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模块五 题型全通关
专题2 填空题题型
中考数学填空题的特征是不要求写出计算或推理过程， 只需要将结论直接写出的
“求解题”．填空题与选择题也有质的区别：第一，填空题没有备选项，因此，解答
时有不受答案干扰之好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结构往往是在一
个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容 （既可以是条件，也可以是结论），留
下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活．从历年中考数学成绩看，填空题得分
率一直不是很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有
毛病，便是零分．因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需
要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大
做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫．
解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是“巧做”．解填空题的常用方
法有：直接法、数形结合法、特殊化法、等价转化法、构造法等．
考点讲解：直接法就是从题干给出的条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则
等知识，通过变形、推理、计算等，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问题，
是解填空题最常用的策略．这类填空题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而
成的，可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通
过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，使用此法时，要善于透过
现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法．
【例1】（2023·山东·统考中考真题）
1．计算： ．
【变1】
（2023·江苏苏州·统考中考真题）
2．如图， ．过点 作 ，延长 到 ，使
，连接 ．若 ，则 ．（结果保留根
号）
考点讲解：因为填空题不需要呈现完整的解题过程，所以当我们正常求解问题无思路，
或答题时间紧迫时，可以从“特殊”处思考．对于动态变化问题，学生可以根据题目
的条件选取一个或几个特殊的点、坐标、几何图形等，相互佐证，从而得到答案．从
特殊情况思考，也有可能引出一般情况的结论，即“特殊到一般”的思维方法．从特
殊入手，思维起点低，只需根据题目的某一种或某几种情况就能确定题目的答案，达
到“事半功倍”的效果．
【例1】
（2022·江苏泰州·统考中考真题）
3．已知 用“＜”表示 的大小关系
为 .
【变1】
（2023·四川南充·统考中考真题）
4．如图，直线 （k为常数， ）与x，y轴分别交于点A，B，则
的值是 ．
试卷第2页，共2页考点讲解：华罗庚教授曾经说过数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数形结合是
一种极富数学特点的信息转换，数学上总是用数的抽象性质来说明形象的事实，同时
又用图形的性质来说明数的事实，数形结合是高中数学非常重要的解题方法．
【例1】
（2022·辽宁阜新·统考中考真题）
5．快递员经常驾车往返于公司和客户之间．在快递员完成某次投递业务时，他与客户
的距离 与行驶时间 之间的函数关系如图所示（因其他业务，曾在途中有一
次折返，且快递员始终匀速行驶），那么快递员的行驶速度是 ．
【变1】
（2023·上海·统考中考真题）
6．在 中 ，点D在边 上，点E在 延长线上，且
，如果 过点A， 过点D，若 与 有公共点，那么 半径r的取
值范围是 ．
考点讲解：填空题的后几道题一般难度较大，直接解答可能较为复杂，因此需要将问
题等价转化来解决，实现高效做题．一般有以下几种转化方向：平行转化策略，从题目的条件入手，思考条件与目标的联系，将问题等价转化为熟悉的问题，比如通过换
元法将复杂代数式简化为熟悉的代数式；正难则反策略，顾名思义，即正向思考受阻，
则逆向思考可能豁然开朗．
【例1】
（2023山西太原模拟）
7．方程 的负整数解为 ．
【变1】
（2023河南郑州模拟）
8．已知： 都是正数，且 ．则 的最小值是 ．
考点讲解：构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学
模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对
基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横
向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具
体的数学模型，使问题快速解决．
【例1】
（2023·辽宁锦州·统考中考真题）
9．如图，在平面直角坐标系中， 的边 在y轴上，点C在第一象限内，点B
为 的中点，反比例函数 的图象经过B，C两点．若 的面积是6，
则k的值为 ．
【变1】
（2023·四川凉山·统考中考真题）
10．如图，边长为2的等边 的两个顶点 分别在两条射线 上滑动，
若 ，则 的最大值是 ．
试卷第4页，共2页（2023·四川成都·统考中考真题）
11．若 ，则代数式 ，的值为 ．
2023·辽宁丹东·统考中考真题）
