文档内容
模块五 题型全通关
专题 3 解答题题型
第 2 讲 解方程和不等式
方程与不等式是学生理解数学符号，以及感悟用数学表达事物的性质、关系和规律的
关键内容之一，是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学语言表达现实世界
的重要载体．
解方程和不等式，既需要准确的运算，也需要“消元”、“降次”、“转化”、“数
形结合”的思想．
考点讲解：根据等式的性质来解一元一次方程．一元二次方程通过“开平方”和“因
式分解”的形式来降次，转化为一元一次方程；二元一次方程组和三元一次方程组通
过“加减”或“代入”的方式来消元，转化为一元一次方程；分式方程通过去分母来
转化为整式方程．注意：分式方程可能产生增根，因此一定要检验．
【例1】
（2023·浙江台州·统考中考真题）
1．解方程组：
【变1】（2023·山西·统考中考真题）
2．解方程： ．
考点讲解：根据不等式的性质来解一元一次不等式，不等式的解集可以在数轴上表示
出来．解一元一次不等式组，实质就是解每一个不等式，再求这些不等式的公共解集．
确定不等式组的解集的方法有数轴法和口诀法．
【例1】
（2023·江苏盐城·统考中考真题）
3．解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来.
【变1】
（2023·江苏·统考中考真题）
4．解不等式组 ，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．
考点讲解：给出解方程和不等式的过程，判定是否正确，或指出错误的步骤，再写出
正确的解答过程．这类试题需要仔细阅读解题过程，找出前后变化的依据，才能发出
解题过程中的错误．
【例1】
（2023·浙江衢州·中考真题）
5．小红在解方程 时，第一步出现了错误：
解： ，
……
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
(2)写出你的解答过程．
【变1】
试卷第2页，共2页（2023·宁夏·统考中考真题）
6．解不等式组
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
第1步
第2步
第3步
第4步
任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①
的正确解集是_______；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
考点讲解：在新定义中，已知按新定义运算的结果的结果，求其中字母的值，一般需
要构建方程（组）来解；已知新定义的结果的范围，求其中字母的范围，一般需要构
建不等式（组）来求解；
【例1】
（2023·山东枣庄·统考中考真题）
7．对于任意实数a，b，定义一种新运算： ，例如：
， ．根据上面的材料，请完成下列问题：
(1) ___________， ___________；
(2)若 ，求x的值．
【变1】
（2020·内蒙古通辽·中考真题）
8．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定 ，如：
．（1）求 ；
（2）若 ，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．
（2023·湖南常德·统考中考真题）
9．解方程组：
（2023·四川乐山·统考中考真题）
10．解二元一次方程组：
（2022·山东淄博·统考中考真题）
11．解方程组：
（2022·湖北荆州·统考中考真题）已知
12．已知方程组 的解满足 ，求k的取值范围．
（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）
13．解方程：
（2023·四川凉山·统考中考真题）
14．解方程： ．
（2023·西藏·统考中考真题）
15．解分式方程： ．
（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）
16．小丁和小迪分别解方程 过程如下：
小丁： 小迪：
解：去分母，得 解：去分母，得
试卷第4页，共2页去括号，得 去括号得
合并同类项，得 合并同类项得
解得 解得
∴原方程的解是 经检验， 是方程的增根，原方程无解
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内
打“×”，并写出你的解答过程．
（2023·山东济南·统考中考真题）
17．解不等式组： ，并写出它的所有整数解．
（2023·浙江衢州·统考中考真题）
18．小红在解方程 时，第一步出现了错误：
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处；
(2)写出你的解答过程．
（2023·河北沧州·校考模拟预测）
19．定义一种新的运算※，对于任意实数 和 ，规定 ，例如：
．
(1)求 的值．
(2)若 ，求 的取值范围．
（2022·浙江杭州·统考中考真题）
20．计算： ．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是 ，请计算 ．
(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．
（2023·江苏无锡·统考中考真题）21．（1）解方程：
（2）解不等式组：
（2021·江苏无锡·统考中考真题）
22．（1）解方程： ；
（2）解不等式组：
（2022·江苏徐州·统考中考真题）
23．（1）解方程： ；
（2）解不等式组：
（2022·江苏无锡·统考中考真题）
24．（1）解方程 ；
（2）解不等式组： ．
（2023·江苏镇江·统考中考真题）
25．（1）解方程： ；
（2）解不等式组：
（2023·湖南·统考中考真题）
26．解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2023·天津·统考中考真题）
27．解不等式组
试卷第6页，共2页请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得________________；
(2)解不等式②，得________________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为________________．
（2023·江苏扬州·统考中考真题）
28．解不等式组 并把它的解集在数轴上表示出来．
（2023·青海·统考中考真题）
29．为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏：
(1)解不等式组： ；
(2)当m取（1）的一个整数解时，解方程 .
