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专题 11 数列不等式（典型题型归类训练）
目录
一、典型题型.......................................................................................1
题型一：数列不等式恒成立...........................................................1
题型二：数列不等式能成立（有解）问题....................................8
二、专题11 数列不等式专项训练....................................................14
一、典型题型
题型一：数列不等式恒成立
1．（23-24高二下·河南南阳·期中）记数列 的前 项和为 ，已知 ，且
．
(1)令 ，求数列 的通项公式；
(2)若对于任意的 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）分类讨论 是奇数和偶数，利用递推公式计算即可；
（2）先利用等差数列求和公式分组求和，再分离参数，令 ，判定其单调性，计算
即可.
【详解】（1）令 ，则 ①，
令 ，则 ②，②－①，得 ，
又因为 ，所以可得 ，
代入①式，得 ，所以 ．
（2） ，其中 ，
，所以 ．
由 ，可得 恒成立．
设 ，则 ，
当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ，
所以 ，故 ，所以 ，
即实数 的取值范围为 ．
2．（2024·广东韶关·二模）记 上的可导函数 的导函数为 ，满足
的数列 称为函数 的“牛顿数列”.已知数列 为函数
的牛顿数列，且数列 满足 .
(1)求 ；
(2)证明数列 是等比数列并求 ；
(3)设数列 的前 项和为 ，若不等式 对任意的 恒成立，求t的
取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
(3)
【分析】（1）求出导函数，化简数列递推式，根据对数运算及递推式求解即可；
（2）对递推式变形结合对数运算求得 ，利用等比数列定义即可证明，代入等比数
列通项公式求解通项公式；（3）先利用等比数列求和公式求和，再把恒成立问题转化为 对任意的
恒成立，令 ， ，利用导数研究函数的单调性，然后根据单调
性求解函数最值，根据n的奇偶性分别求解范围即可.
【详解】（1）因为 ，则 ，从而有
，
由 ，则 ，
则 ，解得 则有 ，所以 ；
（2）由 ，则 ，
所以 ，
故 （非零常数），且 ，所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数
列，
所以 ；
（3）由等比数列的前n项和公式得： ，
因为不等式 对任意的 恒成立，又 且 单调递增，
所以 对任意的 恒成立，令 ， ，
则 ，当 时， ， 是减函数，
当 时， ， 是增函数，
又 ，且 ， ， ，则 ，
当n为偶数时，原式化简为 ，所以当 时， ；当n为奇数时，原式化简为 ，所以当 时， ，所以 ；
综上可知， .
3．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）已知数列 满足： ，且 .设
的前 项和为 ， .
(1)证明： 是等差数列；
(2)求 ；
(3)若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据等差数列的定义证明
（2）由已知得 ，再通过错位相减法求解出 ；
（3）不等式化简为 ，把问题转化为 对 恒成立，然后
分别求出当 、 和 时，t满足的条件即可
【详解】（1）因为 ，所以 ，
，
且 ，所以 是以-2为首项，且公差为1的等差数列，即 .
（2）由（1）知， ，所以 .
则 ，
于是 ，
两式相减得，
因此 .
（3）由 ，得 ，
依题意， 对 恒成立，
当 时， ，则 ；
当 时，不等式恒成立；
当 时， ，
则 ，于是 ，
综上,实数 的取值范围是 .
4．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）设正项数列 的前 项之和
，数列 的前 项之积 ，且 .
(1)求证： 为等差数列，并分别求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，不等式 对任意正整数 恒成立，求正实
数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析， ，
(2)
【分析】（1）利用已知关系可得 ，代入 ，化简可证 为等差数列，
从而求得 ， 的通项公式；
（2）由（1）得 ，利用裂项相消可得 ，利用数列的单调性求出 ，解不等式即可求出正实数 的取值范围.
【详解】（1）由题意知：当 时， ，代入 得 ，
所以 .
由 ，得 ，
所以 是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以 ， ， ，
当 时， ，
当 时， 也符合上式，所以 .
（2）由（1）得 ，
所以
.
显然 单调递增，所以 .
由题意得 ，即 ，
又 ，所以 的取值范围为 .
5．（2024·湖南·二模）已知 是各项都为正数的等比数列，数列 满足：
，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若对任意的 都有 ，求实数 的取值范围.【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）利用题设条件求得 ，再利用等比数列的通项公式求得 ，进而求得
；
（2）将问题转化为 恒成立，再利用作差法求得 的最大值，从而得
解.