12．如图，在正方形 中， ，点E，F分别在边 ， 上， 与 相
交于点G，若 ，则 的长为 ．
（2023四川成都模拟）
13．若实数x满足 ，则 的值是 ．
（2023·山东济南·统考中考真题）
14．学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，
两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示， 和 分别表示两人到
小亮家的距离 和时间 的关系，则出发 h后两人相遇．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）
15．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．
点A、B、C三点都在格点上，则 ．
（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）
16．方程 的解为 ．
（2022·四川内江·统考中考真题）
17．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，
EF∥BC，则AF+CE的最小值是 ．
（2023·陕西·统考中考真题）
18．如图，在矩形 和正方形 中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴
正半轴上，点D在边 上， ， ．若点B，E在同一个反比例函数的
图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．
试卷第6页，共2页（2022·江苏扬州·统考中考真题）
19．“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片 ，第1
次折叠使点 落在 边上的点 处，折痕 交 于点 ；第2次折叠使点 落在
点 处，折痕 交 于点 ．若 ，则 ．
（2023·浙江绍兴·统考中考真题）
20．在平面直角坐标系 中，一个图形上的点都在一边平行于 轴的矩形内部（包
括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数
的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形 ．
若二次函数 图象的关联矩形恰好也是矩形 ，则
．
（2023·江苏·统考中考真题）
21．如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形
的三个顶点得到 ，则 的值是 ．（2023·四川自贡·统考中考真题）
22．如图，直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动
点，点H是直线 上的一动点，动点 ，连接
．当 取最小值时， 的最小值是 ．
2023·山东·统考中考真题）
23．如图，在四边形 中， ，点E
在线段 上运动，点F在线段 上， ，则线段 的最小值为
．
（2021·广西·统考中考真题）
24．如图，已知点 ， ，两点 ， 在抛物线 上，向左或
向右平移抛物线后， ， 的对应点分别为 ， ，当四边形 的周长最小时，
抛物线的解析式为 ．
试卷第8页，共2页（2023·四川内江·统考中考真题）
25．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创
建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所
分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形 中，
， ，对角线 与 交于点O，点E为 边上的一个动点，
， ，垂足分别为点F，G，则 ．
（2022·山西·中考真题）
26．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且
，连接EF交边AD于点G．过点A作 ，垂足为点M，交边CD于点
N．若 ， ，则线段AN的长为
（2023·江苏无锡·统考中考真题）
27．二次函数 的图像与x轴交于点 、 ，与 轴交于点 ，过点 的直线将 分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则
的值为 ．
试卷第10页，共2页参考答案：
1．1
【分析】根据先计算绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，再进行加减计算即可．
【详解】解：
故答案为：1．
【点睛】本题考查了实数的运算，掌握绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算是
解题的关键．
2． ##
【分析】如图，过 作 ，交 的延长线于点 ，设 ，可得
，证明 ， ， 为等腰直角三角形，
， ，由勾股定理可得：
，再解方程组可得答案．
【详解】解：如图，过 作 ，交 的延长线于点 ，
设 ，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ， 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理可得： ，
整理得： ，
解得： ，
经检验 不符合题意；
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，
作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
3．
【分析】利用作差法及配方法配成完全平方式再与0比较大小即可求解．
【详解】解：由题意可知：
，
∵ ，
答案第2页，共2页∴ ，
∴ ；
，当且仅当 时取
等号，此时 与题意 矛盾，
∴
∴ ；
