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专题 12·数列不等式放缩技巧
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：先求和后放缩........................................................................................................................2
题型二：裂项放缩................................................................................................................................3
题型三：等比放缩................................................................................................................................4
题型四： 型不等式的证明.............................................................................................5
题型五： 型不等式的证明.............................................................................................6
题型六： 型不等式的证明..................................................................................................7
题型七： 型不等式的证明..................................................................................................8
重难点突破：利用递推关系进行放缩................................................................................................9
02 重难创新练....................................................................................................................................11题型一：先求和后放缩
1．已知 为正项数列 的前 项积，且 ， ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)若 ， 的前 项和为 ，证明： ．
2．已知数列 满足 ，且 .
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)设数列 的前n项和为 ，证明： .
3．已知数列 的前 项和为 ，且 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前 项和 ，求 并证明： .4．已知 是数列 的前n项和， 是以1为首项1为公差的等差数列．
(1)求 的表达式和数列 的通项公式；
(2)证明：
题型二：裂项放缩
5．若数列 满足 ，其中 ，则称数列 为M数列.
(1)已知数列 为M数列，当 时.
（ⅰ）求证：数列 是等差数列，并写出数列 的通项公式；
（ⅱ） ，求 .
(2)若 是M数列 ，且 ，证明：存在正整数n.使得 .6．已知数列 的前n项和为 ，且满足 ， ．
(1)数列 是否为等差数列？并证明你的结论；
(2)求 ；
(3)求证： ．
7．已知数列 的首项 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，将数列 分组： ， ， ， ， ，记第 组的和为 .
（i）求数列 的通项公式；
（ii）证明 .
8．已知数列 满足 ，且 ， ．
(1)证明：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；(2)记 ， ， ．证明： ．
题型三：等比放缩
9．已知数列 满足 ， ．
(1)设 ， ， 是数列 的连续三项，证明： ， ， 不可能为等比数列；
(2)当 时，证明： ．
10．已知数列 的首项 ， 是 与 的等差中项．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)证明： ．题型四： 型不等式的证明
11．已知 是各项均为正数的等差数列，其前 项和为 ，满足 对任意的 成立．
(1)求 的通项公式；
(2)令 ，记 为数列 的前 项和．证明：当 时， ．
12．已知函数 ，
(1)若 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)证明：
13．已知数列 的各项均为正数，且满足 （ ，且 ）.
(1)若 ；
（i）请写出一个满足条件的数列 的前四项；
（ii）求证：存在 ，使得 成立；
(2)设数列 的前 项和为 ，求证： .题型五： 型不等式的证明
14．已知数列 满足 ，且 ，
（1）求证数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）记 ，求 ；
（3）是否存在实数k，使得 对任意 都成立？若存在，求实数
k的取值范围；若不存在，请说明理由．
15．设数列 满足 ， ，令 .
(1)试证明数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)是否存在常数 ，使得数列 是等比数列？请说明理由.
(3)令 ，是否存在实数 ，使得 对一切 都成立？若存在，
求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．题型六： 型不等式的证明
16．记 为数列 的前n项和，已知 .
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)数列{ }满足 且 ， 的前n项和为 ，证明: .
17．已知数列 满足 ， （其中 ）
(1)判断并证明数列 的单调性；
(2)记数列 的前n项和为 ，证明： ．
18．记 为等差数列 的前n项和，已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)已知当 时， ，证明： .题型七： 型不等式的证明
19．已知数列 ， ， 为数列 的前n项和，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知当 时，不等式 恒成立，证明： ．
20．已知各项均为正数的数列 ，满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，试比较 与9的大小，并加以证明．
重难点突破：利用递推关系进行放缩
21．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知数列 中，(1)证明：数列 为等比数列；
(2)求 的通项公式；
(3)令 ，证明: ．
22．不动点在数学和应用中具有重要作用，不动点是指被函数映射到其自身的点.对于函数 ，我们把
满足 的 称为函数 的不动点，已知函数 .
(1)证明： 在 有唯一的不动点 ；
(2)已知 ，且 的前 项和为 .证明：
① 为递增数列， 为递减数列，且 ；
.
②
23．（1）证明：当 时， ；
（2）已知正项数列 满足 .
（i）证明：数列 为递增数列；（ii）证明：若 ，则对任意正整数 ，都有 .1．已知数列 满足 ， .
(1)证明： 是等比数列；
(2)设 ，证明： .
2．记 为数列 的前n项和，已知 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设单调递增等差数列 满足 ，且 ， ， 成等比数列．
（ⅰ）求数列 的通项公式；
（ⅱ）设 ，试确定 与 的大小关系，并给出证明．
3．已知 为数列 的前 项和， ．
(1)求数列 的通项公式 ；(2)设 ，记 的前 项和为 ，证明： ．
4．某商场举行活动，充值积分若干后，可以用积分购买特定商品．参与此活动的商品有1积分的签字笔，
2积分的草稿本和2积分的便利贴．要求每天必须用积分购买商品且每天只能购买一次．花2积分购买草
稿本或者购买便利贴算不同的用完积分的方式．
(1)假设梅菊同学充值4积分，则该同学有多少种方式用完积分（只写出答案，不用写过程）；
(2)假设代仕同学有 点积分，该同学用完 点积分的方式种数记为 ，求 表达式；
(3)设 ，记 的前 项和为 ，证明： ．
5．已知函数 的图象在点 处的切线方程为 .
(1)求 ， 的值.
(2)若正项数列 的前 项和为 ，且 ， ，证明：
（ⅰ） ；
（ⅱ） .6．已知递增数列 和 分别为等差数列和等比数列，且 ， ， ，
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，证明： .
7．已知等差数列 满足 ， ， 为等比数列 的前 项和， ．
(1)求 ， 的通项公式；
(2)设 ，证明： ．
8．已知关于x的函数 ，其图象与x轴相切．
(1)求f (x)的表达式；
(2)证明： ；
(3)设数列 ，（ ）， 的前n项和为 ，证明： ．9．已知数列 的前n项和为 ，且 ，其中 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，证明： ．
10．已知正项数列 的前 项和为 、且 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)若数列 的前 项和为 ，且 ，证明: .
11．已知半圆 ，圆 ，作圆 与半圆 ，圆 ， 轴均相切，点
，且 ．
(1)求 的周长；(2)证明： 为等比数列；
(3)证明：对任意正整数 ．
12．如图所示， 是抛物线 上的一系列点，其中 ，记直线
的斜率分别为 .
(1)证明 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
(2)记 的面积为 ，求 ；
(3)若 .求证： .
注： 中，若 ，则 面积 .13．已知首项为1的正项数列 满足 .
(1)探究数列 的单调性；
(2)证明： .
