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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 04 练 基本不等式及其应用（精练）
1.了解基本不等式的证明过程．
2.会用基本不等式解决简单的最值问题．
3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用．
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知 ，再利用基本不等式，换底公式
可得 ， ，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由 可得 ，而 ，所以 ，
即 ，所以 .
又 ，所以 ，即 ，
所以 .综上， .［方法二］：【最优解】（构造函数）
由 ，可得 ．
根据 的形式构造函数 ，则 ，
令 ，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用 的形式构造函数 ，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该
题的最优解．
二、多选题
2．（2022·全国·高考真题）若x，y满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为 （ R），由 可变形为，
，解得 ，当且仅当 时， ，当且仅当
时， ，所以A错误，B正确；由 可变形为 ，解得 ，当且仅当 时取等号，所
以C正确；
因为 变形可得 ，设 ，所以
，因此
，所以当 时满足等式，但是 不成立，所以D错误．
故选：BC．
三、填空题
3．（2023·天津·高考真题）在 中， ， ，记 ，
用 表示 ；若 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合 为 的中点进行求解；空2：用 表示出 ，结合上一
空答案，于是 可由 表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为 为 的中点，则 ，可得 ，
两式相加，可得到 ，
即 ，则 ；
空2：因为 ，则 ，可得 ，得到 ，
即 ，即 .
于是 .
记 ，
则 ，
在 中，根据余弦定理： ，
于是 ，
由 和基本不等式， ，
故 ，当且仅当 取得等号，
则 时， 有最大值 .
故答案为： ； .
四、解答题
4．（2022·全国·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
【答案】(1) ；(2) ．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 化成 ，再
结合 ，即可求出；
（2）由（1）知， ， ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 化成
，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为 ，即
，
而 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，所以 ，
而 ，
所以 ，即有 ，所以
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
【A级 基础巩固练】
一、单选题1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）若 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】C
【分析】利用基本不等式计算可得.
【详解】因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值是 .
故选：C
2．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）已知 ，则 的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】D
【分析】利用基本不等式直接求出最大值.
【详解】当 时， ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最大值为3.
故选：D
3．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知 ，则 的最大值是（ ）
A． B．3 C．1 D．6
【答案】B
【分析】利用基本不等式，直接计算即可.
【详解】 ，当且仅当 ，即 取得等号，满足题意.
故选：B.
4．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知正数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】C
【分析】利用基本不等式和不等式的加法性质即可求解.
【详解】因为 ，
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为8.
故选：C.
5．（2023·湖南岳阳·模拟预测）若 且 ，若 的最大值为 ，则正常数 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】 ，当且仅当 时，等号成立，
则 ，故 .
故选：B.
6．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a，b为正数， ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】正数a，b满足 ，则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， 取得最小值4.
故选：C
7．（23-24高一下·福建南平·期中）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得 ，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解.
【详解】因为 ，可得 ，
且 ， ，可知 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为1.
故选：B.
8．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知向量 ， ，若向量 ， 共线且 ，
则 的最大值为（ ）
A．6 B．4 C．8 D．3
【答案】A
【分析】由平面向量共线的坐标表示得到 ，再由基本不等式计算可得.
【详解】因为 ， 且 与 共线，
所以 ，所以 ，又 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最大值为 .
故选：A
9．（23-24高一下·浙江·期中）已知实数 ， ，满足 （ ），则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】借助已知可变形得 ，借助基本不等式可求范围.
【详解】根据已知 ，可得 ，
则 ，
因为 ，所以 ，所以上式 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的取值范围是 .
故选：D
10．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】借助不等式的性质与基本不等式逐项判断即可得.
【详解】对A：由 ，故 ，即 ，故A错误；
对B：由 ， ，则 ，且 ，
当且仅当 时，等号成立，故 ，故B正确；
对C：由 ，故 ，即有 ，
又由B可得 ，即 ，故C错误；
对D：由 ，故 ，即 ，故D错误.
故选：B.11．（2024·山东枣庄·一模）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据基本不等式与不等式的性质，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
【详解】若 ， ， ，则 ，充分性成立；
若 ，可能 ， ，此时 ，所以必要性不成立．
综上所述，“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：A．
12．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知 均为正实数， ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】由不等式的性质以及基本不等式即可求解.
【详解】由题意 均为正实数， ，
所以 ，
左边第一个不等号成立的条件是 ，右边第二个不等号成立的条件是 ，
综上所述，当且仅当 时， 取最小值，且 .
