文档内容
专题 12·数列不等式放缩技巧
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：先求和后放缩........................................................................................................................2
题型二：裂项放缩................................................................................................................................5
题型三：等比放缩................................................................................................................................8
题型四： 型不等式的证明...........................................................................................10
题型五： 型不等式的证明...........................................................................................13
题型六： 型不等式的证明................................................................................................15
题型七： 型不等式的证明................................................................................................18
重难点突破：利用递推关系进行放缩..............................................................................................20
02 重难创新练....................................................................................................................................25题型一：先求和后放缩
1．已知 为正项数列 的前 项积，且 ， ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)若 ， 的前 项和为 ，证明： ．
【解析】（1）由题意知 ①，
当 时， ，∵ ，∴ ．
当 时， ②．
①－②得 ， 适合上式，·
③，则 ④．
得 ，∴ ，
两边同时取以 为底的对数，得 ，
则 ， ，又 ，
数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
（2）由题意及（1）知 ， ，
则 ，所以 ， ，
两式相减得 ，
∴ ．
∵ ，
随 的增大而减小，∴ ，又 ，∴ ，
∴ ．
2．已知数列 满足 ，且 .
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)设数列 的前n项和为 ，证明： .
【解析】（1）由 得 ，代入 得 ，
即 ，所以 ，因为 ，
所以 是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）因为 是首项为1，公差为1的等差数列，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ．
3．已知数列 的前 项和为 ，且 ， .(1)求 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前 项和 ，求 并证明： .
【解析】（1）因为 ， ，
当 时， ，故 ，
当 时， ，
两式作差可得 ，整理可得 ，
则 ，又 ，
所以 是各项为 的常数列，
则 ，故 .
（2）由（1）可得 ，
所以 ，
类比复合函数的单调性可知 为递增数列，又 ，
所以 的最小值为 ，
又 ，所以 ，
综上， .
4．已知 是数列 的前n项和， 是以1为首项1为公差的等差数列．(1)求 的表达式和数列 的通项公式；
(2)证明：
【解析】（1）因为 是以1为首项1为公差的等差数列,
所以 ，即 ，
当 时， ，
即 ，
经检验，当 时， 满足上式，
所以 的通项公式是 .
（2）由（1）知：
,
所以
.
题型二：裂项放缩
5．若数列 满足 ，其中 ，则称数列 为M数列.
(1)已知数列 为M数列，当 时.
（ⅰ）求证：数列 是等差数列，并写出数列 的通项公式；（ⅱ） ，求 .
(2)若 是M数列 ，且 ，证明：存在正整数n.使得 .
【解析】（1）（ⅰ）由 ，可得 ，
所以数列 是首项为 公差为1的等差数列，
所以 ，
又因为 ，所以 .
（ⅱ） ，
设 ， ，
，
，
所以 ，
.
（2）若 是M数列 ，有 ，
故 ，且 ，即
，
则
，
由 随 的增大而增大，
若 ，可得 ，
因为 ，故对任意的 ，总存在正整数 使 ，
即总存在正整数n，使得 .
6．已知数列 的前n项和为 ，且满足 ， ．
(1)数列 是否为等差数列？并证明你的结论；
(2)求 ；
(3)求证： ．
【解析】（1）∵ ， ，
∴ ，化为： ，∴数列 为等差数列，公差为2，首项为2；
（2）由（1）得 ，
∴ ；
（3）当 时， ，
时， ，
∴ ，
综上所述， ．
7．已知数列 的首项 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，将数列 分组： ， ， ， ， ，记第 组的和为 .
（i）求数列 的通项公式；
（ii）证明 .
【解析】（1）依题意 ，又 ，
数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，
，.
（2）（i）由（1）知 .设 的前 项和为 ，则 .
显然数列 分组后第 组有 项，前面 组共有 项，
当 时， ，
当 时， ，满足上式，
数列 的通项公式为 .
（ii） ，
当 时， .
当 时， .
当 时，
，
故 .
8．已知数列 满足 ，且 ， ．
(1)证明：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)记 ， ， ．证明： ．【解析】（1）由 得： ，整理为： ，
所以 为等差数列，公差 ，首项为 ；
所以 ，整理为 ，经检验，符合要求.