，同理 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了两代数式通过作差比较大小，将作差后的结果配成完全平方式，利用
完全平方式总是大于等于0的即可与0比较大小．
4．1
【分析】根据一次函数解析式得出 ， ，然后代入化简即可．
【详解】解： ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：1．
【点睛】题目主要考查一次函数与坐标轴的交点及求代数式的值，熟练掌握一次函数的性
质是解题关键．
5．35
【分析】根据图象求出快递员往返的时间为2（0.35﹣0.2）h，然后再根据速度＝路程÷时
间．
【详解】解：∵快递员始终匀速行驶，∴快递员的行驶速度是 35（km/h）．
故答案为：35．
【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是结合图象掌握快递员往返的时间．
6．
【分析】先画出图形，连接 ，利用勾股定理可得 ， ，从而可
得 ，再根据 与 有公共点可得一个关于 的不等式组，然后利用二次
函数的性质求解即可得．
【详解】解：由题意画出图形如下：连接 ，
过点 ，且 ，
的半径为7，
过点 ，它的半径为 ，且 ，
，
，
， ，
在边 上，点 在 延长线上，
，即 ，
答案第4页，共2页，
与 有公共点，
，即 ，
不等式①可化为 ，
解方程 得： 或 ，
画出函数 的大致图象如下：
由函数图象可知，当 时， ，
即不等式①的解集为 ，
同理可得：不等式②的解集为 或 ，
则不等式组的解集为 ，
又 ，
半径r的取值范围是 ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了勾股定理、圆与圆的位置关系、二次函数与不等式，根据圆与圆的位
置关系正确建立不等式组是解题关键．
7．
【分析】本题考查换元法在解一元二次方程中的应用，设 ， ，
则 ，则可得 ，可得 ，即可得到 或
，再解方程即可，仔细观察得到 是解
题的关键．
【详解】解：设 ， ，则 ，
可得 ，
解得 ，
或 ，
解得 ，
故方程 的负整数解为 ，
故答案为： ．
8．
【分析】本题考查勾股定理，动点问题，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中
的思路进行解答．
根据题意，将 可以可看作两直角边分别是 和3的 的斜边长， 可
以可看作两直角边分别是 和5的 的斜边长，故问题转化为求 的最小值，
连接 ，则 的最小值为 ，再利用勾股定理计算出 即可．
【详解】解：如图：
答案第6页，共2页在 中，两直角边为 和3，则 为斜边长，
在 中，两直角边为 和 ，则 为斜边长，
∴ 转化为求 的最小值，连接 ，则 的最小值为 ，
∵ ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
9．4
【分析】过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，设B点坐标为 ，则
，由点B为 的中点，推出C点坐标为 ，求得直线 的解析式，得到
A点坐标，根据 的面积是6，列式计算即可求解．
【详解】解：过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，∴ ，
∴ ，
∴ ，
设B点坐标为 ，则 ，
∵点B为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴C点坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴A点坐标为 ，
根据题意得 ，
解得 ，
故答案为：4．
答案第8页，共2页【点睛】本题考查了反比例函数的性质、相似三角形的判定及性质、求一次函数解析式、
坐标与图形，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的性质．
10． ##
【分析】如图所示，取 的中点D，连接 ，先根据等边三角形的性质和勾股定理
求出 ，再根据直角三角形的性质得到 ，再由 可得当
三点共线时， 有最大值，最大值为 ．
【详解】解：如图所示，取 的中点D，连接 ，
∵ 是边长为2的等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 三点共线时， 有最大值，最大值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质
等等，正确作出辅助线确定当 三点共线时， 有最大值是解题的关键．11．
【分析】根据分式的化简法则，将代数式化简可得 ，再将 变形，即
可得到答案．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，
故原式的值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的化简法则，整式的整体代入，熟练对代数式进行化简是解题的
关键．
12．
【分析】根据题意证明 ， ，利用勾股定理即可求解．
【详解】解： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
答案第10页，共2页，
，
，
，
又 ，
，
，
， ，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，
掌握这些性质是解题的关键．
13．5
【分析】根据方程特点设 ，则原方程可化为 ，接下来解一元二次
方程求y，即为 的值，最后验根即可解答．本题属于换元法解方程的问题，关键是
掌握这类问题的求解方法．
【详解】解：方程整理得： ，
设 ，
则原方程变形为： ，
，
， ，当 时， ，
，
，
则 ，
故答案为：5
14．0.35
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以计算出小明和小亮的速度，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意和图象可得，小明0.5小时行驶了 ，