故选：B.
二、多选题
13．（2024高三·全国·专题练习）已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有（ ）
A． B．C． D．
【答案】ACD
【详解】因为x≥1，所以 (当且仅当x＝2时取等号)；
，但是等号取不到；
因为函数 在[1，＋∞)上单调递增，所以 ≥2，当x＝1时取等号；
因为x≥1，所以 (当且仅当x＝1时取等号).
故选：ACD.
14．（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知正数a，b满足 ，则（ ）
A． B．a与b可能相等
C． D． 的最小值为
【答案】BD
【分析】根据给定条件，结合基本不等式及“1”的妙用逐一判断即得.
【详解】由正数a，b满足 ，得 ，A错误；
若 ，则 ，而a为正数，则 ，B正确；
显然 ，则 ，当且仅当 时取等号，C错误；
，当且仅当 时取等号，D正确.
故选：BD
15．（23-24高二下·浙江·期中）已知正数 满足 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】AC
【分析】根据已知可直接得到A；根据换元法得B；乘“1”法得到C；基本不等式判断D即可.
【详解】对于A，由题可得 ，即 ，故A正确；
对于B，因为 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，故B不正确；
对于 ，当且仅当 时，等号成立，故 正确；
对于D， ，当且仅当 时，等号成立，故D不正确.
故选：AC.
三、填空题
16．（23-24高一上·北京·期中）已知 ，则当 时， 取最小值为 ．
【答案】 5 14
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， 取最小值为 .
故答案为： ； .
17．（2024·上海徐汇·二模）若正数 满足 ，则 的最小值为 .
【答案】 /
【分析】根据基本不等式求解．【详解】由已知 ，当且仅当 ，即 时
等号成立，故所求最小值是 ．
故答案为： ．
18．（2024·河南商丘·模拟预测）若正数 满足 ，则 的最小值是 ．
【答案】4
【分析】由基本不等式求解即可．
【详解】因为 为正数， ，
所以 ，即 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
故答案为：4．
19．（23-24高二下·云南·阶段练习）设 ，若直线 过曲线 （ ，且
）的定点，则 的最小值为 ．
【答案】2
【分析】根据指数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】因为曲线 过定点 ，
所以 ，即 ，则
，
当且仅当 时,即 时取“ ”，所以 的最小值为2．
故答案为：2
20．（23-24高一上·广西百色·期末）若 ，则 的最小值为 .
【答案】9【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
【详解】由 ，得 ，于是 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为9.
故答案为：9
21．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，某人沿围墙 修建一个直角梯形花坛 ，设直角边
米， 米，若 米，问当 米时，直角梯形花坛 的面积最大．
【答案】
【分析】先求出面积的表达式，再根据基本不等式即可得解.
【详解】由题意 米，
则直角梯形花坛 的面积
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以当 米时，直角梯形花坛 的面积最大．
故答案为： .
22．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用均值定理即可求得 的最小值.
【详解】 ，因为 ，故 ，
（当且仅当 ，即 时取等号．）
则 的最小值为 ,
故答案为：
四、解答题
23．（23-24高二下·全国·期中）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造
隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的
能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度 （单位； ）满足关系： ，设
为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和．
(1)求 的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用 达到最小，并求最小值．
【答案】(1)
(2)当隔热层修建 厚时，总费用最小，最小值为 万元
【分析】（1）由建造费与能源消耗费求和可得；
（2）利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）每年能源消耗费用为 ，建造费用为 ，
∴ .
（2）因为 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以当 时， 取得最小值 ，
∴当隔热层修建6cm厚时，总费用最小，最小值为112万元.
24．（23-24高一上·陕西渭南·阶段练习）已知 ， ， ，求证：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】运用基本不等式对（1）（2）进行求解即可.
【详解】（1）
∵ ， ， ，∴ ， ，
当且仅当 时，等号成立.∴ ；
（2）∵ ， ，∴ ，当且仅当 时，等号成立；
∵ ， ，∴ ，当且仅当 时，等号成立；
∵ ， ，∴ ，当且仅当 时，等号成立；
累加，得 ，证毕.
