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7.2 基本不等式
思维导图
知识点总结
1.基本不等式
(1)如果a，b是正数，那么 (当且仅当a＝b时等号成立).
我们把不等式≤(a，b≥0)称为基本不等式.
(2)当a，b∈R时，ab (当且仅当a＝b时等号成立)，ab (当且仅当a＝b时等号成立).
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2 ab (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
对于正数a，b，在运用基本不等式时应注意：
(1)和a＋b为定值时，积ab有最大值；积ab为定值时，和a＋b有最小值.
(2)取等号的条件.
[常用结论]
1.ab≤≤.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式.2.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要
保证它们等号成立的条件一致.
典型例题分析
考向一
利用基本不等式求最值
角度1 配凑法
例1 (1)若x＜，则f(x)＝3x＋1＋有( )
A.最大值0 B.最小值9
C.最大值－3 D.最小值－3
(2)已知0＜x＜，则x的最大值为________.
(3)(2023·天津模拟)函数y＝(x＞－1)的最小值为________.
角度2 常数代换法
例2 (1)(2023·石家庄模拟)已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，则2x＋4y的最小值为________，＋的最小值为________.
(2)(2022·深圳二模)已知0＜x＜1，则＋的最小值是________.
角度3 消元法
例3 (2023·湖南省级示范校检测)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值
时，＋－的最大值为________.
角度4 构建不等式法
例4 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.
感悟提升 1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
2.常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，
再用基本不等式求最值.3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出
“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本
不等式，构造目标式的不等式求解.
考向二 利用基本不等式求参数或范围
例5 (1)(2022·威海期末)关于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，则实数a的取值范围为
________.
(2)已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________.
感悟提升 1.对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最
值；
2.利用基本不等式确定等号成立的条件，也可得到参数的值或范围.
考向三 利用基本不等式解决实际问题
例6 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，
计划以相距6米的M，N两点为▱AMBN一组相对的顶点，当▱AMBN的周长恒为20米时，小
花圃占地面积(单位：平方米)最大为( )
A.6 B.12C.18 D.24
感悟提升 利用基本不等式解决实际应用问题的思路
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
训练3 某公司一年购买某种货物 400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储
费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨.
答案 20
解析 该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，
一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，·4＋4x≥160，当且仅
当＝4x，即x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.
考向四 重要不等式链
若a＞0，b＞0，则≤≤≤.
其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式.
一、利用不等式链求最值
例1 (多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则( )
A.有最大值 B.＋有最小值3
C.a2＋b2有最小值 D.＋有最大值
二、利用基本不等式链证明不等式例2 已知a，b，c都是非负实数，求证：＋＋≥(a＋b＋c).
训练 当－＜x＜时，函数y＝＋的最大值为________.
基础题型训练
一、单选题
1．已知正数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．已知 ， ，则 的最小值是
A． B． C． D．
3．设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．若a＞1，则 的最小值是（ ）
A．2 B．aC． D．3
5．已知 ，且 ，若 有解，则实数m的取值范围为（ ）
A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9）
6．已知 ，全集为R，集合 ， ， ，
则有（ ）
A． （ ） B． （ ）
C． D．
二、多选题
7．在下列函数中，最小值是2的函数有（ ）
A． B．
C． D．
8． ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．已知正数a、b满足a+b= 1，则a·b的最大值为_____．
10．已知x＜0，则 的最大值等于________．
11．已知a>0，b>0，且a+2b=2，则 的最小值为______12．设 、 是不等于 的正数，则 的取值范围是____________.
四、解答题
13．设 ，求函数 的最大值.
14．（1）当 且 时，求函数 的最小值.
（2）当 时，求函数 的最大值.
15．（1）若 ，求 的最小值；
（2）若 ， ， ，比较 、 的大小.
16．定义:记 为 这 个实数中的最小值，记 为
这 个实数中的最大值，例如: .
（1）求证: ；
（2）已知 ，求 的最小值；
（3）若 ，求 的最小值.
提升题型训练
一、单选题1．若命题“对任意的 ， 恒成立”为假命题，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．若点 在线段 上运动，且 ， ，设 ，则
A． 有最大值2 B． 有最小值1 C． 有最大值1 D． 没有最大值和最小值
3．若 ，则 的最小值为
A．8 B．6 C．4 D．2
4．若 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）.
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知 ，则 的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．下列说法中正确的是（ ）
A．不等式 恒成立 B．当 时， 的最小值是2
C．设 ， ，且 ，则 的最小值是 D． ，使得不等式 成立
8．已知 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．C． 的最小值为 D．
三、填空题
9．已知 ，比较两数的大小： ______9．
10．某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年
的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的
能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系： ．
经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设 为隔热层的建造费
用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使 达到最小值的隔热层的厚度h＝______厘米．
11．已知 ,且 ,若 恒成立，则实数 的取值范围是 ．当 取到最大值时 ．
12．若实数x，y满足 ，则 的最小值为______.
四、解答题
13．已知 ，求 的最小值，并说明x为何值时y取得最小值．
14．若 ， ，且 ，求 与 的最小值．
15．已知 满足 ，求 的解析式.
16．选修4-5：不等式选讲
（1）已知函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围；
（2）若正实数 满足 ，求 的取值范围.
