文档内容
第 05 讲 基本不等式及应用
【基础知识网络图】
解不等式问题
不等式中的含参问题
不 等
式 的
综 合 实际应用问题
应用
不等式证明
【基础知识全通关】
知识点01：不等式问题中相关方法
1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，
方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起
来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复
杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解
化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明
晰．
2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及
函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本
思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与
不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．
3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等
式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象
关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．通过复习，感悟到
不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用．
4．比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差(商)→
变形→判断符号(值)．
5．证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思
维等，将会起到很好的促进作用．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特
点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明
显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入
手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导
果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到
欲证的目的．
6．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式
的基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各
种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．
知识点02：不等式与相关知识的渗透
1．不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应
用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，
起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择
适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终
贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函
数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无
一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。
2．不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等
式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值
时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合
这三个条件．利用不等式解应用题的基本步骤：10审题，20建立不等式模型，30解数学问
题，40作答。
【要点诠释】
⑴解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一
元二次不等式（组）来求解，。
⑵解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。
⑶不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的
基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。
⑷根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。
【考点研习一点通】
考点01：基本不等式应用
1. 设 , ,求证：
【证明】
成立
【变式1】已知 ，求证:
【解析】
（当且仅当 即 ,等号成立）.2.已知 ，且 .
(1)若 则 的值为 .
(2)求证：
【解析】(1)由题意可得 带入计算可得
(2)由题意和基本不等式可得 ， ，
【变式】已知函数 的定义域为R.
(1)求实数m的取值范围.
(2)若m的最大值为n，当正数a、b满足 时，求7a+4b的最小值.
【解析】(1)因为函数的定义域为R,
恒成立
设函数 则m不大于 的最小值
即 的最小值为4，
(2)由(1)知n=4当且仅当 时，即 时取等号.
的最小值为
考点02：不等式与相关知识的融合
3．已知a，b，c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当－1≤x≤1时|f(x)|≤1.
(1)证明：|c|≤1；
(2)证明：当－1 ≤x≤1时，|g(x)|≤2；
(3)设a＞0，有－1≤x≤1时， g(x)的最大值为2，求f(x).
【思路点拨】关于函数不等式，需要对自变量灵活取值，凑出需要的函数值。
(1)证明：由条件当=1≤x≤1时，|f(x)|≤1，取x=0得：|c|=|f(0)|≤1，即|c|≤1.
(2)证法一：依题设|f(0)|≤1而f(0)=c，所以|c|≤1.
当a＞0时，g(x)=ax+b在［－1，1］上是增函数，于是
g(－1)≤g(x)≤g(1)，(－1≤x≤1).
∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，|c|≤1，
∴g(1)=a+b=f(1)－c≤|f(1)|+|c|=2，
g(－1)=－a+b=－f(－1)+c≥－(|f(－2)|+|c|)≥－2，
因此得|g(x)|≤2 (－1≤x≤1)；
当a＜0时，g(x)=ax+b在［－1，1］上是减函数，
于是g(－1)≥g(x)≥g(1)，(－1≤x≤1)，
∵|f(x)|≤1 (－1≤x≤1)，|c|≤1
∴|g(x)|=|f(1)－c|≤|f(1)|+|c|≤2.
综合以上结果，当－1≤x≤1时，都有|g(x)|≤2.
证法二：∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)
∴|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，|f(0)|≤1，
∵f(x)=ax2+bx+c，∴|a－b+c|≤1，|a+b+c|≤1，|c|≤1，
因此，根据绝对值不等式性质得：|a－b|=|(a－b+c)－c|≤|a－b+c|+|c|≤2，
|a+b|=|(a+b+c)－c|≤|a+b+c|+|c|≤2，
∵g(x)=ax+b，∴|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|≤2，
函数g(x)=ax+b的图象是一条直线，因此|g(x)|在［－1，1］上的最大值只能在区间的端
)
点x=－1或x=1处取得，于是由|g(±1)|≤2得|g(x)|≤2，(－1＜x＜1 .