【详解】（1）因为 ， ， ，
所以 ，则 ，
，则 ，
因为 是各项都为正数的等比数列，所以 ，即 ，
所以 ，则 .
（2）因为 恒成立，所以 恒成立，
设 ，则 ，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
所以 ，则 .
6．（23-24高二上·山东烟台·期末）设数列 ， 的前n项和分别为 ， ，
， ，且 ， （ ）.
(1)求 的通项公式，并证明： 是等差数列；
(2)若不等式 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ，证明见解析；
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，结合 求出 的通项，再利用等差数列
的定义推理即得.（2）利用错位相减法求和得， ，由给定不等式得，
，再求出 的最小值即可.
【详解】（1）数列 中， ，当 时， ，两式相减得，
，
又 ，即 ，而 ，解得 ，则 ，
所以数列 为等比数列， ；
由 ， ，得 ，
因此数列 是以 为首项、1为公差的等差数列.
（2）由（1）得， ，即 ，
则 ，
于是 ，
两式相减得， ，
因此 ，
又 ，即 ，
于是 ，而 ，当且仅当 时等号成立，则 ，
所以实数 的取值范围为 .
【点睛】思路点睛：涉及数列不等式恒成立问题，可以变形不等式，分离参数，借助函数
思想求解即可.
题型二：数列不等式能成立（有解）问题
1．（2024·云南·一模）已知 为等比数列，记 分别为数列 的前 项和，， .
(1)求 的通项公式；
(2)是否存在整数 ，使 对任意正整数 都成立？若存在，求 的最小
值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ， ；
(2)存在， 的最小值为3.
【分析】
（1）利用等比数列求和公式得首项和公比的方程组，得 ，利用数列的和与通项的关
系得 ，结合 得 是等差数列即可求解；
（2）错位相减法求和得 ，再利用数列性质求最值即可求解.
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，根据已知得 ，且
解方程组得
的通项公式为 .
，
，解得 ，
且 .
，
即 .
且 ，
则 ，
整理得 ，故 是以1为首项，2为公差的等差数列，
故 .
的通项公式为 .
（2）设 ，则 .
，
.
恒成立，且 ,
存在整数 ，使 对任意正整数 都成立，且 的最小值为3.
2．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知正项数列 的前n项和为 ，且 ；
数列 是单调递增的等比数列，公比为q，且 ， 的等差中项为10； ， 的等比中
项为8．
(1)求 ， 的通项公式；
(2)设 ， 为数列 的前n项和，若存在 使得 成
立，求实数 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用 与 的关系可得 ，利用等比数列性质及等差中项、等比中项性质
可得 ；
（2）分组求和可得 ，可将原不等式转化为 ，计算即可得.
【详解】（1）由 可得 ，
当 时， ，两式相减得 ，
，
即 ，
，即可得 是等差数列．
由 ，得 ，
即 ．
由题意得 ，即 ，解得 或 ，
是递增的等比数列，
，所以 ，得 ，
，
即 ；
（2）由（1）得：
若存在 使得 成立，
等价于存在 使得 能成立，
设 ，则 ，
是递减数列，故 的最大值为 ，
因此 的最大值为 .
3．（2024·云南曲靖·一模）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，其前 项和为 ，求使得 成立的 的最小值．
【答案】(1) ；
(2)10.
【分析】
（1）根据 关系及递推式可得 ，结合等比数列定义写出通项公式，即
可得结果；
（2）应用裂项相消法求 ，由不等式能成立及指数函数性质求得 ，即可得结果.
【详解】（1）当 时， ，
所以 ，则 ，而 ，所以 ，故 是首项、公比都为2的等比数列，
所以 .
（2）由 ，
所以 ，
要使 ，即 ，
由 且 ，则 .
所以使得 成立的 的最小值为10.
4．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知正项数列 的前n项和为 ， ；数
列 是递增的等比数列，公比为q，且 ， 的等差中项为10， ， 的等比中项为8．
(1)求 ， 的通项公式；
(2)设 ， 为 的前n项和，若 能成立，求实数
的最大值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用 的关系式即可求得 是等差数列，可得 ；再利用等比
数列定义即可求得 ，可得 ；
（2）采用分组求和并利用等差、等比数列前 项和公式即可求得 ，不
等式能成立等价于 ，利用单调性可求得 .
