)≥0恒成立；
(2)已知可导函数f(x)在区间D上单调递减，则在区间D上f′(x)≤0恒成立；
(3)已知可导函数f(x)在区间D上存在增区间，则f′(x)>0在区间D上有解；
(4)已知可导函数f(x)在区间D上存在减区间，则f′(x)<0在区间D上有解．
五、单调性的应用
1．比较大小：若自变量不在同一单调区间内，则要利用函数的性质，将其转化到同一个单调区间上，再
进行比较．
2．利用单调性比较大小或解不等式，关键是根据题意构造辅助函数，利用构造的函数的单调性比较大小
或解不等式．
3．与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在 f(x)与f′(x)的不等关系
时，常构造含f(x)与另一函数的积(商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而
求解不等式．
本专题是高考中常考内容，通过导数研究函数的单调性，从而解决函数的有关问题。
导数是解决很多函数问题的桥梁，使很多复杂的函数通过求导变得有法可寻；或是其他问题通过构
造函数解决。高考中多以选填题，解答题前几题出现。
一、不含参数的函数的单调性
例1 (1)函数 的单调递增区间是（ ）
A． B．C． D．
答案 A
分析 求出函数导数，解不等式即可得出递增区间.
解析 因为函数 ，
所以 ，
令 ，解得 或 ，
所以函数的单调递增区间为 .
故选：A
(2)函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
答案 B
分析 求导，令 ，利用导数求 的单调递减区间.
解析 由题意可知： 的定义域为 ，且 ，
令 ，解得 ，
所以函数 的单调递减区间是 .
故选：B.
[拓展]
1．函数 的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
答案 B
分析 通过求导，令导函数大于 ，即可求解.
解析 函数的定义域为 ，，
令 ，即 ，解得 ，
所以函数的单调递增区间为 .
故选： .
2．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的单调增区间是 ．
答案 和 ；
分析 根据导函数的图象得到导数大于零的 的取值范围，得解.
解析 设函数为 ，由图象可得，当 ， ，
所以函数 的单调区间是 和 .
故答案为： 和 .
3．已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则当 时， 的单调递
增区间为 ．
答案
分析 利用导数求当 时 的单调递增区间，再根据奇函数的对称性求得结果.
解析 当 时， ,
由 ，解得 ，所以 在区间 上单调递增，
因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以函数 图象关于原点对称，所以 在区间 上单调递增.
故答案为： .
方法归纳： 确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函
数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
二、含参数的函数的单调性
例2 已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性．
解 函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax－(a＋1)＋＝
＝.
令f′(x)＝0，得x＝或x＝1.
①当01，
∴x∈(0,1)和时，f′(x)>0；
x∈时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(0,1)和上单调递增，
在上单调递减；
②当a＝1时，＝1，
∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
③当a>1时，0<<1，
∴x∈和(1，＋∞)时，f′(x)>0；
x∈时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，
在上单调递减．
综上，当01时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
延伸探究 若将本例中参数a的范围改为a∈R，其他条件不变，试讨论f(x)的单调性？
解 当a>0时，讨论同上；
当a≤0时，ax－1<0，
∴x∈(0,1)时，f′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
综上，当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
当01时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．方法归纳： (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
三、函数单调性的应用
命题点1 比较大小或解不等式
例3 (1)己知 ，则（ ）
A． B． C． D．
答案 B
分析 构造 ，利用导数证明 ，代入 可比较 的大小，根
据对数函数的性质可判断 的大小，从而可求解.
解析 设 ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 .
由 ，可得 ，即 ，即 ，
所以 ，即 .
综上所述， .
故选:B.
(2)已知定义在 上的函数 满足 ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B．
C． D．答案 C
分析 构造函数 ，利用导数说明其单调递增，将原不等式等价转换为 ，由此即可
得解.
解析 令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
不等式 等价于 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：C.
[拓展]1. 已知 ，设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系
为（ ）
A． B．
C． D．
答案 C
分析 根据函数的奇偶性，以及构造函数利用导数求解单调性即可.
解析 当 时，由 得 ，所以 为偶函数．
又 ，
当 时，令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
即 ，所以 在 上单调递减．
， ，所以 ，
令 ， ，则 ，
因为 ，所以 在 上单调递增，所以 ，
即 ，所以 ，得 ．
故 ，从而 ，即 .
故选：C．
2. 已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且 .对于任意的实数 ，均有
成立，若 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
答案 D
分析 构造函数 ，然后由已知可得 的单调性，最后将不等式转化为 ，
即可得到答案.
解析 ，令 ，
则 ，则 在 上单调递增.
由 ， 为奇函数，得 ，则 ，
从而原不等式 可化为 ，即 ，此即为 .
由于 在 上单调递增，故这等价于 ，所以不等式的解集为 .
故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造新的函数并利用已知条件.
命题点2 根据函数的单调性求参数的范围
例4 若函数 在 上单调递增，则实数 的最大值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
答案 D
分析 求导，转化为 ，参变分离即可得解.
解析 ，求导得 ，
由 在 上单调递增，得 ，
又当 ， ，则 ，
又 时， 在 上单调递增，
所以实数 的最大值为2.
故选：D．
[拓展]
1．函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案 B
分析 先求得函数的导函数，进而求出其单调递减区间，再借助集合的包含关系即可求解.
解析 函数 的定义域为 ，
求导得 ，
令 ，解得 ，
所以函数 的单调递减区间为 ，又函数 在 上单调递减，所以 .
所以实数 的取值范围为 .
故选：B.
2．若对任意的正实数 ， ，当 时， 恒成立，则 的取值范围
（ ）
A． B． C． D．
答案 A
分析 由 可得 ，令 ，则 在 上为减函数，即
在 上恒成立，求解即可.
解析 ，又 ，所以 ，
所以 ，
由已知对任意的 ， ，且 时， ，
设 ，则 在 上为减函数，
因为 ，所以 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，所以 ，所以 的取值范围为 ．
故选：A．
方法归纳： 根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，
f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
