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专题 11 数列不等式（典型题型归类训练）
目录
一、典型题型............................................................................................1
题型一：数列不等式恒成立..............................................................1
题型二：数列不等式能成立（有解）问题......................................4
二、专题11 数列不等式专项训练.........................................................6
一、典型题型
题型一：数列不等式恒成立
1．（23-24高二下·河南南阳·期中）记数列 的前 项和为 ，已知 ，且
．
(1)令 ，求数列 的通项公式；
(2)若对于任意的 恒成立，求实数 的取值范围．2．（2024·广东韶关·二模）记 上的可导函数 的导函数为 ，满足
的数列 称为函数 的“牛顿数列”.已知数列 为函数
的牛顿数列，且数列 满足 .
(1)求 ；
(2)证明数列 是等比数列并求 ；
(3)设数列 的前 项和为 ，若不等式 对任意的 恒成立，求t的
取值范围.
3．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）已知数列 满足： ，且 .设
的前 项和为 ， .
(1)证明： 是等差数列；
(2)求 ；
(3)若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围.4．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）设正项数列 的前 项之和
，数列 的前 项之积 ，且 .
(1)求证： 为等差数列，并分别求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，不等式 对任意正整数 恒成立，求正实
数 的取值范围.
5．（2024·湖南·二模）已知 是各项都为正数的等比数列，数列 满足：
，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若对任意的 都有 ，求实数 的取值范围.6．（23-24高二上·山东烟台·期末）设数列 ， 的前n项和分别为 ， ，
， ，且 ， （ ）.
(1)求 的通项公式，并证明： 是等差数列；
(2)若不等式 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
题型二：数列不等式能成立（有解）问题
1．（2024·云南·一模）已知 为等比数列，记 分别为数列 的前 项和，
， .
(1)求 的通项公式；
(2)是否存在整数 ，使 对任意正整数 都成立？若存在，求 的最小
值；若不存在，请说明理由.2．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知正项数列 的前n项和为 ，且 ；
数列 是单调递增的等比数列，公比为q，且 ， 的等差中项为10； ， 的等比中
项为8．
(1)求 ， 的通项公式；
(2)设 ， 为数列 的前n项和，若存在 使得 成
立，求实数 的最大值．
3．（2024·云南曲靖·一模）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，其前 项和为 ，求使得 成立的 的最小值．4．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知正项数列 的前n项和为 ， ；数
列 是递增的等比数列，公比为q，且 ， 的等差中项为10， ， 的等比中项为8．
(1)求 ， 的通项公式；
(2)设 ， 为 的前n项和，若 能成立，求实数
的最大值．
5．（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知正项数列 的前 项和为 ，且
．数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，数列
， ．
(1)求数列 的通项公式及 ；
(2)若对任意 ，存在 使得 成立，求实数 的取值范围．二、专题11 数列不等式专项训练
1．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）设数列 的前n项和为 ，已知 ，
， ， 是数列 的前n项和．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求满足 的最大正整数n的值．
2．（2024·四川南充·二模）在数列 中， 是其前 项和，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， 恒成立，求 的取值范围．3．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
4．（23-24高二下·云南玉溪·阶段练习）已知 是等差数列 的前 项和，且
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若对任意 ，求 的最小整数值．
5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 的前n项和为 ，且关于x的方程， 有两个相等的实数根．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前n项和为 ，且 对任意的 恒成立，求实
数 的最大值．
6．（2024·天津红桥·一模）已知 为数列 的前 n项和，且满足 ，其中
，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，若对任意的 ，都有 ，求实数m的取值范围．
7．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）已知 为等差数列， 为等比数列，
， ， .
(1)求 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)记 ，对任意的 ，恒有 ，求 的取值范围.8．（23-24高三下·湖南湘潭·阶段练习）设各项都不为0的数列 的前 项积为 ，
， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)保持数列 中的各项顺序不变，在每两项 与 之间插入一项 （其中
），组成新的数列 ，记数列 的前 项和为 ，若 ，求 的最
小值.
9．（2014高一·全国·竞赛）对于给定的 ，若 ，定义
.已知数列 满足 ，当 时，
，其中 为数列 的前 项和.
(1)求 的通项公式；
(2)计算数列 的前 项和 ，是否存在 ，使得任意 ，都有 ？若存
在，求出 的最小值；若不存在，请说明理由.
10．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 ，
，数列 为正项等比数列， 且 依次成等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ， 的前 项和为 ，问是否存在正整数 使得 成
立，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
