文档内容
专题 12 数列不等式放缩技巧
目录
01考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................6
05 核心精讲·题型突破.........................................................................................................................8
题型一：先求和后放缩 8
题型二：裂项放缩 10
题型三：等比放缩 12
题型四： 型不等式的证明 14
题型五： 型不等式的证明 16
题型六： 型不等式的证明 18
题型七： 型不等式的证明 20
重难点突破：利用递推关系进行放缩 22数列放缩技巧是高考数学中的核心考点，尤其在数列与不等式相结合的复杂问题中更为凸显。当前，
这类问题的难度已趋于稳定，保持在中等偏难水平。解题时，关键在于对数列通项公式的灵活处理，特别
是通过巧妙的变形来接近那些具有明确求和公式的数列类型。在此过程中，向可裂项相消的数列和等比数
列靠拢，成为了放缩策略中的高级且有效的手段。
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
预测 2025 年高考数学
试题趋势，多以解答题形式
出现，具体估计为：（1）
在导数题目的压轴环节，第
二问极有可能涉及利用导数
理论进行数列不等式的证
2023年II卷第18题，12分
明，此类型问题预计将具备
2022年I卷第17题，10分 较高的思维难度与解题复杂
掌握技巧，提升 度，对考生的逻辑推理与数
数列不等式 2021年乙卷第19题，12分
解题能力 学分析能力提出严峻挑战。
2021年II卷第17题，10分 （2）至于数列解答题部
2021年浙江卷第20题，15分 分，其第二问预计将以中等
偏上的难度水平出现，该题
预计将融合多个知识点，构
成一道综合性较强的题目，
旨在全面考察考生对数列知
识的深入理解及灵活运用能
力。常见放缩公式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ；
（9） ；
（10）；
（11）
；
（12） ；
（13） ．
（14） ．
（15）二项式定理
①由于 ，
于是
② ，
；
，
（16）糖水不等式
若 ，则 ；若 ，则 ．1．（2023年天津高考数学真题）已知 是等差数列， ．
(1)求 的通项公式和 ．
(2)设 是等比数列，且对任意的 ，当 时，则 ，
（Ⅰ）当 时，求证： ；
（Ⅱ）求 的通项公式及前 项和．
2．（2022年新高考全国I卷数学真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数
列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
3．（2021年天津高考数学试题）已知{a }是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{b }是公比大于0
n n
的等比数列， ．
（I）求{a }和{b }的通项公式；
n n（II）记 ，
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明
4．（2021年浙江省高考数学试题）已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，
求实数 的取值范围.
5．（2020年浙江省高考数学试卷）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，
．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比 ，且 ，求q与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差 ，证明： ．题型一：先求和后放缩
【典例1-1】（2024·高三·辽宁大连·期中）已知 的前n项和为 ， ，且满足______，现有以下条
件：
① ；② ；③
请在三个条件中任选一个，补充到上述题目中的横线处，并求解下面的问题：
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求 的前n项和 ，并证明： ．
【典例1-2】已知数列 满足： 是公差为6的等差数列， 是公差为9的等差数
列，且 .
(1)证明： 是等差数列；
(2)设 是方程 的根，数列 的前 项和为 ，证明： .先求和后放缩方法是一种处理数列不等式问题的有效策略。其核心思路在于，首先通过求和将数列的
项合并，简化问题形式；接着，在求和的基础上进行适当的放缩，即利用不等式的性质对求和结果进行放
大或缩小，从而更便于进行后续的比较和推导。
【变式1-2】已知数列 满足 .记 .
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)若 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【变式1-3】已知在数列 中， ，且当 时， .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
1．设数列 的前 项和为 ．若对任意的正整数 ，总存在正整数 ，使得 ，则称 是“
数列”．
(1)若 ，判断数列 是否是“ 数列”；(2)设 是等差数列，其首项 ，公差 ，且 是“ 数列”，
①求 的值；
②设 为数列 的前 项和，证明：
题型二：裂项放缩
【典例2-1】已知数列 的首项为1，其前 项和为 ，等比数列 是首项为1的递增数列，若
．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)证明： ；
(3)求使得 成立的最大整数 ．
【典例2-2】数列 中， ， ，（ ）.