【详解】（1）由 可得 ，
当 时， ，两式相减得 ，
∴ ，
即 ．∵ ，
∴ （ ），即可得 是等差数列．
由 ，得 ，∴ ，
即 ．
由题意得 ，即 ，解得 或 ．
∵ 是递增的等比数列，
∴ ，所以 ，得 ，
∴ ．
所以 和 的通项公式为 ， ．
（2）由（1）得：
．
能成立，等价于 能成立，
化简得 能成立，即 ．
设 ，则
，
∴ 是递减数列，故 的最大值为 ．
∴ ，
因此 的最大值为 ．
5．（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知正项数列 的前 项和为 ，且
．数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，数列， ．
(1)求数列 的通项公式及 ；
(2)若对任意 ，存在 使得 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ； ；
(2) ．
【分析】（1）利用 的关系式可求得数列 的通项公式为 ，由错位相
减法求和即可得 ；
（2）易知 ，由数列的函数特性可知 ，根据题意只需满
足 即可求得 .
【详解】（1）由 ，可得
当 时， ，得 ；
当 时， ，即 ，
可得 是以 为首项，2为公比的等比数列，所以 ；
当 时， 符合 ，
所以数列 的通项公式为 ；
，
则数列 的前 项和为 ，
，
相减可得：
所以 ；
（2）由 得 ，
可得，
由 ，
当 时， ，即有 ，可得 ，
又 时， 的最大值为 ，
对任意 ，存在 ，使得 成立，
即 即可，解得 ；
所以实数 的取值范围为
二、专题11 数列不等式专项训练
1．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）设数列 的前n项和为 ，已知 ，
， ， 是数列 的前n项和．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求满足 的最大正整数n的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用 得到数列 是等比数列，根据等比数列的通项公式求
解；
（2）先求出 ，进而可得 ，求出 代入不等式左边整理化简，然后解不等式即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，即 ，又 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ；（2）由（1）得 ，
所以 ，则 ，
则
，
所以 ，又 ，解得 ，
所以正整数n的最大值为 .
2．（2024·四川南充·二模）在数列 中， 是其前 项和，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 ，作差得到 ，从而得到 是以 为首
项， 为公比的等比数列，即可求出其通项公式；
（2）由（1）求出 ，再根据指数函数的性质求出 的最值，即可得解.
【详解】（1）因为 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，所以 ，所以 ；
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 .
（2）由（1）可得 ，又 在 上单调递减，则 在 上单调递增，
所以当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ，
所以当 时 取得最大值为 ，当 时 取得最小值为 ，
因为 ， 恒成立，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
3．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）当 时，求得 ，当 时，得到 ，两式相减
化简得到 ，结合叠加法，即可求得数列 的通项公式；
（2）由（1）得到 ，求得 ，
解法1：根据题意，转化为 ，结合 ，结合基本不等
式，即可求解；
解法2：根据题意，转化为 ，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：当 时， ，解得 ，
当 时， ，
两式相减可得， ，则 ，
叠加可得， ，则 ，
而 时也符合题意，
所以数列 的通项公式为 ．
（2）解：由（1）知 ，可得 ，
故 ；
解法1：由 ，可得 ，
即 ，即则 ，又由 ，
当且仅当 时取等号，故实数 的取值范围为 ．
解法2：由 ，
可得 ，
当 ，即 时， ，
则 ，故实数 的取值范围为 ．
4．（23-24高二下·云南玉溪·阶段练习）已知 是等差数列 的前 项和，且
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若对任意 ，求 的最小整数值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据等差数列的通项公式及求和公式列出方程组求解即可；（2）根据错位相减法求出和，即可得解.
【详解】（1）设 的公差为 ，因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
令 ，
所以 ，
两式相减得 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，故 的最小整数值为1．
5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 的前n项和为 ，且关于x的方程
， 有两个相等的实数根．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前n项和为 ，且 对任意的 恒成立，求实
数 的最大值．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）利用方程有等根可知判别式为0，求出 ，根据 关系即可得出
通项公式；
（2）利用错位相减法求出 ，再分离参数后求解即可.