∴小明的速度为： ，
小亮0.4小时行驶了 ，
∴小明的速度为： ，
设两人出发 后两人相遇，
∴
解得 ，
∴两人出发0.35后两人相遇，
故答案为：0.35
【点睛】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，
利用数形结合的思想解答．
15．
【分析】取 的中点 ，连接 ，先根据勾股定理可得 ，
再根据等腰三角形的三线合一可得 ，然后根据正弦的定义即可得．
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ，
答案第12页，共2页，
，
又 点 是 的中点，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、等腰三角形的三线合一、正弦，熟练掌握正弦
的求解方法是解题关键．
16．
【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出 的值．
【详解】解： ，
方程两边同时乘以 得， ，
，
，
，
或 ．
经检验 时， ，故舍去．
原方程的解为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况．17．10
【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，证明四边形EFGC是平行四边形，得出CE
＝FG，得出当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，根据勾股定理求出AG即可．
【详解】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，
∵ ，EF＝CG，
∴四边形EFGC是平行四边形，
∴CE＝FG，
∴AF+CE＝AF+FG，
∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，
由勾股定理得，AG＝ ＝ ＝10，
∴AF+CE的最小值为10，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，根据题意作出辅助线，得
出当A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，是解题的关键．
18．
【分析】设正方形 的边长为m，根据 ， ，得到 ，根据矩形
对边相等得到 ，推出 ，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得
到 ，得到 ，推出 ．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
设正方形 的边长为m，
答案第14页，共2页∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
设反比例函数的表达式为 ，
∴ ，
解得 或 （不合题意，舍去），
∴ ，
∴ ，
∴这个反比例函数的表达式是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，
反比例函数性质，k的几何意义．
19．6
【分析】根据第一次折叠的性质求得 和 ，由第二次折叠得到
， ，进而得到 ，易得MN是 的中位线，最后由三角
形的中位线求解．
【详解】解：∵已知三角形纸片 ，第1次折叠使点 落在 边上的点 处，折痕
交 于点 ，
∴ ， ．
∵第2次折叠使点 落在点 处，折痕 交 于点 ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴MN是 的中位线，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质和三角形中位线的性质，理解折叠的性质，三角形的
中位线性质是解答关键．
20． 或
【分析】根据题意求得点 ， ， ，根据题意分两种情况，待定系数法
求解析式即可求解．
【详解】由 ，当 时， ，
∴ ，
∵ ，四边形 是矩形，
∴ ，
①当抛物线经过 时，将点 ， 代入 ，
∴
解得：
②当抛物线经过点 时，将点 , 代入 ，
答案第16页，共2页∴
解得：
综上所述， 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解
题的关键．
21．
【分析】如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，根据正六边形的内角为 ，设正
六边形的边长为1，求得 ，根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，
∵正六边形对边互相平行，且内角为 ，
∴
过点 作 于 ，∴
设正六边形的边长为1，则 ， ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正六边形的性质，解直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题的
关键．
22．
【分析】作出点 ，作 于点D，交x轴于点F，此时 的最小值为
的长，利用解直角三角形求得 ，利用待定系数法求得直线 的解析式，联立
即可求得点D的坐标，过点D作 轴于点G，此时 的最小值是 的长，
据此求解即可．
【详解】解：∵直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴ ， ，
作点B关于x轴的对称点 ，把点 向右平移3个单位得到 ，
作 于点D，交x轴于点F，过点 作 交x轴于点E，则四边形 是
平行四边形，
此时， ，
∴ 有最小值，
作 轴于点P，