（2023·北京·统考中考真题）
30．解不等式组： ．
（2023·山东·统考中考真题）
31．解不等式组： ．参考答案：
1．
【分析】把两个方程相加消去y，求解x，再把x的值代入第1个方程求解y即可．
【详解】解：
①+②，得 ．
∴ ．
把 代入①，得 ．
∴这个方程组的解是 ．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，熟练的利用加减消元法解方程组是解本题
的关键．
2．
【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．
【详解】解：原方程可化为 ．
方程两边同乘 ，得 ．
解得 ．
检验：当 时， ．
∴原方程的解是 ．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
3． ，数轴见详解
【分析】根据解一元一次不等式的步骤解答即可．
【详解】去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1： ．
在数轴上可表示为：
．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，能求出不等
式的解集是解此题的关键，难度适中．
4． ，整数解为：0，1，2
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再写出不等式组的解集，进而即可得到答案．
【详解】解： ，
由①得， ，
由②得， ，
故不等式组的解集为： ，
在解集在数轴上表示出来为：
它的整数解为0，1，2．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上，解题的关键是准确求出
不等式的解集，注意不等式两边同除以一个负数不等号方向要发生改变．
5．(1)见解析；
(2) .
【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数
系数化为1，求出解
答案第2页，共2页（1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断；
（2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解．
【详解】（1）
（2）解： ，
去分母，得， ，
移项，得： ，
合并同类页，得： ，
解得： ．
6．任务一：4，不等号的方向没有发生改变， ；任务二： ，
【分析】任务一：系数化1时，系数小于0，不等号的方向要发生改变，即可得出结论；
任务二：移项，合并同类项，系数化1，求出不等式②的解集，进而得出不等式组的解集
即可．
【详解】解：任务一：∵ ，
∴ ；
∴该同学的解答过程第4步出现了错误，错误原因是不等号的方向没有发生改变，不等式
①的正确解集是 ；
故答案为：4，不等号的方向没有发生改变， ；
任务二： ，
，
，
；
又 ，
∴不等式组的解集为： ．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，求不等式组的解集．解题的关键是正确的求出每一
个不等式的解集，注意系数化1时，系数是负数，不等号的方向要发生改变．
7．(1)1；2；
(2) ，
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x的值即可．
【详解】（1） ，
，
；
故答案为：1；2；
（2）若 时，即 时，则
，
解得： ，
若 时，即 时，则
，
解得： ，不合题意，舍去，
，
【点睛】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的
关键．
8．(1) ；(2) ，图见解析
【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；
（2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得．
【详解】解：（1） =
=
=
（2）∵ ，
∴
解得：
将解集表示在数轴上如下：
答案第4页，共2页【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和二次根式的混合运算，解题的关键是根据新定
义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤
9．
【分析】方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】解：将① 得： ③
得：
将 代入①得：
所以 是原方程组的解．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元
法或加减消元法消去一个未知数．
10．
【分析】采用加减消元法即可求解．
【详解】解：① ，得 ②，
将②+③，得 ，
解得 ．
将 代入①，
得 ，
∴方程组的解为： ．
【点睛】本题主要考查了运用加减消元法解二元一次方程组的知识，掌握加减消元法是解
答本题的关键．11．
【分析】整理方程组得 ，继而根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
【详解】解：整理方程组得 ，
得 ，
y=1，
把y=1代入①得 ，
解得x=5，
∴方程组的解为 .