(1)试求 、 的值，使得数列 为等比数列；
(2)设数列 满足： ， 为数列 的前n项和，证明： 时， .放缩方法是一种处理数列求和及不等式证明的技巧。其核心在于将数列的通项进行裂项，即将其拆分
为两部分或多部分，以便更容易地观察其规律或进行放缩。
在裂项后，我们可以根据不等式的需要，对拆分后的项进行适当的放大或缩小。这种放缩通常基于数
列的单调性、有界性或其他已知性质。
裂项放缩方法的关键在于准确裂项和合理放缩，它能够帮助我们简化问题，揭示数列的内在规律，从
而更轻松地证明数列不等式。
【变式2-1】已知正项数列 满足 ， ，且对于任意 ，满足 ．
(1)求出数列 的通项公式；
(2)设 ，证明：数列 的前n项和 ；
(3)设 ，证明： ．
【变式2-2】已知数列 的前 项和为 ， ，且 ．
(1)求 ；
(2)若从数列 中删除 中的项，余下的数组成数列 ．
①求数列 的前 项和 ；
②若 成等比数列，记数列 的前 项和为 ，证明： ．1．已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： .
题型三：等比放缩
【典例3-1】已知数列 满足 , （ ）.
(1)记 （ ），证明：数列 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)设 （ ），且数列 的前 项和为 ，求证： （ ）.
【典例3-2】已知数列 和 满足 ， ， ．
(1)证明： 是等比数列；(2)设 ，求数列 的前 项和 ；
(3)证明： ．
等比放缩方法是一种处理数列不等式问题的有效技巧。其核心思想在于，通过观察数列的项与项之间
的关系，发现其等比规律，并利用这一规律对数列的项进行适当的放大或缩小。
在具体应用时，我们可以根据数列的等比性质，选择一个合适的等比数列作为放缩的基准，然后对原
数列的每一项都按照这个等比数列进行放缩。这种方法的关键在于准确把握等比数列的性质，以及合理确
定放缩的倍数，从而确保放缩后的不等式仍然成立。
【变式3-1】数列 是等差数列，数列 是等比数列，满足： ，
．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)数列 和 的公共项组成的数列记为 ，求 的通项公式；
(3)记数列 的前 项和为 ，证明：
【变式3-2】已知数列 的前 项和为 ，若 ，且满足 （ ）.
(1)求数列 的通项公式；(2)证明： .
1．已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ，记数列 的前n项和为 ，求证： ．
题型四： 型不等式的证明
【典例4-1】已知函数 ．
(1)若 ，证明： ；
(2)记数列 的前 项和为 ．
（i）若 ，证明： ．
（ii）已知函数 ，若 ， ， ，证明： .【典例4-2】数列 的前 项和为 ， 满足 且首项 .
(1)证明：数列 为等比数列，并求出数列 的通项公式 ；
(2)令 讨论f'(1)（f'(x)为 的导数）与 的大小关系.
通项分析法进行放缩
【变式4-1】已知函数 在点 处的切线与 轴重合．
(1)求函数 的单调区间与极值；
(2)已知正项数列 满足 ， ， ，记数列 的前 项和为 ，求证：
．
【变式4-2】已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若对任意 ，都有 恒成立，求 的最大整数值；
(3)对于任意的 ，证明： ．1．柯西不等式是数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，其形式为：
，等号成立条件为 或
至少有一方全为0．柯西不等式用处很广，高中阶段常用来计算或证明表达式的最值问
题．已知数列 满足 ．
(1)证明：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)证明： ．
题型五： 型不等式的证明
【典例5-1】已知函数 ， .
