文档内容
第 03 讲 基本不等式
（6 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析
余弦定理解三角形 用基底表示向量 用定义求向量的数量积 基本不等式
2023年天津卷，第14题,5分
求积的最大值
2021年天津卷，第13题,5分 基本不等式求和的最小值
2020年天津卷，第14题,5分 基本不等式求和的最小值
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度有高有低，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握基本等式的基本内容
2.能掌握基本不等式的解题方法
3.具备函数与基本不等式思想意识，会利用函数的性质与基本不等式解决最值问题
4.能够在基本不等式与其他知识点结合时，灵活运用基本不等式的解题方法
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般最值问题，考虑使用基本不等式
知识讲解
知识点.基本不等式
1．基本不等式的形式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小
于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)
考点一、直接法
1．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
4
A．y=x2+2x+4 B．y=|sinx|+
|sinx|
4
C．y=2x+22−x D．y=lnx+
lnx
1 a
2．（2021·天津·高考真题）若a>0,b>0，则 + +b的最小值为 ．
a b2
x2 y2
1.（2024·宁夏银川·二模）已知 A(3,0),B(−3,0)，P 是椭圆 + =1上的任意一点，则
25 16
|PA|⋅|PB|的最大值为 .
7
2.（2024·甘肃定西·一模）x2+ +√7的最小值为（
）
x2
A．2√7 B．3√7 C．4√7 D．5√7
3.（2024·全国·模拟预测）若x>0,y>0,3x+2y=1，则8x+4y的最小值为（ ）
A．√2 B．2√2 C．3√2 D．4√2
4.（2024·重庆·模拟预测）若实数a，b满足ab=2， 则 a2+2b2的最小值为（ ）A．2 B．2√2 C．4 D．4√2
5.（2024·安徽·模拟预测）若a>0，b>0，则“√a+√b≤2”是“a+b≤1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.（2024·四川成都·三模）若正实数a,b满足a2+b2=m，则a+b的最大值为 （用m表示）．
考点二、 配凑法
1
1.（2024高三·全国·专题练习）若函数f (x)=x+ (x>3)在x=a处取最小值，则a= ．
x−3
4
2.（2022·重庆·模拟预测）已知x>0，则2x+ 的最小值为 .
2x+1
x2+2x+2
1.（2023高三·全国·专题练习）若x>1，则 的最小值为
x−1
2.（21-22高三上·安徽安庆·期末）下列函数的最小值为2√2的是（ ）
2
A．y=|cosx|+ B．y=√x+√8−x
|cosx|
2x4+8x2+10
C．y=2x+22−x D．y=
x2+2
y 4x
3.（2024·江西赣州·二模）已知y>x>0，则 − 的最小值为 .
y−x 2x+ y
4.（22-23 高三下·上海浦东新·阶段练习）若关于 x 的不等式x2+bx+c≥0(b>1)的解集为R，则
1+2b+4c
的最小值为 ．
b−1
考点 三 、 常数“ 1 ”的代换
1 9
1.（2024·安徽·模拟预测）已知m,n∈(0,+∞)， +n=4，则m+ 的最小值为（ ）
m n
A．3 B．4 C．5 D．6
1 1
2.（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知正数a，b满足 + =1，则ab+3b的最小值为（ ）
a b
A．8 B．9 C．10 D．124 1
1.（2024·辽宁鞍山·模拟预测）若x>0，y>0，且x+ y=1，则 + 的最小值为 ．
x y
1 1
2.（2024·广西河池·模拟预测）若实数a>1>b>0，且a2+2b=b2+2a，则 + 的最小值为
a−1 b
.
1 1
3.（2024·上海徐汇·二模）若正数a、b满足 + =1，则2a+b的最小值为 .
a b
2 1
4.（2024·浙江·模拟预测）已知a>0，b>0，若 + =1，则ab的最大值为（ ）
a2+2ab b2+ab
A．2−√2 B．2+√2 C．4+2√2 D．4−2√2
1 4 1
5.（2024·宁夏·二模）直线ax+by−1=0过函数f(x)=x+ 图象的对称中心，则 + 的最小值为
x−1 a b
（ ）
A．9 B．8 C．6 D．5
1 4
6.（2024·河南·模拟预测）已知点P(x,y)在以原点O为圆心，半径r=√7的圆上，则 + 的最
x2+1 y2+1
小值为（ ）
4 5+2√2 7
A． B． C． D．1
9 9 9
考点 四 、 和积定值
1.（2024·广西·模拟预测）已知a,b∈(−∞,0)，且a+4b=ab−5，则ab的取值范围为（ ）
A．[25,+∞) B．[1,+∞) C．(0,5] D．(0,1]
2.（2023·河南焦作·模拟预测）已知正数x，y满足2√3x+2y−xy=0，则当xy取得最小值时，
x+2y=（ ）
A．4+8√3 B．2+4√3 C．3+6√3 D．8+6√3
(1+a) 3 (1+b) 3
1.（2024·山东·模拟预测）已知两个不同的正数a,b满足 = ，则ab的取值范围是 ．
a b
2.（2024·湖北·模拟预测）若正数a，b满足：a3+b2=ab，则a的最大值为（ ）
1 1
A． B． C．√2 D．2
3 4考点 五 、 消元法
1.（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足x>3，且xy+2x−3 y=12，则x+ y的最小值为
（ ）
A．1+2√6 B．8 C．6√2 D．1+2√3
1 y
2.（2024·云南·模拟预测）已知正数x,y满足x+ y=4，则 − 的最小值为 .