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键．
12．
【分析】先求出二元一次方程组的解，代入 中即可求k；
【详解】解：令①+②得， ，
解得： ，
将 代入①中得， ，
解得： ，
将 ， 代入 得， ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组、解一元一次不等式，掌握相关运算法则和方法
是解本题的关键．
13． ，
【分析】直接开方可得 或 ，然后计算求解即可．
【详解】解：∵
∴ 或
答案第6页，共2页解得 ， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．
14．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得
到分式方程的解．
【详解】解：
方程两边同乘 ，
得 ，
整理得， ，
∴ ，
解得： ， ，
检验：当 时， ， 是增根，
当 时， ，
原方程的解为 ．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题
关键．
15．
【分析】方程两边同时乘以 ，将分式方程化为整式方程，再求解即可．
【详解】，
经检验， 是原方程的根，
故原方程的解为： ．
【点睛】本题考查了求解分式方程的知识，掌握相应的求解方程，是解答本题的关键．注
意：解分式方程时，要将所求的解代入原方程进行检验．
16．都错误，见解析
【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可．
【详解】小丁和小迪的解法都错误；
解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
解得， ，
经检验： 是方程的解．
【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
17． ，整数解为0，1，2
【分析】分别求解两个不等式，再写出解集，最后求出满足条件的整数解即可．
【详解】解：解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，
原不等式组的解集是 ，
∴整数解为0，1，2．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式
组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，
大大小小找不到”．
18．(1)划线见解析
(2) ，过程见解析
答案第8页，共2页【分析】（1）根据解一元一次方程去分母的过程，即可解答；
（2）根据解一元一次方程的步骤，计算即可．
【详解】（1）解：划线如图所示：
（2）解： ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟知解方程的步骤是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据题中的新定义，代入数据，根据有理数的混合运算进行计算即可求解；
（2）根据题意，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解．
【详解】（1）解：根据题中的新定义，得原式 ．
（2）已知不等式利用题中的新定义化简，得 ，
整理，得 ，
解得 ．
【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，解一元一次不等式，实数的混合运
算，熟练掌握是解题的关键．
20．(1)-9
(2)3【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可；
（2）设被污染的数字为x，由题意，得 ，解方程即可；
【详解】（1）解： ；
（2）设被污染的数字为x，
由题意，得 ，解得 ，
所以被污染的数字是3．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，掌握相关运算法则和步
骤是接替的关键．
21．（1） ， ；（2）
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】（1）
解：∵ ，
∴ ，
∴
解得： ， ；
（2）
解不等式①得：
解不等式②得：
答案第10页，共2页∴不等式组的解集为：
【点睛】本题考查了解一元二次方程，求不等式组的解集，熟练掌握公式法解一元二次方
程以及解一元一次不等式组是解题的关键．
22．（1）x=1，x=-3；（2）1≤x＜3
1 2
【分析】（1）先移项，再直接开平方，即可求解；
（2）分别求出两个不等式的解，再取公共部分，即可求解．
【详解】解：（1） ，
，
x+1=2或x+1=-2，
∴x=1，x=-3；
1 2
（2） ，
又①得：x≥1，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解为：1≤x＜3．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程以及一元一次不等式组，掌握直接开平方法以及解
不等式组的基本步骤，是解题的关键．
23．（1） ；（2）
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】（1）解： ，
，
∴ ，
；（2）解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．
24．（1）x=1+ ，x=1- ；（2）不等式组的解集为1＜x≤ ．
1 2
【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】解：（1）方程移项得：x2-2x=5，
配方得：x2-2x+1=6，即（x-1）2=6，
开方得：x-1=± ，
解得：x=1+ ，x=1- ；
1 2
（2） ．
由①得：x＞1，
由②得：x≤ ，
则不等式组的解集为1＜x≤ ．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，以及解一元一次不等式组，熟练掌握方程及
不等式组的解法是解本题的关键．
25．（1） ；（2）
【分析】（1）先去分母，再移项合并同类项，解出x的值，再对所求的根进行检验即可；
（2）分别解每一个不等式，再求不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
方程两边同时乘以 ，
答案第12页，共2页得，
解得，
检验：当 时， ，
∴ 是原方程的解；
（2） ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴原不等式组的解集是 ．
【点睛】本题考查解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程的方法，解一
元一次不等式组的方法是解题的关键．
26．不等式组的解集为： ．画图见解析
【分析】先解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，从而可得答
案．
【详解】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
∴ ，
在数轴上表示其解集如下：
∴不等式组的解集为： ．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，掌握不
等式组的解法与步骤是解本题的关键．
27．(1)
(2)
(3)见解析
(4)【分析】分别解两个不等式，然后根据公共部分确定不等式组的解集，再利用数轴表示解
集即可．
【详解】（1）解：解不等式①，得 ，
故答案为： ；
（2）解：解不等式②，得 ，
故答案为： ；
（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）解：原不等式组的解集为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示，熟练掌握一元一次不等
式的解法是解决本题的关键．
28． ，数轴表示见解析．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间
找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得 ·，
解不等式②，得： ，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
则不等式组的解集为：
．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一
个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”
的原则是解答此题的关键．
29．(1)
答案第14页，共2页(2) ， （答案不唯一）
【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；
（2）根据 中不等式的解集得出 的一个值，求出 的值即可．
【详解】（1）解：由 得， ，
由 得， ，
故不等式组组的解集为： ．
（2）由 知 ，
令 ，
则方程变为 ，
，
，
， （答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是解一元二次方程及解一元一次不等式组，先根据题意得出 的取值
范围是解题的关键．
30．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间
找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式的解集为：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题
的关键．
31．
【分析】分别求出各个不等式的解，再取各个解集的公共部分，即可．
【详解】解：解 得： ，
解 得： ，
∴不等式组的解集为 ．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的基本步骤，是解题的
关键．
答案第16页，共2页
