文档内容
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 04 讲 基本不等式（精讲）
题型目录一览
①直接法求最值
②常规凑配法求最值
③消参法求最值
④“1”的代换求最值
⑤基本不等式及其应用
⑥利用基本不等式解决实际问题
⑦利用基本不等式证明
一、知识点梳理
1.基本不等式
a+b a+b
√ab≤
如果 a>0，b>0 ，那么 2 ，当且仅当a=b时，等号成立．其中， 2 叫作 a，b 的算术平均数，
√ab a，b a，b
叫作 的几何平均数．即正数 的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式1：若 R，则 a2 +b2 ≥2ab ，当且仅当a=b时取等号；
a+b
基本不等式2：若 R+ ，则 2
≥√ab
（或 a+b≥2√ab ），当且仅当a=b时取等号.
注：（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值
时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意等号取得一致.
（1）几个重要的不等式
①
②基本不等式：如果 ，则 (当且仅当“ ”时取“ ”).
特例： （ 同号）.（2）其他变形：
① (沟通两和 与两平方和 的不等关系式)
② (沟通两积 与两平方和 的不等关系式)
③ (沟通两积 与两和 的不等关系式)
④重要不等式串： 即
调和平均值 几何平均值 算数平均值 平方平均值(注意等号成立的条件).
2.均值定理
已知 .
（1）如果 (定值)，则 (当且仅当“ ”时取“=”).即“和为定值，积有
最大值”.
（2）如果 (定值)，则 (当且仅当“ ”时取“=”).即积为定值，和有最小
值”.
3.常见求最值模型
n √ n
mx+ ≥2√mn(m>0,n>0) x=
模型一： x ，当且仅当 m 时等号成立；
n n √ n
mx+ =m(x−a)+ +ma≥2√mn+ma(m>0,n>0) x−a=
模型二： x−a x−a ，当且仅当 m 时等号成立；
x 1 1
= ≤ (a>0 , c>0)
ax2 +bx+c
ax+b+
c 2√ac+b
x=
√c
模型三： x ，当且仅当 a 时等号成立；
mx(n−mx) 1 mx+n−mx n2 n n
x(n−mx)= ≤ ⋅（ ) 2 = (m>0,n>0,00，2a+b=4，则下列说法中正确的有（ ）
A． 有最小值 B．a2+b2有最小值
C．4a+2b有最小值8 D．lna+lnb有最小值ln2
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2020·江苏·统考高考真题）已知 ，则 的最小值是_______．
6．（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）若正数 ， 满足 ，则 的最大值为
__________．
7．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知 ，且 ，则 的最小值为___________.
题型四 “ 1 ” 的代换求最值
策略方法
1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，
凑的过程中要特别注意等价变形．
1．根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．
2．注意验证取得条件．【典例1】已知函数 恒过定点 ，则 的最小值为（ ）．
A． B． C．3 D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知 ， ， ，则 的最小值为
（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，直线 与曲线 相切，则
的最小值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
3．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知 ， ，且 ，那么 的最小值为
（ ）
A． B．2 C． D．4
二、多选题
4．（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）已知 ，且 ，若不等式 恒成立，
则 的值可以为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
5．（2023春·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）下列能使式子 最小
值为1的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， ，其中 ， ，若 ，则
的最小值为_______．7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在点 处的切线过点 ，则
的最小值为__________.
8．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知 ，则 的最小值是______．
9．（2023·陕西渭南·统考二模）设 ，若 ，则 的最小值是___________.
题型 五 基本不等式及其应用
策略方法
熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成
立进行验证.