（2）由（1）得： ， ，
∴ ，
∴ ，即 ．
题型三：等比放缩
9．已知数列 满足 ， ．
(1)设 ， ， 是数列 的连续三项，证明： ， ， 不可能为等比数列；
(2)当 时，证明： ．
【解析】（1）已知 ， ，易得 恒成立，且 为递增数列．
∵ ，
∴ ．
故数列 任意的连续三项不可能为等比数列．
（2）∵ ，∴ ，即 ，
故
又由于 ，且 ，故 ， ，
假设 ， ，成立，有 ，
由数学归纳法可得
所以 成立，
故 成立．
综上可知，原不等式成立.
10．已知数列 的首项 ， 是 与 的等差中项．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)证明： ．
【解析】（1）由题设 ，又 ，
所以 是首项、公比均为2的等比数列.
（2）由（1）知： ，则 ，显然 时 成立，
当 有 ，此时 ，
综上， ，得证.题型四： 型不等式的证明
11．已知 是各项均为正数的等差数列，其前 项和为 ，满足 对任意的 成立．
(1)求 的通项公式；
(2)令 ，记 为数列 的前 项和．证明：当 时， ．
【解析】（1）当 时， ，解得 或0，
是各项均为正数的等差数列，故 ，
①，
当 时， ②，
则①- 得 ，
②
故 ，
因为 ，所以 ，则 ，
则 的公差为1，则 ，
经检验， 满足要求，故通项公式为 ；
（2） ， ，
，
当 为偶数时，，
当 且 为偶数时， ，
故 ；
当 为奇数时， ，
当 且 为奇数时，
，
综上，当 时， ．
12．已知函数 ，
(1)若 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)证明：
【解析】（1）函数 的定义域为 ， ，令 ，
依题意， ， 恒成立，
求导得 ，由 ，得 ；由 ，得 ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
所以 .
（2）由（1）知， ，即 ，当且仅当 时取等号，
则当 时， ， ，…， ，因此 ，
所以原不等式成立.
13．已知数列 的各项均为正数，且满足 （ ，且 ）.
(1)若 ；
（i）请写出一个满足条件的数列 的前四项；
（ii）求证：存在 ，使得 成立；
(2)设数列 的前 项和为 ，求证： .
【解析】（1）（i）∵ 即 ，
又 ，则 ，
∴满足条件的数列 的前四项可以为： .
（ii）∵ （ ，且 ），
∴ ，
，
，
，
累加得 ，则 ，
则 ，
∵ ，∴ ，
不妨令 ，
故存在 ，使得 成立；
（2）由（1）知： ，
同理∵ 即 ，
∴ ，
，
，
∴ ，则
则 ，
，
，
，
，
累加得： ，
故： .题型五： 型不等式的证明
14．已知数列 满足 ，且 ，
（1）求证数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）记 ，求 ；
（3）是否存在实数k，使得 对任意 都成立？若存在，求实数
k的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为 ，所以 ，即 ，所以 ，所以
是等差数列，公差为2， ，
，所以 ．
（2）由（1） ，
所以 ．
（3）假设存在实数k，使得 对任意 都成立，
因为 ，
所以 ，
不等式 化为 ，，
设 ，
设 ，则 ， ，
，所以 ，所以 是递增数列，
，
所以 ．
所以存在实数k，使得 对任意 都成立，且 ．
15．设数列 满足 ， ，令 .
(1)试证明数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)是否存在常数 ，使得数列 是等比数列？请说明理由.
(3)令 ，是否存在实数 ，使得 对一切 都成立？若存在，
求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由 ，得 ，
即 ,故 ，而 ，
∴ ，即 ，
∴数列 是以首项为 ，公差为1的等差数列，故 ．（2）由（1） ，设 ，
若存在常数c，使 是等比数列，则 ，
即 ，解得 .
经检验，c=0复合题意，
所以，存在唯一的常数 ，使 是等比数列.
（3）设 ，
则 .
∵
∴ ，即数列 是递减数列，故 ．
要使不等式 对一切 都成立，
只要 ，即 ， ， 解得 .