25．（23-24高一上·浙江·期末）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款
运动手表，经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产 （单位：千只）手表，
需另投入可变成本 万元，且 ，由市场调研知，每部手机售价 万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额-固定成本-可变成本）
(1)求2024年的利润 （单位：万元）关于年产量 （单位：千只）的函数关系式．
(2)2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2) 年的年产量为 千只时，企业所获利润最大，最大利润是 万元
【分析】（1）依题意可得 ，再分 、 分别求出 的解析式；
（2）利用二次函数的性质和基本不等式分别求出每一段上的最大值，再取两者较大的即可．
【详解】（1）依题意 ，
当 时， ，
当 时， ，
故 ；
（2）若 ， ，
当 时， ，
若 ， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以当 时， ，又 ，
故 年的年产量为 千只时，企业所获利润最大，最大利润是 万元．
26．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）完成下列不等式的证明：(1)对任意的正实数 ， ， ，证明： ；
(2)设 ， ， 为正实数，且 ，证明： .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由基本不等式得到 ，相加后得到答案；
（2）由基本不等式得到 ，相加后得到答案.
【详解】（1）由基本不等式可得 ，
所以 ，
即
当且仅当 时取等；
（2）因为
所以 ，即 ，
因为
所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等
【B级 能力提升练】一、单选题
1．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．5 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】由基本不等式中“1”的妙用代入计算即可得出最小值.
【详解】 ，
当且仅当 即 时等号成立，所以 的最小值为5.
故选：A.
2．（2023·河南信阳·模拟预测）若 ，则函数 有（ ）
A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值
【答案】D
【分析】由题意， ， ，利用基本不等式求解.
【详解】因为 ，所以 ，
.
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以函数 有最大值 .
故选：D.
3．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足 ，且 ，则 的最小值为
（ ）A． B．8 C． D．
【答案】A
【分析】由题意得 ，进一步表示出 ，结合基本不等式即可求
解.
【详解】因为 ，且 ，所以 ，
从而 ，等号成立当且仅当 ，
所以 的最小值为 .
故选：A.
4．（2024·辽宁·一模）已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意， ，将所求式子变形，利用基本不等式求解.
【详解】由 ，
， ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立.
故选：A.
5．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对于AB，利用对数函数的性质即可判断；对于CD，利用对数的运算得到 ，结合基本不
等式即可判断.【详解】因为 ，所以 ，
对于A，易得 ，所以 ，故A成立.
对于B，因为 ，所以 ，故B成立.
对于C， ，
当且仅当 时，等号成立，
显然等号不成立，所以 ，故C不成立.
对于D，因为 且 ，
所以 ，故D成立.
故选：C.
6．（2024·辽宁大连·一模）若 奇函数，则 的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用奇函数的定义与对数运算可得 ，结合奇函数的定义域可得 ，
在利用基本不等式即可得 的最小值.
【详解】若 为奇函数，则 ，
所以 ，
则 ，整理得 ，
又因为 ，奇函数的定义域满足 ，
即 ，结合 可得 ，即 ，故
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故 的最小值 .
故选：B.
7．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）故宫博物院收藏着一幅《梧桐双兔图》.该绢本设色画纵约 ，
横约 ，挂在墙上最低点 离地面 ，小兰身高 (头顶距眼睛的距离为 .为使观测视角
最大，小兰离墙距离 应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意只需 最大，设小兰眼睛所在的位置点为点 ，过点 做直线 的垂线，垂足为 ，
求出 ， ，设 ，则 ，求出 ， ，代入 ，利
用基本不等式求解即可.
【详解】由题意可得 为锐角，故要使 最大，只需 最大，
设小兰眼睛所在的位置点为点 ，过点 做直线 的垂线，垂足为 ，如图，
则依题意可得 （cm）， （cm）， ，
设 ，则 ，且 ，，
故
所以 ，当且仅当 即 时等号成立，
故使观赏视角 最大，小兰离墙距离 应为 cm.
故选：C.
8．（2024·全国·模拟预测）已知 ， 且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由基本不等式和 可得 ，化简可得 ，令 ，
利用换元法，结合对勾函数的性质计算即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ．
因为 ，令 ，则 ， ，
所以 ，
由对勾函数 在 上单调递增，则当 时函数取到最小值，
所以当 时， ，
所以 .
故选：B．
9．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）为提高市民的健康水平，拟在半径为200米的半圆形区域内修建
一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中 区域
是休闲健身区，以 为底边的等腰三角形区域 是儿童活动区，P，C，D三点在圆弧上， 中点恰
好在圆心O，则当健身广场的面积最大时， 的长度为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】D
【分析】
先设 ，然后将健身广场的面积表示为 的函数 ，再使用基本不等式和二次函数的性
质确定 取得最大值时 的取值，最后求出此时 的长度.