答案第18页，共2页则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，则 ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
联立， ，解得 ，
即 ；
过点D作 轴于点G，直线 与x轴的交点为 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的最小值是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关
键是灵活运用所学知识解决问题．
23． ##
【分析】设 的中点为O，以 为直径画圆，连接 ，设 与 的交点为点 ，
证明 ，可知点F在以 为直径的半圆上运动，当点F运动到 与 的交
点 时，线段 有最小值，据此求解即可．
【详解】解：设 的中点为O，以 为直径画圆，连接 ，设 与 的交点为点
，
∵ ，
∴ ，
答案第20页，共2页∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点F在以 为直径的半圆上运动，
∴当点F运动到 与 的交点 时，线段 有最小值，
∵ ，
∴ ，，
∴ ，
的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析
得到点F的运动轨迹是解题的关键．
24． ．
【分析】先通过平移和轴对称得到当B、E、 三点共线时， 的值最小，再通过
设直线 的解析式并将三点坐标代入，当 时，求出a的值，最后将四边形周长与
时的周长进行比较，确定a的最终取值，即可得到平移后的抛物线的解析式．
【详解】解：∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
由平移的性质可知： ,
∴四边形 的周长为 ；
要使其周长最小，则应使 的值最小；
设抛物线平移了a个单位，当a>0时，抛物线向右平移，当a<0时，抛物线向左平移；
∴ ， ，将 向左平移2个单位得到 ，则由平移的性质可知： ，
将 关于x轴的对称点记为点E，则 ，由轴对称性质可知， ,
∴ ，
当B、E、 三点共线时， 的值最小，
设直线 的解析式为： ，
∴ ，
当 时，
∴
∴ ，
将E点坐标代入解析式可得： ，
解得： ，
此时 ，
此时四边形 的周长为 ；
答案第22页，共2页当 时， ， ， ， ，
此时四边形 的周长为：
；
∵ ，
∴当 时，其周长最小，
所以抛物线向右平移了 个单位，
所以其解析式为： ；
故答案为： ．
【点睛】本题综合考查了平移、轴对称、一次函数的应用、勾股定理、抛物线的解析式等
内容，解决本题的关键是理解并确定什么情况下该四边形的周长最短，本题所需综合性思
维较强，对学生的综合分析和计算能力要求都较高，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思
想方法等．
25． ##
【分析】连接 ，根据矩形的性质得到 ， ，
，根据勾股定理得到 ，求得 ，根据三角形的
面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接 ，
四边形 是矩形，
， ， ，， ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注
意掌握数形结合思想的应用．
26．
【分析】连接AE、AF、EN，首先可证得 ，AE=AF，可证得 垂
直平分EF，可得EN=FN，再根据勾股定理即可求得正方形的边长，再根据勾股定理即可
求得AN的长．
【详解】解：如图：连接AE、AF、EN，
四边形ABCD是正方形
设AB=BC=CD=AD=a， ，
在 与 中，
答案第24页，共2页，
，
是等腰三角形，
又 ，
垂直平分EF，
，
又 ，
，
在 中， ，
，
解得a=20，
， ，
在 中， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，
线段垂直平分线的性质，勾股定理，证得 垂直平分EF是解决本题的关键．
27． 或 或
【分析】先求得 ， ， ，直线 解析式为 ，直线 的
解析式为 ，1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，
必为中线，则①如图1，直线 过 中点，②如图2，直线 过 中点，直线 解析式为 ， 中点坐标为 ，待入直线求得 ；③如图3，直线
过 中点， 中点坐标为 ，直线 与 轴平行，必不成立；2）当分成三角形和
梯形时，过点 的直线必与 一边平行，所以必有 型相似，因为平分面积，所以
相似比为 ．④如图4，直线 ，根据相似三角形的性质，即可求解；⑤如图
5，直线 ，⑥如图6，直线 ，同理可得 ，进而根据
，即可求解．
【详解】解：由 ，令 ，解得： ，令 ，解得： ，
∴ ， ， ，
设直线 解析式为 ，
∴
解得：
∴直线 解析式为 ，当 时， ，则直线 与y轴交于 ，
∵ ，
∴ ，
∴点 必在 内部．
1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线
设直线 的解析式为
答案第26页，共2页∴
解得：
则直线 的解析式为
①如图1，直线 过 中点，，
中点坐标为 ，代入直线求得 ，不成立；
②如图2，直线 过 中点，直线 解析式为 ， 中点坐标为 ，
待入直线求得 ；
③如图3，直线 过 中点， 中点坐标为 ，
直线 与 轴平行，必不成立；
2）、当分成三角形和梯形时，过点 的直线必与 一边平行，所以必有 型相似，
因为平分面积，所以相似比为 ．
④如图4，直线 ，
∴
∴ ，∴ ，
解得 ；
⑤如图5，直线 ， ，则
∴ ，又 ，
∴ ，
∵ ，
∴不成立；
⑥如图6，直线 ，同理可得 ，
∴ ， ， ，
∴ ，解得 ；
综上所述， 或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟
练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键．
答案第28页，共2页