因此， 存在大于 实数 ，使不等式 对一切 都成立．
题型六： 型不等式的证明
16．记 为数列 的前n项和，已知 .
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)数列{ }满足 且 ， 的前n项和为 ，证明: .【解析】（1）由 ，
由 可得 ，
则 时 ，
两式相减可得 ，
化为 ，因为 ，
所以 ，数列{ }是首项与公差都是2的等差数列，
所以 ；
（2）由（1）得 ，又 ，
所以 ，
，
所以 ，
，
，
17．已知数列 满足 ， （其中 ）
(1)判断并证明数列 的单调性；(2)记数列 的前n项和为 ，证明： ．
【解析】（1）单调递减，理由如下： ．
∵ ，∴ ，∴数列 单调递减；
（2）∵ ， ， ，∴ ，又 ，则 .
∵ ， ，∴ ，则 ，
当 ，累加可得 ，则 ，
则 ，则 ，
∴
，则 ．
18．记 为等差数列 的前n项和，已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)已知当 时， ，证明： .
【解析】（1）设等差数列 的公差为d，
因为 ，可得 ， ，所以 ，解得 ，
所以 ，即数列 的通项公式为 .
（2）由 ，可得 ，
则 ，
因为当 时， ，
所以当 时， ，
故 ，
.
所以 .
题型七： 型不等式的证明
19．已知数列 ， ， 为数列 的前n项和，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知当 时，不等式 恒成立，证明： ．
【解析】（1） ，即 ，当 时， ，
两式相减， ，
即 ，也即 ，
变形为 ，
所以
，经检验 时 也适合．
．
（2）证明：因为 时， ，
，所以 ，
令 ，则有 ．
， ，
将 两边同时取对数，
得到原不等式等价于证明： ，
令 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，
，
令 ，2， ，然后累加得：，
则 ，原不等式得证．
20．已知各项均为正数的数列 ，满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，试比较 与9的大小，并加以证明．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
因为 的各项均为正，所以 ，故 ，即 ，
所以 是以2为公比的等比数列，
因为 ，又公比为2，
所以 ，所以 .
（2） ，证明如下：
令 ，则 ，
当 时， ，即 在 上单调递减，
所以 ，则 ，即 ，
设 ，所以 ，所以 ，
记 ，则 ，
所以 ，
即 ，则 ，所以 ，所以 .
重难点突破：利用递推关系进行放缩
21．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知数列 中，
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)求 的通项公式；
(3)令 ，证明: ．
【解析】（1）由 得 ，
则 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）由（1）得 ,解得： .
（3）
令 ， ，
因为 在 上单调递增，则
所以数列 在 上单调递减，从而数列 在 上单调递增，且 ，
故得 .
22．不动点在数学和应用中具有重要作用，不动点是指被函数映射到其自身的点.对于函数 ，我们把
满足 的 称为函数 的不动点，已知函数 .
(1)证明： 在 有唯一的不动点 ；
(2)已知 ，且 的前 项和为 .证明：
① 为递增数列， 为递减数列，且 ；
.
②
【解析】（1）令 ，则 ， ， ，
所以当 时， 在 上递减，
而 ，故 在 有唯一的零点，
即 在 有唯一的不动点 .
（2）①因为 ，
所以 ， 在 上单调递增；
，
所以 ，
而 在 的不动点为 ，
所以 ，
假设 时， 成立，
则 ，即 成立，
结合 可得：对于任意 恒成立，
故 为递增数列， 为递减数列，且 ；
②
，因为 ，所以 ，因此 ，即 ，
故 .
23．（1）证明：当 时， ；
（2）已知正项数列 满足 .
（i）证明：数列 为递增数列；
（ii）证明：若 ，则对任意正整数 ，都有 .
【解析】（1）令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，即 ，
再令 ，则 ， ，
令 ，则 ，由上面知 ，
即 在 上单调递减，所以 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
即 .
综上，当 时， 成立.