(x+1) 2 −(x−1) 2 x+1 x−1
证法三:∵x= =( ) 2 −( ) 2,
4 2 2
x+1 x−1 x+1 x−1
∴g(x)=ax+b=a[( ) 2 −( ) 2 ]+b( − )
2 2 2 2
x+1 x+1 x−1 x−1
¿[a( ) 2 +b( )+c]−[a( ) 2 +b( )+c]
2 2 2 2
x+1 x−1
¿f( )−f( )
2 2
x+1 x−1
2 2
当－1≤x≤1时，有0≤ ≤1，－1≤ ≤0，
x+1 x−1
( )
2 2
∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，∴|f |≤1，|f( )|≤1；
x+1 x−1
( )
2 2
因此当－1≤x≤1时，|g(x)|≤|f |+|f( )|≤2.
(3)解：因为a＞0，g(x)在［－1，1］上是增函数，当x=1时取得最大值2，即
g(1)=a+b=f(1)－f(0)=2. ①
∵－1≤f(0)=f(1)－2≤1－2=－1，∴c=f(0)=－1.
因为当－1≤x≤1时，f(x)≥－1，即f(x)≥f(0)，
根据二次函数的性质，直线x=0为f(x)的图象的对称轴，
b
2a
由此得－ ＜0 ，即b=0.
由①得a=2，所以f(x)=2x2－1.
2x2 +bx+c
【变式1】已知函数f(x)= x2 +1 (b＜0)的值域是［1，3］，
(1)求b、c的值；
(2)判断函数F(x)=lgf(x)，当x∈［－1，1］时的单调性，并证明你的结论；
7 1 1 13
5 6 6 5
(3)若t∈R，求证：lg ≤F(|t－ |－|t+ |)≤lg .2x2 +bx+c
【解析】设y= x2 +1 ，则(y－2)x2－bx+y－c=0 ①
∵x∈R，∴①的判别式Δ≥0，即 b2－4(y－2)(y－c)≥0，
即4y2－4(2+c)y+8c+b2≤0 ②
由条件知，不等式②的解集是［1，3］
∴1，3是方程4y2－4(2+c)y+8c+b2=0的两根
{1
+
3
=
2
+
c
¿¿¿¿
∴c=2，b=－2，b=2(舍）
(2)任取x，x∈［－1，1］，且x＞x，则x－x＞0，且
1 2 2 1 2 1
2x 2x 2(x −x )(1−x x )
2 2 1 1 2
−(− )=
1+x 1+x (1+x )(1+x )
(x 2 －x 1 )(1－x 1 x 2 )＞0，∴f(x 2 )－f(x 1 )=－ 2 2 1 2 1 2 2 2 ＞0，
∴f(x)＞f(x)，lgf(x)＞lgf(x)，即F(x)＞F(x)
2 1 2 1 2 1
∴F(x)为增函数.
1 1 1 1 1
(3)记u =|t− |−|t+ |,|u|≤|(t− )−(t+ )|= ,
6 6 6 6 3
1 1
3 3
即－ ≤u≤ ，根据F(x)的单调性知
1 1 7 1 1 13
3 3 5 6 6 5
F(－ )≤F(u)≤F( )，∴lg ≤F(|t－ |－|t+ |)≤lg 对任意实数t 成立.
考点02：不等式证明
4.已知a>0,b>0且a+b=1求证：
【思路点拨】利用不等式
【证明】若x>0,y>0, 则
即
所以当a>0，b>0，且a+b=1时当且仅当 即 时取等号.
【总结升华】本题考查不等式的证明，解题关键时要注意到基本不等式与均值不等式之间
的关系，同时要考虑到不等式中等号成立的条件.
【变式】(1)已知函数 , 设 是函数y=f(x)图
像的一条对称轴,求 的值.
(2)已知函数 在 时， 成立，求 的取值范围.