【典例1】已知实数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（浙江省杭州市2023届高三下学期教学质量检测（二模）数学试题）已知 ， ，且
，则ab的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
2．（广西柳州高级中学、南宁市第三中学2023届高三联考数学（文）试题）若 ， ， ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（广西柳州高级中学、南宁市第三中学2023届高三联考数学（理）试题）若 ， ，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
4．（江西省南昌市2023届高三第一次模拟测试数学（文）试题）已知x，y为正实数，则“ ”是
“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（安徽省安庆市2023届高三模拟考试（二模）数学试题）已知非零向量 ， 的夹角为 ， ，
且 ，则夹角 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（湖北省孝感市2022-2023学年高一上学期1月期末数学试题）下列结论中，正确的结论有（ ）
A．如果 ，那么 的最小值是2
B．如果 ， ， ，那么 的最大值为3
C．函数 的最小值为2
D．如果 ， ，且 ，那么 的最小值为2
7．（重庆市第八中学2023届高三适应性月考（六）数学试题）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（吉林省延边州2023届高三统考二模数学试题）设 ， ，若 ，则 取最小值时a的值为______．
9．（山西大学附属中学校2023届高三上学期12月（总第六次）模块诊断数学试题）已知各项为正的数列
的前 项和为 ，满足 ，则 的最小值为___________.
10．（安徽省阜阳市临泉第一中学2022-2023学年高三上学期1月期末理科数学试题）已知椭圆 C的焦点
为 为 C 上一点满足 ，则C 的离心率取值范围是________．
11．（山东省齐鲁名校2022-2023学年高三下学期3月大联考数学试题）已知 ，且
，则 的最小值为__________．
题型 六 利用基本不等式解决实际问题
策略方法 利用基本不等式解决实际问题的三个注意点
(1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)解题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f (x)
＝x＋(a＞0)的单调性．
【典例1】2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之物，寓意福寿安康．故宫
博物院就收藏着这样一副蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画——《梧桐双兔 图》，该绢本设色画纵约
176cm，横约95cm，其挂在墙壁上的最低点B离地面205cm．小南眼睛距地面的距离为150cm，为使观赏
视角 最大，小南离墙距离S应为（ ）A．11 cm B．8 cm C．11 cm D．44 cm
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·广西南宁·统考二模）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管
理费用为0.1万元，已知使用 年的维修总费用为 万元，则该设备年平均费用最少时的年限为
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（2023·全国·高三专题练习）目前，我国的水环境问题已经到了刻不容缓的地步，河道水质在线监测
COD传感器针对水源污染等无组织污染源的在线监控系统，进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具
有实时报警功能及统计分析报告，对保护环境有很大帮助.该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为
，其中 为传感器在静水中行进的速度(单位： )， 为行进的时间(单位： )， 为常数，如果
待测量的河道的水流速度为 ，则该传感器在水中逆流行进 消耗的能量的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话
亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，
其中 ， ，曲线段 是圆心角为 的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积
为 ，周长为 ，则 的最大值为（ ）．（本题中取 进行计算）A．6 B． C．3 D．9
二、填空题
4．（2023·全国·高三专题练习）某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32 的矩形空地，
并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5 ，各试验区之间也
空0.5 .则每块试验区的面积的最大值为___________ .
5．（2023·全国·高三专题练习）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚､全面建成小康社会的历史任务，实现
第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一.某企
业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的
固定成本为200万元，每生产 万件，需可变成本 万元，当产量不足50万件时， ；
当产量不小于50万件时， .每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A
产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为__________万元.
三、解答题
6．（2023·全国·高三阶段练习）第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届
进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲
企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生
产x千台空调，需另投入资金R万元，且 .经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.
(1)求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；
(2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.
7．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）2020年初，一场突如其来的“新冠肺炎”袭击了我国，给人民
的身体健康造成了很大的威胁，也造成了医用物资的严重短缺，为此，某公司决定大量生产医用防护服.已
知该公司生产防护服的固定成本为30万元，每生产一件防护服需另投入40元.设该公司一个月内生产该产
品 万件，且能全部售完.若每万件防护服的销售收入为 万元，且
(1)求月利润 （万元）关于月产量 （万件）的函数关系式（利润 销售收入一成本）；
(2)当月产量 为多少万件时，该公司可获得最大利润，并求该公司月利润的最大值.
题型 七 利用基本不等式证明
策略方法
类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明.
【典例1】已知 是正实数.
(1)若 ，证明： ；
(2)证明： .
【题型训练】
一、解答题
1．（2020·全国·统考高考真题）设a，b，c R，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ．
2．（2023春·河南·高三洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知a，b，c都是正数，且 ，
证明：
(1) ；
(2) ．
3．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知 都是正数，且 ，证明：
(1) ；
(2) .
4．（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）已知 .
(1)求 的取值范围；
(2)若 ， ，求证： .