（2）（i）因为 ，所以 ，
所以 ，由（1）知，当 时， ，
所以 ，
所以数列 为递增数列.（ii）要证 ，即证 ，即 ，
由（1）知：当 时， ，
所以 ，即有 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，归纳易得数列 为减函数，
又数列 为递增数列，
所以 ，
所以
，
又因为 ，
所以 ，所以 ，
即 成立.1．已知数列 满足 ， .
(1)证明： 是等比数列；
(2)设 ，证明： .
【解析】（1）因为 ， ，则 ， ，…
以此类推可知，对任意的 ， ，
由已知得 ，即 ，
所以 ，且 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）由（1）知， ， ，
，
.
2．记 为数列 的前n项和，已知 ， ．(1)求数列 的通项公式；
(2)设单调递增等差数列 满足 ，且 ， ， 成等比数列．
（ⅰ）求数列 的通项公式；
（ⅱ）设 ，试确定 与 的大小关系，并给出证明．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
整理得 ．
又因为 ，所以当 时， ，
所以 ，当 时， 不满足．
所以 ， .
（2）（ⅰ）设数列 的公差为 ．
因为 ， ， 成等比数列，且 ， ， ，
所以 ，即 ．
又因为 ，所以 ．
所以数列 的通项公式为 ， ．
（ⅰi） ．证明如下：
由（ⅰ）知， ， ，易知
所以 ．，
， ．
3．已知 为数列 的前 项和， ．
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)设 ，记 的前 项和为 ，证明： ．
【解析】（1）当 时， ，则 ，
因为 ，
所以 ，
两式相减得： ，
所以 ， ，
， ，则 ，即 也适合上式，
所以 是以5为首项，公比为2的等比数列，
故： ，
故 ；
（2）由（1）得
，
故，
当 时， ，故 .
4．某商场举行活动，充值积分若干后，可以用积分购买特定商品．参与此活动的商品有1积分的签字笔，
2积分的草稿本和2积分的便利贴．要求每天必须用积分购买商品且每天只能购买一次．花2积分购买草
稿本或者购买便利贴算不同的用完积分的方式．
(1)假设梅菊同学充值4积分，则该同学有多少种方式用完积分（只写出答案，不用写过程）；
(2)假设代仕同学有 点积分，该同学用完 点积分的方式种数记为 ，求 表达式；
(3)设 ，记 的前 项和为 ，证明： ．
【解析】（1）记用1积分购买签字笔为 ，用2积分购买草稿本为 ，用2积分购买便利贴为 ，
由枚举可知，该同学用完积分的方式如下：
，共有11种．
（2）对第一天使用积分购买的商品进行分类：
①第一天买签字笔，使用1积分，余下的 积分在以后用完，种数为 ，
②第一天买草稿本或便利贴，使用2积分，余下的 积分在以后用完，种数为 ，
所以 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，因为 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 ．（3）由题可知 ，
法一：易知当 时， ．
当 时，因为 ，
所以 ，
所以 ．
法二：易知当 时， ．
当 时，因为 ，
所以 ．
5．已知函数 的图象在点 处的切线方程为 .
(1)求 ， 的值.
(2)若正项数列 的前 项和为 ，且 ， ，证明：
（ⅰ） ；
（ⅱ） .
【解析】（1） ，
由题意可得 ，则 ，又 ，切点 在切线 上，
所以 ，则 ，所以 ，解得 ；
（2）（ⅰ）因为 ，所以要证 ，即证
又 ，所以即证 ，
因为数列 为正项数列，所以可设 ，不等式化为 ，
设 ，则 恒成立，
故函数 在 上单调递增，则 恒成立，
即 在 上恒成立，则原命题得证；
（ii）先证明 ，即证 ，
设 ，
则 ，
又设函数 ，则 ，所以 时， ，
则函数在 上单调递增，故 ，
即当 时， 恒成立，所以 ，
所以 ，
所以 ，则 在 上单调递增，
所以 ，则所证不等式 成立，因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以当 时， ，
又当 时， ，
故 .
6．已知递增数列 和 分别为等差数列和等比数列，且 ， ， ，
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，证明： .
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，其中 ，
由题意得： ，所以 ，
所以 （舍）或 ，代入原方程后可得 ，
于是得到数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 .