（1）判断函数 在(0,+∞)上的单调性；
（2）若 在(0,+∞)上恒成立，求整数m的最大值.（3）求证： (其中e为自然对数的底数).
【典例5-2】（2024·辽宁大连·一模）已知函数 .
(1)若函数 在点 处的切线在两坐标轴上截距相等，求 的值；
(2)（i）当 时， 恒成立，求正整数 的最大值；
（ii）记 ， ， 且 .试比较 与 的大小并说明理
由.
通项分析法进行放缩
【变式5-1】设数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)证明：数列 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)设 ，证明： ．
【变式5-2】伯努利不等式又称贝努力不等式，由著名数学家伯努利发现并提出.·伯努利不等式在证明数列
极限、函数的单调性以及在其他不等式的证明等方面都有着极其广泛的应用.·伯努利不等式的一种常见形
式为：
当 ， 时， ，当且仅当 或 时取等号.(1)假设某地区现有人口100万，且人口的年平均增长率为 ，以此增长率为依据，试判断6年后该地区
人口的估计值是否能超过107万？
(2)数学上常用 表示 ， ， ， 的乘积， ， .
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）已知直线 与函数 的图象在坐标原点处相切，数列 满足： ，
，证明： .
1．已知数列 满足 ，且 ， ．
(1)计算 ， ；
(2)求猜测 的通项公式，并证明；
(3)设 ，问是否存在使不等式 对一切 且 均成立
的最大整数 ，若存在请求出，若不存在，请说明理由．题型六： 型不等式的证明
【典例6-1】在各项均为正数的数列 中， ， ， ．
(1)证明数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前n项和为 ．
（i）求 ；（ii）证明： ．
【典例6-2】已知函数 的最小值为0，其中 ．
(1)求 的值；
(2)若对任意的 ，有 成立，求实数 的最小值；
(3)证明： ．
构造函数进行放缩
【变式6-1】已知数列 是公比大于0的等比数列， ， .数列 满足： （
）.(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： 是等比数列；
(3)证明： .
【变式6-2】已知数列 ， 为数列 的前 项和，且满足 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
1．已知函数 ．
(1)证明：对 恒成立；
(2)是否存在 ，使得 成立？请说明理由．题型七： 型不等式的证明
【典例7-1】已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 ，求k的值；
(3)设m为整数，且对于任意正整数n， ，求m的最小值.
【典例7-2】已知函数 ．
（1）求 的最大值；
（2）设 ， 是曲线 的一条切线，证明：曲线 上的任意一点都不可
能在直线 的上方；
（3）求证： （其中 为自然对数的底数， ）．构造函数进行放缩
【变式7-1】已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
(3)求证： （ ， 是自然对数的底
数）．
【变式7-2】已知函数 .
(1)若 在 上单调递增，求 的值；
(2)证明： （ 且 ）.1．已知函数 ， ， ．令 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： ．
重难点突破：利用递推关系进行放缩
【典例8-1】（2024·高三·重庆·期末）已知正项数列 满足：
（1）求 的范围，使得 恒成立；
（2）若 ，证明：
（3）若 ，证明：
【典例8-2】已知数列{a }满足： ， （ ）．
n（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）证明： ；
（Ⅲ）求证： ．
利用递推关系进行放缩时，我们首先要明确数列的递推公式，然后根据这个公式对数列的项进行适当
的放大或缩小。关键在于保持放缩后的不等式方向不变，同时确保放缩后的数列更容易处理。这种方法能
够帮助我们揭示数列的深层结构，从而更有效地解决数列不等式问题。
【变式8-1】定义数列 为“阶梯数列”： ．
(1)求“阶梯数列”中， 与 的递推关系；
(2)证明：对 ，数列 为递减数列；
(3)证明： ．
【变式8-2】已知数列 满足 ， ， ．(1)猜想数列 的单调性，并证明你的结论；
(2)证明： ．
1．已知数列 满足 ， .证明：对这一切 ，有
（1） ；
（2） .