【解析】(1)由题意
是函数 的一条对称轴
当 为偶数时, ,当 为奇数时
(2) 成立
( 时取等号)考点03：基本不等式在实际问题中的应用
5. 某农场有废弃的猪圈，留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈，平面
图为矩形，面积为 ，预计（1）修复 旧墙的费用是建造 新墙费用的 ，
（2）拆去 旧墙用以改造建成 新墙的费用是建 新墙的 ，（3）为安装圈门，
要在围墙的适当处留出 的空缺。试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所
需的总费用最小？
【解析】显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好。
设修复成新墙的旧墙为 ,则拆改成新墙的旧墙为 ，
于是还需要建造新墙的长为
设建造 新墙需用 元，建造围墙的总造价为 元，
则
（当且仅当 即 时，等号成立）
故拆除改造旧墙约为 米时，总造价最小.
【变式】某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元.并规定不记名，每卡每次只限1
人，每天只限1次.某班有48名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游
泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为 40元.要使每
个学生游8次，每人最少交多少钱？
【解析】设购买x张游泳卡，活动开支为y元，
则 （当且仅当x=8时取“=”）
此时每人最少交80元.【考点易错】
1．已知△ABC的三边长是 ，且 为正数，求证： .
【点拨】寻找各项的统一性，可以从函数单调性方面来考虑。
证明：设 ，易知 是 的递增区间
，即
而
【总结】函数是高中数学的重要知识，很多问题都可以从函数的角度来思考和分析。
【变式1】设函数f(x)定义在R上，对任意m、n恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当x＞0时，
0＜f(x)＜1.
(1)求证：f(0)=1，且当x＜0时，f(x)＞1；
(2)求证：f(x)在R上单调递减；
(3)设集合A={ (x，y)|f(x2)·f(y2)＞f(1)}，集合B={(x，y)|f(ax－g+2)=1，a∈R}，若
A∩B=∅，求a的取值范围.
证明：令m＞0，n=0得：f(m)=f(m)·f(0).∵f(m)≠0，∴f(0)=1
取m=m，n=－m，(m＜0)，得f(0)=f(m)f(－m)
1
f(−m)
∴f(m)= ，∵m＜0，∴－m＞0，∴0＜f(－m)＜1，∴f(m)＞1
(2)证明：任取x，x∈R，则f(x)－f(x)=f(x)－f［(x－x)+x］
1 2 1 2 1 2 1 1
=f(x)－f(x－x)·f(x)=f(x)［1－f(x－x)］，
1 2 1 1 1 2 1
∵f(x)＞0，1－f(x－x)＞0，∴f(x)＞f(x)，
1 2 1 1 2
∴函数f(x)在R上为单调减函数.
{f ( x 2 + y 2 )>f (1)¿ ¿¿¿
(3) ，由题意此不等式组无解，|2|
√a2 +1
数形结合得： ≥1，解得a2≤3
√3 √3
∴a∈［－ ， ］
2.已知函数 (其中常数m>0)
(1)当m=2时，求 的极大值.
(2)时谈论 在区间 上的单调性
(3)当 时，曲线 上总存在相异两点 ， ，
使得曲线 在点 处的切线互相平行，求 的取值范围.
【解析】(1)当m=2时，
令 可得 或
令 解得
在 和 上单调递减，在 单调递增
故 的极大值为
(2)①当 时，则 故 ， ； 时，
此时 在 上单调递减，在 上单调递增.
②当 时， 故 有 恒成立，
此时 在 上单调递减
③当 时，
故 时， ； 时
此时 在 上单调递减，在 上单调递增.
(3)由题意，可得
即 所以
由不等式性质可得 恒成立又
即 对 恒成立
令 易知 在 上单增
故的取值范围为
【变式】已知 ，对 ， 恒成立
(1)求 的最小值；
(2)求 的取值范围.
【解析】(1) 且
当且仅当 时等号成立，又 即 时，等号成立
故 的最小值为9.
(2)因为对 使 恒成立
所以
当 时，
当 时，
当 时，
综上可知 的取值范围是 .