（2）由题可得 ，
由于 时， ，
则 （当且仅当 时取等号），所以 ，
则 （当且仅当 时取等号）.
所以 .
7．已知等差数列 满足 ， ， 为等比数列 的前 项和， ．
(1)求 ， 的通项公式；
(2)设 ，证明： ．
【解析】（1）由题意 ，可得 ，
则 ，
由 ，两式相减得 ，
可得 的公比 ，
进而可得 ，
所以 .
（2）由题设， 为奇数时 ， 为偶数时 ，
且 时， ，
则 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
且 时， ，
而 ，
所以 ，
综上， .
8．已知关于x的函数 ，其图象与x轴相切．
(1)求f (x)的表达式；
(2)证明： ；
(3)设数列 ，（ ）， 的前n项和为 ，证明： ．
【解析】（1）函数 的图象与x轴相切，则 得 代入可得
.
（2） ，则 ，
则 得 ， 得
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
得证.（3）由（2）知，当 时， ， ，即当 时， ，又当 时，
， ，所以 ，
所以 ，即 ， ，得
证.
9．已知数列 的前n项和为 ，且 ，其中 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，证明： ．
【解析】（1）当 时， ，
当 时， ，
又 ，两式相减得：
，
所以 ，
此时 ，
将 代入得 ，
因此 对 也成立，
故 的通项公式为 ，（2）由（1）可知 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以
，
因为 ，所以 ，
即 .
10．已知正项数列 的前 项和为 、且 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)若数列 的前 项和为 ，且 ，证明: .
【解析】（1）当 时， ，又 ，解得 ，
当 时，由 ，可得 ，
两式相减可得 ，
所以 ，又数列 是正项数列，
所以 ，所以奇数项是以 为首项，6为公差的等差数列，
所以 ，由 ，可得偶数项是以 为首项，6为公差的等差数列，
所以 ，
所以 ；
（2）由（1）可得 ，
所以
.
11．已知半圆 ，圆 ，作圆 与半圆 ，圆 ， 轴均相切，点
，且 ．
(1)求 的周长；
(2)证明： 为等比数列；
(3)证明：对任意正整数 ．
【解析】（1）因为圆 ，圆 与 轴均相切，且圆 的圆心坐标为 ，
所以圆 的半径为 ，圆 的半径为 ．
又圆 ，圆 均与半圆 相内切，圆 与圆 相外切，所以 ， ， ．
所以 的周长为： ．
（2）依题意，有 ， ， ，
得 即
消去 得 ，
整理，得 ，
两边同时减去 ，得 ．
依题意，易得 ，所以 ，即 ．
所以 ．
所以 为等比数列，首项为1，公比为 ．
（3）由（2）得， ．
令 ，则当 时， ．
要证 ，即证 ，即证 ．
当 时，
（当且仅当 时，等号成立）
（当且仅当 时，等号成立）
．
所以 ，
得证．
12．如图所示， 是抛物线 上的一系列点，其中 ，记直线
的斜率分别为 .
(1)证明 是等比数列，并求出数列 的通项公式；(2)记 的面积为 ，求 ；
(3)若 .求证： .
注： 中，若 ，则 面积 .
【解析】（1） ，同理 ，
由 ，得 ，又 ，
所以 ，则 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ．
（2）由（1）可得： ，
令 ，则 ，同理 ，
所以 ，即 ．
（3）所以 ，
则
所以
13．已知首项为1的正项数列 满足 .(1)探究数列 的单调性；
(2)证明： .
【解析】（1）数列 为递减数列，理由如下：
由题意可得 ，
则 ，
令函数 ，
则 ，
∴f (x)在 上单调递减，
则 ，令 ，
则 ，
，
即数列 为递减数列；
（2）令函数 ，
，
令函数 ，
则 ，当 时，ℎ '(x)<0，当x>0时，ℎ '(x)>0，
故ℎ(x)在 单调递减，在(0,+∞)为单调递增，故 ，则 ，
，
，故 在定义域上单调递增， ，
令 ，
则 ，
又 ，
.
当 时，
.
即 ，又 时， .
所以 .