【详解】（1）由关于 的方程 ， 有两个相等的实数根，
可得 ，即 ， ，
当 时， ．当 时， ．
当 时，上式也成立，所以 ．
（2）由（1）可知， ，
，①
，②
得：
，
所以 ．
又 对任意的 恒成立，即 对任意的 恒成立，
故 ，
因为数列 在 时单调递增，
所以 ，当且仅当 时取得最小值．
所以实数 的最大值为3．
6．（2024·天津红桥·一模）已知 为数列 的前 n项和，且满足 ，其中
，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，若对任意的 ，都有 ，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用 的关系式求解即可；
（2）由题意有 ，利用分组求和法分别求出 ，再根据数
列的单调性分别求出 ，即可得解.【详解】（1）由 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
所以数列 是以 为公比的等比数列，
所以 ；
（2）由（1）得 ，
则 ，
故 ，
，
而 随 的增大而减小，
所以 ，
随 的增大而增大，
所以 ，
因为对任意的 ，都有 ，
所以 .
7．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）已知 为等差数列， 为等比数列，
， ， .
(1)求 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)记 ，对任意的 ，恒有 ，求 的取值范围.
【答案】(1) ，(2)
(3)
【分析】
（1）根据等比数列和等差数列的通项公式求出公比和公差，即可求解；（2）利用裂项相
消即可求和；（3）由 恒成立，得到 恒成立，分离参数，分别讨论
为奇数和偶数时 的范围，从而得到答案.
【详解】（1）因为 为等差数列，且 ， ，
所以 ，解得： ，即 ；
因为 为等比数列，且 ， ，
所以 ，解得： ，即
（2）由（1）可知 ，
所以
所以
（3）由（1）得 ，由于对任意的 ，恒有 ，
即 ，则 恒成立，
当 为奇数时，则 恒成立，由于 ，故当 时，对所有奇数 恒有
；
当 为偶数时，则 恒成立，由于 ，则 ，即当
时，对所有偶数 恒有 ；
综上，当 时，对任意的 ，恒有
8．（23-24高三下·湖南湘潭·阶段练习）设各项都不为0的数列 的前 项积为 ，
， .
(1)求数列 的通项公式；(2)保持数列 中的各项顺序不变，在每两项 与 之间插入一项 （其中
），组成新的数列 ，记数列 的前 项和为 ，若 ，求 的最
小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用 与 的关系得到 ，再检验 即可得解；
（2）利用并项求和法与等比数列的求和公式求得 ，再依次求得 ，从而得解.
【详解】（1）因为 ，
当 时， ，两式相除可得 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 .
（2）依题意，
，
易知 随着 增大而增大，
当 时， ，
当 时， ，
而
综上， 的最小值为 .
9．（2014高一·全国·竞赛）对于给定的 ，若 ，定义
.已知数列 满足 ，当 时，
，其中 为数列 的前 项和.
(1)求 的通项公式；
(2)计算数列 的前 项和 ，是否存在 ，使得任意 ，都有 ？若存在，求出 的最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，9
【分析】
（1）根据 求出 ，利用累乘法求出答案；
（2）错位相减法求和得到 ，结合单调性求出答案.
【详解】（1）根据 的定义可得 ，而 ，
，
，即 .
已知 ，利用“迭乘”原理得
.
故通项公式 ，经检验当 时，也满足此式，
综上，通项公式为 ；
（2）存在 .理由如下：
由（1）知 ，①
，②
用②-①可得
.
显然 是单调递增的，又 ，
故存在 ，使得任意 ，都有 .
10．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 ，
，数列 为正项等比数列， 且 依次成等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ， 的前 项和为 ，问是否存在正整数 使得 成
立，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) ，
(2)存在，
【分析】（1）根据 ，作差得到 ，从而得到 的奇数
项、偶数项分别为等差数列，从而求出其通项公式，设等比数列 的公比为 ，利用等
差中项的性质及等比数列通项公式求出 ，即可求出 的通项公式；
（2）由（1）可得 ，则 ，利用放缩法证明
，即可得解.
【详解】（1）因为 ， ，
当 时， ，所以 ；
当 时， ，
所以 ，
即 ．
，可得 ，
所以 的奇数项是以 为首项， 为公差的等差数列，
偶数项是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ， ，
综上可得 ；
设等比数列 的公比为 ，
因为 依次成等差数列，所以 ，
，所以 ，解得 或 ．
因为 为正项等比数列，故 ，由 ，则 ，
所以 ．
（2）由（1）可得 ，
所以 ，
则 ，当 时， ；
当 时，
．
所以存在 ，使得 ．