3.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成
本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处
理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多
少元才能使单位不亏损？
【解析】解 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2－200＝
200，
当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均
处理成本最低，最低成本为200元．
(2)不获利．设该单位每月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－＝－x2＋300x－80 000＝－
(x－300)2－35 000，因为x∈[400,600]，所以S∈[－8 0000，－40 000]．故该单位每月
不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．
【巩固提升】
1．已知a>b，c>d，则下列关系式正确的是（ ）
A．ac+bd>ad+bc B．ac+bdbd D．acb，c>d，
ac+bd-(ad+bc)=(a-b)(c-d)>0，故A正确，B错误；
对于C：当b=0，c<0时，ac<0，bd=0，故C错误；
对于D：当a>b>0，c>d>0时，ac>bd，故D错误；
故选：A.
2．如果 那么下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据不等式的性质判断，错误的可举反例．【详解】
因为 ，不等式两边同时减去 得 ，D正确，
若 ，则AB错误，若 ，C错误．
故选：D．
3． 设 ，使不等式 成立的 的取值范围为__________.
【答案】
【分析】
通过因式分解，解不等式．
【详解】
，
即 ，
即 ，
故 的取值范围是 ．
【点睛】
解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根
据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误
有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集
合．
4．已知 ， ，下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C． 恒成立 D． ，使得【答案】D
【分析】
A选项可以构造幂型函数来判断；B、D选项借用求导的手段求出函数单调性来判断大小关
系；C选项利用基本不等式可判断出大小关系.
【详解】
解：对于A： ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，故A正确；
对于B：设 ，则 ，所以 上单调递增，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，故B正确；
对于C：已知 ， ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
当 时， 成立，故C正确；
对于D：令 ，则 ，
因为 ，所以 单调递增，则不存在 ，故D错误.
故选：D.
【点睛】
实数间的大小比较，常见解题思路如下
(1)构造幂型函数、指数型函数、对数型函数，三角函数等、利用函数性质，结合函数图象
进行实数间的大小比较；
(2)利用基本不等式、不等式性质进行实数间的大小比较；
(3)利用导数判断函数单调性进行实数间的大小比较；
(4)利用函数单调性、对称性、奇偶性、周期性进行实数间的大小比较.5．已知 ，满足 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】由给定条件分析出a>0，b<0及a与b间的关系，针对各选项逐一讨论即可得解.
【详解】
因 ， ，则a>0，b<0， ，A不正确； ，则 ，
B不正确；
又 ，即 ，则 ， ，C正确；由 得
，D不正确.
故选：C
6．已知非零实数 ， 满足 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
当 时，A,B,C均不成立，即可得到答案；
【详解】
对A，当 时，不等式无意义，故A错误；
对B，当 时， ，故B错误；
对C，当 时， ，故C错误；
对D，当 时， 成立，故D正确；
故选：D.
7．已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】
根据 ，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】
对于A， ，
当且仅当 时，等号成立，故A正确；
对于B， ，所以 ，故B正确；
对于C， ，
当且仅当 时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考
查数学运算的核心素养.
8．若 ，则下列不等式恒成立的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
根据作差法比较大小或者取特殊值举反例即可.
【详解】
对于A选项, 由于 ,故 ,所以 , 即
,故A选项正确;
对于B选项, 由于 ,故 , ,故 ,故B
选项错误;
对于C选项, 因为 ,故 ,所以 ,所以
,故C选项正确;
对于D选项,令 ,则 ,所以 不成立,
故D选项错误;
故选:AC
【点睛】
本题考查不等式的性质，作差法比较大小，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键
在于利用不等式的性质或者作差法比较大小，进而判断.
9．已知两个不为零的实数 ， 满足 ，则下列说法中正确的有（ ）A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】
对四个选项一一验证：
对于A：利用 为增函数直接证明；
对于B：取特殊值判断；
对于C：若 时，利用同向不等式相乘判断；若 时，有 ，
直接判断；若 时，利用不等式的乘法性质进行判断
对于D：取特殊值判断；
【详解】
对于A：因为两个不为零的实数 ， 满足 ，所以 ，而 为增函数，
所以 ，即 ；故A正确；
对于B：可以取 ，则有 ，所以 ；故B不正确；
对于C：若 时，则有 根据同向不等式相乘得：
，即 成立；
若 时，有 ，故 成立；
若 时，则有 ， ，因为 ，所以 ，即
成立；
故C正确；
对于D：可以取 ，则有 ，所以 ；故D不正确；
故选：AC【点睛】
（1）判断不等式是否成立：①利用不等式的性质或定理直接证明；②取特殊值进行否定，
用排除法；
（2）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．
（3）要证明一个命题是真命题，需要严格的证明；要判断一个命题是假命题，只需要举一
个反例否定就看可以了.