x 4
1.（2024·陕西西安·三模）已知x>0,y>0，xy+2x−y=10，则x+ y的最小值为 ．
1 1
2.（2024·浙江·模拟预测）已知a,b>0,ab=1，求S= + 的最小值．
1+a 1+2b
3.（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足x2+3xy−2=0，则2x+ y的最小值为（ ）
2√10 √10 2 1
A． B． C． D．
3 3 3 3
考点 六 、 双换元
a3+b3
1.（2024·四川成都·三模）设a>b>0，若a2+λb2≤ ，则实数λ的最大值为（ ）
a−b
A．2+2√2 B．4 C．2+√2 D．2√2
a3+b3
2.（23-24高三上·河南·阶段练习）正数a，b满足a>b，ab=4，则 的最小值为（ ）
a2−b2
A．2 B．3 C．4 D．6
6 2
1.（2024·全国·模拟预测）已知x>y>0， + =1，则2x−y的最小值为 ．
x+ y x−y
2 9x2 y2
2.（2024高三·全国·专题练习）设正实数x,y满足x> ,y>2，不等式 + ≥m恒成立，求m
3 y−2 3x−2
的最大值．1 4
1．（2022·福建泉州·模拟预测）若正实数x，y满足 + y=2，则x+ 的最小值是（ ）
x y
9
A．4 B． C．5 D．9
2
2．（2024·天津·二模）已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点M(4,y )到F的距离为
0
x2 y2
6，双曲线 − =1(a>0，b>0)的左焦点F 在抛物线的准线上，过点F 向双曲线的渐近线作垂线，垂
a2 b2 1 1
足为H，则H与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（ ）．
A．2 B．√3 C．√5 D．3
3．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知a>0，b>0，则“a+b>2”是“ab>1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023·天津南开·一模）已知实数a>0,b>0,a+b=1，则2a+2b的最小值为 .
x−y
5．（2022·天津南开·模拟预测）若实数x，y满足x>y>0，且xy=4，则 的最大值为
(x+ y) 2
.
6．（21-22高三上·天津南开·阶段练习）若a，b>0，且ab=a+b+3，则ab的最小值是 ．
( 1)( 1)
7．（2024·天津·模拟预测）若a>0，b>0，且a+b=1，则 a+ b+ 的最小值为
a b
1．（2024·天津河西·三模）已知F ，F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且
1 2
π
∠F PF = ，若椭圆的离心率为e ，双曲线的离心率为e ，则e2+e2 的最小值为（ ）
1 2 3 1 2 1 2
5+√3 2+√3
A．3+√3 B． C． D．4
2 2
x2+ y
2．（2024·天津·二模）已知向量⃗a=(1,1),⃗b=(2x+ y,2)，其中⃗a ∥ ⃗b且xy>0，则 的最小值为
xy
（ ）
A．√2+1 B．√2+2 C．4 D．√2−1
3．（2024高三·天津·专题练习）已知正项等比数列{a }中，a ，3a ，a 成等差数列．若数列{a }中存
n 4 3 5 n
1 4
在两项a ，a ，使得√2a 为它们的等比中项，则 + 的最小值为（ ）
m n 1 m n
A．1 B．3 C．6 D．94．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知正项等比数列{a }的前n项和为S ，且S −2S =6，则
n n 8 4
a +a +a +a 的最小值为（ ）
9 10 11 12
A．10 B．14 C．20 D．24
5 ． （ 2024· 天 津 武 清 · 模 拟 预 测 ） 如 图 ， 直 角 梯 形 ABCD 中 ， AB∥CD， AB⊥AD，
AB=2CD=2AD=2，在等腰直角三角形CDE中，∠C=90°，则向量⃗AE在向量⃗CB上的投影向量的模为；
5
若M，N分别为线段BC，CE上的动点，且⃗AM⋅⃗AN= ，则⃗MD⋅⃗DN的最小值为 .
2
6．（2024·天津·模拟预测）已知正△ABC的边长为√3，中心为O，过O的动直线l与边AB，AC分别
相交于点M、N，⃗AM=λ⃗AB，⃗AN=μ⃗AC，⃗BD=⃗DC.
（1）若⃗AN=2⃗NC，则⃗AD⋅⃗BN= ；
（2）△AMN与△ABC的面积之比的最小值为 .
1 1
7．（23-24高三下·天津·开学考试）已知x>0,y>0,lg2x+lg4y=lg2，当x= 时， +
x 4 y+1
取得最小值，最小值是 ．
1 1 8
1．（2020·天津·高考真题）已知a>0, b>0，且ab=1，则 + + 的最小值为 ．
2a 2b a+b
(x+1)(2y+1)
2．（2019·天津·高考真题） 设x>0，y>0，x+2y=4，则 的最小值为 .
xy
x2 y2
3．（2021·全国·高考真题）已知F ，F 是椭圆C： + =1的两个焦点，点M在C上，则
1 2 9 4
|M F |⋅|M F |的最大值为（ ）
1 2
A．13 B．12 C．9 D．6→ 1 → → 1 →
4．（2023·天津·高考真题）在△ABC中，BC=1，∠A=60∘， AD= AB,CE= CD，记
2 2
1
⃗AB=⃗a,⃗AC=⃗b，用 → a, → b 表示 A ⃗ E= ；若⃗BF= ⃗BC，则⃗AE⋅⃗AF的最大值为 ．
3
1
5．（2018·天津·高考真题）已知a ,
b∈R，且a−3b+6=0，则2a+
的最小值为 .
8b
a4+4b4+1
6．（2017·天津·高考真题）若a,b∈R，ab>0，则 的最小值为 .
ab