【详解】如图，设半圆的半径是 ，并设 ，则 ，由 知 .由于 ，故四边形 和四边形
都是上底为 ，下底为 ，高为 的梯形.
所以，健身广场的面积 .
从而，健身广场的面积最大的时候，恰好就是 最大的时候，而我们又有：
，第一个不等号使用了基本不等式.
等号成立当且仅当 且 ，即 且 .
由于 时 ，故等号成立当且仅当 .
以上结论表明，的 最大值是 ，且取到最大值当且仅当 .
由 ，我们得到当健身广场的面积最大时， 的长度为 .
最后，由 是半圆的半径，再根据题目条件，知 等于200米，所以 的长度为 米，D选项正确.
故选：D.二、多选题
10．（2023·浙江绍兴·二模）已知 ， ， ，则（ ）
A． 且 B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由 ，可得 ，即可判断 ，同理判断 ，判断A；利用基本不等式可判
断B，C，D；
【详解】对于A， ， ， ，则 ，故 ，同理可得 ，A正确；
对于B， ， ， ，
当且仅当 时取等号，B正确；
对于C， ， ， ，则 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，C错误；
对于D，由于 ，故 ，
当且仅当 时取等号，而 ，故 ，D正确，
故选：ABD
11．（2024·全国·模拟预测）已知 ， 且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 有最小值4 B． 有最小值
C． 有最小值 D． 的最小值为
【答案】ABD【分析】利用基本不等式可判断各选项.
【详解】A选项：由 ，得 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，故A选项
正确；
B选项： ，当且仅当 ，即 ，
时取等号，故B选项正确；
C选项：由 ，得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，故C选项错误；
D选项：由A的分析知 且 ， 时取等号，
所以 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，故D选项正确；
故选：ABD．
12．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知 ．则下列结论正确的有（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为
C． 的最小值为3 D．
【答案】BD
【分析】对于A： 求关于b的函数的最值并验证等号的取得；对BC：使用基本不等式
求最值并验证等号的取得；对D： 求关于b的函数的最值并验证等号的取得.
【详解】因为 ， ，所以 ， ，
对于A： ，当 ，即 时，有最大值 ，而 ，取不到最值，故A错，
对于B： ，
当且仅当 ，即当 时取等号，所以B正确，
对于C：
，
当且仅当 ，即 时等号成立，而 ，所以取不到最值，故C错，
对于D：因为 ，所以 ，所以 ，
设 ， ，则 ，
所以 在 上递减，所以 ，所以 ，故D正确，
故选：BD
三、填空题
13．（23-24高一下·河北保定·开学考试）若正数 满足 ，则 的最大值为 ．
【答案】10
【分析】利用基本不等式求积的最大值即可.
【详解】因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，故 的最大值为10．
故答案为：10
14．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若 ， ， ，则 的最大值为 .【答案】 /
【分析】根据基本不等式求最大值即可.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最大值为为 ,
故答案为： .
15．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最小值是 ．
【答案】 / ．
【分析】利用 “1”的巧用及基本不等式即可求解.
【详解】由 ，得 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
所以 的最小值是 ．
故答案为： ．
16．（2024·陕西西安·三模）已知 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】 /【分析】依题意可得 ，再由基本不等式计算可得.
【详解】因为 ， 且 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
故 的最小值为 ．
故答案为： ．
17．（2024·上海普陀·二模）若实数 ， 满足 ，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】由已知 ， ， ，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
18．（23-24高一上·浙江·期末）已知 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】根据已知条件，结合换元法，以及基本不等式的公式，即可求解．
【详解】因为 ，所以设 ，则 ，
所以 ， ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时等号成立，
所以 的最小值为 ．
故答案为： ．
四、解答题
19．（2024·全国·二模）已知实数 ，满足 .
(1)求证： ；
(2)求 的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将 两边平方后利用基本不等式证明；
（2）将 变形后将条件代入，然后利用基本不等式求最值.
【详解】（1）由 得 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ；（2）由已知 ，则 ，
则
，
当且仅当 ，即 一个为 ，一个为 时等号成立.
所以 的最小值 .