10．已知 ， ，若对任意 ，不等式 恒成立，则
的最小值为___________．
【答案】
【分析】
考虑两个函数 ， ，由此确定 ， 时， ，
有相同的零点，得出 的关系，检验此时 也满足题意，然后计算出 （用
表示），然后由基本不等式得最小值．
【详解】
设 ， ，
图象是开口向上的抛物线，因此由 时， 恒成立得 ，
时， ， 时， ， 时， ，
因此 时， ， 时， ， ，
所以 ①， ②，
由①得 ，代入②得 ，因为 ，此式显然成立．，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值是 ．
故答案为： ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式求最值．解题关键是引入两个
函数 和 ，把三次函数转化为二次函数与一次函数，降低了难度．由两个函数的
关系得出参数 的关系，从而可求得 的最小值．
11．定义在R上的奇函数 满足 ，当 时，
，则当 时，不等式 的解为___________.
【答案】
【分析】
根据奇函数的性质及条件求得函数周期，从而求得 时对应的函数解析式，然后解
一元二次不等式即可.
【详解】
，函数周期为2；
当 时， ，
则当 时， ，由 知，
当 时， ，
故 时，
则不等式 即 ，解得 ，
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：难点在于求得函数在 对应的函数解析式，从而解一元二次不等式.
12．不等式 的解集是___________.
【答案】
【分析】
由指数函数的单调性可得 ，求解即可.
【详解】
， ，即 ，解得 ，
故不等式的解集为 .
故答案为： .
13．设 ，解不等式 ．
【答案】
【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果
【详解】
或 或
或 或
所以解集为：
【点睛】
本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.
14.已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最
大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】
本题通过利用椭圆定义得到 ，借助基本不等式
即可得到答案．
【详解】
由题， ，则 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活
运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.
15.某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器
运转时间t(年数， )的关系为 ，要使年平均利润最大，则每台机
器运转的年数t为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】
根据题意求出年平均利润函数。利用均值不等式求最值.
【详解】
因为每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数， )的关系
为 ，
所以年平均利润
当且仅当 时等号成立，
即年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为8，
故选：D
16.(多选题)已知 ， 为正实数，且 ，则（ ）
A． 的最大值为2 B． 的最小值为4
C． 的最小值为3 D． 的最小值为
【答案】ABD
【分析】
对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可.
【详解】
解：因为 ，当且仅当 时取等号，解得 ，即 ，故 的最大值为2，A正确；
由 得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时取得最小值4，B正确；
，当且仅当 ，
即 时取等号，C错误；
，当且仅当 时取等
号，此时 取得最小值 ，D正确．
故选：ABD．
17.（多选题）已知 ，则下列选项一定正确的是（ ）
A． B． 的最大值为
C． D．
【答案】BD
【分析】
依题意得出 的取值范围，由此可得 的范围，即可判断A的正误；利用基本不等式
可判断B、C的正误；根据基本不等式及二次函数知识即可判断D的正误.
【详解】因为 ，所以 ，所以 .
对于A：由 可得 ，所以 ，故A错误；
对于B： ，当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最大
值为 ，故B正确；
对于C：因为 ，所以 当且仅当 ，即
时等号成立，故C错误；
对于D：因为 ，所以 ，所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
因为 ，所以 ，当 时取最大值，
此时 ，
此时两次取等号条件不一致，故 ，故D正确.故选：BD.