20．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知 ， ，且 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用基本不等式“1”的妙用即可得证．
（2）将 代入“ ”中，从而利用基本不等式即可得证．
【详解】（1）由 ，所以 ．
所以
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，由此得证．（2）因为 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，由此得证．
21．（23-24高一下·甘肃白银·期中）养鱼是现在非常热门的养殖项目，为了提高养殖效益，养鱼户们会在
市场上购买优质的鱼苗，分种类、分区域进行集中养殖．如图，某养鱼户承包了一个边长为100米的菱形
鱼塘（记为菱形 ）进行鱼类养殖，为了方便计算，将该鱼塘的所有区域的深度统一视为2米．某养
鱼户计划购买草鱼苗、鲤鱼苗和鲫鱼苗这三种鱼苗进行分区域养殖，用不锈钢网将该鱼塘隔离成 ，
， 三块区域，图中 是不锈钢网露出水面的分界网边，E在鱼塘岸边 上（点E与D，
C均不重合），F在鱼塘岸边 ．上（点F与B，C均不重合）．其中△ 的面积与四边形 的面
积相等，△ 为等边三角形．
(1)若测得EC的长为80米，求 的长．
(2)已知不锈钢网每平方米的价格是20元，为了节约成本，试问点E，F应如何设置，才能使得购买不锈钢
网所需的花费最少？最少约为多少元？（安装费忽略不计，取 ）
【答案】(1)62.5米
(2)E，F分别在DC，DB上距离C点70.7米，6828元．
【分析】（1）由 ，结合三角形的面积公式求解即可.
（2）设 米， 米， ， ．由余弦定理和三角形的面积公式可求出，再由基本不等式求解即可.
【详解】（1）依题意得 平方米，
由 米，得 平方米，
解得 米，即CF的长为62.5米，
（2）设 米， 米， ， ．
在△ECF中，由余弦定理可得 ，
因为 平方米，所以 米，
所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
故当E，F分别在DC，DB上距离C点70.7米时，EF最短，此时购买的不锈钢网面积最小，花费最小．
当 时，不锈钢网的面积为 平方米，
所需的花费最少为 元．
22．（2023·贵州黔西·一模）设 ， ， 均为正数，且 ，证明：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由 ，则 ，根据 ，， ，即可得证；
（2）由已知得若证 ，即证 ，再根据 ， ，
，即可得证.
【详解】（1）由 ，得 ，
又由基本不等式可知当 ， ， 均为正数时， ， ， ，
当且仅当 时，上述不等式等号均成立，
所以 ，
即 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立；
（2）因为 ， ， 均为正数，
所以若证 ，
即证 ，
又 ， ， ，当且仅当 时，不等式等号均成立，
则 ，
即 ，当且仅当 时等号成立.
23．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知 ， ．
(1)若 ，证明： ．
(2)若 ，求 的最小值．
(3)若 ，求 的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)【分析】（1）依题意可得 ，要证 ，即证 ，利用基本不等式计算可得；
（2）利用基本不等式得到关于 的不等式，解得即可；
（3）依题意可得 ，再利用基本不等式得到关于 的不等式，解得即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
又 ， ，则 ，
要证 ，即证 ，
即证 ，
而 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以原命题得证；
（2）因为 ， 且 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 或 （舍去），当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 .
（3）因为 ，
所以 ，则 ，
又 ，当且仅当 时等号成立，
即 ，所以 ，显然 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
即 的最大值为 .【C级 拓广探索练】
一、单选题
1．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）设正实数 满足 ，则当 取得最大值时，
的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将 代入 后剩下关于 的二元不等式 ，经齐次化处理后使用基
本不等式在 时最大值时，将 代入所求关系式 ，得到二次函数利用配方法即可
求得其最大值.
【详解】 ，
，又 均为正实数，
（当且仅当 时取"=")，
，此时 .
，
，当且仅当 时取得"="，满足题意.
的最大值为1.
故选：B.
【点睛】对含有多元变量的函数求最值时通常要减少变量的个数，减少变量的个数方法有:①代入消元，把其中一个变量用其它变量表示后代入消元;②对齐次式可通过构造比值 消元.
2．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知x为正实数，y为非负实数，且 ，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
变形式子 ，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由x为正实数，y为非负实数，得 ，由 ，得 ，
于是
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， 取得最小值 .
故选：B
3．（2024·全国·模拟预测）设 为 中最大的数.已知正实数 ，记 ，
则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据函数定义可知 ， ， ，再由基本不等式可得当 时， 取得最小值2.
【详解】由 ，得 ， ， ，
所以 ，即 ，因为 ，所以 ；
由基本不等式可得 ，所以 ，
所以 ， ，
当 ，即 时， 取得最小值2.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数定义得出 ， ， ，再结合基本不等式
求得 .
4．（22-23高一上·河南·阶段练习）已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
法一：因式分解后根据式子特征，设 ， ，从而表达出 ，结合基
本不等式去除最小值；
法二：采用三角换元，结合三角函数恒等变换，利用三角函数有界性求出最小值.
【详解】
法一：∵ ，
∴可设 ， ，
∴ ，代入所求式子得，
，当且仅当 ， 时等号成立.所以 的最小值为 .
法二：设 ， ，
代入已知等式得， ，
∴
，
其中 ， .
∴ ，所以 的最小值为 .
故选：D
二、多选题
5．（23-24高一上·福建泉州·期末）已知 ，则（ ）
A． 的最小值为 B． 的最大值为
C． 的最小值为 D． 的最小值为
【答案】ABD
【分析】根据指数运算，结合基本不等式即可判断A；结合对数运算，利用基本不等式可判断B；将
化为关于x的二次函数，结合二次函数性质可判断是C；通过变量代换，令 ，
得到 ，根据“1”的巧用，将 变形后，利用基本不等式，即可判断D..
【详解】对于A，由于 ，故 ，当且仅当 ，结合 ，即 时，等号成立，
即 的最小值为 ，A正确；
对于B，由于 ， ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 ，即 的最大值为 ，B正确；
对于C，又 ，得 ，
故
由于 ，而 对称轴为 ，
则 在 上单调递减，在 上无最值，C错误；
对于D，令 ，则 ，
故 ，
由于 ，故 ，
，
则 ，
当且仅当 ，结合 ，即 时，等号成立，
所以 ，
即 的最小值为 ，D正确，
故选：ABD
【点睛】难点点睛：本题考查了基本不等式的应用，主要是求最值问题，难点是选项D的判断，解答时要通过变量代换，令 ，得到 ，根据“1”的巧用，将 变形后，利用基本
不等式，即可求解.
三、填空题
6．（2023·山西·模拟预测）已知 ，且 ，则 的最小值是 .
【答案】8
【分析】通过对 变形可得 和 ，然后利用基本不等式可解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
又 ，所以 ，即 ，
即 ，所以 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立.
故答案为：8
7．（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）已知实数 满足 ，则 的最大值为
.
【答案】
【分析】由换元法构造函数，再由导数判断单调性后求解最值．
【详解】由条件知 令 ，
则 ，
令 ，
则 ，当 时， ，当 时， 时， ，
故当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
当 时， 取得最大值 ，
故答案为：
四、解答题
8．（2023·全国·模拟预测）已知 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)求 的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过 ， ， ，三式相加，可得：
.
再根据 ， ，∴ ， ，且 ，可得结果.
（2）先用公式 和 把原式转化为：
，再用 和 进行消元，转化为 的二次三项式，再用配方法可求最
大值.【详解】（1）因为 ，
所以 ，
以上三式相加得 ，
所以 ，当且仅当 时取等号．
因为 ，且 ，所以 ， ，所以 ，
所以 ．
故 .
（2） ，
，
当且仅当 ， 时取等号，
的最大值为 ．
9．（23-24高一上·山东青岛·期末）某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tml药品，从注射时间起
血药浓度y（单位：ug/ml）与药品在体内时间 （单位：小时）的关系如下： 当血药浓度不低于 时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过 ．
(1)若注射 药品，求药品的有效治疗时间；
(2)若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1ml
药品，12小时之后又注射aml药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效消疗，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由血药浓度与药品在体内时间的关系，计算血药浓度不低于 时对应的时间段；
（2）由两次注射的血药浓度之和不低于 ，利用基本不等式求 的最小值．
【详解】（1）注射 该药品，其浓度为
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ．
所以一次注射 该药品，则药物有效时间可达 小时．
（2）设从第一次注射起，经 小时后，
其浓度 ，则 ，
因为 ，
当 时，即 时，等号成立．
，当 时， ，
所以 ，因为 ，
解得 ，所以 ．当 时， ， ，所以 不能保证持续有效，
答：要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗， 的最小值为 ．