【点睛】
方法点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——
各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，
就会出现错误．
18.（多选题）已知 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 最小值为
B．若 ，则 的最小值为
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则 的最小值为
【答案】BC
【分析】
选项A. 设 ，求出导数，得出单调性，可判断；选项B. 先将
展开先利用均值不等式放缩再配方，然后利用均值不等式可判断；选项C
由 得 ，代入 由均值不等式可判断；选项D. 由
两边同时乘以 结合均值不等式可得答案.
【详解】
对于A，设 ，则 ，当 时， ；当 时， ，
故 ，而 不为定值，故A错误.
对于B，
，
当且仅当 即 时取等号，故B正确.
对于C，由 得 ，由 ，所以 ，
，
当且仅当 时取等号，故C正确.
对于D，由 得 ，
则 ，
解得 ，故D错误.
故选: BC.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大
值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则
这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性
求最值.
19.已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值等于______．
【答案】1
【分析】
由题意利用基本不等式可得 ，由此求得 的最大值．
【详解】
正实数 ， 满足 ，即 ，
∴ （当且仅当 时，取等号），
∴ ，即 ，
则 的最大值等于1，
故答案为：1．
20.如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若
，则 的最大值为___________.
【答案】
【分析】设BD与AE的交点为O，结合比例关系可求出 ，得出 ，则 可代换
为 ，结合三点共线性质得 ，原式代换为 ，再
结合基本不等式即可求解
【详解】
如图，
设BD与AE的交点为O，则由 ，得 ，所以 ，所
以 .由点O，F，B共线，得 ，所以
，当且仅当 时取等号，即 的最大值
为
故答案为：
【点睛】
本题考查平面向量三点共线性质的应用，基本不等式求最值，属于中档题21.已知 都为正实数，则 的最小值为___________．
【答案】
【分析】
化简 ，由基本不等式得 ，再代入原
式得 ，判断相等条件后即可得最小值.
【详解】
，因为 都为正实数， ，当且仅
当 ，即 时等号成立，所以 ，当且仅当
，即 时等号成立，综上所述，当 时， 取最小值为
.
故答案为：
【点睛】
解答本题的关键在于分别利用两次基本不等式，根据“一正二定三相等”的原则判断最小
值.
22.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷
第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问
出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作
被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门 里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门 步有树，出南门 步能见到
此树，则该小城的周长的最小值为（注： 里 步）________ 里.
【答案】
【分析】
根据题意得出 ，进而可得出 ，结合基本不
等式求 的最小值即可.
【详解】
因为 里 步，由图可知， 步 里， 步 里，
，则 ，且 ，
所以， ，所以， ，则 ，
所以，该小城的周长为 （里）.
故答案为： .
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大
值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则
这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
23.已知正实数 满足 ，则 的最小值为_______； 的最小值为
__.
【答案】9
【分析】
第一空将 化为 ，然后利用均值不等式即可求出结果；第二
空利用柯西不等式即可求得结果.
【详解】
因为正实数 满足 ，
所以 ，
当且仅当 时取到最小值，
由柯西不等式可知， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以有 .
故答案为：9； .
24.若 ， ，且 ，则 的最小值是___________，当且仅当___________时，取得最值.
【答案】8
【分析】
利用乘“1”法及基本不等式计算可得；
【详解】
解：因为 ， ，且 ，所以
，当且仅当 ，即 ， 时取等号；
故答案为： ，
25.某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形
和 构成的面积为 的十字型地域，计划在正方形 上建一座花
坛，造价为4200元 ，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210
元 ，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元 .设总造价为 (单
位：元)， 长为 (单位： ). 的最小值是___________，此时 的值是___________.
【答案】118000
【分析】
根据已知条件建立函数关系式，然后化简整理，再利用均值不等式即可求解.【详解】
由题意， ，又 ，有
当且仅当 ，即 时，等号成立
所以当 ， 最小且最小值为
故答案为： ，
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意三个必须满足的条件：
1.一正：各项必须均为正数；
2.二定：求和的最小值时必须把构成的二项之积转化成定值；求积的最大值时，必须把构
成积的因式的和转化为定值；
3.三相等：利用均值不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定
值就不是所求的最值.
